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李同林 弹塑性力学 第3章 本构理论解析

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弹塑性力学课程学习指导

弹塑性力学课程学习指导
② 脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变 形的情况下材料就产生破坏；
(4) 理解纳唯叶(Navier)平衡微分方程的物理力学 意义。明确平衡微分方程的应用对象。
(5) 掌握静力边界条件(即应力边界条件)的应用。 明确弹塑性力学关于应力分量、体力分量、面 力分量的符号规则。
14
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第三章: 几何变形理论
(1) 深入理解位移、应变和应变状态的概念。 (2) 掌握柯西几何方程的应用和其物理意义。 (3) 理解应变谐调方程（相容方程）的物理
意义。 (4) 了解应变状态和应力状态，它们两者在
数学上的共性。
15
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第四章: 弹性变形、塑性变形、本构方程
(1) 固体材料的弹性变形与塑性变形的特点。 (2) 了解弹塑性力学力学模型的建立所应注意的问题。 (3) 理解弹性应变能和实功原理的概念，以及将弹性
应变比能分解成体变比能和畸变比能的物理意义。 (4) 熟练掌握各向同性体的广义虎克定律。 (5) 深刻理解主应力空间、屈服函数、屈服面、屈服
（1） 弹塑性力学课程基本教学内容目录； （2） 《应用弹塑性力学》，李同林编，中国地 质大学出版社2002版，本科教材；
11
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六、课程各章学习重点
本课程各章学习的重点表述如下，而各章学习内容的基本要求 和复习题请见专门的电子文档。
12
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第一章: 绪 论
(1) 了解弹塑性力学的基本任务。 (2) 明确弹塑性力学的研究对象。 (3) 明确弹塑性力学分析问题解决问题的
(2) 明确弹塑性力学最基本问题的边界条件类型。 (3) 了解位移解法、应力解法、逆解法和半逆解
法，着重掌握应力解法。了解位移解法的普 遍适用性。 (4) 明确圣文南原理的意义，以及在应用该原理 时必须满足的基本原则。

Ch3-本构关系

Ch3-本构关系

本构关系
一、概述
§3.4 增量理论（流动理论）
塑性本构关系 —— 材料超过弹性范围之后的本构关系。此时， 应力与应变之间不存在一一对应的关系， 只能建立应力增量与应变增量之间的关系。 这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。 这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。 增量理论 进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
1 1 9 2 ν p W = W −W = W − σijεij = W − σijσij + σm 2 4G 2E
p e
（3-14）
本构关系
Drucker公设 公设: 公设 对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， ），借助一个外部作用 对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。 应力循环的过程： 应力循环的过程： 单元体在应力状态σij 下处于平衡。
（3-3）
1 εm = εkk 3 体积弹性模量 K = E / 3(1− 2 ) ν
则平均正应力与平均正应变的关系：
σ m = 3 Kε m
1 eij = sij 2G
包含5个独立方程
（3-4） （3-2）
（3-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij表示为 （3-5）
本构关系
1 1 由（3-5） ′ I2 = eijeij = 2
dσ 中性变载 dσ
φ = 0, φ = 0, φ = 0,

弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系

3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。

A B
模型：
s
e E E s s e
O


线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s

e E E1 ( s ) s e

B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O

E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。

2012.04 第3章 弹塑性力学 本构理论

2012.04 第3章 弹塑性力学 本构理论

（6）
将
代入，消去公因子 ( s ) ，得: s E s
即:
H E E H E EE H E E
E E E 1 E
（7）
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
EE lim H lim lim E E E E E
◆
固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
U 0 ( ij ) ij
ij
（3—17）
3、弹性常数间的关系
⑴、极端各向异性体
c mn c nm ; (m, n 1, 2 6)
对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。
变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：
{σ}=[D]{ε}
{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹 性矩阵。
2、弹性应变能函数
⑴ 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形
过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在 加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内， 此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性 应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能 原理。若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 程中，弹性体整个体积的内力功为：
（3—12）

弹塑性力学-03

弹塑性力学-03

16
这样， 这样，对于纯变形来说
δ S i = u i , j S j ⇒ δS i = ε i , j S j
现在说明应变张量 ε i, j 的物理意义。 的物理意义。 平行X轴 如S平行 轴，则 S x = S , S y = 0 平行
∂u ∂u Sx + Sy ∂x ∂y ⇒ ε = ∂u = ε = δ S x = δ S 11 x ∂x Sx S ∂v ∂v δS y = Sx + Sy ∂x ∂y
假定位移u,v为 的单值连续函数 的单值连续函数， 假定位移 为x,y的单值连续函数，按泰勒级数展开
∂u ∂u 2 2 u = u0 + Sx + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y ∂v ∂v 2 2 v = v 0 + S x + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
v+ ∂v dy ∂y
B
P′
α
β
B′
v+
A′
u+
∂u dy ∂y
3
图2－5
同理可求得： 二、P点的切应变
εy
∂v = ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
P′ B
线段PA的转角：
α
β
B′
v+
A′
∂v (v + dx) − v ∂v ∂x α= = dx ∂x

弹塑性力学讲义—本构关系

弹塑性力学讲义—本构关系
例2-1 对Mises屈服条件，证明
f J 2 sij ij ij
证： Mises屈服条件为
2 f J2 s 0 3
J 2 J 2 sk l 1 1 smn smn k l pp k l ij sk l ij sk l 2 3 ij
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
d 3 d ij d ij s 2
sij
2 s diΒιβλιοθήκη 3dij dij d p
p p 2d 2 d1p d 3 p d1p d 3
ud p u
• Tresca屈服条件相关联的流动法则 不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成

例2-4： 有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁 厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，
在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解∶ 环向应变=0，轴向伸长靠筒壁变薄实现，各应变分量为 =0 z = r 或 e=0 ez = er Levy-Mises流动理论 s=0 sz = sr
ij
0 p (ij ij )d ij 0

弹塑性力学课件第三章

弹塑性力学课件第三章

zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
2021/1/10
10
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念

2021塑性力学塑性本构关系最新PPT资料

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其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
3-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ij E 11ijijkk
• 也可以表示为: ii1 E 2 ii
1 eij 2G Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij S ij ij m , ij e ij ijm
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
3-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法
设在物体 V 内给定体力 F i , 在应力边界 S 上给定面
S : pi
力 p i, 在位移边界 S u 上给 定位移为 , 要求确定物 u 在小变形且简单加载的情况下i , 这两个理论是一致的.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间随关系.有Levy-Mises(莱维-米 泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
3-1 建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件.
ii1 E 2 ii
eij 2 1 G Sij
第二个式子是六个方程,但因为有 Sii 0 , 所以有5个是独立的. 从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致
的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比.
第二式也可以写成 Sij 2Geij ,把它代入应力强度的表达式
就可以得到下面的第二式, 然后有 Gi /3i 再代回上面第

弹塑性力学讲义 第三章应变分析

弹塑性力学讲义 第三章应变分析


2 11 ( 23 31 12 ) x2 x3 x1 x1 x2 x3
2 22 ( 31 12 23 ) x3x1 x2 x2 x3 x1 2 33 ( 12 23 31 ) x1x2 x3 x3 x1 x2
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量 kl 和转动张量kl，则 在新笛卡尔坐标系 x’i 中此点应变张量’ij 和’ij 均可以通过二阶张量的坐标 转换式求出它们。
' Q ij 即：
' ij Q
i 'k
Q
j 'l
j 'l kl
kl
i 'k
Q
Qi 'k ei' ek Qki'
+
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
11，12= 21，22 纯变形
2.3 转动张量的对偶矢量
12= -21
纯转动

由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当于一个沿 x3 轴方向的转动矢 量 3e3 ，方向为 e3 ，其大小 3 ：
Ⅱ＝ 1 2 2 3 3 1
Ⅲ 1 2 3
当1 2 3 时（三个主应变不相等） ，三个主方向相互垂直。
第5节
变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信 息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个） 。如果已知变形体的 位移状态 u ，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任 意
3 (12 21 ) (e12312 e213 21 )

弹塑性力学第3章

弹塑性力学第3章

设一点应力：
四面体在所有力的作用下保持力的平衡
px = x l x yx l y + zx lz
py = xy l x y l y + zy lz pz = xz l x yz l y + z lz pi ij l j
x0 y0 z 0
px A= x l x A yx l y A+ zx lz A
sx x m
s1 1 m
sy y m
s2 2 m
sz z m
s3 3 m
偏应力的主轴方向与应力张量的主轴方向一致
J1 sx s y sz 0
2 2 J 2 s x s y s y sz sz s x s xy s2 s yz zx
对应的三个主应力的方向称之为主轴. 求解一点的主应力及主应力方向的基本公式
已知一点的应力为：
x xy xz ij yx y yz zx zy z
3.2.1 一点的应力状态
x xy xz ij yx y yz zy z zx
l x x l x xy l y xz l z l y yx l x y l y yz l z l z zx l x zy l y z l z
分别将 1 , 2 , 3 代入：
1 l x x l x xy l y 13 l z 1 l y yx l x y l y yz l z 1 l z zx l x zy l y z l z

弹塑性力学第三章 应力与应变讲解

弹塑性力学第三章 应力与应变讲解

?
2?
zx
l3l1
?? ?
?n ?
p2
?
?
2 n
?
（3.10)
??
其中第2式 ? n ? pili ? ? ijlil j
(3.11)
8 应力分量的坐标变换规律
应力张量是一个二阶张量，因此，在数学上，应力张量 的各分量在坐标变换时，要服从二阶张量的坐标变换规 律。容易证明，如果坐标系仅作平移变换，则同一点的 各应力分量是不会发生变化的；只有在坐标系作旋转变 换时，同一点的各应力分量才会改变。下面证明给出坐 标旋转时应力张量所服从的规律。
同理可以写出其它应力分量，经整理后可简写为
? i ' j ' ? li 'il j ' j? ij
(3.13)
上式就是应力张量各分量在坐标旋转变换时所服从的变换 规律，它恰好符合二阶张量定义，剪应力互等表明它是对 称张量。
3.2 主应力与主应力空间
3.2.1 主应力和主方向
在受力物体内一点任意方向的微分面上，一般都有正应力 分量和剪应力分量存在。由应力张量的坐标变换规律知，当 通过同一点的微分面发生转动时，其法线也发生改变，相应 的正应力和剪应力数值也会变化。在微分面的不断转动过程 中，将会出现这样的微分面，在该面上只有正应力而剪应力 为零。只有正应力而没有剪应力的平面称 为主平面，其法线 方向称为应力主方向，简称主方向，其上的正应力称为主应 力。 根据主平面的定义，若设n为过物体内任意一点M的主平面 的单位法向量，它与三个坐标轴之间的夹角余弦为 l1、l2、l3
? X?0
1
px? S ? ? x (? S ?l1) ? ? yx (? S 以上方程两边同时除以

弹塑性力学 第三章 弹性本构方程 ppt课件

弹塑性力学 第三章 弹性本构方程 ppt课件

ppt课件
15
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为
称为弹性矩阵.
ppt课件
16
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数 之间存在关系
K E
3(1 2 )
32
应变能：
ppt课件
33
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
ppt课件
7
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
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8
三. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
ppt课件
12
当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰 勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中 的第一式展开为：
表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为 零．故
表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零 时的值，等于一个常数
ppt课件
13
故, 式（１）可用一个线性方程组表示（线弹性体）
ppt课件
23
比较:
可见:
ppt课件
24
§3-3 弹性应变能
弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的 变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所 做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。

弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程

弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
� � � z� ydxd � zd xz � � ��
0 � zdydxd x K � ydxd xz � �
x z � � � xd zd xy � �
程方分微衡平的下系标坐角直维三 4-3§
� � � � y� x� � xy � x x � � � � � xd zd � y d � � z d y d � z d y d x d � � x �� xy � � � � � � �0=XF�程方衡平的矩力出列 �
� yx � � � �
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
态状力应面平 1.2.3
程方调协变应及程方分微衡平 章三第
础 基 学 力 性塑与性弹
�程 方 分 微 的 似 相 个 一 得 可 � 0 � y F � 程 方 衡 平 由 � 样 同
0 � xK �
y�
xy
��
�
x
x�
��
� � yd x � � 0 � 1 � ydxd x K � 1 � xd xy � � 1 � xd � xy � � �
础 基 学 力 性塑与性弹
心中的积体的它在用作�布分匀均是为认以可力应的受所上面各 � 数 函 的 y 和 x标 坐 置 位 是 量 分 力 应 �
图力受板薄 析分力受元微
.度长位单个一为取寸尺的向方z�yd和xd为别分寸尺向方y和x � 体面六行平正的小微个一出取板薄的力受 � 态状力应面平 1.2.3
��
)式 形 化 简 中 题 问 面 平 程 方 叶 维 纳 或 ( 程 方 分 微 衡 平 的 中 题 问 面 平 � 式系关的间之量分力体与量分力应题问面平 � 态状力应面平 1.2.3
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§

塑性力学第三章

塑性力学第三章
塑性(sùxìng)滑移理论； 内时理论； 损伤理论（宏微观相结合的）。
• 本章重点：
全量理论中的依留申理论以及Levy-Mises理论及 Prandtl-Reuss理论。
精品资料
3 塑性(sùxìng)本构关系_3.1 基本要素
Shield和Ziegler指出，建立(jiànlì)塑性本构关 系，需要考虑三个条件：
精品资料
3 塑性本构关系
由于塑性变形规律的复杂性，近百年来还没有(méi yǒu)出现很好的模型来描述塑性本构关系。
两大类理论 (lǐlùn)：
（1）全量理论（形变理论） （2）增量理论（流动理论）
精品资料
3 塑性本构关系
•全量理论(lǐlùn)（形变
理论(lǐlùn)）
认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系。
•以往研究成果： H. Hencky提出(tí chū)的理论，不计弹性变形，不计硬化 （1924年）； A. Nadai提出(tí chū)的理论，考虑有限变形和硬化（ 1938年）； A. A. HJBHWNH（依留申） 提出(tí chū)的理论，是对 Hencky 理论的系统化，考虑了弹性变形的硬化（1943年） 。
ij 2G ij 3E mij
•推导得出：
ii2 G ii 3 E 3 m 1 E 2 ii
•其中(qízhōii ng3)：m
其仅表示一个独立的表达式。
精品资料
3 塑性本构关系(guān xì)_3.2 广义Hooke定律
•同样，可导出用应力偏量来表示应变(yìngbiàn)偏量的式子：
1 eij 2G Sij
z E 1 zxy
1 z x G z x
精品资料
3 塑性本构关系(guān xì)_3.2 广义Hooke定律
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§3—8 屈服函数、主应力空间常用屈服条件 §3—9 加载准则、加载曲面、加载方式 §3—10 弹塑性应变增量、应变偏量增量间
的关系 §3—11 塑性本构方程(增量理论) §3—13 塑性本构方程(全量理论) §3—17 岩土材料的变形模型与强度准则 §3—18 本章小结、关于余能的概念
§3—1 概 述
◆ 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适用。
§3—3 弹塑性力学力学模型
◆ 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。
◆ 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 的变形体力学模型。
★ 确定力学模型时应注意：
① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不 包含畸变（即形状改变量），体变是弹性的。因 此，球应力不影响 屈服条件；
② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性 变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变 形过程中材料具有不可压缩性（即体积应变为 零）；
③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料 是非粘性的。
E s E1 ( s )
(当 s时)
(当 s时)
（4--3）
3、理想刚塑性力学模型
理想刚塑性 力学模型亦称 刚性完全塑性 力学模型，特 别适宜于塑性 极限载荷的分 析。其表达式 为:
s
(当 s时) （3--4）
4、理想线性强化刚塑性力学模型
理想线 性强化刚 塑性力学 模型，其 应力应变 关系的数 学表达式 为：
s E1
(当 0时) （3--5）
5、幂强化力学模型
为了避免在 处 s
的变化，有时可以采 用幂强化力学模型。 当表达式中幂强化系 数 n 分别取 0 或 1 时， 就代表理想弹塑性模 型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达 式为：
A n
（3--6）
例3—1 证明弹塑性强化模型的强化系数和刚塑性线性 强化模型的强化系数之间满足关系（如图3—8）：
§3-2 弹性变形、塑性变形、塑性力学的附加假设
◆ 大量实验 证实，固 体受力变 形时，应 力与应变 间的关系 是相辅相 成的。
◆ 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自
有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。
④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。
◆ 弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。
｛ ◆静不定问题的解答
1、静力平衡分析——平衡微分方程 2、几何变形分析——几何方程
3、物理关系分析——物理方程
◆ 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。
◆ 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时 应力与应变，以及应力率与应变率之间关 系的物性方程，称为本构方程（关系）。
第三章 弹性变形、塑性变形、本构方程
§3—1 概 述 §3—2 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力
学的附加假设 §3—3 弹塑性力学中常用的简化力学模型 §3—4 弹性本构方程、弹性应变能函数 §3—5 应力张量和应变张量分解的物理意义 §3—6 弹性势能公式、弹性势能的分解 §3—7 塑性应力偏量状态与Lode应力参数
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因 此，应力与应变是一一对应的关系。
2、塑性变形特点
① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。
② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。
即:
H EE E E
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
lim H
E
lim
E
EE E E
lim
E
E 1 E
E
E
（8）
弹塑线性强化模型转化为刚塑性线性强化模型。
s
H
p
s
H
E
（3）
由上式（3）可解得：
s H
H 1
E
（4）
考虑强化阶段，式（1）及（2）中取同样 值
时，有:
s
E (
s)
s H
1 H
E
（5）
s
H E
s
E (
s
)
H E E
(
s
)
s

H
（6）
将 s E代s 入，消去公因子 ( s ) ，得:
H E E H E
（7）
① 必须符合材料的实际情况；
② 模型的数学表达式应足够简单。
1、理想弹塑性力学模型
理想弹塑性力 学模型亦称为弹 性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。 其表达式为：
E
E s s
(当 s时) (当 s时)
（3-2）
2、理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性强 化弹塑性力学 模型亦称为弹 塑性线性强化 材料或双线性 强化模型。其 数学表达式为：
H EE E E
E H
证：弹塑性线性强化模型的公式是
E s E(
s)
(当
s时) (当 s时)
刚塑性线性强化模型的公式是:
s H
（1） （2）
为了比较两种图形塑性范围的应变，上
式(2)中的 实际上是图3—8(b)中忽略了
弹性应变的应变值，即等于塑性应变 ，p
于是式（2）可写为：
◆ 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加， 屈服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上 降低的效应，称为包辛格效应。
◆ 包辛格效应导致材 料物理力学性质具 有各向异性。
◆ 由于这一效应的数学 描述比较复杂,一般 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。
3、塑性力学附加假设
为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：