07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答

第十一章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它=m++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t t C.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分=2222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是 L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P , A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-,2L dx y x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Ly x dyy x dx y x 22)()( A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。

曲线曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds yx 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+lsd y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds zy x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=所以dy y y y xyds l2221..21+=⎰⎰（令t y tan =） tdtt 332arctan 0sec .tan21⎰= ()t td t sec sec .tan21222arctan 0⎰=()()t td t sec sec .1sec21222arctan 0-=⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=315153155121sec 31sec 5121352arctan35|t t.15135515255315521+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=（ⅱ）解：()⎰+l ds yx 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx xds y xOA;，其中：.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y其中：.10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.22212222==++=+⎰⎰⎰dy y dy yds y xBO，其中：.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO所以.3535+=++=⎰⎰⎰OAABOBI（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt at a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+π()dt t a⎰+=π202cos 124dt t a⎰=π20222sin2.24dt t a⎰=π2022sin2.22cos 22sin2202202|a t a t d t a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l 则()().22,s i n .c o s s i n,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l ()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b aba[].433222222b a b a++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by ax l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lydsds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l ()()()().cos sincos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=所以dt t b t a t b yds M l 222220cos sinsin 441+==⎰⎰π()dt t b a a t b 222220cos sin 4--=⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰duu ba aba b ⎰---=22222224π（公式）|102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u ba au ba au ba ab a b ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=21arcsin .2.42222222222ba aab a b a a b a b.arcsin..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b ab a ba ab 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L dsP f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1故()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1()ini id s P f ∆=∑=→.lim1()ini id sP f ∆≤∑=→.lim1()ini lp d sP f ∆≤∑=∈→.m a x lim1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分.⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧；（3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解： （1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dxx x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x x x x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂xdxx x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy其中，.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.1=-=-⎰⎰dxx ydx xdy OB其中，.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.12=-=-⎰⎰dyy ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a xa y ；（2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解： （1）.~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a.（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dxx xdy ydxaal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a.6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+lyx dyy x dxy x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+lyx dyy x dxy x 22()()()()dtat a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt aa7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()dy xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()dy y x dx yx l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx zy l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l()()dy xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x xxx x⎰--+-=1124222..2.2[].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dyyx dx y xL2222-++⎰()()dyyx dx y xOA2222-++=⎰()()dyyx dx y xAB2222-+++⎰其中 .1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==故()()()()[]d x xxxxdy yx dx y xOA⎰⎰-++=-++1022222222.32322|10312===⎰x dx x ;其中.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=故()()()()()()()[]d x x xx xdy yx dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x所以原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdydx zy l ⎰-+-2222()[]d t t t t t ttt⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|1571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dttt8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()).max ...P L d P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f =由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f rd P f 121..lim.故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f d P f 121..lim.()()[]∑=→∆+∆≤ni i i iid y P f xP f 121..lim()()()()2212221.limi i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.limi ini id y x P ∆+∆=∑=→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li ini d ds P y x P .max .max lim221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22yx z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=2z zx y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此d x d yyx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122bbra a ra a r d r d πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:yx z +=∑，得,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂，所以，,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=.因此().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22ya x -=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d zya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此d y d zya a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=22228ya a dz ya a dy .882a a d z a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()dS y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++= 其中,0:1=z S dxdy dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++110222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111|()212ln 211ln 2111|1010-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x dx x ；,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=102102111211()2ln 11ln 12||110-=+-+-=y y；,0:3=y Sd z d x dS =3，()()()dzx dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x；,1:4y x z S --= d x d ydS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-1011021113113|().212ln 33211ln 321113|110⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x；所以()⎰⎰++Sy x dS21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a yx S =+其向yoz面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d z ya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此()()d y d zya a yya dS y xyzD S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz ya dy a22312..2arcsin433|h a ayh a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰所以()⎰⎰++Sy x dS21()++=⎰⎰122S dSyx()++⎰⎰222S yx()dSy xS ⎰⎰+322().22223344h a ah a a a+=++=ππππ （ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dSx SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则 222cb a cz by ax u ++++=（1）（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u （2） （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）由（2）式可得： ()22221u w v -=+ （3）当u 固定时，（3）式其实就表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -='于是，;112222uw v u E u u u-='+'+'=;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv = （4）故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du cb a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量. 解：由公式 ()dSy xJ S⎰⎰+=22由对称性()dSy x J S ⎰⎰+=1228其中2221:yx a z S--=，则2z z x y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此()d x d yy x a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88 r d r ra rd a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d r r a aara a.4022222⎰-+-=πr d r r a a a.4022⎰--=πr d rra aa.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12ra d ra a a---⎰π()|232232.2araa -=π|2232.2ara a --π434aπ-=44aπ+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z yx S的下侧，求曲面积分S d r S.⎰⎰，其中{}.,,z y x r =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzS d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222yx y yx x z z n y x，所以{}.c o s ,c o s ,c o s21,2,22222γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==yx yyx x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzSd r . ()⎰⎰++=SdSz y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=SdSz yx y yx x222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=SdS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .0222222214（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz by ax 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:by ax c z S --=（上侧）；222221:by ax c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by ax D xy故dxdyby ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D所以=⎰⎰1S zdxdy drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d cab ⎰⎰-=πθ201211dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211所以，().212111|12212πππcab rcabrd rcab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰（1）同理 dxdy by ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰----=2222112.2112222πcab dxdy by ax c xyD =--=⎰⎰（2）所以=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰1S zdxdy .42πcab zdxdy S =⎰⎰（3）由轮换对称性，知：πa bc x dzdy S4=⎰⎰；.4πbac ydzdx S=⎰⎰故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz +=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰Sxdzdy ⎰⎰Sydzdx+=πc ab4πabc4().44222222ac c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故()()dxdy b y a x R c dxdy zxyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换：⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o sθθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d r rR c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()drr rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R rR c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=0222222ππ()rdr r RR⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cRRc πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221[]rdr rR c D 222⎰⎰'---=()dr r rR c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr rR c R2222⎰---=π()r dr r R rR c c R⎰-+---=02222222πrdr r R c rdr cR R⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r RR⎰--0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cRRc πππ-+-=（2）所以=⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cRdxdy z S π=⎰⎰； （3）由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aRπ；=⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x⎰⎰=Sdydzx2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdyz2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy+⎰⎰1S xyzdxdy⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy⎰⎰-xyD dxdyxy 0.c b a yd y x d x c ab.422⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12222b ya x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI xxL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos xxP Q e y m e y yx∂∂=-=∂∂.所以，由格林公式：221...428A OO A D DQ P a dxdy m dxdy m m a x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰（因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx xl故有xQ yP ∂∂=∂∂即()()x f x x f x '+=34 化简，得()()241xx f xx f =+' （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214[]()cdx xx c e x e x x +=+=⎰⎰-3ln 2ln 414().1134xcx c xx+=+=（2）代入条件()21=f ，得 .1=c故().13x x x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记 2222yu xuu ∂∂+∂∂=∆证明：⎰⎰⎰∆=∂∂Dludxdy ds nu其中()()y n yu x n xu nu ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 故()()y x n ,c o s ,c o s τ=，()().,cos ,cos x y n τ-=()()ds x y u y xu ds nul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yu dy xul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u y x u x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰Ddxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds nu ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yu udy xu ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y ux u u dxdy y u x u DD⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222udxdyu dxdy y u x u DD∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22移项，即得 .22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： dsvun v n udxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明：我们有 ()()ds x y u y xu v ds nu vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yu vdy xu vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDdxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.. ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDudxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 dsnv ul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDvdxdy u dxdy y v y u x v x u （2）于是ds n v u n uv ds vun v n ul l⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰DDudxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u ..()⎰⎰∆-∆=Ddxdyv u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I ⎰=,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，r 为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 又设()(){}y n x n n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x r --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 2200b y a x y n b y x n a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]ds y n b y x n a x b y a x b a I l ,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]ds x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰()()()().22⎰-+----=l b y a x dx b y dya x记 ()()(),,22b y a x by y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y yP -+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xo y 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD . 则在'εD 由格林公式可得：)()()()⎰-+----lb y a x dxb y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dya x I 22()()⎰---=εεl dxb y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y yx zx yz z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=n ,.31,33,33⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ） ()()()dSdxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdydz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x yP ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos22()dyy x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dyy xx y dx x x yx⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2[]||0222c o s c o s yx yx x y x++=()[]2222c o s c o s xy x x yx -++=.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y ex z xef yy--=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xez y x P yy-=-==--。

2007年爲务紅兮菴赛培训班线面积分练习题参考解答2006.5.13一•填空题（每小题3分，共15分）1 •设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2+ 3x 2+ 4y 2心=巾 2xy 2ds + 血（3x 2+ 4y 2）dy =0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2•设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS =JA /3 ・L解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41SJI 2As = 1 2Q •<4加iX+ M +》|)dS 二胡 dS二制x 2+(y+l)2<2Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再・1・1 =扌屁%丫2 + / + 2 二 R 23 •密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十〜—K 对于兀轴的转动惯量x+尹十z=04 =細）尿・解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣=扌“（）兀7?'・4 •设厶：宀（卩+ 1）2二2xdy-ydx x 2十尹2 +2尹十3-7T5.设X:z = -y]l-x 2-y 2,贝!j / = jj x 2dydz + cos ydzdx + zdxdy =3 71解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2dxdy =i^-评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有0, 若伪x的偶函数，⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数.L刀半③也可利用轮换对称性。

二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内）1 •设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于(A)l・(B) 0・(C) 21. (D)|.(::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀• F dx = 0 + * = £ 2.设S:x2+/+z2=l 解:(沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有(A) 口xdS = 4JJ xdS ・(B) jj ydS = 4 jj xdS ・S S] S S](C) JJ zdS = 4jj xdS ・(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ・答：(C )S S\ S S\解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对•事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上S S|的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS・S S] S]3•设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A） x2dS,^j* x2dvdz ・（B）前xdS,曲Xdpdz ・E2•外z（C）前xdS,曲xdydz ・（D）前xydS,前ydzdx・答：（B ）解：因为2'关于x = 0 （即yOz 平面）对称，x 和卩是x 的奇函数，而F 是x 的xydS = 09 x 2dS = 2[Jf x 2dS =；£ 乞半而第二类曲面积分xdydz = 2 xdydz = 2 jj yjR 2-y 2-z 2dydz =,/ 第 y 2+z 2<R 2有前 ydzdx = 2 前 ydzdx -4•设曲线厶:/（x,^） = l （/（x,y ）具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和 第IV 象限的点N,厂为厶上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分少于零的是(A) J 厂/Cr,y)d¥ ・(C) J 厂/(x 』)d5・(B) \r f(x,y)Ay ・(D) J 厂./；(s)dr + /：(x 』)dp ・ 答：(B)解：J 厂/(x,，)& = ]*厂& = J dx 〉0,不选(A)；J./(兀J )dy =(厂dp = J dx<0,选(B)； J 厂 f(x,y)d5 = J 厂ch > 0,不选(C)；J 厂 /：(x ，y)^ + f ；(x, y)dy = J 厂 df(x,y) = J ： df(x 9 y) = = 1-1 =0, 不选(D)・5 •设 Z :z = x 2+ y 2(z < 1), D xv :x 2+ y 2< \ ,则 jj zdydz 可化为二重积分 (B) jj(x 2+y 2) (-2x)dxdy ・%，偶函数，故第一类曲面积分皿(A) || (x 2+ 尸)• 2xdxdy ・(C) ^(x 2+y 2)-2ydxdy.5(D) jj(x 2+y 2)-(Lrdy.因为⑪血二cosodS二空陞dx® （—般地有业二气 =3屯），而“cosy " cos a cos p cosy 解：X:z = x2 +y2 (z < 1)的外侧即下侧，故dydz = -z^dxdy = -2xdxdy 9所以JJ zdydz = -jj (x2 +y2)- (-2x)dxdy = JJ (x2 + 才)• 2xdxdy ・三. （本题 6 分）计算/ = [jj/ -z 2）dx + （2z 2 -x 2）dj ； + （3x 2 -y 2）dz ,其中厶是平 面x + y + z = 2与柱面|x| + |y| = l 的交线，从z 轴正向看去，厶为逆时针方向.解：设》为平面x + j ； + z = 2上由厶所围成部分的上侧，久是》在xQy 面上的投影域，则》的法向量的方向余弦为COSQ 二COS0二cosy 二洽, D xy : |x| +1_y| < 1, 27 的曲面面积元素dS = y/3dxdy.由 Stokes 公式，得 左/ (y 2- z? )dx + (2z 2- x 2)dy + (3x 2- y 2)dz£ ds 二 + J](-8x -4y-6z)dSz V 3三学口 (4x + 2p + 3z)dS 二乎JJ (兀一尹 + 6)>/3dxdj ； "3 z "3 J =-2 0 + 0 + j]6drdy =-12-(A /2)2 =-24. 另解：将其化为平面曲线积分.记厶在面上的投影曲线为C,则C:x + y=l,取逆时针方向，C 所域记为2*•因为z-2-x-y , dz = -dx-dy ,故原积分可化为见[一4兀$ + 牡 + 4尹 一 2xy + j/2]dx + [-2x 2 -Sx-Sy- +4.ry + 3j^2 ]dy恪林公式=Jj(-2x + 2j/-12)cLrdy = 0 + 0-12jjdxdy = -24. S ・ D巧四. （本题6分）求密度为“°的均匀半球壳Z:z = ylR 2-x 2-y 2对于z 轴的转动 惯量.2 2y-zd_2Z 2-X 2I=\^[y 2-(2-x-y)2]dx + [2(2-x-y)2-x 2]iy- (3x 2- y 2)dx - (3x 2- y 2)dy解：/严口（工+尸）角辽二“。

浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。

2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点，E为D B '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy π+-=，（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=BDB 'Ex令0x=，解得在坐标面yo z上的曲线方程为：22282zyπ-=，图中所求的旋转体的体积为：24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解：222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明：0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。

第四章：曲线积分与曲面积分习题一、填空题1、设L 为单位圆周x 2+y 2=1在第一象限的部分，则曲线积分 xyds L = 12 。

3、已知P x,y =x 2+y 2,要使得 Pdx +Qdy L 与积分路径无关，则Q(x,y)=2xy 。

4、设P x,y 与Q(x,y)在平面单连通区域G 内具有连续一阶偏导数，则P x,y dx +Q(x,y)dy 在G 内为某个函数的全微分的充要条件是∂P∂y =∂Q ∂x。

6、设L:x 2+y 2=R 2，方向为逆时针方向，利用格林公式计算 （−x 2y ）dx L +xy 2dy = 12πR 4。

7、平面单连通区域G 内曲线积分 Pdx +Qdy L 与路径无关的一个充要条件是∂P ∂y =∂Q ∂x。

8、设L 是抛物线y =x 2从(0,0)到(2,4)的一段弧，则对坐标的曲面积 (x 2− y 2L )dx = −5615 。

9、设其中曲线C 为x 2+y 2=1沿正向，则曲线积分 xdy −ydx x +y C=2π。

10、设向量场F x,y,z =xy 2i +x 2yj −x 2+y 2k ,则散度div F = x 2+y 2。

二、计算题;11、计算曲线积分 xds L ，其中L 为 y =x 2−1上介于x=0与x=1之间的一段弧。

解： xds L = x 1+4x 210dx =5 5−112。

12、 （x +y +z ）ds Γ ，其中Γ:x =2cost,y =2sint ,z =t ,t ∈[0,π] 。

解： （x +y +z ）ds Γ= 2cost +2sint +t 5dt =52π0(8+π2)13、已知Σ是z =x 2+y 2上z ≤1的部分曲面，计算 1+4z ΣdS 。

解： 1+4z ΣdS = (1+4x 2+4y 2)Ddxdy =3π 14、证明：沿任何分段光滑的闭曲线L ，有 cosy +ycosx L )dx + sinx −xsiny dy =0 证明：因为P(x,y)=cosy +ycosx , Q(x,y)= sinx −xsiny , 所以有∂P∂y =∂Q ∂x，故得证。

2007浙江省第六届数学分析竞赛试题一．计算题 1. 求951x dx x +⎰.解：原式()55215x d x =+⎰()232211553t dt t t C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰. 2. 求()()1120112limsin xxx x x x→+-+.解：令()()11xf x x =+，则原式()()002lim limsin x x f x f x xx x→→-=()()()0lim 22x f x f x →''=-()()()()()()00002lim lim 2lim 2lim 2x x x x f x f x f x f x f x f x →→→→''=-()()()()002lim 2lim 2x x f x f x e e f x f x →→''=-()()limx f x e f x →'=-()()2001ln 11lim lim 1x x x x x e x x →→-++=-+()0ln 1lim22x x ee x →-+=-=.3. 求p 的值，使()()220070bx p ax p edx ++=⎰.解：情形一，当a b =时，p 的值可以任意取；情形二，当a b ≠时，做变换t x p =+，则 原式左边22007b pt a pt e dt ++=⎰，因为被积函数是奇函数，故当()a p b p +=-+时，即2a b p +=-时，有()()220070b x p a x p e dx ++=⎰. 4. 设(),x ∀∈-∞+∞，()0f x ''≥，且()201x f x e-≤≤-，求()f x 的表达式.解：（1）由()2011x f x e-≤≤-<，知()f x 有界；（2）下证()0f x '=，(),x ∀∈-∞+∞.假若存在()0,x ∈-∞+∞，使得()00f x '≠，则()()()()()()2000012f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+- ()()()000f x f x x x '≥+-，若()00f x '>，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →+∞，这与()f x 有界矛盾；若()00f x '<，则()()()()000f x f x f x x x '≥+-→+∞，()x →-∞，这与()f x 有界矛盾，因此()00f x '=，(),x ∀∈-∞+∞，()f x C =，(),x ∀∈-∞+∞；（3）由()00010f e ≤≤-=，知()00f =，因此()0f x =，(),x ∀∈-∞+∞.5. 计算()2Sxy dS +⎰⎰，其中S 为柱面224x y +=，()01z ≤≤.解：方法一 因圆柱面224xy +=，()01z ≤≤的参数方程为2c o s 2s i nx uy u z v =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故2dSEG F dudv =-，其中2224u u u E x y z =++=，0u v u v u v F x x y y z z =++=，2221v v v G x y z =++=， 于是()()122224cos 2sin Sxy dS dv u u du π+=+⎰⎰⎰⎰()2224cos 2sin u u du π=+⎰20cos21882u du ππ-==⎰.方法二 注意到对称性()22SSx y dS x dS +=⎰⎰⎰⎰()2212Sx y dS =+⎰⎰()1144221822S dS ππ==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰. 二．设1211211212345632313nu n n n=+-++-+++--- ， 111123n v n n n=+++++ ，求（1）1010u v ，（2）lim n n u →∞.解：（1）因为111111232n u n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭，111111232n v n n ⎛⎫=+++-+++ ⎪⎝⎭， 故n n u v =，因此10101u v =， （2）方法一 2111lim lim lim 1n n n n n n k u v k n n→∞→∞→∞===+∑()22001ln 1ln31dx x x ==+=⎡⎤⎣⎦+⎰.方法二 利用111ln 2n n c nε+++=++ ，其中lim 0n n ε→∞=，()()3lim lim ln3ln n n n n n u n c n c εε→∞→∞⎡⎤=++-++⎣⎦()3lim ln3n n n εε→∞=+- ln3=.三．有一个边长为4π的正方形纸（如图），C 、D 分别为AA '、BB '的中点，E 为DB '的中点.现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B 与B '重合，并将圆柱垂直放在xoy 平面上，且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上.求：（1）通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转面方程； （2）此旋转面、xoy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积. 解：()0,0,0B ，()0,4,4C π，()0,4,0D ，()2,2,0E ，通过()0,4,4Cπ和()2,2,0E 两点的直线l 方程为22224x y z π--==-，即22z x π=-，22zy π=+， （1）通过C ，E 两点的直线l 绕z 轴旋转所得的旋转面方程为22222222z z x y ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222282z x y π+=+； （2）此旋转曲面()222228z x y π=+-，xoy 平面0z=和过A 点垂直于z 轴的平面4z π=所围成的立体体积为22224082z x y V dxdydz dzdxdy ππΩ+≤+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰242082z dz πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰432086z z πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ 222321283233πππ=+=.四．求函数()2222,,x yz f x y z x y z+=++，在(){}222,,:14D x y z x y z =≤++≤上的最大值和最小值.解：解法一 令cos x ρϕ=，cos sin y ρθϕ=，sin sin zρθϕ=，则()222221,,1sin 21sin 2x yz f x y z x y z θϕ+⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭， 其中[]0,ϕπ∈，[],θππ∈-，因()311sin 21222g θθ-≤=-≤-，且32-，12-分别是()1sin 212g θθ=-的最小值和最大值， 故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为31122⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，101+=.解法二 由()()22221122y z yz y z -+≤≤+， 得()()22222222213112222x y z x x yz x y z x -+++≤+≤+++， ()222222212x y z x yz x y z -++≤+≤++， ()1,,12f x y z -≤≤， 且等号能达到，(),0,01f x =，()10,,2f y y -=-，故()2222,,x yz f x y z x y z +=++在D 上的最小值和最大值为别为12-，1. 五．求11limnk n k n n knC →∞=+-∑. 解：记11n n kk n n kx nC =+-=∑， ()()()22212!3!4!10112n x n n n n n n n n≤=+++++---()212!12n n n n ≤+-+()441n n n=-<， 故11lim0nk n k n n knC →∞=+-=∑. 六．证明：24cos 21x x x ≤-++，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.证明：只要证()224cos 21x x x +≤+，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.该不等式等价于222cos 2cos 21x x x +≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即222cos 2sin 2x x x ≤，20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令2tx =，则只要证 sin cos tt t≤，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 为此，作()sin ,cos t f t t t =-0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则()31cos cos 12t t f t +'=-，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭因此()31cos cos 12t t f t +'=-311cos 110cos cos t tt≥⋅-=-≥，0,2t π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 于是当02t π≤<时，()()sin 00cos tf t t f t=-≥=.结论得证.。