九年级 第9讲 (1)最值与轨迹问题专题

九年级专题突破：轨迹问题考点梳理（1）旋转型轨迹问题这一类动点问题的特点是：所求的点是从动点，是先有其他点在动，然后所求动点才动，而且主动点和从动点会有一个定点作为“旋转中心”，旋转的情形满足下列两种之一：第一种是主动点、从动点和旋转中心三点共线；（运动路径是线段）第二种是主动点与旋转中心的连线和从动点与旋转中心的连线夹角固定，而且两条线段之间的比例不变。

这时，要求从动点的轨迹，只需要求出主动点的轨迹就可以确定运动路径是圆。

因为根据几何画板，他们的轨迹形状相同，长度成比例。

（2）定角对定长这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。

由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。

而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。

如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。

不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。

对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。

所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。

题型分类题型一 运动路径是线段（动点与某条直线的距离始终保持不变） 例1 如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2；P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形APEF 和正方形PBGH ，点O 1和O 2是 两个正方形的中心，连接O 1O 2，设O 1O 2的中点为Q ； 当这点P 从点C 运动到点D 时，则点Q 移动路径的长 是___________．例2 如图，已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．PC变式 如图，正方形ABCD 的边长为2，CD 边上一动点P ，连接BP ，过点P 作PQ ⊥BP ，截取PQ=BP ，当点P 从点C 运动到点D 时，求Q 的轨迹长QDCA BP题型二 运动路径是圆弧（动点到定点的距离等于定长）要点：这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。

几何模型11——隐圆问题在初中数学中利用隐圆解决平面几何问题大致分为三类，第一类是定点加定长构造圆形，第二类是定弦定角，第三类是从动模型之轨迹为圆也就是常说的“瓜豆原理”，在初中数学当中构造定弦定角构造圆形在压轴题当中经常出现，定弦定角构造圆形圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（很多时候一般是找出张角的补角），（补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，求A′C的长的最小值变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为AB中点，点F为AD 边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，求点G运动的路径长（1）直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：例2.如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长变式1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向终点D 运动，同时动点F 从点D 出发向终点C 运动，点E ，F 的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，求线段DP 长的最小值变式2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．P PA BOP变式3.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，求点F 的运动路径长变式4.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）（2）定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A点轨迹是一个圆．∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．例3.如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，E 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且CE ＝AF ，连接AE 、BF 交于点G ，求CG 最小值60°120°O P ABO120°120°P ABP PAB P30°O 60°BAP 90°45°ABO P变式2.如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，求线段PB长度的最小值变式3.边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，求内心I所经过的路径长变式1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．变式2.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；例5.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5D．13-B．29变式1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-4例6.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ ，故Q 点轨迹是个圆： 考虑∠PAQ=60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO ，且可得半径MQ=PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．例7.如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE=2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO=2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案为52-2 变式1.如图，已知在扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120º，C 是在上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 运动的路径长？OPA Q60°MQAPOO AB CD E F O A B C D EF M变式2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．变式3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．。

动点轨迹为圆的线段最值教学目标： 知识与技能：1、探索并掌握此类线段最值问题的解决方法，并形成数学模型。

2、 能灵活运用数学模型解决问题。

过程与方法：经历动点的运动轨迹为圆的线段最值问题的探索-发现-应用的过程，渗透轨迹思想，培养学生归纳总结能力和建模能力。

情感与态度：1、 在课堂讨论中养成与他人合作交流的习惯。

2、 在应用数学模型过程中获得成功的体验，感受数学的魅力，提高学习的信心。

重点：此类线段最值问题的数学模型的应用 难点：1、 数学模型的探索过程。

2、 动点的轨迹怎样找到。

教法设计：直观演示、探索发现、归纳总结、类比应用 学法指导：观察思考、归纳总结、合作交流、类比探究【 】下一页第一环节 旧题新做 引入新知如图，RT△ABC中，AB⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ,求线段CP 长的最小值为( )A.32∠PBC∠PAB 2016-2017年孟州市九年级上册期末考试选择压轴题第二环节 初步认识 感知新知①线段BC 的两个端点，谁是定点，谁是动点。

②动点的运动轨迹是什么。

③线段BC 何时取得最值？【 】下一页（1）如图1，点C 是圆A 上任意一点，点B 为圆A 外一定点，且AB=a ，半径为b ，当动点C 在何处时，线段BC 有最值，最值是多少？并说明理由。

(2)如图2，点B 为圆A 内一定点，其它条件不变，线段BC 的最值又是多少？第三环节 例题教学 应用新知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，将△ABC绕顶点C 顺时针旋转得到△A'B'C,取AC 的中点E,A'B'的中点P ，则在旋转过程中线段EP 的最大值是___.最小值是____.例题2：例题1：确定最值时的位置。

在图形变化过程中，你能找到动点的运动轨迹吗？线段的两个端点，谁是定点，谁是动点？分析：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点(不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP,连接B'A,则B'A长度的最小值是____.B【 】下一页探究规律，形成模型求线段最值时，如何分析？步骤是什么？1.确定动定点。

中考最值问题和路径问题1.（2019武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．2B ．2πC ．23D ．25 2.（黑龙江大庆）如图，在正方形ABCD 中，边长AB ＝1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）A. B ． C ．π D ．2π图2 图4图5 3.（2019黄石）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:3AD AB =，将ABD V 沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF =（ ）3 B. 23 C. 6 D. 324.（2019鄂尔多斯）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，OB ＝2，P 为上任意一点，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，设M 为△OPE 的内心，当点P 从点A 运动到点B 时，则内心M 所经过的路径长为 ．5.（2019贺州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，∠DCA ＝30°，点F 是对角线AC 上的一个动点，连接DF ，以DF 为斜边作∠DFE ＝30°的直角三角形DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点E 的运动路径长是 ．6.（2019连云港）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作OC 与直线G EBD相切，点P是OC上一个动点，连接AP交BD于点T，则APAT的最大值是．6图77.（2019营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D 为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE 取最小值时，AG的长为．图8图9图108.（2019无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为．9.（2019宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．10.（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，8AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且6BM=．P为对角线BD上一点，则PM PN-的最大值为．11.（贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是．图11 图12 图1312．（2019伊春）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一动点，且S △P AB ＝S △PCD ，则PC +PD 的最小值为 ．13．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．14．问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A ＋PC ＝PE问题解决：如图2，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝24．点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是___________15（2019长沙）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD ＋55BD 的最小值是（ ）A ．5 B ．45C ．53 D ．10 图15图16 16（2019南通）．如图，中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边CD 上的一动点，则PD PB 23 的最小值等于 ． 17（2019宿迁）如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．图17 图18图1918．（2019泰安）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．19（2019西藏）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．20.（2019•安徽）一次函数4y kx =+与二次函数2y ax c =+的图象的一个交点坐标为(1,2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点(0A ，)(04)m m <<且垂直于y 轴的直线与二次函数2y ax c =+的图象相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记22W OA BC =+，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值．。

最值问题（探索动点轨迹）辅助圆（隐圆）一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1、如下左图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．例2、如上右图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．A'NMABCDQABCDEFP图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．例1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．BHGAB CDE F GF EDCB A例3、如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．ABCD E FP若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．例1、如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．例2、如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动ABCP路径长的比是_______．四、从动模型之轨迹为圆 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．ABQ按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ 的位置和数量关系．【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？【分析】Q 点满足（1）∠P AQ =45°；（2）AP :AQ：1，故Q 点轨迹是个圆．连接AO ，构造∠OAM =45°且AO :AM：1．M 点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP ∽△AMQ ．即可确定点Q 的轨迹圆．例1、如下左图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．例2、如下右图，△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB C五、轨迹之线段篇 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）OABCDEF例1、如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．例3、如图，在▱ABCD 中，BC ＝6，对角线BD ＝10，tan ∠DBC ＝，点E 是线段BC 上的动点，连接DE ，过点D 作DP ⊥DE ，在射线DP 上取点F ，使得∠DFE ＝∠DBC ，连接CF ，则△DCF 周长的最小值为 ．GA BCDEF【解答】解：过D点作DN⊥BC，交BC于点N，过点F作FM⊥AD，交延长线与点M，作C点关于直线MF的对称点C'，连接CD与MF交点即为F；∵tan∠DBC＝，BD＝10，∴DN＝2，BN＝4，∵BC＝6，∴CN＝2，∴CD＝2，∵CF＝C'F，∴△DCF周长＝CD+DF+CF＝2+DC'，此时周长最小；∵DM∥BC，∴∠DNM＝∠DNB＝90°，∵∠DFE＝∠DBC，∴△BDN≌△DNM（AAS），∴DM＝BN＝4，∴NC＝6，在Rt△DC'N中，C'D＝10，∴△DCF周长的最小值为2+10，故答案为2+10．【【堂堂堂【1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．ABCEFP3、如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．4、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．5、如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．EFCBAP6.在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，），过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：PQ＝1：，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为．【分析】设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性质求出点Q的坐标推出，点Q的运动轨迹是直线y＝﹣x+5，作点A关于直线y＝﹣x+5的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小．【解答】解：设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°，∴∠APM＝∠PQN，∴△AMP∽△PNQ，∴＝＝＝，∴＝＝，∴PN ＝3，NQ ＝（m ﹣1）， ∴Q （m +3，2﹣m ），∴点Q 的运动轨迹是y ＝﹣x +5，作点A 关于直线y ＝﹣x +5的对称点A ′，连接BA ′交直线于Q ′，连接AQ ′，此时△ABQ ′的周长最小． ∵A ′（7，2），B （0，），A （1，0）， ∴A ′B ＝＝2，AB ＝＝2，∴△ABQ 的周长的最小值＝AQ ′+BQ ′+AB ＝A ′Q ′+BQ ′+AB ＝A ′B +AB ＝2+2，故答案为2+2．【巩固练习】1、如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB=5，AC=4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．2、在△ABC 中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B ，则BC 的长的取值范围是________．3、如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．B4、如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为_______．5、如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．PDCA B6、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，△ACB’面积的最大值为__________．7、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．8、如图，点O 为原点，⊙O 的半径为1，点A 的坐标为（2，0），动点B 在⊙O 上，以AB 为边作等边△ABC （顺时针），则线段OC 的最小值为 ．9、如图，AB ＝2，BC ＝4，点A 是⊙B 上任一点，点C 为⊙B 外一点，△ACD 为等边CB A P三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4B．4C．4+8D．610、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F 为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积最小值为_________②点G移动路线的长为___________．补充练习：1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是．2.如下左图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与B C 交于点F，连接B E.则线段B E 在运动过程的最小值为.3.如下右图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段E G，连接D G，则线段D G 长的最小值为．4、如图，正方形ABCD 中AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段D E 绕点D逆时针旋转90°得D F，连接A E，CF，OF．则线段O F 长的最小值5、如图，正方形A BCD 的边长为2 ，O 是B C 边的中点，P 是正方形内一动点，且O P＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．6、如下左图，正方形A BCD 的边长为4，E 为B C 上一点，且B E＝1，F 为A B 边上的一个动点，连接E F ，以E F 为边向右侧作等边△EFG，连接C G，则C G 的最小值为．7、如上中图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．8、如上右图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB为边构造直角△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M 为B C 的中点，则P M 的最小值为．9、如图，矩形A BCD 中，已知A B＝6，BC＝8，点E是边A D 上一点，以C E 为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结B G，当点E在边A D 上运动时，线段B G 长度的最小值是10、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到E C，连接A C、BC，则线段A C 长度的最大值为．。

最值问题（探索动点轨迹）辅助圆（隐圆）一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1、如下左图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．例2、如上右图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．A'NMABCDQABCDEFP图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．例1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．BHGAB CDE F GF EDCB A例3、如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．ABCD E FP若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．例1、如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．例2、如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动ABCP路径长的比是_______．四、从动模型之轨迹为圆 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．ABQ按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ 的位置和数量关系．【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？【分析】Q 点满足（1）∠P AQ =45°；（2）AP :AQ：1，故Q 点轨迹是个圆．连接AO ，构造∠OAM =45°且AO :AM：1．M 点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP ∽△AMQ ．即可确定点Q 的轨迹圆．例1、如下左图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．例2、如下右图，△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB C五、轨迹之线段篇 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）OABCDEF例1、如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．例3、如图，在▱ABCD 中，BC ＝6，对角线BD ＝10，tan ∠DBC ＝，点E 是线段BC 上的动点，连接DE ，过点D 作DP ⊥DE ，在射线DP 上取点F ，使得∠DFE ＝∠DBC ，连接CF ，则△DCF 周长的最小值为 ．GA BCDEF【解答】解：过D点作DN⊥BC，交BC于点N，过点F作FM⊥AD，交延长线与点M，作C点关于直线MF的对称点C'，连接CD与MF交点即为F；∵tan∠DBC＝，BD＝10，∴DN＝2，BN＝4，∵BC＝6，∴CN＝2，∴CD＝2，∵CF＝C'F，∴△DCF周长＝CD+DF+CF＝2+DC'，此时周长最小；∵DM∥BC，∴∠DNM＝∠DNB＝90°，∵∠DFE＝∠DBC，∴△BDN≌△DNM（AAS），∴DM＝BN＝4，∴NC＝6，在Rt△DC'N中，C'D＝10，∴△DCF周长的最小值为2+10，故答案为2+10．【【堂堂堂【1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．ABCEFP3、如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．4、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．5、如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．EFCBAP6.在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，），过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：PQ＝1：，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为．【分析】设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性质求出点Q的坐标推出，点Q的运动轨迹是直线y＝﹣x+5，作点A关于直线y＝﹣x+5的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小．【解答】解：设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°，∴∠APM＝∠PQN，∴△AMP∽△PNQ，∴＝＝＝，∴＝＝，∴PN ＝3，NQ ＝（m ﹣1）， ∴Q （m +3，2﹣m ），∴点Q 的运动轨迹是y ＝﹣x +5，作点A 关于直线y ＝﹣x +5的对称点A ′，连接BA ′交直线于Q ′，连接AQ ′，此时△ABQ ′的周长最小． ∵A ′（7，2），B （0，），A （1，0）， ∴A ′B ＝＝2，AB ＝＝2，∴△ABQ 的周长的最小值＝AQ ′+BQ ′+AB ＝A ′Q ′+BQ ′+AB ＝A ′B +AB ＝2+2，故答案为2+2．【巩固练习】1、如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB=5，AC=4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．2、在△ABC 中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B ，则BC 的长的取值范围是________．3、如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．B4、如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为_______．5、如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．PDCA B6、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，△ACB’面积的最大值为__________．7、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．8、如图，点O 为原点，⊙O 的半径为1，点A 的坐标为（2，0），动点B 在⊙O 上，以AB 为边作等边△ABC （顺时针），则线段OC 的最小值为 ．9、如图，AB ＝2，BC ＝4，点A 是⊙B 上任一点，点C 为⊙B 外一点，△ACD 为等边CB A P三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4B．4C．4+8D．610、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F 为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积最小值为_________②点G移动路线的长为___________．补充练习：1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是．2.如下左图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与B C 交于点F，连接B E.则线段B E 在运动过程的最小值为.3.如下右图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段E G，连接D G，则线段D G 长的最小值为．4、如图，正方形ABCD 中AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段D E 绕点D逆时针旋转90°得D F，连接A E，CF，OF．则线段O F 长的最小值5、如图，正方形A BCD 的边长为2 ，O 是B C 边的中点，P 是正方形内一动点，且O P＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．6、如下左图，正方形A BCD 的边长为4，E 为B C 上一点，且B E＝1，F 为A B 边上的一个动点，连接E F ，以E F 为边向右侧作等边△EFG，连接C G，则C G 的最小值为．7、如上中图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．8、如上右图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB为边构造直角△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M 为B C 的中点，则P M 的最小值为．9、如图，矩形A BCD 中，已知A B＝6，BC＝8，点E是边A D 上一点，以C E 为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结B G，当点E在边A D 上运动时，线段B G 长度的最小值是10、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到E C，连接A C、BC，则线段A C 长度的最大值为．。

最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．⑧到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线．本文讨论一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．该题型常见于中考的大小压轴题中，以最值计算或函数解析式的方式出题。

一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠P AQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．Q【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=45°；（2）AP:AQ1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．【2016武汉中考】如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．【分析】考虑C 、M 、P 共线及M 是CP 中点，可确定M 点轨迹：取AB 中点O ，连接CO 取CO 中点D ，以D 为圆心，DM 为半径作圆D 分别交AC 、BC 于E 、F 两点，则弧EF 即为M 点轨迹．当然，若能理解M 点与P 点轨迹关系，可直接得到M 点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．【2018南通中考】如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．OABCDE F【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO =2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．F考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．【练习】△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB CDE O【分析】考虑到AB 、AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB ，将AC 看成动线段，由此引发正方形BCED 的变化，求得线段AO 的最大值．根据AC =2，可得C 点轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆．OEDCBA接下来题目求AO 的最大值，所以确定O 点轨迹即可，观察△BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点C 的轨迹是以点A 为圆心，2为半径的圆，所以O 点轨迹也是圆，以AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M 即为点O 轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．A'或者直接利用托勒密定理可得最大值．二、轨迹之线段篇引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．Q2AB CQ1【模型总结】 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．A【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O 运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠P AB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B，P点轨迹长ON为B点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP =60°可知：12P P 与y 轴夹角为60°，作OP ⊥12P P ，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =32．【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．GABCDEF根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =，所以CH =52，因此CG 的最小值为52．G 2三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【2016乐山中考】如图，在反比例函数2y x=-的图像上有一个动点A ，连接AO 并延长交图像的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC =BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数ky x=的图像上运动，若tan ∠CAB =2，则k的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ，可得P点轨迹图形与Q，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【练习】如图所示，AB =4，AC =2，以BC 为底边向上构造等腰直角三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD =PD ，则PB 的取值范围为___________．ABCDP【分析】固定AB 不变，AC =2，则C 点轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，以BC 为斜边作等腰直角三角形BCD ，则D 点轨迹是以点M考虑到AP =2AD ，故P 点轨迹是以N 为圆心，即可求出PB 的取值范围．。

❖ 共线类最值问题 ✧ 单动点共线最值1. 如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD+CD 的最小值是（ ）2．如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED,EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A ．52B ．32C ．252+D ．232+3。

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A （5,0)，OB=45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1）,当CP+DP 最短时，点P 的坐标为( )A 。

(0，0） B.（1,21） C 。

（56,53) D.(710，75）4。

如图,已知在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,点M ，E 在AD 上,点F 在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 的和最小时，ME 的长度为( ）A ．4B ．23C ．32D ．32+A ．31B ．94C ．32D ．95✧ 多动点最值1．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为( )A ．3B ．24C ．32D ．342．如图，已知正比例函数y=kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为(0,4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx （k ＞0)的图象上的两个动点,则AM+MP+PN 的最小值为( ） A ．2 B ．4 C ．32 D ．3✧ 动线段类型1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=________时,四边形APQE的周长最小．2．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2,-3)，B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短．翻折衍生的圆弧轨迹问题1。

授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。

Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

专题09 铅锤线段最值及进阶类型一求铅锤线段最值1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）经过A（12，52）和B（4，6）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵15,22Aæöç÷èø、()4,6B在抛物线26y ax bx=++上，∴25116 222 61646ba bìæö=++ïç÷íèøï=++î，解得28 ab=ìí=-î，∴抛物线的解析式为2286y x x =-+．（2）设直线AB 的解析式为：y mx n =+，∵15,22A æöç÷èø、()4,6B 在直线y mx n =+上，∴152246m n m n ì+=ïíï+=î，解得12m n =ìí=î，∴直线AB 的解析式为2y x =+，设动点P 得坐标为(),2t t +，则C 点得坐标为()2,286t t t -+，∴()()2229492286294248PC t t t t t t æö=+--+=-+-=--+ç÷èø，∵20-<，∴当94t =时，当P 点坐标为917,44æöç÷èø，线段PC 有最大且为498．2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；【详解】（1）y =﹣x 2+bx +c 经过点C ，则c =3，将点A 的坐标代入抛物线表达式：y =﹣x 2+bx +3，得：0=-1-b +3，解得：b =2，抛物线的表达式为：y =﹣x 2+2x +3；（2）存在，理由：令y =0，得：﹣x 2+2x +3=0，解得：x =﹣1或3，故点B （3，0），设直线BC 为y =kx +b ，将点B 、C的坐标代入得：303k b b +=ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的表达式为：y =﹣x +3，设点D （x ，﹣x 2+2x +3），则点P （x ，﹣x +3），则PD =（﹣x 2+2x +3）﹣（﹣x +3）=﹣x 2+3x =239()24x --+，当x 32=时，PD 最大值为：94；3．已知抛物线26(0)y ax bx a =++¹交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标．解：（1）Q 抛物线26y ax bx =++经过点(6,0)A ，(1,0)B -，0603666a b a b =-+ì\í=++î，解得1a =-，5b =，\抛物线的解析式为256y x x =-++．225495624y x x x æö=-++=--+ç÷èøQ ，\抛物线的解析式为256y x x =-++，顶点坐标为549,24æöç÷èø．（2）由（1）知，抛物线的解析式为256y x x =-++，(0,6)C \，6OC \=．(6,0)A Q ，6OA \=，OA OC \=，45OAC \Ð=°．PD Q 平行于x 轴，PE 平行于y 轴，90DPE \Ð=°，45PDE DAO Ð=Ð=°，45PED \Ð=°，PDE PED \Ð=Ð，PD PE \=，2PD PE PE \+=，\当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值．设直线AC 的函数关系式为y kx d =+，把(6,0)A ，(0,6)C 代入得066k d d=+ìí=î，解得1k =-，6d =，\直线AC 解析式为6y x =-+．设(,6)(06)E t t t -+<<，则()2,56P t t t -++，22256(6)6(3)9PE t t t t t t \=-++--+=-+=--+．10-<Q ，\当3t =时，PE 最大，此时25612t t -++=，(3,12)P \．【点睛】本题为二次函数综合题，综合性较强，第（1）步根据待定系数法求出函数解析式是解题关键，第（2）步根据函数解析式得到PD=PE ，进而得到当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值时解题关键．类型二 求斜锤线段最值4．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OC OB ==，抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）图象经过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ^于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．解：∵点B 的坐标为()1,0-，∴OB =1，∵4OA OC OB ==，∴OA=OC =4，∴点A 的坐标为（4,0），点C 的坐标为(0,-4),将点A 、B 、C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得164004a b c a b c c ++=ìï-+=íï=-î，解得134a b c =ìï=-íï=-î，∴抛物线的解析式为234y x x =--；(2)解：过点P 作PH 平行于y 轴，交AC 于点H ，∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°，∴∠PHD =∠OCA =45°，设点P （x ，234--x x ），则点H （x ，x -4），∴22sin 434)PD HP PHD x x x x =×Ð=--++=+，∵0<，∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为此时点P（2，-6）．．【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．x2﹣3x﹣8；（3）最大值为【答案】（1）点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）y＝12点P（4，﹣12）【解析】【分析】（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；（2）由（1）可将抛物线的表达式写成交点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．（a，12【详解】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2，∴OA＝OC＝4OB＝8，故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，，解得：a＝12x2﹣3x﹣8；故抛物线的表达式为：y＝12（3）∵直线CA过点C，∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA ＝OC ＝8，∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHD ＝∠OCA ＝45°，设点P （a ，12a 2﹣3a ﹣8），则点H （a ，a ﹣8），∴PD ＝HP sin ∠PHD a ﹣8﹣12a 2+3a +8）＝2+= 24)a -+，∴当a ＝4时，其最大值为P （4，﹣12）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质结合三角函数是解题的关键．类型三 铅锤斜锤转化求面积周长最值6．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （2，0），B （﹣4，0），与y 轴交于C （0，﹣3），连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，求△PDE 周长的最大值及此时点P 的坐标；(1)解：设y ＝a （x ﹣2）（x +4），把C （0，﹣3）代入得：()243a ＝´-´-，∴38a =，∴()()2333243884y x x x x =-+=+-；(2)解：如图，延长PE 交x 轴于点F ，设点233,384P x x x æö+-ç÷èø，△PDE 的周长是l ，∵B （﹣4，0），C （0，﹣3），∴OB =4，OC =3，∵BC ＝5，∴△BOC 的周长是12，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+¹，把B （﹣4，0），C （0，﹣3），代入得：403k b b -+==-ìíî，解得：343k b =-=-ìïíïî，∴直线BC 的解析式是：334y x =--，∴E （x ，﹣34x ﹣3），∴PE ＝（﹣34x ﹣3）﹣（38x 2+34x ﹣3）＝﹣38x 2﹣32x ，∵PD ⊥BC ，∴∠PDE ＝∠BOC ＝90°，∵PE ∥y 轴，∴∠PED ＝∠BEF =∠BCO ，∴△PDE ∽△BOC ，∴12lP E B C=，∴12l ＝233825x x --，∴l ＝﹣910（x +2）2+185，∴当x ＝﹣2时，l 最大＝185，即△PDE 周长的最大值为185，当x ＝﹣2时，y ＝38×（﹣2+4）×（﹣2﹣2）＝﹣3，∴P （﹣2，﹣3）；7．如图1，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()2,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点()0,4C ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作//PD x 轴交BC 于点D ，过点P 作PE BC ^于点E ，当PDE △的周长最大时，求出PDE △的周长最大值及此时点P 的坐标；【详解】（1）∵点()2,0A -、()3,0B 、()0,4C 在抛物线的图像上，∴将点A 、B 、C 的坐标代入得：4209304a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得23234a b c ì=-ïïï=íï=ïïî，∴222433y x x =-++；（2）如图3，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，图3∵//PD x 轴，∴PDE OBC Ð=Ð，∴4tan tan 3OC PDE OBC OB Ð=Ð==，∴4tan 3PE PDE DE Ð==，∵90PED Ð=°，∴45PE PD =，35DE PD =，∴4312555PDE C PD PE DE PD PD PD PD =++=++=V ，又∵90DPE HPE Ð+Ð=°，∴4tan 3PH PDH PD Ð==，34PD PH =，∴95PDE C PH =V ，∴当PH 取最大值时，PDE C V 取最大值，设222(4)33P t t t -++，，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将点B 、C 的坐标代入得：304k b b +=ìí=î，解得434k b ì=-ïíï=î，∴443y x =-+，∴4(4)3H t t -+，，∴2222424(4)23333PH t t t t t =-++--+=-+，∴2233(322PH t =--+，∴当32t =时，PH 取得最大值，最大值为32，∴PDE C V 的最大值93275210=´=，将32t =代入到222(4)33P t t t -++，中，得22274332t t -++=，∴37(22P ，；8．已知，如图，抛物线2y x bx c =++经过点()2,0A -和()0,2B -.（1）求此抛物线和直线AB 的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD AB ^于点D .动点P 在什么位置时，PDE △的面积最大？求出面积的最大值，并求出此时点P 的坐标.【答案】（1）22y x x =+-，2y x =--；（2）PDE △最大面积为14， P 坐标为（-1，-2）．【解析】【分析】（1）把(2,0)A -，(0,2)B -，分别代入抛物线与一次函数解析式，可得答案；（2）先证明PDE △是等腰直角三角形，设点P 的坐标为()2,2m m m +-，表示E 的坐标，求解PE 的长度，再表示PDE △的面积，利用二次函数的性质求解面积最大值及点P 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点(2,0)A -，(0,2)B -，∴4202b c c -+=ìí=-î，解得：12b c =ìí=-î，所求抛物线的解析式为22y x x =+-；设直线AB 的函数表达式为y kx n =+，根据题意得202k n n -+=ìí=-î，解得12k n =-ìí=-î，所求直线AB 的函数表达式为2y x =--；（2）∵(2,0)A -，(0,2)B -，∴2OA OB ==，∴AOB V 是等腰直角三角形，∴45BAO Ð=°，∵PF x ^轴，∴904545AEF PED Ð=°-°=°=Ð，又∵PD AB ^，∴PDE △是等腰直角三角形，222,,PD DE PE PD DE \+==,PD \= ∴PE 越大，PDE △面积越大.设点P 的坐标为()2,2m m m +-，∴点E 坐标为(,2)m m --，∴()222PE m m m =---+-222(1)1(20)m m m m =--=-++-<<，∵10-<，∴抛物线开口向下，∴当1m =-时，PE 有最大值1，此时PDE △的面积为22111222PD DE PD PE ö=·==·÷÷ø 221111444PE ==´=，当1,m =- 则()22112 2.m m +-=+--=-点P 坐标为（-1，-2）.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，同时考查了利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题.类型四 铅锤斜锤综合演练9．如图1，抛物线2()30y ax bx a =++¹与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，过点P 作PE AC ^于点E ，过点E 作EF y ^轴于点F ，求出PD EF +的最大值及此时点P 的坐标；【详解】（1）将(3,0)A -和(1,0)B 两点代入解析式得933030a b a b -+=ìí++=î，解得12a b =-ìí=-î，\抛物线得函数表达式为223y x x =--+；（2）由题意，()0,3C ，则OAC V 为等腰直角三角形，45CAO Ð=°，设AC 得解析式为AC y kx b =+，将(3,0)A -与()0,3C 代入求得11k b =ìí=î，则3AC y x =+，Q 点P 在抛物线上，//PD y 轴交AC 于点D ，\设()2,23P m m m --+，则(),3D m m +，23PD m m =--，其中30m -<<，如图，延长FE 交PD 于点G ，则FG BD ^，且由题可知，PDE △为等腰直角三角形，\由“三线合一”知，21322m m EG PD --==，\E 的横坐标为22322m m m m m ----+=，2222m m m m EF --+\==，()2221515253222228m m PD EF m m m m m æö+æö\+=--+=--=-++ç÷ç÷èøèø故由二次函数的性质可得，当52m =-时，PD EF +最大为258，此时57,24P æö-ç÷èø；10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当0＜PD ＜时，请直接写出点P 横坐标的取值范围．解：（1）∵点B 的坐标为(1，0)，∴OB =1，又∵OA ＝OC ＝4OB ，∴OA ＝OC ＝4，即点A 坐标为（-4，0）；点C 坐标为（0，4）；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过A ，B ，C 三点．∴401640c a b c a b c =ìï++=íï-+=î，解得：134a b c =-ìï=-íï=î,∴抛物线的解析式为234y x x --+＝；（2）∵点A 坐标为（-4，0）点C 坐标为（0，4）∴直线CA 函数表达式为: y =x +4,过点P 作y 轴的平行线交AC 于点Q ,设点P 坐标为2(,34)x x x --+，其中40x -<<，则点Q 坐标为(,4)x x +，∵点P 是直线AC 上方的抛物线上的一个动点，∴22344)()(4P x x Q x x x --+--=+=-，∴2(2)4P x Q -=++，即当x =-2时，P 点坐标为（-2，6），此时PQ 的最大值为4PQ =又∵45CAO OCA Ð=Ð=°，PQ y P 轴，∴45PQD Ð=°，∴PQD △是等腰直角三角形，∴PQ =，又∵0＜PD ＜，∴0＜PQ ＜4，即：2044x x <--<，∴当x =-2时， PQ 的最大值为4PQ =，此时PD =,∴当0＜PD ＜时，P 横坐标的取值范围为：40x -<<且2x ¹-．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出PQ =，并用函数关系表示PQ 是本题解题的关键．11．如图，直线l ：112y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作//PD x 轴交l 于点D ，//PE y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(1)解：∵直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，∴()2,0B 、()0,1C ，∵点B 、C 在抛物线解2y x bx c =++上，∴4201b c c ++=ìí=î，解得：521b c ì=-ïíï=î，∴抛物线的解析式为2512y x x =-+．(2)∵点P 在直线l 下方的抛物线上，设25,12P m m m æö-+ç÷èø，∵//PD x 轴，//PE y 轴，点D ，E 都在直线112y x =-+上，∴1,12E m m æö-+ç÷èø，22525,12D m m m m æö-+-+ç÷èø，∴221511222PE m m m m m æöæö=-+--+=-+ç÷ç÷èøèø，222524PD m m m m m =-+-=-+，∴()22224236PD PE m m m m m m +=-++-+=-+，即：()2236313PD PE m m m +=-+=--+，∴当1m =时，PD PE +的最大值是3．12．如图1，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于()4,0A -，()10B ,两点，交y 轴于点()0,3C(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作х轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD PH +的最大值及此时点P 的坐标；(1)解：∵抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于A (-4，0)，B (1，0)两点，∴可设抛物线解析式为()()41y a x x =+-．∵该抛物线过点C (0，3)，∴将C (0，3)代入()()41y a x x =+-，得：()()30401a =+´-∴34a =-，∴抛物线解析式为()()3414y x x =-+-整理得：239344y x x =--+．(2)解：设经过A 、C 的直线解析式为y kx b =+，∴043k b b=-+ìí=î解得：343k b ì=ïíï=î∴直线AC 的解析式为：334y x =+．∵抛物线解析式为239344y x x =--+，∴对称轴9423324b x a =-=-=---．设点239344P a a a æö--+ç÷èø，，点334H a a æö+ç÷èø，，则2393344D a a a æö----+ç÷èø，．∴[]2393()()(3)(33)444D P P H PD PH x x y y a a a a a +=-+-=---+--+--，即2233101653(4433PD PH a a a +=---=-++∴当103a =-时，PD PH +有最大值为163．将103a =-代入239344a a --+，得：231091013()(343436-´--´-+=．∴此时点101336P æö-ç÷èø，．13．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10，此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BC 与OP ，交于点D ，求当PD OD的值最大时点P 的坐标；解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）分别代入y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）中得：309330a b a b -+=ì\í++=î， 解得：12a b =-ìí=î∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）如图1，作PG ⊥x 轴于点H ，交BC 于点G ，∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，∴C （0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋3，则3k ＋3＝0，解得k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x ＋3；设点P（m，－m2＋2m＋3），则点G（m，－m+3），∴PG = －m2＋2m＋3－（－m+3）= －m2＋3m∵PG//OC，∴△PDG∽△ODC，∴2239()32433mPD PG m mOD OC--+-+===当32m=时，PDOD有最大值，∴点P（315 ,24）．。

最值问题（探索动点轨迹）辅助圆（隐圆）一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1、如下左图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．例2、如上右图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．A'NMABCDQABCDEFP图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．例1、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．BHGAB CDE F GF EDCB A例3、如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．ABCD E FP若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．例1、如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．例2、如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动ABCP路径长的比是_______．四、从动模型之轨迹为圆 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．ABQ按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠P AQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠P AQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ 的位置和数量关系．【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？【分析】Q 点满足（1）∠P AQ =45°；（2）AP :AQ：1，故Q 点轨迹是个圆．连接AO ，构造∠OAM =45°且AO :AM：1．M 点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP ∽△AMQ ．即可确定点Q 的轨迹圆．例1、如下左图，正方形ABCD中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．例2、如下右图，△ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．AB C五、轨迹之线段篇 必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）． 结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）OABCDEF例1、如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．例3、如图，在▱ABCD 中，BC ＝6，对角线BD ＝10，tan ∠DBC ＝，点E 是线段BC 上的动点，连接DE ，过点D 作DP ⊥DE ，在射线DP 上取点F ，使得∠DFE ＝∠DBC ，连接CF ，则△DCF 周长的最小值为 ．GA BCDEF【解答】解：过D点作DN⊥BC，交BC于点N，过点F作FM⊥AD，交延长线与点M，作C点关于直线MF的对称点C'，连接CD与MF交点即为F；∵tan∠DBC＝，BD＝10，∴DN＝2，BN＝4，∵BC＝6，∴CN＝2，∴CD＝2，∵CF＝C'F，∴△DCF周长＝CD+DF+CF＝2+DC'，此时周长最小；∵DM∥BC，∴∠DNM＝∠DNB＝90°，∵∠DFE＝∠DBC，∴△BDN≌△DNM（AAS），∴DM＝BN＝4，∴NC＝6，在Rt△DC'N中，C'D＝10，∴△DCF周长的最小值为2+10，故答案为2+10．【【堂堂堂【1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．ABCEFP3、如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．4、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC=P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．5、如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥P A ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________．EFCBAP6.在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，），过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：PQ＝1：，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为．【分析】设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性质求出点Q的坐标推出，点Q的运动轨迹是直线y＝﹣x+5，作点A关于直线y＝﹣x+5的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小．【解答】解：设P（m，）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°，∴∠APM＝∠PQN，∴△AMP∽△PNQ，∴＝＝＝，∴＝＝，∴PN ＝3，NQ ＝（m ﹣1）， ∴Q （m +3，2﹣m ），∴点Q 的运动轨迹是y ＝﹣x +5，作点A 关于直线y ＝﹣x +5的对称点A ′，连接BA ′交直线于Q ′，连接AQ ′，此时△ABQ ′的周长最小． ∵A ′（7，2），B （0，），A （1，0）， ∴A ′B ＝＝2，AB ＝＝2，∴△ABQ 的周长的最小值＝AQ ′+BQ ′+AB ＝A ′Q ′+BQ ′+AB ＝A ′B +AB ＝2+2，故答案为2+2．【巩固练习】1、如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB=5，AC=4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．2、在△ABC 中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B ，则BC 的长的取值范围是________．3、如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．B4、如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，OP的最小值为_______．5、如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．PDCA B6、如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，△ACB’面积的最大值为__________．7、如图，边长为5的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．8、如图，点O 为原点，⊙O 的半径为1，点A 的坐标为（2，0），动点B 在⊙O 上，以AB 为边作等边△ABC （顺时针），则线段OC 的最小值为 ．9、如图，AB ＝2，BC ＝4，点A 是⊙B 上任一点，点C 为⊙B 外一点，△ACD 为等边CB A P三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4B．4C．4+8D．610、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F 为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积最小值为_________②点G移动路线的长为___________．补充练习：1.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是．2.如下左图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与B C 交于点F，连接B E.则线段B E 在运动过程的最小值为.3.如下右图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段E G，连接D G，则线段D G 长的最小值为．4、如图，正方形ABCD 中AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段D E 绕点D逆时针旋转90°得D F，连接A E，CF，OF．则线段O F 长的最小值5、如图，正方形A BCD 的边长为2 ，O 是B C 边的中点，P 是正方形内一动点，且O P＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．6、如下左图，正方形A BCD 的边长为4，E 为B C 上一点，且B E＝1，F 为A B 边上的一个动点，连接E F ，以E F 为边向右侧作等边△EFG，连接C G，则C G 的最小值为．7、如上中图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．8、如上右图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB为边构造直角△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M 为B C 的中点，则P M 的最小值为．9、如图，矩形A BCD 中，已知A B＝6，BC＝8，点E是边A D 上一点，以C E 为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结B G，当点E在边A D 上运动时，线段B G 长度的最小值是10、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到E C，连接A C、BC，则线段A C 长度的最大值为．。

立体几何中的轨迹与最值问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。

对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。

对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。

其一般方法有：1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值。

一、轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC .则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD .设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。

由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC .又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。

B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC 。

评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。

不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。

中考复习专题最值问题---轨迹法在中考复习中，分析动点轨迹求最值，首先要确定动点运行的轨迹，可以先选择一些特殊点进行尝试、观察规律；然后猜想验证、确定轨迹。

初中常用的基本轨迹有：（一）直线形1.两定点+等距⇒垂直平分线2.两定线+等距⇒角平分线（二）圆弧形1.一定点+定长⇒圆2.一定线+定角⇒弧下面结合具体的中考题，利用轨迹法解决最值问题进行分析：【翻折问题】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一动点（不与A、B重合），将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN，连接A1C，画出点N从A到B 的过程中A1的运动轨迹，A1C的最小值为．【分析】在这个问题中，落点A1满足A1M＝AM，A1的轨迹是以M为圆心，以MA为半径的弧。

先连接CM，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，根据折叠可知点N从A 到B的过程中，A1的运动轨迹为以M为圆心，MA为半径的半圆，再根据勾股定理求得CM 的长，最后根据A1C+A1M≥CM，可得A1C≥CM﹣A1M＝﹣1，进而得出A1C的最小值．【解答】解：如图，连接CM，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，由折叠可得，若点N与点B重合，则点A1与点D重合，故点N从A到B的过程中，A1的运动轨迹为以M为圆心，MA为半径的半圆，由翻折的性质可得：A1M＝AM，∵M是AD边的中点，四边形ABCD为菱形，边长为2，∴AM＝A1M＝1，∵∠A＝60°，四边形ABCD为菱形，∴∠HDM＝60°，∵在Rt△MHD中，DH＝DM•cos∠HDM＝，MH＝DM•sin∠HDM＝，∴CH＝CD+DH＝2+＝，∴在Rt△CHM中，CM＝＝，∵A1C+A1M≥CM，∴A1C≥CM﹣A1M＝﹣1，即当点A1在线段CM上时，A1C的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．同类问题：1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．【定弦定角】如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若AD ＝2，线段CP的最小值是______．【分析】先证得点P在运动中保持∠APD＝90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．【解答】解：如图：在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE≌∠CDF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝，∴CP＝QC﹣QP＝．故答案为﹣1．总结：解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．同类问题：1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5B．﹣1C．2﹣D．【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出则∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA＝BC＝2，OB＝，根据三角形三边的关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．2.在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，线段AP的最小值和最大值分别是多少？【分析】由于∠BPC＝90°，所以点P在以BC为直径的圆O上．以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点，则AP1最小，AP2最大．【解答】解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP1最小，AP2最大．∵AP1•AP2＝AC2，AC＝2，P1P2＝2，∴AP1（AP1+2）＝4，解得AP1＝﹣1±（负值舍去），∴AP2＝﹣1++2＝1+．故线段AP的最小值和最大值分别是﹣1+和1+．3.如图，△ABC中．∠C＝90°，点D是边BC上一个动点（点D不与点C重合）．以CD为直径的圆交AD于点P．若AC＝6．线段BP长度的最小值是2．则AB的长为（）A．8B．2C．4D．2【分析】利用圆周角定理得到∠CPD＝90°，则可判断点P在以AC为直径的⊙O上，如图，连接OB交⊙O于P′，利用点与圆的位置关系得到BP′＝2，再利用勾股定理计算出BC，然后在Rt△ABC中利用勾股定理可计算出AB．【解答】解：∵CD为直径，∴∠CPD＝90°，∵∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，如图，连接OB交⊙O于P′，∵线段BP长度的最小值是2，∴BP′＝2，∴OB＝2+3＝5，在Rt△OBC中，BC＝＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝2．故选：D．【手拉手模型】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，点P为△ABC外一点，CP＝，BP＝3，AP的最大值是（）A．+3B．4C．5D．3【分析】以CP为边作等腰直角△ECP，∠ECP＝90°，由题意可证△ACP≌△BCE，可得AP＝BE，根据三角形的三边关系可求BE的最大值，即可得AP的最大值．【解答】解：如图：以CP为边作等腰直角△ECP，∠ECP＝90°∵△ECP是等腰直角三角形，∠ECP＝90°∴EC＝CP＝，在Rt△ECP中，EP＝＝2∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACB＝∠ECP＝90°∴∠ACP＝∠ECB，且AC＝BC，EC＝CP∴△ACP≌△BCE（SAS）∴AP＝BE若点E，点P，点B不共线时，BE＜EP+BP；若点E，点P，点B共线时，BE＝EP+BP；∴BE≤EP+PB＝2+3＝5∴BE的最大值为5即AP的最大值为5．总结：解决本题的关键是根据手拉手模型，把AP转化为BE，从而把问题转化三角形的三边关系问题．【瓜豆原理】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AB上，AD＝2，点E是BC上一点，连结DE，将DE绕点D逆时针旋转60°得DF，连结CF，则CF的最小值为（）A．2B．C．2D．6﹣3【分析】把△CDB绕点D逆时针旋转60°，得到△C′DB′，过点C作CF′⊥B′C′时，此时的CF′就是CF最小值的情况．因为等边△CBA底边AB上的高（点C到AB的距离）为3，根据∴，解得CF′值就是最小值．【解答】解：把△CDB绕点D逆时针旋转60°，得到△C′DB′，∵∠B＝∠BDB′＝60°，所以B′在BC上，BB′＝BD＝4．∵∠C′B′D＝60°，∴∠CB′C′＝60°，∴B′C′∥AB．过点C作CF′⊥B′C′时，此时的CF′就是CF最小值的情况．∵等边△CBA底边AB上的高（点C到AB的距离）为3，∴，解得CF′＝．即CF最小值为．总结：另外这个问题，也可以通过取几个特殊点，观察F的轨迹，实际上是一条线段，然后从定点C到直线的最短距离就是从C点向B′C′作垂线段。

第九讲几何最值及路径长预习1.如图，A，B为定点，P为直线l上一点，若点P恰好使AP+BP最短，请画出点P的位置．提示：①分析定点（A，B），动点（P在直线l上动），不变特征②以l为对称轴利用轴对称进行转化③由“两点之间，线段最短”确定位置2.如图，A，B为定点，MN为直线l上一可以移动的线段，且MN长度固定，若点M恰好使AM+MN+BN最短，请画出点M的位置．提示：①分析定点（A，B），动点（M，N在l上动，且MN长度固定），不变特征②先平移BN，使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1③以l为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置3.如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是_________．提示：①分析定点（P），动点（E在OA上动，F在OB上动），不变特征②分别以OA，OB为对称轴，将P对称过去，得到P1，P2③连接P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解P到EF的距离．知识点1.几何最值问题的处理思路①分析定点、动点，寻找不变特征；POABEll②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．基本定理：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例：①轴对称最值模型ll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，使点在线异侧使点在线同侧l固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为+解决．AM MB'②折叠求最值结构ANMA'B C求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）．2. 解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征； ②确定运动路径；通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证． ③设计方案，求出路径长．典型题型1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，)，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA +PC 的最小值为___________．QP ED C B A2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点．若P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ =2，则当BP =___________时，四边形APQE 的周长最小．3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3．P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则B′A 长度的最小值是_____．B'PCB AA'DCBN MAB A DC第4题图 第5题图4. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．5. 如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A ′处，折痕所在直线同时经过边AB ，AD （包括端点），设BA ′=x ，则x 的取值范围是_______．6. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE ，OF分别交射线AB ，BC 于E ，F ，连接EF ，则EF 长度的最小值为_______．7. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______． 8. 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC ，EF 的中点，直线AG ，FC相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是__________．9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，BC的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为___________．G第9题图 第10题图10. 如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA =x ，PB =y ，则(x -y )的最大值是__________．11. 如图，边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A ′BCD ′．设A ′C ，BD ′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为_______．OO'D'A'DCBANA12.如图，木棒AB的长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿NO向下滑动到A'，B端也随之沿直线OM向右滑动到B'，若AA'=a，则木棒的中点P随之运动的路径长为________________．13.已知等边三角形ABC的边长为4，点D是边BC的中点，点E在线段BA上由点B向点A运动，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边三角形DEF．设△DEF的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程中，点O运动的路径长为________．14.如图，点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____________．几何最值及路径长（随堂测试）A．6 B．8 C．10 D．123. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(2，0)，∠COA =60°，点D 是线段AB 上一动点，过点B 作BN ⊥CD 于点N ，当点D 从点A 运动到点B 的过程中，点N 运动的路径长为（ ）几何最值及路径长（习题）例题示范例1：如图，在矩形ABCD 中，AB =12，AD =3，E ，F 分别为AB ，CD 上的两个动点，则AF +FE +EC 的最小值为________．E F D CBA例2：如图，已知AB =10，点C ，D 在线段AB 上，且AC =BD =2．P 是线段CD 上的一动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ．当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为___________．巩固练习1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）2.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____．3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是_________．PBOAQB A第3题图第4题图4.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为_________．5.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是_______．6.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为_______________．B C A'AD Q P B CA D7. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =2，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上．当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离 为_________．8. 如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接P A ，PB .则△P AB 面积的最大值是__________．9. 如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM ，过M 作EM 的垂线交射线BC 于点F ，连接EF ．若P 是MF 的中点，则在点E 运动的过程中，点P 运动的路径长为_________．E10. 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段EF 的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E 从点A 出发，按A →B →C →D →A 的方向滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，按B →C →D →A →B 的方向滑动到点B 为止，则在这个过程中，线段EF 的中点M 经过的路径所围成的图形面积为_________．11.如图，以G(0，1)为圆心，2为半径的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为_________．。

轨迹问题的解题策略对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略．一、运动路径是线段例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．解析此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP＋BP＝6．另外，题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形．解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQ⊥AB，垂足为Q．又根据△APE和△PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分别为M，N（如图2）．此时容易得到EM AP ，FN BP ，所以EM ＋FN ＝（AP ＋BP ） ＝再根据梯形中位线的性质，可得到CQ ＝12（EM ＋FN ）＝2． 因此得到点G 到直线AB 的距离始终保持不变，从而得证点G 的运动轨迹是一条线段．而此时就点G 的运动路径长，便可转化为求点Q 的运动路径长，这时只要分别求出点P 在C 点和D 点时AQ 的长度即可．当点P 在点C 时（如图3），MQ 1＝12MN ＝32，所以AQ 1＝AM ＋MQ 1＝12＋32＝2．当点P 在点D 时（如图4），MQ 2＝12MN ＝32，所以AQ 2＝AM ＋MQ 2＝5322 ＝4．所以点G 运动的路径长为4－2＝2．事实上，点G 在运动过程中，MQ 的长度也是始终保持不变，因此G 的运动路径长度就是M 点的运动路径长度，而整个运动过程中M 点是从AC 的中点运动到AD 的中点，即M 1M 2(如图5)．笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解．此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的．二、运动路径是圆弧例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析 (1)、(2)略．(3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧．下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点．当点P在O点时，点H在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MN⊥OE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1（如图8）．因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE＝45°，所以∠H1OC＝45°．因为C，D，H1，M四点共圆，所以∠CFH1＝90°．又因为FC＝OM＝2，所以弧CH1的长为：902180π•=，所以点H所经过的路径长为．以上两个例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变，还是到定点的距离保持不变．沿着这个思路走下去，便能找到变化过程中不变的量，从而找到解题的突破口．。