代入消元法解二元一次方程组——马仲良

让学生在探究、合作与交流中学习———由“消元──二元一次方程组的解法”引发的思考□江西安远三中兰攀峰中学数学的核心是概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践.在一次课题研讨会上，开设了两堂同课异构课“消元———二元一次方程组的解法”，从中可以看出数学思想方法在数学教学中发挥了重要作用.代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的基本方法.下面就从这两个角度对二元一次方程组的解法教学进行反思.一、用数学思想方法引导解题思路初中在教学一个算法时，一般都是从具体问题入手，分析各要素之间的关系，得到解决这个问题的思路，然后在思路的引导下构建解决问题的算法，最后在此基础上归纳得到解决一类相似问题的算法.初中阶段不宜考查含有字母系数的二元一次方程组.两位教师的教学也都是以具体系数的二元一次方程组为考查对象，但采用了不同的方式引导学生分析求解方程组的思路.一位教师直接切入主题，给出了上节课学生在篮球赛背景中建立的二元一次方程组x+y=22，2x+y=40{，接着通过问题串，使学生回想起已学过的与解方程有关的知识.这样，学生通过回忆，将新知识与旧知识联系起来.这里的旧知识指解一元一次方程的程序化步骤，以及解方程的理论依据.此外，在学习一元一次方程时，学生应该接触了化归的思想方法.然而，教师并没有引导学生回忆解一元一次方程中的化归过程，也没有指出应该通过化归，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，而是直接让学生根据等式的性质尝试求解给定的方程组.尽管学生回答出了解方程组的两种方法（加减消元法和代入消元法），但他们如果不是在化归的思想指导下得到解法的，就缺乏对解法本质的认识，更难将解法进行迁移.同时，教师也丧失了一次向学生渗透化归思想方法的机会.另一位教师给出了一个具体的问题情境：3个班共143人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少14.学生通过设两个未知数（设女生为x人，男生为y人），列出了二元一次方程组x+y=143，3x－2y=14{，通过设一个未知数（设女生为x人），列出了一元一次方程3x－2（143－x）=14.比较这个二元一次方程组和一元一次方程，不难看出，由二元一次方程组中的第1个方程可以得到y=143－x，代入方程组中的第2个方程，即得一元一次方程3x－2（143－x）=14.这种方式比较有利于学生发现未知与已知之间的联系，同时为学生指明了将未知转化为已知的一种途径.遗憾的是，教师舍弃了这种比较，转而另外给出两个二元一次方程，让学生练习用含一个未知数的式子表示另一个未知数.借助这两道“表示”练习获得的启发，学生想到“用一个未知数代替另一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程”.显然这种另辟蹊径的引导，不如在解决同一问题的两种解法中寻求联系更自然，更有利于学生思维的发展.由以上的分析可以看出，两位教师在引导学生形成解题思路上都有所欠缺.原因是共同的，都没有充分重视化归的思想方法.化归的基本思想是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易.在初中阶段，解方程（组）使用的方法，如“消元”、“降次”、“有理化”、“整式化”等，都是为了将方程（组）化为一元一次方程.或许人们就是在化归思想的指引下创设这些方法的.因此，用化归的思想指导解方程（组）是方程（组）的解法教学中不能忽视的方面.在数学教学中，教师可以将二元一次方程组作为化归对象，一元一次方程作为化归目标，学生自然会想到“消元”.再通过创设恰当的问题情境，使代入消元法和加减消元法呼之即出.二、将解法程序化初中的学生学完算法的初步知识后，对于一般的二元一次方程组，会将代入消元法和加减消元法统一为用公式表达的算法.这样的算法具有通用性、明确性和机械性的特点，不需要执行者临时动脑筋就能解决问题.而初中的学生只能停留在研究具体系数的二元一次方程组的解法，不能将其抽象为具有算法特征的算法.但是，初中阶段仍然可以结合具体问题，在允许的范围（有唯一解的二元一次方程组）内考虑尽可能多的情形，讨论操作细节，将解法程序化，设计出适用范围比较广的解法步骤.在这方面，教师的做法值得借鉴.例如，对于代入消元法，教师在黑板上书写求解一个具体系数的二元一次方程组的过程后，让学生结合这个解答过程给各步骤起名，这其实就是在明确算法步骤.随后，师生一起总结了代入消元法的一般步骤：变形—代入—求解—回代—结论.对于其中的“代入”和“回代”，教师要引导学生讨论操作细节.另外，对于其中的“变形”，还可以让学生讨论一下从方程组中选哪个方程进行变形更有利于简化运算.按照这样的解法步骤操作，可以求解允许范围内的二元一次方程组.对于初学者来说，有法可循，有效性强，有利于提高学习的积极性，并能初步体会算法的优越性.73。

用代入消元法解二元一次方程组说课稿居丁中学吴景任各位老师：大家好！今天我说课的题目是“第八章二元一次方程组第二节消元——二元一次方程组的解法”。

我使用的教材是华师大版《义务教育标准课程试验教科书七年级下册》，下面我将从教材分析、教学目标分析、教法学法、教学过程等几个方面向大家介绍我对本节课的理解。

不当之处，请各位老师批评指正。

一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学习二元一次方程组的有关概念之后讲授的，用代入消元法解二元一次方程组是解二元一次方程组的基本方法之一，它既是对解一元一次方程的延伸与拓展，又是为以后学习求一次函数和二次函数的解析奠定了基础，具有非常重要的作用。

2、教学重点和难点重点：会用代入消元法解二元一次方程组。

难点：在“消元”的过程中能够判断消去哪个未知数，使得解方程组的运算较为简便。

探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。

二、教学目标分析1、知识与技能：（1）会用代入法解二元一次方程组。

（2）能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路。

2、过程与方法：（1）通过代入消元，使学生初步了解把“未知”转化为“已知”，和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。

（2）培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较为的方程进行变形。

3、情感与态度：通过本节课的学习，渗透化归的数学思想。

三、教法学法由于学生已学过解一元一次方程，利用二元一次方程组解决实际问题时也可以用一元一次方程去解，所以教学时我采用让学生通过实际问题列方程来引入新课，引导学生通过观察——分析——总结——练习的学习方法来学习本节课，使教与学达到完美的统一。

四、教学过程（1）、创设情境，引入课题引例：学校准备建设一个周长为60米的长方形游泳池，要求游泳池的长是宽的2倍，为了帮建筑工人计算出长和宽各是多少米？请你列出相应的方程组。

设问一：你会用二元一次方程组解决这个问题吗？根据问题中的等量关系，设宽x米，长y米，可以列出方程组设问二：怎样求得二元一次方程组的解呢？（设计问题的意图：通过创设问题情境，自然地揭示新课，且问题情境是是生活中可见的例子，激发学生的求知欲，同时为本节课的学习打下良好的思想基础。

32=-y x xy y +=-223132=-y x 231+=+x y 8.2.1用代入消元法解二元一次方程组姓名：学号：班别：目标:利用代入消元法解二元一次方程组，体会“消元”思想，如何化“二元”为“一元”。

一、自学新知1、一元一次方程4)2(32=--x x 的解为：2、完成下列表格用x 的式子表示y用y 的式子表示x 3、阅读书本P91到P92.二、例题展示例1:⎩⎨⎧-==-1132y x x y 例2：⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 三、课堂小结你会解二元一次方程组了吗？步骤应该如何呢？关键是?(口答）四、自我检测1、若方程组026ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，则=+b a _______．2、方程⎩⎨⎧=-=+52243y x y x 的解是（)A、⎩⎨⎧==12y xB、⎩⎨⎧-==12y xC、⎩⎨⎧-=-=12y xD、⎩⎨⎧=-=12y x 3、由方程组⎩⎨⎧=-=+my m x 312，可得到x 与y 关系是：（)A、42=+y xB、42=-y xC、42-=+y xD、42-=-y x3、用代入法解方程组（1）⎩⎨⎧+==+23182b a b a （2）1235x y x y -=⎧⎨+=⎩．（3）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （4）4132x y x y x +=⎧⎪+⎨-=⎪⎩4、若0)532(52=-++-+n m n m ，求2m ）（n +的值.五、拓展提高1、在解方程组278ax by cx y -=⎧⎨+=⎩时，一同学把c 看错而得到22x y =-⎧⎨=⎩，正确的解应是32x y =⎧⎨=⎩反思：好的地方：设计还算完善，层次的递进也算合理。

习题的设计也是层次分明。

讲例题的时候好的方是能把步骤具体化。

不足的地方：语言还不够精练，在放手学生学习这里还缺乏，以至于课堂的效率不够好和课堂的气氛不够活跃。

《代入消元──解二元一次方程组》教学设计（第2课时）通渭县平襄初级中学马三丽一、内容和内容解析1．内容代入消元法解二元一次方程组2．内容解析二元一次方程组是解决含有两个未知数问题的有力工具，也是解决后续一些数学问题的基础。

其解法将为解决这些问题的工具。

如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两直线交点坐标等．解二元一次方程组就是要把二元化为一元。

而化归的方法就是代入消元法，这一方法同样是解三元一次方程组的基本思路，化归思想在本节中有很好的体现。

本节课的教学重点：会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组，并能用二元一次方程组解决一些简单的实际问题，体会解二元一次方程组的思路是消元．本节教学难点：把二元向一元的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

二、目标和目标解析1．教学目标（1）会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组（2）理解解二元一次方程组的思路是消元，体会化归思想2．教学目标解析（1）学生能掌握代入消元法解一些简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出简单的二元一次方程组的解，（2）要让学生经历探究的过程．体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想本节教学难点：把二元向一元的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

三、教学过程设计1．复习旧知回忆一下怎样用代入消元法解二元一次方程组，一般步骤是什么？2．创设情景，引入新课教科书例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g ）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t ，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？问题1 例2中有哪些未知量？问题2 例2中有哪些等量关系？问题3 如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？3．加深认识，巩固提高4．归纳总结，知识升华师生活动，共同回顾本节课的学习过程，并回答以下问题1． 代入消元法解二元一次方程组有哪些步骤？2． 解二元一次方程组的基本思路是什么？的值。

531用代入消元法解二元一次方程组教案北京市丰台第八中学白宗灿3x 2y 120 ① y 3x 6②元一次方程3x+2(3x+6)=120 的关系，你能找出解二元一次方程组的方法吗？问题4通过上面的观察、对比，怎样将二元一次方程组转化为一元一次方程？转化的方法是什么？你还有其他的方法吗？问题5例解方程组x 3y 43x 2y 5问题6:练习：解方程组2x y 53x 2y 3问题7请你总结出用代入法解二元一次方程组的步问题8请将下列方程组转化为一元一次方程:2x 3y 2 0 课堂小结1谈谈本节课的收获；2还有那些疑问或困惑？布置作业：课本45页第13x 2y 120 ①y 3x 6 ②3x+2(3x+6)=120 的内在联系。

例如，从未知数表示数量关系的角度或从二元一次方程组与一元一次方程的结构上观察。

学生通过对比观察体会到一元一次方程与二元一次方程组之间的联系，得出二元一次方程组中的将方程②代入①得3x+2(3x+6)=120。

最后由教师总结出将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法是消元思想，而根据一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程的方法是代入消元法。

教师要关注:(1)学生的思维角度是否合理;(2)能否抓住问题的核心部分;(3)学生的表达能力;(4)学生对提出的数学问题产生的兴趣。

教师板书解题过程，学生一起口述。

教师重点关注：学9生是否积极思考认真倾听。

重点关注(1)学生是否能正确运用代入法；(2)学生书写是否规范。

教师展示问题，并提出问题，学生独立完成之后，互相模型，通过对比的方法让学生充分体会二元一次方程组除了用赋值的方法求解之外，还可以有一般的方法去求解。

在学生小组讨论的过程中为学生提供充分从事数学活动的机会，从而激发学生的学习积极性，体会在解决问题的过程中，与他人合作的重要性。

让学生在轻松的氛围中积极参与发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。

《消元法解方程组—代入法》教学设计土主中学孙良一、教材内容分析本节课是华师版七年级下7.2节二元一次方程组的解法中的第一课时——代入消元法，消元法是学生接触到解方程组的第一种解法，是把二元问题转化为一元问题，本节体现了“消元”的重要思想。

它既是本章的重点又是难点。

二、学情分析学生已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。

讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和归纳出“消元”的数学思想方法。

三、教学目标（一）知识与技能：1、初步掌握用代入法解二元一次方程组的步骤和写法2、会用代入法解二元一次方程组的思路（二）过程与方法：1、通过对方程组解法的探究是学生明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”。

2、通过用代入消元法解二元一次方程组的训练，学会选用合理、简捷的方法解方程组，培养学生的运算能力。

（三）情感态度价值观：通过学生对一元一次方程的解法与本节的二元一次方程组求解过程进行比较，使学生体会知识之间的联系，感受“消元”思想在数学中的应用，培养学生思维的灵活性。

四、教学重点难点重点：用代入法解二元一次方程组；难点：灵活运用代入法解二元一次方程组。

五、教学设计过程(一) 问题引入1、二元一次方程组以及它的解的概念是什么呢？2、已知方程4x+2y=2，先用含x的代数式表示y，再用含y的代数式表示x，并比较哪一种形式比较简单。

提问：如果已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们一起来学习(二)探索新知1、求方程组的解 ⎩⎨⎧-=--=1321y x x y 提问：上面的二元一次方程组和我们学过的一元一次方程有什么关系?通过观察学生很容易发现：二元一次方程组中第1个方程y=x-1直接代入第2个方程2x-3y ＝-1，这个方程组就化为一元一次方程2x-3(x-1)＝-1。