高等数学：无穷小量与无穷大量

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

一、计划学时：2节

二、内容

三、要求

四、重点

五、难点

六、教学过程：

（一） 无穷小与无穷大

一、无穷小量

定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义：

定义2 设函数f(x)当x充分大时有定义。若  M>0， X >0， |x|> X  f (x) >M，则称函数f (x)当x→∞时为无穷大量，记为)()(xxf或)(limxfx.

注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x→0时，x1是无穷大；x→ -1时，2)1(1x也是无穷大；x→∞时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x→∞， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。将定义2中的“|x|> X”相应地改为“x< X ”和“x>-X ”即可得到x→∞时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。

例2 证明11lim1xx.

证  M >0，要使f (x) =│11x│>M，只要

| x -1|< M1，取  =M1，则当|1|0x时，

 │11x│>M， ∴ 11lim1xx.

注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图10—13 2)1(1xy

y=1

1

⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算

讲义

⽆穷⼩ 极限的简单计算

【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;

2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较 会⽤等价⽆穷⼩求极限;

3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】

1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;

2、⽆穷⼩的⽐较;

3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩ 等价⽆穷⼩替换;

4、求极限的⽅法。 【重点难点】

重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较 ⽤等价⽆穷⼩求极限。 难点就是未定式的极限的求法。

【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。 【授课内容】

⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义

前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-

→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。下⾯我们

⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即

＊{}

-

+

→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00

x x x x x x x x x n

定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊

。

例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x

,01lim

=∞→x x Θ .1

时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({

时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n

【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何

⾮零常量都不就是⽆穷⼩。

定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷

⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。显然,∞→n 时,Λ、

、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。⽆

高等数学极限公式汇总

在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限

1、 定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜ ＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、 数列极限的性质

（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜

0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜

0$）。

3、 常见数列的极限

（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$ （2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）

（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）

二、函数极限

1、 定义

（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限

对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜ ｜x x_0| ＜ ＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜ ＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限

对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜ ＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝

高等数学极限的公式总结

在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：

1. 极限的四则运算性质：

lim(a+b) = lim a + lim b

lim(a-b) = lim a - lim b

lim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)

lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)

2. 极限的常数性质：

lim a = a (当a是一个常数)

3. 极限的单调性：

lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)

4. 连续函数的性质：

如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x0

5. 无穷小量与无穷大量：

当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。

6. 洛必达法则： 如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。

7. 泰勒公式：

对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ <

x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。

8. 夹逼准则：

如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。

9. 无穷大与无穷小的关系：

lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）

lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）