1.初二因式分解竞赛例题精选及练习题

因式分解 例题讲解及练习【例题精选】：（1）3223220155y x y x y x ++评析：先查各项系数（其它字母暂时不看),确定5,15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X ，各项都有时，再确定X 的最低次幂是几，至此确认提取X 2，同法确定提Y ，最后确定提公因式5X 2Y 。

提取公因式后，再算出括号内各项。

解:3223220155y x y x y x ++ =)431(522y xy y x -+（2）23229123y x yz x y x -+- 评析:多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X 2Y解: 23229123y x yz x y x -+-=)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--=)1423(32+--xy y x (3）(y —x ）（c —b —a)-(x —y)（2a+b —c)—（x-y ）(b —2a ）评析:在本题中，y —x 和x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y —x解:原式=（y —x ）(c-b-a)+(y-x ）(2a+b —c)+(y —x ）(b —2a ） =（y —x ）(c-b —a+2a+b-c+b —2a) =(y-x)（b —a)（4） （4) 把343232x y x -分解因式评析：这个多项式有公因式2x 3，应先提取公因式,剩余的多项式16y 4—1具备平方差公式的形式解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x （5） （5） 把827xy y x -分解因式评析：首先提取公因式xy 2,剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

初二因式分解练习题和答案一、基础题型1. 将下列多项式进行因式分解：(1) $x^2 + 4x + 4$解析：观察多项式可知，常数项为4，且平方项系数为1，因此可以直接得出该多项式的因式分解形式为$(x+2)(x+2)$或$(x+2)^2$。

(2) $9a^2 - 16$解析：根据平方差公式可知，$9a^2 - 16$可以分解为$(3a+4)(3a-4)$。

2. 分解下列多项式：(1) $3x^2 + 12x + 9$解析：观察多项式可知，常数项为9，且平方项系数为3。

因此，这个多项式可以进行因式分解为$(x+3)(3x+3)$或$(x+3)^2$。

(2) $4x^2 - 5xy + y^2$解析：该多项式是一个二次三项式，根据二次三项式的平方公式，可以得到它的因式分解形式为$(2x-y)^2$。

二、综合题型1. 分解下列多项式：(1) $3x^2 - 8$解析：观察多项式可知，平方项系数为3，常数项为-8。

根据常数项为负数的特点，我们可以尝试将-8分解成两个因数的乘积。

考虑到平方项系数为3，我们可以写成$(3x)^2 - 2^2$。

利用二次差公式，得到$(3x+2)(3x-2)$。

(2) $6x^2 + 17x + 10$解析：我们可以使用因式分解法或求根法进行分解，为了简便起见，我们选择因式分解法。

将多项式划分为三个项，得到$(2x+5)(3x+2)$。

2. 分解下列多项式：(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$解析：观察多项式可知，平方项系数为4，常数项为$9y^2$。

考虑到常数项为平方形式，我们可以尝试进行“凑平方”的操作。

$(2x-3y)^2$即为所求解。

(2) $x^3 - 3x^2 + 2x$解析：观察多项式可知，这是一个三次多项式。

我们可以尝试提取公因式，并进行因式分解。

将每一项提取公因式，得到$x(x^2 - 3x + 2)$。

进一步分解，我们得到$x(x-1)(x-2)$。

八年级上数学竞赛试题卷I（选择题）一、选择题（本题共计 14 小题，每题 3 分，共计42分）1. 下列运算正确的是（）A.m2+m2＝2m2B.(m−n)(n−m)＝n2−m2C.(−2mn)2＝−4m2n2D.(2m)3÷m3＝22. 方程(x+2)2＝3(2+x)最适合的解法是（）A.直接开平方法B.因式分解法C.公式法D.配方法3. 若x2−x−n=(x−m)(x−3)，则mn=()A.6B.4C.12D.−124. 下列各式中能用平方差公式计算的是（）A.(3x−5y)(−3x−5y)B.(1−5m)(5m−1)C.(−x+2y)(x−2y)D.(−a−b)(b+a)5. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y 表示四个长方形的两边长(x>y)，观察图案及以下关系式：；③x2−y2=mn；④x2+y2=①x−y=n；②xy=m2−n24m2−n2．其中正确的关系式的个数有（）2A.1个B.2个C.3个D.4个6. 已知x+y=2√5，xy=−6，则x−y的值为( )A.−2√11B.2√11C.±2√11D.±√347. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，那么△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8. 不论x，y取为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值( )A.总不小于2B.总不小于7C.可为任何实数D.可能为负数9. 算式999032+888052+777072之值的十位数字为何？A.1B.2C.6D.810. 如图，雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了5.24×10−5秒．已知电磁波的传播速度为3.0×108米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离是A.7.86×103米B.7.86×104米C.1.572×103米D.1.572×104米的值为（）11. 已知a2+b2=6ab且a>b>0，则a+ba−bA.√2B.±√2C.2D.±212.如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2−BE2等于（）A.AC2B.BD2C.BC2D.DE213. 248−1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A.61和63B.63和65C.65和67D.64和6714. 我国古代数字的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为()A.2019B.2018C.191D.190卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）15. 在实数范围内因式分解：2x2−3x−4=________.16. 已知x2+x−3=0，则代数式x3+2x2−2x+2值为________．17. 若二次三项式因式分解的结果是，则＝________18. 已知a+b=−4，ab=2，则多项式4a2b+4ab2−4a−4b的值是________．19. 若a2+2b2+5c2=4bc−2ab+2c−1，则a−b+c的值是________．20. 下图是一个长方形，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为________.21. 若2x=5，2y=1，2z=6.4，则x+y+z=_________.22. 有一列按规律排列的代数式：b，2b−a，3b−2a，4b−3a，5b−4a…，相邻两个代数式的差都是同一个整式．（1）按这个规律得到的第7个代数式是________．（2）若第4个代数式的值为8，则前7个代数式的和的值为________．23.将边长分别为1，2，3，4，…，19，20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为________.三、解答题（本题共计 4 小题，共计31分）24. （5分）求证：32020−4×32019+10×32018能被7整除．25.(8分) 把正方体（图1）沿着某些棱边剪开，就可以得到正方体的表面展开图，如图2．在图1正方体中，每个面上都写了一个含有字母x的整式，相对两个面上的整式之和都等于4x−7，且A+D＝0，请回答下面问题：（1）把图1正方体沿着某些棱边剪开得到它的表面展开图2，要剪开________条棱边；（2）整式B+C＝________；（3）计算图2中“D”和“？”所表示的整式（要写出计算过程）．26.(10分) 1637年笛卡儿(R．Descartes, 1596−1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2−3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为(x−1)与另一个整式的积．令：x3+2x2−3＝(x−1)(x2+bx+c)，而(x−1)(x2+bx+c)＝x3+(b−1)x2+(c−b)x−c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：{b−1=2c−b=0−c=−3，得{b=3c=3，从而x3+2x2−3＝0．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx−34含有因式x+1及x−2，求a，b的值．27.(8分) 阅读下面的材料并解决问题．√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1；√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3；……（1）观察上式并填空：√6+√5=________；（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，√n+1+√n=________；（用含n的式子表示，不用说明理由）．（3）请利用（2）的结论计算：(√2+1+√3+√2+⋯+√2019+√2018+√2020+√2019)×(√2020+1)．。

初二竞赛题数学最难因式分解一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x ﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982= ．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= ．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= ．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a 代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．。

因式分解1、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。

甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。

”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾：1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a 3+b 3+c 3-3abc ． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的正确性，现将此公式变形为a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc =［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)． 说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立． 如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．※※变式练习　1分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x+1． 分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n 来分解． 解 因为 x 16-1=(x -1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)， 所以 说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1)，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例3 分解因式：x3-9x+8． 分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2． 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2 =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1)． 说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰． 例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12． 分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解设x2+x=y，则 原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)． 说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90． 分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x2+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9) =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)． 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习　1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2． 解设x2+4x+8=y，则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8)　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．　1．双十字相乘法 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式．的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 对于常数项而言，它是关于y 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．的二次三项式分解　再利用十字相乘法对关于x 所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)．来分解． (3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0 原式=(y+1)(x+y-2)． (4)　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法 我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根． 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2 的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解． 例2 分解因式：x3-4x2+6x-4． 分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4) =x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x 2-2x+2)． 解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)， 所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)． 说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习 1. 分解因式：9x 4-3x 3+7x 2-3x-2． 分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为： 所以，原式有因式9x 2-3x-2． 解 9x 4-3x 3+7x 2-3x-2 =9x 4-3x 3-2x 2+9x 2-3x-2 =x 2(9x 3-3x-2)+9x 2-3x-2 =(9x 2-3x-2)(x 2+1) =(3x+1)(3x-2)(x 2+1) 说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程． 总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了． 3．待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习 1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有有 由bd=7，先考虑b=1，d=7 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)． 说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止． 本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)． 分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式． 解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v) =u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．五、反思总结。

初中数学因式分解（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具.是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用 .1. 运用公式法整式乘法公式，反向使用，即为因式分解(1) a 2-b2=(a+b)(a-b);(2) a 2土2ab+b2=(a 土b)2;(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2).几个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);n n n-1 n-2n-32 n-2 n-1(7) a -b =(a-b)(a +a b+a b+ ・ +ab +b )其中n 为正整数；n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1(8) a -b =(a+b)(a -a b+a b- ••• +ab-b )，其中n 为偶数；n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1(9) a +b =(a+b)(a -a b+a b -••• -ab +b )，其中n 为奇数.分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式：〜、c 5n-1 n , 3n-1 n+2 n-1 n+4 3 3 3(1) -2x y +4x y -2x y ; (2)x -8y -z -6xyz ;(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca-2ab ；〜、7 5 2 2, 5 , 7(4)a -a b +a b -b ..・..,..―.a a a例2分解因式：a +b +c -3abc .心 c 八 EE 【、•15 14 13 2 例3分解因式：x +x +x +…+x+x+1.2. 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8 .例5分解因式：(1)x 9+x6+x3-3; ⑵(m 2 八， 2 …-1)(n -1)+4mn ;⑶(x+1) 4+(x2-1) 2+(x-1) 4；(4)a 3 . 3 2,2.b-ab +a +b +1.3. 换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例 6 分解因式：(x2+x+1)(x 2+x+2)-12 .例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 .例8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x例9 分解因式：6x4+7x3-36x 2-7x+6 .例10 分解因式：(x 2+xy+y 2)-4xy(x 2+y2).练习一1 .分解因式:(D + 十:i(2)x 10+x5-2 ;（3）h*-2『矿十如七+广V妒十j2.分解因式:(1)x 3+3x2-4;(3)x 3+9x2+26x+24;3.分解因式:⑴(2x 2-3x+1) 2-22x 2+33x-1 ;(2) x4+7x3+14x2+7x+1;(3) ( x+y) 3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20 (2)x 4-11x 2y2+y2；(4)x 4-12x+323 .初中数学因式分解（一）答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1. 运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b)；(2) a 2+ 2ab+b2=(a + b)2；3 3 2 2、(3) a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;_2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)；n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1(7) a -b =(a-b)(a +a b+a b+ ・+ab +b )其中n 为正整数；n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1(8) a -b =(a+b)(a -a b+a b- ・+ab -b )，其中n 为偶数；n n n-1 n-2 n-3 2 n-2 n-1(9) a +b =(a+b)(a -a b+a b - - -ab +b )，其中n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公例1分解因式:/』\ —5n-1 n , 3n-1 n+2 n-1 n+4⑴-2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y3-z3-6xyz ;(3) a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；/八_7 5,2. _2, 5 7(4) a -a b +a b-b .解(1)原式=-2x n-1y n(x 4n-2x2ny2+y4)n-1 n 2 2 2 2 2 2=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y) 2(x n+y)2.⑵ 原式=x3+(-2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( -Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3) 原式=(a2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c 2=(a-b)2+2c(a-b)+c22=(a -b+c) ．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5),解法如下:原式=a2+( -b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c)7 5. 2、, 2. 5 7、(4) 原式=(a -a b )+(a b -b )5/ 2 2 5/ 2 2、=a (a -b )+b (a -b )=(a 2-b2)(a 5+b5)4 3. 2. 2 3.4、=(a+b)(a -b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 22 34、=(a+b) (a-b)(a -a b+ab -ab +b)例2分解因式• a3+b3+c3-3abc iz -j y~i / ij i i—i x . ~ ** -^^a uc .本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式3 3 2 2 3(a+b) =a +3a b+3ab +b的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).这个10式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc=[(a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c)=(a+b+c) [(a+b) 2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为3,3 3a +b +c -3abc=T( 4 b T ) '--Ca + b-c) I (a-b- 3+ BS S。

初二因式分解经典题35题一、提取公因式法相关（10题）1. 分解因式：6ab + 3ac- 你看这里面每一项都有个3a呢。

就像大家都有个共同的小秘密一样。

那我们就把3a提出来呀，提出来之后就变成3a(2b + c)啦。

2. 分解因式：15x^2y−5xy^2- 哟，这里面5xy是公共的部分哦。

把5xy提出来，就剩下5xy(3x - y)啦，是不是很简单呢？3. 分解因式：4m^3n - 16m^2n^2+8mn^3- 仔细瞧瞧，8mn是都能提出来的。

提出来后就变成8mn(m^2 - 2mn + n^2)啦。

4. 分解因式：−3x^2y+6xy^2−9xy- 这里面−3xy是公因式哦。

把它提出来，就得到−3xy(x - 2y+3)啦。

5. 分解因式：2a(x - y)-3b(x - y)- 看呀，(x - y)是公共的部分呢。

提出来就变成(x - y)(2a - 3b)啦。

6. 分解因式：a(x - y)^2 - b(y - x)^2- 注意哦，(y - x)^2=(x - y)^2。

那这里面(x - y)^2是公因式，提出来就得到(x - y)^2(a - b)啦。

7. 分解因式：x(x - y)+y(y - x)- 先把y(y - x)变成-y(x - y)，这样公因式就是(x - y)啦，提出来就是(x - y)(x - y)=(x - y)^2。

8. 分解因式：3a(a - b)+b(b - a)- 把b(b - a)变成-b(a - b)，公因式(a - b)提出来，就得到(a - b)(3a - b)啦。

9. 分解因式：2x(x + y)-3(x + y)^2- 公因式是(x + y)，提出来就变成(x + y)[2x-3(x + y)]=(x + y)(2x - 3x - 3y)=(x + y)(-x - 3y)=-(x + y)(x + 3y)。

10. 分解因式：5(x - y)^3+10(y - x)^2- 把(y - x)^2变成(x - y)^2，公因式5(x - y)^2提出来，得到5(x - y)^2[(x -y)+2]=5(x - y)^2(x - y + 2)。

1．分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c52．分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)3．分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz4．分解因式（1）(x+y)(y+z)(z+x)+xyz（2）(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3（3）(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc（4）(y-z)5+(z-x)5+(x-y)55．求证：2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式6．把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式7．分解因式x4+x3+x2+28．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数，求这个质数9．分解因式x4-x3+4x2+3x+510．分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-411．求证：有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数12．分解因式（1）x4+x3-3x2-4x-4（2）x4+y4+(x+y)4（3）x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)（4）x8+x4+113．求证：4545+5454是合数14．分解因式a3+b3+c3-3abc15．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)216．求证：22225555+55552222能被7整除17．把11112222分解成两个连续的正整数之积，求其中较大的正整数因数18．求证：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和19．求证：对任意自然数n,都存在一个自然数m,使得nm+1是一个合数20．分解因式（1）x5+x+1（2）x5-x+121．分解因式x3+9x2+26x+2422．分解因式（1）x2y2+xy-x2-y2+x+y+2（2）(x+y)3-y(x+y)2+x(x+y)（3）1-12x2y2+48x4y4-64x6y6（4）4b2c2-(b2+c2-a2)2（5）x8-x7y+x6y2-x5y3+x4y4-x3y5+x2y6-xy7+y8（6）(ax+by)2+(bx-ay)2（7）a2b2-a2-b2+1（8）a4+1999a2+1998a+1999（9）x2-6xy+9y2-3x+9y23．若整数a、b满足6ab-9a+10b=303，求a+b24．两个正整数之和比积小1000，且其中有一个正整数是完全平方数，求其中较大的正整数25．分解因式(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×826．分解因式（1）(x2+4x+8)2+3(x2+4x+8)+2x2（2）(2x2-3x+1)2-22x2+33x-127．分解因式（1）(x+5)4+(x+3)4-82（2）(2a2+2a+1)b+a(a+1)(b2+1)28.分解因式（1）4(2x2-x+1)(x2+3-2x)-(3x2-3x+4)2（2）(x+y)4+(x2-y2)2+(x-y)429.分解因式2x4-x3-6x2-x+230.求证：四个连续自然数的积与1的和必是一个完全平方数31.将51985-1分解为三个整数之积，使得每一个都大于510032.分解因式(1+x+x2+x3)2-x3。

初二因式分解练习题及答案初二因式分解练习题及答案初中数学是学习数学的基础阶段，而因式分解是其中的重要一环。

因式分解是将一个多项式拆解成一个或多个因式相乘的过程，它在数学的各个领域都有广泛的应用。

因此，熟练掌握因式分解的方法和技巧对于学生来说非常重要。

下面，我们来看一些初二因式分解的练习题及答案，帮助同学们巩固和提高自己的因式分解能力。

练习题一：将多项式 $2x^2 + 4x + 2$ 进行因式分解。

解答：首先，我们观察这个多项式，发现每一项都可以被2整除。

因此，我们可以先提取出公因式2，得到 $2(x^2 + 2x + 1)$。

接下来，我们需要将括号里的三项进行因式分解。

观察括号里的三项，我们发现它们是一个完全平方三项式。

完全平方三项式的因式分解公式是 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

比较这个公式和我们的括号里的三项，我们可以发现 $x^2$ 是 $x$ 的平方，$2x$ 是 $2$ 乘以 $x$，$1$ 是$1$ 的平方。

因此，我们可以将括号里的三项分解为 $(x+1)^2$。

综上所述，多项式 $2x^2 + 4x + 2$ 的因式分解结果为 $2(x+1)^2$。

练习题二：将多项式 $6x^2 - 9xy + 3y^2$ 进行因式分解。

解答：首先，我们观察这个多项式，发现每一项都可以被3整除。

因此，我们可以先提取出公因式3，得到 $3(2x^2 - 3xy + y^2)$。

接下来，我们需要将括号里的三项进行因式分解。

观察括号里的三项，我们发现它们是一个二次三项式。

二次三项式的因式分解公式是 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。

比较这个公式和我们的括号里的三项，我们可以发现 $2x^2$ 是 $(2x)^2$，$3xy$ 是 $3x$ 乘以 $y$，$y^2$ 是 $y$ 的平方。

因此，我们可以将括号里的三项分解为 $(2x-y)(2x+y)$。

综上所述，多项式 $6x^2 - 9xy + 3y^2$ 的因式分解结果为 $3(2x-y)(2x+y)$。

因式分解初二练习题和答案1. 将下列各式进行因式分解：(1) 3x + 6y解：先提取公因式3，得到 3(x + 2y)。

(2) 4a - 8ab解：先提取公因式4a，得到 4a(1 - 2b)。

(3) xy - x^2解：先提取公因式x，得到 x(y - x)。

(4) 16x^2 - 4xy + 8xy^2解：先提取公因式4，得到 4(4x^2 - xy + 2xy^2)。

2. 分解下列各式：(1) x^2 - 4解：这是一个差的平方，因此可以分解为 (x + 2)(x - 2)。

(2) y^2 - 9解：这是一个差的平方，因此可以分解为 (y + 3)(y - 3)。

(3) 9x^2 - 4y^2解：这是一个差的平方，可以使用公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 分解为 (3x + 2y)(3x - 2y)。

(4) 4x^2 - 12xy + 9y^2解：这是一个完全平方，可以分解为 (2x - 3y)^2。

3. 计算下列各式的积：(1) (2x - 5)(3x + 4)解：使用分配率，计算得到 6x^2 + 8x - 15x - 20 = 6x^2 - 7x - 20。

(2) (x + 2)(x - 3)解：使用分配率，计算得到 x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6。

(3) (2a + 3)(2a - 3)解：使用分配率，计算得到 4a^2 - 6a + 6a - 9 = 4a^2 - 9。

4. 解方程：(1) 2x + 8 = 12解：首先移动常数项，得到 2x = 4。

然后除以系数2，解得 x = 2。

(2) 3(x - 4) = 21解：先使用分配率，得到 3x - 12 = 21。

然后移动常数项，解得 3x = 33。

最后除以系数3，解得 x = 11。

(3) 4(2x - 1) = 20 - 2x解：先使用分配率，得到 8x - 4 = 20 - 2x。

分解因式知识要点：1.思想方法提炼（1）直接用公式。

如：x2－4＝（x＋2）（x－2）a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2（2）提公因式后用公式。

如：ab2－a＝a（b2－1）＝a（b+1）（b－1）（3）整体用公式。

如：(2a +b)2 - (a - 2b)2 = [(2a +b) + (a - 2b)]⋅[(2a +b) - (a - 2b)] = (3a -b)(a + 3b)（4）连续用公式。

如：(a2 +b2 -c2 )2 - 4a2b2= (a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 +b2 -c2 - 2ab)= [(a +b)2 -c2 ][(a -b)2 -c2 ]= (a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c)（5）化简后用公式。

如：（a＋b）2－4ab＝a2＋b2＋2ab－4ab＝（a－b）2（6）变换成公式的模型用公式。

如：x2 + 2xy +y2 - 2x - 2y + 1 = (x +y)2 - 2(x +y) + 1 = (x +y - 1)22.注意事项小结（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。

然后再考虑运用公式法（2）要熟悉三个公式的形式特点。

灵活运用对多项式正确的因式分解。

（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。

3.考点拓展研究a.分组分解法在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分解。

【典型例题】例 1. 分解因式：x(x +y)(x -y) -x(x +y)2解：=x(x+y)[x(-y)-(x+y)]=x(x +y)(x -y -x -y)=x(x +y)(-2y)=-2xy(x +y)例 2. x4 - 16y4解： = (x2 )2 - (4 y2 )2= (x2 + 4y2 )(x2 - 4y2 )= (x2 + 4y2 )(x + 2y)(x - 2y)例 3. x3 y -xy3解： =xy(x2 -y2 ) =xy(x +y)(x -y)例 4. (x - 3y)2 - 4x2解： = (x - 3y + 2x)(x - 3y - 2x)= (3x - 3y)(-3y -x)= 3( x -y) ⋅[-( x + 3y)]=-3( x -y)(x + 3y)1x 2 +2xy +1y 2例5. 3 3 3=1(x 2 + 2xy +y 2 ) =1(x +y)2解： 3 3例 6. 25m2 - 20m(m - 3n) + 4(m - 3n)2解： = (5m)2 - 2 ⨯ 5m ⨯ 2(m - 3n) +[2(m - 3n)]2 = [5m - 2(m - 3n)]2= [5m - 2m + 6n]2= (3m + 6n)2= [3(m + 2n)]2= 9(m + 2n)2例 7. (x2 - 1)2 - 6(x2 - 1) + 9解： = (x2 - 1 - 3)2= (x2 - 4)2= (x + 2)2 (x - 2)2例 8. 分解因式16a2 - 4b2 + 12bc - 9c2精析：后三项提负号后是完全平方式。

北师大儿下因式分解暑假专刊基础巩固一、选择题1、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A、（x + 2）（x-2）= x2-4B、a2 一2ab + b2 = （a一b>C、3x2 - 3 x = 3 Q2 一x ）D、12a 2b - 3a・4ab2、多项式15m3n2 + 5m2n - 20m2n3的公因式是（）A、5mnB、5m2n2C、5m2nD、5mn23、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）A、x2 +16y2B、x4 一y3C、 -9x2 + 49y2D、x2 +14、下列各式中不是完全平方式的是（）A、m2 - 16m + 64B、4m2 + 20mn + 25n2C、m 2n 2 - 2mn + 4D、112 mn + 49 m 2 + 64n 25、已知多项式2x2 + bx + c分解因式为2（x一3）（x +1），则b,c的值为（）A、b - -4, c - -6 ；B、b - -6, c -2 ； C、b - -6, c - -4 ；D、b - 3, c - -1二、填空题6、分解因式 x （2—x） +6 （x—2） =。

7、如果9x2+ kx + 25是一个完全平方式，那么k的值是。

「8.计算93—92—8义92的结果是。

9.如果 a+b = 10, ab = 21,则 a2b + ab2 的值为。

三、解答题10、分解因式（1）8a2-2b2 （2）4xy2-4x2y-y3x ――― 2，求x2+—的值。

11、已知x x 212、32000 — 4义31999+ 10义31998能被7整除吗？试说明理由。

能力提升一、选择题1、在下列多项式：①一4m2 + 9 ②9m2 -4n2 ③4m2 +12m + 9④9m2 -6mn + n2中，有一个相同因式的多项式是（）A、①和②B、①和④C、①和③D、②和④2、已知（19乂一31）（13乂-17）-（13乂-17）（1口一23）可因式分解成（8乂+封（8乂+^，其中 a、b、c 均为整数，则a+b+c=？A、 -12B、 -32C、 38D、 723、若无2 + 2（m - 3）元+ 16是完全平方式，则m的值应为（）A、7B、-1C、-7 或 1D、7 或-14、可整除n3 - n的最大的数是（n是整数）（）A、2B、4C、6D、85、已知a + b = 10, a2 + b2 =80,则ab等于（）A、20B、10C、20D、一10二、填空题6、分解因式a2 -b2 - 2b -1 =.7、若整式4x2 + Q +1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是 ______ 。

(3) x 2 +6xy + 9y 2 -\6a 2 +8^-1 (4) a 2 -6ab+\2b + 9b 2 -4a因式分解练习丿一.提公因式法. 二、运用公式法. (-)分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bin + bn 例 2、分解因式：2ax -1 Oay + 5by-bx 练习:分解因式1、a 2 -ab + ac —bc(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x 2 -y 2 +ax + ay综合练习：(1) x 3 +x 2y-xy 2 -y 3 (2) ax 2 - bx 2 +bx-ax + a-b练习:分解因式3、%2 -x-9y 2 -3y 4、x 2 -y 2 -z 2 -2yz三、分组分解法. 例4、分解因式:a 2-2ab + b2-c 2(5) /一2/+/一9 (6) 4a2x-4a2y-h2x + h2y (3) x2+6xy + 9y2 -\6a2 +8^-1 (4) a2 -6ab+\2b + 9b2 -4a(7)x2-2xy-xz + yz + y2(8)a2-2a + b2 -2b + 2ab + \ (9)y(y-2)一(m -1)(/7? +1) (10) (a + c)(a -c) + b(b一2a)(11) a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a+ b) + 2abc (12) a3 +b3 +c3—3abc四、十字相乘法例5、分解因式：x2 +5x +6例6、分解因式：x2 -7x + 6 练习5、分解因式⑴ x2+i4x + 24(2)/-15“ + 36(3) x2+4.v-5练习6、分解因式⑴，+x — 2 (2) y2-2y-15 (3) x2-10x-24例7、分解因式:3X2-1L V +1O练习7、分解因式：(1) 5X2+7X-6 (2) 3X2-7X+2 (3)10X2-17X +3 (4) —6b+iiy + io例8、分解因式:a2-Sab-128b2练习8^ 分解因式(1) x2 - 3xy + 2y2⑵〃『一+ ⑶ a2 -ab-6b2例9、2x2 -7xy + 6y2例10、x2y2 -3^ + 2练习9、分解因式：(1) 15x2+7^-4y2(2) a2x2-6ax +8综合练习10、(1) 8A-6 -7x3 -1 (2) 12x2-lixy-15y2 (3) (x + y)2-3(x+y) —10(4)(a + by一4"一4Z? + 3综合练习10、(1) 8A-6 -7x3 -1 (2) 12x2-lixy-15y2(6) m 2 -4mn + 4n 2— 3m + 6n + 2 (7) x 2 + 4xy + 4y 2 -2x -4y-3 (8) 5(" + b)，+23(/—庆)一10(么一方)'(9) 4A 2 -4xy-6x + 3y + y 2 -10 (10) 12(x + y)2 +H(x 2 -y 2) + 2(x- y)2例11、分解因式：兀2 _3巧_i0y2+兀+ 9『_2练习 11、分解因式⑴亍+4x + 6y-5 (2) x 2 +xy-2y 2-x + ly-6 (3) x 2 +xy-6y 2 +x + 13y-6 (4) a 2 +ab-6b 2+ 5a + 35b - 36 例 12、分解因式(1) x 2 - 3xy-\0y 2 + x + 9y - 2 (2) +xy-6y ，+x + 13y-6 练习 12、分解因式(1) x 2 +xy — 2y 2 -x + 7y-6(5) x 2y 2 -5x 2y-6x 2 (2) 6x 2 - 7xy-3y 2 -xz + 7yz-2z 2七、换元法。

因式分解专项训练一、计算题1.（1）因式分解：（2）计算：2.因式分解：（1）x2﹣5x﹣6（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）y2﹣x2+6x﹣9（4）（a2+4b2）2﹣16a2b23.将下列各式因式分解（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）（2）x2+2x﹣154.分解因式：（1）（2）（3）5.分解因式：2m3﹣8mn26.分解因式：（1）（2）7.因式分解：（1）（2）8.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：乙：（分成两组）（分成两组）（直接提公因式）（直接运用公式）. （再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）；（2）.9.因式分解：（1）（2）10.因式分解：（1）；（2）11.因式分解（1）（2）12.在实数范围内分解因式：（1）（2）13.分解因式（1）（2）14.分解因式①4x2-16②16- m2③-4x3+16x2-16x④⑤9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）⑥ ；15.将下列各式分解因式（1）；（2）；（3）．16.分解因式：．17.把下列各式因式分解：（1）（2）18.分解因式：（1）；（2）19.分解因式（1）a3b﹣9ab（2）4ab2﹣4ab+a20.因式分解（1）﹣x3+2x2y﹣xy2（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）答案解析部分一、计算题1.【答案】（1）=（xy）2-4xy+22=（xy-2）2（2）=== ．2.【答案】（1）解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）（2）解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）（3）解：y2﹣x2+6x﹣9＝y2﹣（x2﹣6x+9）＝y2﹣（x﹣3）2＝（y+x﹣3）（y﹣x+3）（4）解：（a2+4b2）2﹣16a2b2＝（a2+4b2+4ab）（a2+4b2﹣4ab）＝（a+2b）2（a﹣2b）23.【答案】（1）解：原式＝x2（m﹣2）﹣y2（m﹣2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）；（2）解：原式＝（x+5）（x﹣3）．4.【答案】（1）原式（2）原式（3）原式.5.【答案】解：2m3﹣8mn2＝2m（m2﹣4n2）＝2m（m﹣2n）（m+2n）．6.【答案】（1）解：.（2）解：.7.【答案】（1）解：（2）解：8.【答案】（1）解：.（2）解：.9.【答案】（1）解：；（2）解：.10.【答案】（1）解：原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）=（x﹣y）（a+b）（2）解：原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+2y）2．11.【答案】（1）解：原式（2）解：原式．12.【答案】（1）解：x（x﹣10）+25＝x2﹣10x+25＝(x﹣5)2.（2）解：2ax4﹣8ay4＝2a（x4﹣4y4）＝2a（x2+2y2）（x2﹣2y2）＝2a（x2+2y2）（x+ y）（x﹣y）13.【答案】（1）解：x2-9，=x 2-32，=（x+3）（x-3）；（2）解：，=b（4a2-4ab+b2），=b（2a-b）2.14.【答案】①原式= =②原式=③原式= =④原式= =⑤原式= =⑥原式= =15.【答案】（1）解：5a2(3a+2)；（2）解：；（3）解：=3a( .16.【答案】解：原式=3（x2-2x+1）=3（x-1）2．17.【答案】（1）解：原式；（2）解：原式．18.【答案】（1）解：；（2）解：.19.【答案】（1）解：a3b﹣9ab＝ab（a2﹣9）＝ab（a﹣3）（a+3）（2）解：4ab2﹣4ab+a＝a（4b2﹣4b+1）＝a（2b﹣1）220.【答案】（1）解：﹣x3+2x2y﹣xy2=﹣x（x2﹣2xy+y2）=﹣x（x﹣y）2（2）解：x2（x﹣2）+4（2﹣x）=（x﹣2）（x2﹣4）=（x+2）（x﹣2）2。

1 初二因式分解竞赛例题精选及练习题1初二因式分解竞赛例题精选及练习题1.初二因式分解竞赛例题精选及练习题因式分解练习题一、提公因式法.二、运用公式法.三、分组分解法.（一）分组后能够轻易加公因式例1、分解因式：am an bm bn例2、分解因式：2ax10ay5by bx 练：水解因式1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式基准3、水解因式：x2y2ax ay基准4、水解因式：练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练：（1）x3x2y xy2y3（2）ax2bx2bx ax a b（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a（5）a42a3a29（6）4a2x4a2y b2x b2ya22ab b2c2（7）x22xy xz yz y2（8）a22a b22b2ab1（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(a c)(a c)b(b2a)（11）a2(b c)b2(a c)c2(a b)2abc（12）a3b3c33abc四、十字相乘法基准5、水解因式：x25x6基准6、水解因式：x27x6练习5、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5练6、水解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210x24例7、分解因式：3x211x10练7、水解因式：（1）5x27x6（2）3x27x2（3）10x217x3（4）6y211y10基准8、水解因式：a28ab128b2练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2基准9、2x27xy6y2基准10、x2y23xy2练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练10、（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y)10（4）(a b)24a4b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2（7）x24xy4y22x4y3（8）5(a b)223(a2b2)10(a b)2（9）4x24xy6x3y y210（10）12(x y)211(x2y2)2(x y)2例11、分解因式：x23xy10y2x9y2练11、水解因式(1)x2y24x6y5(2)x2xy2y2x7y6(3)x2xy6y2x13y6(4)a2ab6b25a35b36基准12、水解因式（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6练习12、分解因式（1）x2xy2y2x7y6（2）6x27xy3y2xz7yz2z2基准13、水解因式（1）2021x2(202121)x2021（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2练习13、分解因式（1）(x2xy y2)24xy(x2y2)（2）(x23x2)(4x28x3)90（3）(a21)2(a25)24(a23)2例14、分解因式（1）2x4x36x2x2（2）x44x3x24x1练14、（1）6x47x336x27x6（2）x42x3x212(x x2)八、添项、拆项、配方法。

初二级竞赛专题：因式分解一、重要公式1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3 ＋…＋a2＋a＋1)2、a2±2ab＋b2=(a±b)2；3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b);4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2);二、因式分解的一般方法及考虑顺序1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5）其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分）。

三、例题1、添项拆项[例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；　（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x)（2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)=(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)[例2]因式分解：（1）x3－11x＋20； （2）a5＋a＋1（1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x ＋4)=x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5)（2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1=a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1)2、待定系数法[例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法，可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y ＋b)，其中a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得 解得∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5) [另解]原式=2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)，这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)][nx＋(3y＋5)]比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y＋5)四、填空题1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，b=。

初二分解因式练习题及答案1. 分解因式练习题给定以下多项式，请分解因式：1) 3x^2 + 12x2) 5xy + 10x3) 4x^2 - 254) 2ab - 8a5) 9x^2 - 46) 2xy - x - 3y + 27) 36a^2 - 4b^28) 9x^2 + 30xy + 25y^29) 8x^2 - 12xy + 6x - 9y10) 16a^2 - 24ab + 9b^22. 分解因式答案下面是对应练习题的分解因式答案：1) 3x(x + 4)2) 5x(y + 2)3) (2x - 5)(2x + 5)4) 2a(b - 4)5) (3x - 2)(3x + 2)6) (2x - 1)(y - 3)7) (6a - 2b)(6a + 2b)8) (3x + 5y)(3x + 5y)9) 2x(4x - 6y + 3) - 3(4x - 6y + 3)10) (4a - 3b)^2通过以上练习题和答案，我们可以加强初二学生对分解因式的熟悉程度。

分解因式的过程可以帮助学生理解多项式的结构，以及如何将其拆分为较简单的因式相乘。

这对建立代数思维和解决数学问题非常重要。

分解因式是代数学中的基本技巧之一，主要包括提取公因数、差平方公式、平方差公式等。

借助这些方法，我们可以更轻松地处理多项式，简化运算过程，从而更好地理解代数表达式的含义并解决实际问题。

在学习分解因式时，我们需要掌握一些基本原则。

首先，要仔细观察多项式中是否存在公因数，如果有的话，可以进行提取公因数的操作。

其次，了解一些特殊的因式分解公式，如差平方公式和平方差公式等，这些公式可以帮助我们更迅速地分解多项式。

最后，要多加练习和细心分析，只有通过反复训练和思考，才能真正掌握分解因式的技巧。

除了练习和理解数组因式的基本技巧外，我们还应该关注其在实际问题中的应用。

因为分解因式是解决复杂代数问题的重要手段，如因式分解法可以帮助我们求解方程、解决实际问题。