特殊角的三角形各边的关系

浅谈特殊角的三角形各边的关系以及其面积与各边的关系
ﻩ九号风景工作室
只要是授完初中教育的人,大家都知道直角三角形各边的关系可以由勾股定理可得：斜边的平方等于两条直角边的平方和，且其面积等于直角边之积的二分之一.这里我要探讨的问题是三角形中已知一个特殊角(如：30度角，４5度角,60度角，１2０度角，135度角，150度角）及其各边，那么情形又如何呢？三角形各边是否也存在着某种特殊关系呢?其面积是否也与三角形各边存在着某种直接或接近的关系呢？下面我们就此问题一起来分析探讨论证（30度角，45度角，6０度角，1２０度角,135度角，150度角）的三角形各边之间以及面积与各边之间是否存在着某种具体数量关系。

如图①所示:在△ABC中，已知:∠A=300，a，b,c分别为∠Ａ，∠B，
∠Ｃ的对边，那么三角形各边ａ,ｂ，c会有怎样的数量关系呢?此三角形
的面积又会与其各边ａ，ｂ，c存在怎样的数量关系呢?
分析：假设∠B为钝角，则过点C作ＣＤ⊥ＡB且交AB的延长线于点
Ｄ，所以：∠ADＣ=∠ＢＤC＝９０0．在直角三角形ADＣ中,
∠ＡDＣ=9０,∠A=3０0，所以:ＣD=1
2
AC=
1
2
ｂ，
AD＝
3
2
ＡC ＝
3
2
ｂ。

同时在直角三角形ＢDC中, ∠BDC=９０0，由图①可得:BD=AD－AB=
3
2
b
－ｃ,
由勾股定理可得：BC2 =BD2 +DＣ2。

即:a2 =（3
b-c）2 +（
1
2
b）2.
化简可得：a2＝ b2－3ｂc+c2，所以:S
ABC
∆ =
1
2
AB·CD=
1
2
c·
1
2
ｂ=
4
bc。

如图②所示：假设：∠B为锐角时,是否也能得到同样的结论呢？
分析：过点Ｃ作ＣD⊥AB且交AB于点Ｄ，所以:∠ADC=
∠BDC=900。

在直角三角形AＤC中,∠ADC=900，∠A=3０0所
以：CＤ=1
2
AC＝
1
2
b，AＤ＝
3
2
ＡＣ =
3
2
b. 同时在
直角三角形ＢDＣ中，∠ＢＤC=９00,由图②可得：ＢD=AB-
ＡD＝ c-
3
2
b．由勾股定理可得:BC2= DC2+BD2 .即：
a2 =（1
2
ｂ)2+(ｃ—
3
b）2。

化简可得:a2= b2－3 bｃ＋c2, 所以:S
ABC
∆
=
1
2
ＡB·ＣD
＝1
2
c·
1
2
ｂ＝
4
bc。

由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为３00的三
角形其各边的关系是：30度角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的3倍的差；其面积等于3０度角两邻边之积的四分之一。

要是∠Ａ为４50角的三角形,它们各边又有怎样的关系呢?其面积与其各边又有怎样的数量关系呢？
如图③所示：在△ABC中，已知∠A＝４５0，a，ｂ，ｃ分别为∠
A，∠B, ∠C的对边,那么三角形各边a，ｂ，c会有怎样的数量关系呢?
三角形的面积又各边a,b,ｃ存在怎样的数量关系呢?
分析：假设∠B为钝角，则过点Ｃ作CD⊥AB且交AＢ的延长线于
点D，所以：∠ADC=∠ＢＤC=900 .在直角三角形ADC中，∠ADＣ=
９０0，
∠A＝４50，所以：AD＝CD=
2
2
b ,由图③可得:BD=AＤ—ＡＢ
=2
b- ｃ。

同时在直角三角形BＤC中, 由勾股定理可得:ＢC2 =
ＢＤ2＋ＤＣ2。

即:a2 =(
2
2
ｂ—c）2 +（
2
2
ｂ）2。

化简可
得：a2= ｂ2—2ｂc+c2 ,
所以:Ｓ
ABC
∆ =
1
2
AB·CＤ＝
1
2
ｃ·
2
2
b＝
2
4
bc。

如图④所示：假设：∠Ｂ为锐角时，是否也能得到同样的结论呢?
分析：过点C作CD⊥ＡＢ且交AB于点Ｄ，所以:∠ADC=∠BDC=９00。

在直角三角形ADC中, ∠ADＣ=９00，
∠A=450,所以：AD =CＤ=
2
2
ｂ，同时在直角三角形BDC中，∠BDC=9０0，由图④可得：BD＝AB
—AD= c-
2
2
b.由勾股定理可得:BＣ2 = ＤC2＋BD2,即：a2 =（
2
2
ｂ)2＋（c-
2
2
b）2。

化简可得：ａ2= ｂ2－2 bc＋ｃ2，所以:S
ABC
∆=
1
2
ＡB·CD=
1
2
c·
2
b=
2bc。

由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论:有一个角为450的三角形其各边的关系是：４50角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的2倍的差; 其面积等于４50角两邻边之积的四分之根号二。

同样的方法我们来分析一下600角的三角形的情况。

如图⑤所示:在△ABC中，已知∠Ａ=600，a，ｂ,c分别为∠A,∠B, ∠C的对边，那么三角形各边a，ｂ，c会有怎样的数量关系呢？三角形的面积又各边a，b,c存在怎样的数量关系呢？
分析：假设∠B为钝角，则过点C作CD⊥AＢ且交AB的延长线于点D，所以: ∠ＡDＣ=∠BDC=900．在直角三角形ＡDC中, ∠ADC=900，∠A＝600，
所以：AD＝1
2
AC=
1
2
b，ＣD=
3
ＡC=
3
ｂ，由图⑤可得：BD＝AＤ－AB=
1
2
b— c .同时在
直角三角形ＢDC中，由勾股定理可得：BC2 =BD2 +DC2 .即：a2 =（1
2
b-c）2 +（
3
b）2。

化简可
得:a2= b2－ bc＋c2，所以:Ｓ
ABC
∆ =
1
2
AB·ＣD＝
1
2
ｃ·3
b＝
3bc
.
如图⑥所示：假设:∠B为锐角时，是否也能得到同样的结论呢？
分析：过点Ｃ作ＣＤ⊥AＢ且交AB于点Ｄ，所以:∠ＡDC=∠ＢDC=900。

在直角三角形ＡＤC中, ∠ADＣ=9０0，
∠A==６00，所以:AD =1
2
AC＝
1
2
b，CD=
3
AＣ=
3
b，
由图⑥可得：BD=AＢ-ＡD= ｃ－1
2
b, 同时在直角三角形BDＣ中，由勾股定理可得：
BC2= DC2+ BD2，即:ａ2 =(3
b)2＋（c-
1
2
b)2。

化简可得：a2= b2—ｂc＋c2,
所以:S
ABC
∆ =
1
2
ＡB·CD=
1
2
c·
3
2
b=
3
4
bc。

由上面分析论证可得两种情形都得到了相同的结果，由此我们可以得出结论：有一个角为600的三角形其各边的关系是：6０0角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的差; 其面积等于6０0
角两邻边之积的四分之根号三.
可见，特殊角为30度角，45度角，6０度角的三角形其各边确实存在某种内在的关系，其面积也与特殊角的邻边确实存在着某种内在的关系。

要是∠A为1200的角,1３50的角，1５00的角的三角形的情况又将如何呢？其实我们可以用同样的方法去分析论证得出与上面相类似的结论：
如图⑦所示：在三角形ABC中，若∠A＝1200,ａ，b，c分别为∠Ａ，∠B, ∠C的对边,则有:
a2＝ b2＋bc+c2，S
ABC
∆=
3
4
bc。

(即三角形中１２00
角所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的和; 其面
积等于12０0角两邻边之积的四分之根号三）
如图⑧所示:
在三角形ABC中，若∠A=1３50，a，ｂ，c分别为∠A,∠B，∠C的对边，则有：
ABC ∆ =
2
4
bc。

ａ2= ｂ2+2bc＋c2，Ｓ
（即三角形中1350角所对的边的平方等于另两边的平方
的和与另两边的积的2倍的和; 其面积等于1350角两邻边之积的四分之根号二）
如图⑨所示：在三角形ABＣ中,若∠A=１500，a，b，
ｃ分别为∠Ａ，∠B，∠C的对边,则有：
a2＝ｂ2+3bc+c2，S
ABC
∆ =
4
bc
.（即三角形中1500角
所对的边的平方等于另两边的平方的和与另两边的积的3倍
的和; 其面积等于1500角两邻边之积的四分之一）
要是你对上面这些结论有疑问的话，你可以用以上的方法去分析论证一下,看看能不能得出与上面相同的结论,有句话说得好,事实胜于雄辩,理论来源实践，有兴趣的话你不烦试试。