同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第一章 函数与极限【圣才出品】
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习题1-11.求下列函数的自然定义域:(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解:2(1)3203x x +≥⇒≥-,即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±查看全部文档,请关注微信公众号:高校课后习题即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠,即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中,函数()f x 和()g x是否相同?为什么?222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解:(1)不同,因为定义域不同(2)不同,因为对应法则不同,,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩(3)相同,因为定义域,对应法则均相同(4)不同,因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解:1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明:1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<,因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<,因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明:设120l x x -<<<,则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数,得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加,所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
1教材习题同步解析习题1-11. 求下列函数的自然定义域:(7) )3arcsin(-=x y ; (8) xx y 1arctan 3+-=. 解(7)由1|3|≤-x ,得函数的定义域为:]4,2[.(8)由03≥-x 且0≠x ,得函数的定义域为:]3,0()0,( -∞.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, )2(-ϕ, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解 如图(1-1),21|6sin |)6(==ππϕ; 22|4sin |)4(==ππϕ; 22|4sin |)4(=-=-ππϕ; 0)2(=-ϕ. 6. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的,证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2) 两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证 (1) 设)()()(x g x f x F +=.如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则 F (-x ) =)(x f -+g (-x ) =)(x f +g (x ) = F (x ),图1-12所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数, 则F (-x ) = f (-x ) + g (-x ) = -)(x f -g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2) 设F (x ) =)(x f ⋅g (x ). 如果)(x f 和g (x )都是偶函数, 则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) =)(x f ⋅g (x ) = F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果)(x f 和g (x )都是奇函数,则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = [-f (x )][-g (x )] =)(x f ⋅g (x ) = F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果)(x f 是偶函数, 而g (x )是奇函数,则F (-x ) = f (-x )⋅g (-x ) = f (x )[-g (x )] = -)(x f ⋅g (x ) = -F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.9. 求下列函数的反函数:(3)dcx b ax y ++= (ad -bc ≠0); (6)122+=x x y . 解 (3) 由dcx b ax y ++=,得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为:acx b dx y -+-=. (6)由122+=x x y ,得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为:xx y -=1log 2. 10. 设函数)(x f 在数集X 上有定义, 试证: 函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证 先证必要性.设函数)(x f 在X 上有界, 则存在正数M , 使|)(|x f ≤ M ,即 -M ≤)(x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上既有下界-M 又有上界M .再证充分性.3 设函数)(x f 在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1 ≤)(x f ≤ K 2 . 取M = max{|K 1|, |K 2|}, 则-M ≤ K 1≤)(x f ≤ K 2≤M , 即|)(|x f ≤ M . 这就证明了)(x f 在X 上有界.12. 设)(x f 的定义域为]1,0[=D ,求下列函数的定义域: ⑴)(2x f ; ⑵)(sin x f ;⑶)0()(>+a a x f ;⑷)()(a x f a x f -++ )0(>a .解(1)由,11,102≤≤≤≤x x -所以)(2x f 的定义域为;]1,1[-(2) 由,1sin 0≤≤x ),()12(2Z k k x k ∈+≤≤ππ故)(sin x f 的定义域为:])12(,2[ππ+k k )(Z k ∈;(3)由,10≤+≤a x ,1a x a -≤≤-故函数)(a x f +的定义域为:]1,[a a --. (4) 由⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1010a x a x 知,11⎩⎨⎧+≤≤-≤≤a x a a x a -从而当210≤<a 时, 定义域为:]1,[a a -;当21>a 时, 定义域为空集. 13. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , x x g e )(=, 求)]([x g f ,)]([x f g , 并作出这两个函数的图形.解 1 |e |[()]0 |e |11 |e |1x x x f g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩, 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . 如图(1-2)。
目 录第一部分 考研真题精选第1章 函数与极限第2章 导数与微分第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分第5章 定积分第6章 定积分的应用第7章 微分方程第二部分 章节题库第1章 函数与极限第2章 导数与微分第3章 微分中值定理与导数的应用第4章 不定积分第5章 定积分第6章 定积分的应用第7章 微分方程第一部分 考研真题精选第1章 函数与极限一、选择题1若,则f(x)第二类间断点的个数为( )。
[数二、数三2020研] A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f(x)表达式知,间断点有x=0,±1,2。
因为存在,故x=0为可去间断点;因,故x=1为第2类间断点;因,故x=-1为第2类间断点;因,故x=2为第2类间断点;综上,共有3个第二类间断点,故应选C项。
2当x→0时,若x-tanx与x k是同阶无穷小,则k=( )。
[数一2019研]A.1B.2C.3D.4【答案】Ctanx在x=0处的泰勒展开式为:tanx=x+(1/3)x3+o(x3),因此当x→0时有x-【解析】tanx~-(1/3)x3,即x-tanx与-(1/3)x3是x→0时的等价无穷小,进一步可得x-tanx与x3是同阶无穷小,所以k=3,故选C。
3已知方程x5-5x+k=0有3个不同的实根,则k的取值范围( )。
[数三2019研] A.(-∞,-4)B.(4,+∞)C.{-4,4}D.(-4,4)【答案】D【解析】方程x5-5x+k=0有3个不同实根等价于曲线y=x5-5x与直线y=-k有3个不同的交点,因此研究曲线y=x5-5x的曲线特点即可。
令f(x)=x5-5x,则f(x)在R上连续,且f′(x)=5x4-5,再令f′(x)=0,得x=±1,通过分析f′(x)在稳定点x=±1左右两侧的符号,可知当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增。