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第八章 组合变形及连接部分的计算8-1 矩形截面简支梁其受力如图所示，试求梁截面上的最大正应力，并指出中性轴的位置。
（截面尺寸单位：mm ）答：σmax =12MPa解：将F 分解成两个力对杆作用效果之和，133 4.52y M kN m =⨯⨯= , 13462z M kN m =⨯⨯=, 131504.52620015012y y M z MPa I σ⨯===⨯,2320062615020012z zM y MPa I σ⨯===⨯; 则1212MPa σσσ=+=；由3320015012tan tan 0.4515020012y zI I θϕ⨯===⨯，24.23θ=.：8-2 图示圆截面简支梁，直径d =200mm, F 1=F 2=5kN, 试求梁横截面上的最大正应力。
答：σmax =4.74MPa解：由于截面为圆形在可以用和弯矩求解max σ，即求max F ，且max F 最大在截面2-2处，由图可知max3.727F kN =, 则3max23.727100.14.740.264PM MPa I ρσπ⨯⨯===⨯A150题 8 - 1 图FF 2题 8 - 2 图8-3 图示悬臂梁，由试验测得εA =2.1×10-4，εB ＝3.2×10-4, 已知材料的E ＝200GPa ，试求P 和β值。
答：F =1.03kN,β='2131ο解：由已知74.210AA E Pa σε==⨯，76.410B B E Pa σε==⨯,又有y A z zF ly My I I σ==得y F =875N ，同理z F =535N 则F =1.03kN,'arctan()3021zyF F β== 8-4图示圆截面轴在弯矩M 和扭矩T 联合作用下，由试验测得A 点沿轴向的线应变为0ε＝5×10－4，B 点与轴线成45°方向的线应变为ε45°＝4.3×10－4。
习 题[8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。
已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：yz yyz zW l F W lF lF W M W M 211max 2++⋅=+=σ式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。
故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。
试校核檩条的强度和刚度。
图习题⋅-28解：（1）受力分析)/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α(2)内力分析)(432.14716.0818122max ,m kN l q M z y ⋅=⨯⨯===)(864.24432.1818122max ,m kN l q M y z ⋅=⨯⨯===（3）应力分析最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。
zz yy W M W M max ,max ,max +=+σ式中，32232266*********mm hb W y ≈⨯== 32246933361601106mm bh W z ≈⨯== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13636max=⋅⨯+⋅⨯=+σ（4）强度分析因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。
第8章组合变形及连接部分的计算（答案）8.1梁的截⾯为2100100mm ?的正⽅形，若kN P30=。
试作轴⼒解：求得约束反⼒24Ax F KN =,9Ay F KN =，9B F KN =为压弯组合变形，弯矩图、轴⼒图如右图所⽰可知危险截⾯为C 截⾯最⼤拉应⼒maxmax 67.5ZM MPa W σ== 最⼤压应⼒max max69.9N Z M FMPa W Aσ=+=8.2若轴向受压正⽅形截⾯短柱的中间开⼀切槽，其⾯积为原来⾯积的⼀半，问最⼤压应⼒增⼤⼏倍？解：如图，挖槽后为压弯组合变形挖槽前最⼤压应⼒挖槽后最⼤压应⼒22222286/)2/(4/2/a P a a Pa a P W M A N c =+=+=σ8//82212==a P a P c c σσ211a P A N c ==σ8.3外悬式起重机，由矩形梁AB （2=bh尺⼨。
解：吊车位于梁中部的时候最危险，受⼒如图解得BC F P =,2Ax F P =，2Ay P F =梁为压弯组合变形，危险截⾯为梁中N F =压)，4PL M =(上压下拉)[]max4NZ F PL W A σσ=+≤,代⼊()226Z b b W =，A bh =，由2h b = 解得125b mm =， 250h mm =8.4图⽰为⼀⽪带轮轴（1T 、2T 与3T 相互垂直）。
已知1T 和2T 均为kN 5.1，1、2轮的直径均为mm 300，3轮的直径为mm 450，轴的直径为mm 60。
若M P a 80][=σ，试按第三强度理论校核该轴。
解：由已知条件解得32T KN = 内⼒图如右：最⼤弯矩所在截⾯可能为：1C M KN m ==?1.2D M KN m =?故危险截⾯为D 截⾯32T KN =由第三强度理论[]360r MPa σσ==故安全38.5铁道路标圆信号板装在外径mm D 60=的空⼼圆柱上，若信号板上所受的最⼤风载2/2m kN p =，MPa 60][=σ，试按第三强度理论选择空⼼柱的厚度。
8-2 人字架及承受的荷载如图所示。
试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。
m解：（1）外力分析，判变形。
由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。
引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。
截面关于y 轴对称，形心及惯性矩1122123122328444A A 20010050200100(100100)125A +A 200100+200100200100200100(12550)12100200100200(300125100)123.0810 3.0810C z zzy y y I I I -+⨯⨯+⨯⨯+===⨯⨯⨯=+=+⨯⨯-⨯++⨯⨯--=⨯=⨯mmmm m(2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。
梁上各横截面上轴力为常数：,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k )22y N P M P F ϕϕ=⨯-=⨯-=⋅=⨯=N m)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。
m mmax33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810N zF M y A I σ---=+⋅-⨯⨯=-⨯-=--=-⨯⨯⨯上② A 点是压缩区的点，故m m33410010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a zF M y A I σ--=+⋅-⨯⨯=-⨯--=--=-⨯⨯⨯注意：最大拉应力出现在下边缘m mmax33410010202.5100.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa2(0.20.1) 3.0810N zF M y A I σ---=+⋅-⨯⨯=+⨯=-+=⨯⨯⨯下8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。
第 八 章 组 合 变 形一、选择题1、偏心拉伸（压缩）实质上是（B ）的组合变形。
A ．两个平面弯曲B ．轴向拉伸（压缩）与平面弯曲C ．轴向拉伸（压缩）与剪切D ．平面弯曲与扭转 2、图示平面曲杆，其中AB ⊥BC 。
则AB 部分的 变形为( B )。
A ． 拉压扭转组合B ．弯曲扭转组合C ．拉压弯曲组合D ．只有弯曲二、计算题1、如图所示的悬臂梁，在全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5kN/m ，在自由端的水平对称平面内受集中力P=2kN 的作用。
已知截面为25a 工字钢，材料的弹性模量E=2×105MPa ，求： （1）梁的最大拉、压应力（2）若[σ]=160MPa ，校核梁的强度是否安全。
解：（1）固定端截面为危险截面。
22max 115210kN m 22z M ql ==⨯⨯=⋅max 224kN m y M Pl ==⨯=⋅查表得：3348.283cm ,401.883cm y z W W ==由于截面对称，最大拉、压应力相等。
33max max max max661010410()Pa 108MPa 401.8831048.28310y z t c z y M M W W σσ--⨯⨯==+=+=⨯⨯（2）校核梁的强度[]max 108MPa 160MPaσσ=<=可见，梁的强度是足够的。
2、矩形截面木檩条，尺寸及受载情况如图所示。
已知q=2.1kN/m,木材许用拉应力[σt ]=11MPa ，许用挠度[w]= l ／200，弹性模量E=10GPa 。
校核其强度和刚度。
ABCq解：（1）受力分析，计算内力。
根据梁的受力特点可知梁将产生斜弯曲。
因此，将载荷q 沿两对称轴分解为cos y q q ϕ= , sin z q q ϕ=在q 作用下，梁跨中截面的弯矩最大，为危险截面。
由q z 、q y 引起的最大弯矩M ymax 、M zmax 为202max 202max112.1sin 2634'4 1.88kN m 88112.1cos 2634'43.76kN m 88y z z y M q l M q l ==⨯⨯⨯=⋅==⨯⨯⨯=⋅（2）确定危险点位置，计算危险点应力。
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。
已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。
故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。
试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核)/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向↓）)/(15.0230sin 0m kN q q z =⨯== （负z 方向←）)(464.34732.1818122m kN l q M y zmaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(241818122m kN l q M z ymaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(5120001601206161322mm bh W z =⨯⨯==)(3840001201606161322mm hb W y =⨯⨯==最大拉应力出现在左下角点上：yy z z W M W M maxmax max +=σ MPa mmmm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33636max=⋅⨯+⋅⨯=σ因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ<所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
![周建方版材料力学第八章习题解答[第八章01-76]](https://img.taocdn.com/s1/m/e3cb205677232f60ddcca1af.png)
8-1 图8-34所示结构，杆AB 为5号槽钢，许用应力MPa ][1601=σ，杆BC 为矩形截面，mm b 50=，mm h 100=，许用应力MPa ][82=σ，承受载荷kN F 128=，试校核该结构的强度。
题8-1图解：由平衡条件解得， kNF F BC 642/==kN F F AB9.11023= 293.6cm A AB = 23105mm A BC ⨯=[]1231601093.6109.110σσ==⨯⨯==MPa A F AB AB AB[]MPa MPa A F BC BC BC88.121051064233=>=⨯⨯==σσ8-2 在图8-35所示结构中，钢索BC 由一组直径mm d 2=的钢丝组成。
若钢丝的许用应力MPa ][160=σ，AC 梁受有均布载荷m /kN q 30=，试求所需钢丝的根数。
又若将BC 杆改为由两个等边角钢焊成的组合截面，试确定所需等边角钢的型号。
角钢的MPa ][160=σ。
题8-1图解：BC 的内力计算：kN F F C BC10053/60sin /===α []2362516010100mm F A BC BC =⨯==σ 采用钢丝数：根）(19924625422=⨯==ππd A n BC采用两等边角钢，则型号为 ()2172.62086.3440cm A L BC =⨯=⨯8-3 图8-36为一托架，AC 是圆钢杆，许用应力MPa ][160=钢σ；BC 杆是方木杆，许用应力kN F MPa ][604==-，木σ。
试选择钢杆圆截面的直径d 及木杆方截面的边长b 。
题8-3图解：AB 和BC 的内力计算：kN F F BC 2.1081330sin /===α kN tg F F AC 9032/60/===α AC 杆：[]MPa d A F ACAC AC1604109023=≤⨯==钢σπσ d ≥27mmBC 杆：[]MPa b A F BC BC BC 4102.10823=≤⨯==木σσ b ≥165mm8-4 结构受力如图8-37所示，各杆的材料和横截面面积均相等：2200mm A =，MPa ,MPa ,GPa E b s 460280200===σσ。
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。
已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。
解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。
故MPa Pa mm N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max=⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。
试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核)/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向↓）)/(15.0230sin 0m kN q q z =⨯== （负z 方向←）)(464.34732.1818122m kN l q M y zmaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(241818122m kN l q M z ymaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面)(5120001601206161322mm bh W z =⨯⨯==)(3840001201606161322mm hb W y =⨯⨯==最大拉应力出现在左下角点上：yy z z W M W M maxmax max +=σ MPa mmmm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33636max=⋅⨯+⋅⨯=σ因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ<所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核=m w m 0267.0150/4][0202.0==<=。
即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题8-3] 悬臂梁受集中力F 作用如图所示。
已知横截面的直径mm D 120=，mm d 30=，材料的许用应力MPa 160][=σ。
试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。
解：F F F y 866.030cos 0== （正y 方向↓）F q F z 5.030sin 0== （负z 方向←）)(732.12866.0m N F F l F M y zmaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，上侧受拉 )(25.0m N F F l F M z ymaz ⋅=⨯== 出现在固定端截面，外侧受拉)34(64]41641[2641442244d D d d d D I z -=⋅+⋅-=ππππ 4448822419)3034120(6414.3mm =⨯-= )2(6464126414444d D d D I y -=⨯-=πππ 44410094119)302120(6414.3mm =⨯-=9816577.1882241910094119732.1tan max max =⋅=⋅=F F I I M M z y y z θ'001363223.639816577.1arctan ===θ，即：中性轴是过大圆的圆心，与y 轴的正向成'1363的一条直线（分布在二、四象限）。
F F F M M M y z 23222max 2max max =+=+= （沿F 作用线方向）)(1470406088224192/3mm D I W z z ===MPa mm mm N F W M z 16014704010233max max ≤⋅⨯==σkN N F 763.1111763=≤kN F 763.11][=[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度m l 4=，截面为m m 1.02.0⨯的矩形，受均布荷载作用，m kN q /2=。
试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。
解：以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴的正向。
过Ａ点，倾斜向下方向为y 轴的正向。
)/(121230sin 0m kN q q x =⨯== （负x 方向：↙） )/(323230cos 0m kN q q y =⨯== （正y 方向：↘） A 、B 支座的反力为：kN X A 4=，kN R Y B A 32== ＡＢ杆的轴力：4)4()(-=--=x x q x N x ＡＢ杆的弯矩：2223322132)(x x x q x x M y -=-=AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。
23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z t ⨯--⨯⨯⋅-=-=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ---= x x x 50200129951962+--= 200524612992-+-=x x （)kPa令052462598)(=+-=x dxx d t σ，得：当m x 019.2=时，拉应力取最大值： MPa kPa t 097.5)(5.5096200019.25246019.212992max ≈=-⨯+⨯-=σ23222.01.0)4(2.01.061)866.0464.3()()()(m kNx m m kN x x A x N W x M x z c ⨯--⨯⨯⋅--=--=σ )4(50)866.0464.3(15002x x x ----=x x x 50200129951962+-+-=200514612992--=x x 令051462598)(=-=x dxx d t σ，得：当m x 981.1=时，压应力取最大值： MPa kPa c 297.5)(5.5296200981.15146981.112992max -≈-=-⨯-⨯=σ[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 。
试求当荷载作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
解：18号工字钢，，AB 杆系弯压组合变形。
AF W M BC c 0max30cos --=中σ0=∑A M ：0230sin 0=⋅-⋅lF l F BC ，kN F BC 25= )(25.1626.25.025230sin 0m kN l F M BC ⋅=⨯⨯=⋅=中 MPa Pa mNm m N c 9.9410)07.783.87(106.302310251085.11025.166243343max -=⨯+-=⨯⨯⨯-⨯⋅⨯-=-σ [习题8-6] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。
试求：（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
解：烟囱底截面上的最大压应力：==土壤上的最大压应力：即即解得：m[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为b a ⨯和矩形，如图所示。
已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kN F 16=，材料的许用应力MPa 160][=σ，立臂厚mm a 20=，偏心距mm e 140=。
试求立臂宽度b 。
解：立柱是拉弯构件。
最大拉应力为： )61(6122max be b a F ab Fe ab F t +=+=σ )14061(20160002b b ⨯+=)8401(8002b b +=正应力强度条件：][max σσ≤t 160)8401(8002≤+bb0420052=--b b解得：mm b 356.67=[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。
力F 与杆的轴线平行。
解：（1）求T 形截面的形心位置形心在y 轴上，0484282222=+⋅+⋅-=a a a a a a y C （2）把力F 先向y 轴平移，产生一个Fa a F M y 22-=⋅-=；然后，再把F 向z 轴平移，又产生一个Fa a F M z 22-=⋅-=。
故，T 形截面的杆件是拉伸与双向弯曲的组合变形构件。
（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置由y M 、z M 的方向（正负号）可知，A 点处拉应力最大，B 点处压应力最大。
（4）计算最大拉应力 422322332]4)2()4(121[]8)2(4121[a a a a a a a a a I z =⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=zAz y A y A t I y M I z M A F ++==σσmax 22442572.02641513222112212aFa F a a aF a a aF a F ≈=⋅+⋅+=（5）计算最大压应力zA z yB y B c I y M I z M A F --==σσmax22442258.0661********.0212aFa F a a aF a a aF a F -≈-=⋅-⋅-=故杆内的最大正应力是：2max 572.0aFA t ==σσ。
[习题8-9] 有一高为m 2.1、厚为m 3.0的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。
试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为33/1045.2m kg ⨯）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h 为多大？解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力沿墙长方向取m 1作为计算单元，则墙的重力为：)(6436.88.945.2)2.113.0(kN G =⨯⨯⨯⨯= （↓）作用在墙底处的水压力为：)/(76.1112.18.91m kN h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(8224.22.131)2.176.1121(m kN M ⋅=⨯⨯⨯⨯=混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：MPa kPa m mkN mkN W M A G z c 217.0972.2163.01618224.213.06436.8322max -=-=⨯⨯⋅-⨯-=--=σ（右） MPa kPa m m kN m kN W M A G z t 159.0348.1593.01618224.213.06436.8322max ==⨯⨯⋅+⨯-=+-=σ（左）（2）求混凝土中没有拉应力时的水深h作用在墙底处的水压力为：)/(8.918.91m kN h h h q =⨯⨯=⨯⋅=γ墙底处的弯矩：)(39.431)8.921(3m kN h h h h M ⋅=⨯⨯⨯⨯=09.108812.283.016139.413.06436.833232max =+-=⨯⨯⋅+⨯-=+-=h m mkN h mkN W M A G z t σ 09.108812.283=+-h )(642.0m h =故当m h 642.0=时，混凝土中不出现拉应力。
