隐式微分方程的解法讨论摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.一阶隐式微分方程的概念与求解思路1. 定义没有就'y 解出的形如F （,x y ,'y ）=0的方程我们称为一阶隐式微分方程.2. 求解思路如果能从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y 那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F （,x y ,'y ）=0的解.例 1 解微分方程 220x x dy x dy y e xye dx y dx ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：将此微分方程的左端分解因式得2x dy dy x y e dx dxy ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0 分别解两个微分方程dy dx =2y x e 和dy dx =xy，得到的解分别是 x e +11C y-0=和2220y x C --= 于是我们得到所求微分方程的通解为11x e C y ⎛⎫+-⎪⎝⎭()2220y x C --=应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数1C 和2C 。
对于给定两个常数1C ，2C ,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数1C 和2C 就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.一般来说，很难从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y ，或者即使解出'y ，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出'y ，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1）y ='(,)f x y 2）x ='(,)f y y 3）'(,)0F x y = 4）'(,)0F y y =二、可解出y 或x 的方程的解法1.可解出y 的隐式方程y ='(,)f x y如果从方程F （,x y ,'y ）=0中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型y ='(,)f x y在这里假设函数y ='(,)f x y 有关于x 、'y 有连续的偏导数. 引入参数p ='y ，则原方程变为y =(,)f x p 将上式两边对x 求导数，并以p 代替'y ，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于x ，p 的一阶显方程 如果求的该方程的通解为p =ϕ（,x C ）将它代入y =f （,x p ），这样得到原方程的通解为y f =（,x ϕ（,x C ）） （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 p=u （x ）把上式代入到y =f （,x p ），那么就得到原方程的相应解y =f （x ,u （x ）） 如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 F=（x ,p ,C ）=0将它和y =f （,x p ）结合，就能得到原方程参数形式的通解{(,,)0,(,),F x p C y x p ==其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 (,)0G x p =将它和y =f （,x p ）结合，这样得到方程相应的参数形式的解{(,)0,(,),G x p y f x p ==其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程y ='(,)f x y ,我们引进参数'p y =，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例2．解方程：1dyx y dx =++ 解：原方程是就dydx 解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解.原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dydx=p ，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1）当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x c +=+ （c 为不等于0的常数）或 ln 1p x c +=+ （c 为任意常数）即1ln 1x p ce x p c =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y ce x =-+ （c 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2）当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1）、2）即可知，原方程通解为：(2)x y ce x =-+（c 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：{ln 1ln 11x p cy p p c =+-=-++- （1p ≠，参数；c 为任意常数）及(2)y x =-+例3. 解方程2'2'()2x y y xy =--+.解：令'y p =，原方程可化为222x y p xp =-+，两边同时对x 求导，可得2,dp dp p pp x x dx dx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭化简整理之后可得(2)(1)0dpp x dx--= 对10dpdx-=积分就可以得到上式的通解 p x C =+ （C 为任意常数）把它代入到222x y p xp =-+，便可以得到原方程通解222x y Cx C =++ （C 为任意常数）又从20p x -=，便可得原方程一个解2x p =，把它代入222x y p xp =-+又可以得到方程一个特解： 24x y =应该注意到方程的通解222x y Cx C =++和这个特解24x y =它们同时经过点2(2,)P C C -，并且在改点斜率为C -.做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线24x y =上每一点处，都有积分曲线族222x y Cx C =++中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几何中，我们称24x y =是曲线族222x y Cx C =++的包络.在微分方程中我们称积分曲线24x y =对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的两条积分曲线通过.而作为y ='(,)f x y 的一种重要类型，一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dx ϕ=++ 即('())0dp x p dxϕ+= 当0dpdx=时，有p C =，因此通解为 ()y CX C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+通解()y CX C ϕ=+是一族直线特解{''()()()x p y p p p ϕϕϕ=-=-+是该直线的包络.例 4 求解方程''1y xy y=+解：该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p=所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解：211x p y px p ==+⎧⎪⎨⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C=+，而奇解是通解的包络：24y x =. 2.可解出x 的隐式方程x =f （',y y ） 对于可解出x 的方程的第二种类型x =f （',y y ）该方程的求解方法和方程y =f （',x y ）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数'(,)x f y y =有关于y 、'y 的连续偏导数. 引进参数'y p = ，则原式可变为(,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p =代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 该方程是联系y p 、，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解. 如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y c = （c 为任意常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：(,(,))x f y w y c = （c 为任意常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p c =（p 为参数，c 为常数）则原方程x =f （',y y ）的通解为：{((,),)(,)x f v p c p y v p c ==（p 为参数，c 为常数）如果求的方程1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p c Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：{(,)(,,)0x f y p y p c =Φ= （p 为参数，c 为任意常数）例5．解方程：2'3'20y y xy y +-=解：在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2'2'22y y y x y =-令'y =p ，则可得：2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用'11dy dx y p==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p =-原方程的参数表示的特解为433812x p y p =-=-⎧⎪⎨⎪⎩三、不显含x 或y 的方程的解法 1. 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程'(,,)0F x y y =的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示。
