2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷(理科)
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2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)．
1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|l≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数
a为（ ）
A．﹣2 B．2 C
． D
．
3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形
ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
4．（5分）函数f（x）＝xcosx﹣x3的大致图象为（ ）
A
． B
．
C
． D
．
5．（5分）在等比数列{a
n}中，a
2﹣a
1＝2，且2a
2为3a
1和a
3的等差中项，则a
4为（ ）
A．9 B．27 C．54 D．81
6．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，
根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：
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则下列说法正确的是（ ）
A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大
B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同
C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数
D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67
7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|
＜）的图象如图所示，为
了得到g（x）＝sin（ωx
+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（ ）
A
．向右平移个单位长度
B
．向左平移个单位长度
C
．向右平移个单位长度
D
．向左平移个单位长度
8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第
六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程
序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（ ）
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A．7 B．4 C．5 D．11
9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视
图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（ ）
A．6π+4 B．5π+2 C．5π+4 D．20π+16
10．（5分）设有如下三个命题：
甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；
丙：平面α与平面β相交．
当甲成立时（ ）
A．乙是丙的充分而不必要条件
B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充分且必要条件
D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣
x﹣1的零点分别为x
1，x
2，h（x）
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＝（）x且h（x
3
）＝，则x
1，x
2，x
3的大小关系为（ ）
A．x
1＜x
2＜x
3 B．x
1＜x
3＜x
2 C．x
2＜x
3＜x
1 D．x
3＜x
1＜x
2
12．（5
分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F
2，F
1，过F
1且
倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF
1的
垂直平分线过点F
2，则该双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．y
＝ B．y
＝ C．y
＝ D．y
＝
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）
13．（5分）已知
||＝2
，
是单位向量，且
与夹角为60
°，则•
（
﹣）等于 ．
14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为 ．
15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如
果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为 ．
16．（5分）已知等差数列{a
n}的公差为2，前n项和为S
n，且S
1，S
2，S
4成等比数列．令
b
n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b
n}的前100的项和为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．
（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；
（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．
18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD
沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．
（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；
（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．
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19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每
瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果
最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数
分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进
货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？
20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F
1，
F
2，三角形PF
1F
2的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线
总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．
（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x
1，x
2，且x
1＜x
2，求证1﹣≤＜1．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
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22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线C
1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C
2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重
合的直线l的极坐标方程为θ＝θ
0（ρ∈R），设l与曲线C
1，C
2异于极点的交点分别为A，
B．
（Ⅰ）当θ
0
＝时，求|AB|；
（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．
（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．
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2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)．
1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|l≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】根据补集、交集的定义即可求出．
【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，
∴∁RB＝{x|﹣1＜x＜1}，
∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数
a为（ ）
A．﹣2 B．2 C
． D
．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．
【解答】解：∵（2a+i）（1+i）＝（2a﹣1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，
∴2a﹣1＝0，即a
＝．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是
基础题．
3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形
ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（ ）
