五种常见确定函数解析式的方法

五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式是研究一次函数的重要内容。

下面对确定一次函数的解析式的题型进行归纳，供同学们参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式。

例如，若函数y=3x+b经过点（2，-6），则可以将点的坐标代入解析式中，解出b的值，从而确定函数的解析式为y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式。

例如，对于直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），可以将点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，建立一个关于k的一元一次方程，解出k的值，再代入解析式中求出b的值，从而确定函数的解析式为y=-3x+13.三、根据函数的图像，确定函数的解析式。

例如，对于表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系的图形，因为图像是直线，可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数。

设一次函数的表达式为y=kx+b，代入图像经过的两个点的坐标，解出k和b的值，从而确定函数的解析式为y=-5x+40.同时，自变量x的取值范围为x≥0且x≤8.所以，A点的坐标为（m，-3m+7）。

对称点的坐标为（-m，-3m+7）。

因为对称点在直线y=kx+b上，所以有：-3m+7=-km+b。

又因为对称点关于y轴对称，所以有：-3m+7=3m+b。

解得：k=3，b=7.综上所述，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称时，k=3，b=7.将文章中的格式错误删除，改写每段话：解法1：由于直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，因此它们上面的点关于x轴对称。

设点P(x,y)在直线y=kx+b上，则其对称点P’(x,-y)在直线y=-3x+7上。

因此有y=-y-6x+7，即y= -3x+7/2.将其与y=kx+b比较，得到k=-3，b=7/2.解法2：将n=b，m=-a代入y=3n-m+7中，得到b=3a+7，即y=3x+7.这条直线与y=kx+b相同，因此k=3，b=7.解法3：由于y=kx+b，因此x=(y-b)/k。

求函数解析式的五种方法及其例子在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。

本文将介绍五种常用的方法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。

1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来描述它。

通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。

例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。

2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。

通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。

例如，若某函数的输入和输出值如下表所示：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。

3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。

例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式来得到函数解析式。

根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x + 1。

4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。

通过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。

例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x。

5. 推理法：该方法适用于已知函数的一些特殊性质或限制条件。

通过寻找函数性质和限制条件的推理，可以得到函数解析式。

例如，若某函数是一个偶函数且通过原点(0, 0)，我们知道偶函数具有对称性，并且f(0) = 0。

因此，猜测函数解析式为f(x) = ax^2。

通过以上五种方法中的一种或多种方法，我们可以在求解函数解析式时获得准确的结果。

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。

求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。

本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。

例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。

解：因为)1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以二、换元法已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。

例2. 同例1。

解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，所以)1x (1x )x (f 2≥-=。

评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。

三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。

解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①1x )x (f 2)x (f +-=-+∴② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。

评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。

解：令x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，所以0)0(f =，所以)R x (x x )x (f 2∈+=五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。

下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。

函数的解析式就确定出来了。

解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。

分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。

解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。

三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。

解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。

第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学解题技巧：第05招 函数解析式的求法
【知识要点】
一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：
1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.
2、代入法：如果已知原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.
3、换元法：如果已知复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元”的范围.
4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.
5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式.
【方法讲评】
【例1】已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .
【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的 5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组.
【例2】已知函数)sin(ϕ+ω=x A y （0,||)2π
ϖφ><的图形的一个最高点为（2，2）
，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式.
【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程 （组）.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.。

五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。

下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。

函数的解析式就确定出来了。

解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。

分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。

解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。

三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。

解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。

求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。

（注意定义域）例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

（注意所换元的定义域的变化）例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。

应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

五种种类一次函数分析式确实定确立一次函数的分析式，是一次函数学习的重要内容。

下边就确立一次函数的分析式的题型作以下的概括，供同学们学习时参照。

一、依据直线的分析式和图像上一个点的坐标，确立函数的分析式例1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6 ），求函数的分析式。

剖析：由于，函数 y=3x+b 经过点（ 2，-6 ），所以，点的坐标必定知足函数的关系式，所以，只要把 x=2，y=-6 代入分析式中，就能够求出 b 的值。

函数的分析式就确立出来了。

解：由于，函数y=3x+b 经过点（2，-6 ），所以，把 x=2，y=-6 代入分析式中，得： -6=3 ×2+b，解得： b=-12，所以，函数的分析式是： y=3x-12.二、依据直线经过两个点的坐标，确立函数的分析式例 2、直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（2，7），求函数的表达式。

剖析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含 k 的代数式分别表示 b，由于 b 是同一个，这样成立起一个对于 k 的一元一次方程，这样就能够把 k 的值求出来，而后，就转变成例 1 的问题了。

解：由于，直线 y=kx+b 的图像经过 A（3，4）和点 B（ 2，7），所以， 4=3k+b，7=2k+b，解得： k=-3 ，b=13，所以，一次函数的分析式为：y=-3x+13 。

三、依据函数的图像，确立函数的分析式例 3、如图 1 表示一辆汽车油箱里节余油量y（升）与行驶时间 x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油 y（升）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式，而且确立自变量x 的取值范围。

剖析：依据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们能够确立油箱里所剩油 y（升）是行驶时间 x（小时）的一次函数，理解这些后，就能够利用设函数分析式的方法去求函数的分析式。

解：由于，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，由于，图像经过点A（0，40）， B（8，0）所以，把 x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入 y=kx+b 中，得： 40=k×0+b， 0=8k+b解得： k=-5 ，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40 。

求函数解析式的六种常用方法函数解析式指的是用代数式或公式来表示函数的方式。

以下是六种常用方法：一、明确函数定义域和值域在确定函数解析式之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

函数的定义域是指函数可以取值的自变量的范围，而值域则是函数的函数值可以取的范围。

明确函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数解析式的形式和特点。

二、利用已知条件和性质确定函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知条件和性质来确定函数解析式的形式。

例如，已知函数的导函数，可以通过求导的逆运算确定原函数的解析式。

又如，已知函数的周期性质，可以利用周期性质来确定函数解析式的形式。

三、从实际问题中建立函数关系函数解析式可以从实际问题中建立起来。

在解决实际问题时，可以首先建立自变量和函数值之间的关系，然后根据问题中给出的条件来确定函数解析式。

例如，求解经济学中的需求函数、生长模型等。

四、利用已知函数的性质和运算建立函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知函数的性质和运算来建立函数解析式。

例如，可以利用已知函数的线性性质、对称性质、指数性质等来建立函数解析式。

又如，可以利用已知函数的运算性质，如加减乘除、复合等来建立函数解析式。

五、利用恒等式和方程组建立函数解析式在求解一些复杂的函数问题时，可以利用恒等式和方程组来建立函数解析式。

通过列方程并求解，可以得到函数解析式中的一些未知系数。

例如，可以通过建立差分方程求解离散函数的解析式。

六、利用已知函数的级数展开建立函数解析式在求解一些函数的解析式时，可以利用已知函数的级数展开式来建立函数解析式。

通过逐项求和，可以得到函数解析式的形式。

例如，可以利用幂级数展开来确定一些特殊函数的解析式。