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六年级数学专题讲义抽屉原理

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抽屉原理

把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；把(m×n+1)（或更多）个苹果放到n个抽屉里，必有一个抽屉里有(m+1)个（或更多个）苹果。

在抽屉原理的应用中，涉及三个数：苹果数、抽屉数、结论数。在实际应用中，首先我们要去判断哪个量代表“抽屉”，哪个量代表“苹果”，哪个量代表“结论”，然后具体确定各自的数值。

〖经典例题〗

例1、①一小队有13名同学，小明说：他们中必有两人是一个属相。请你说明为什么？②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？

【分析】①共有12个属相，将13个人放到12个抽屉里面，肯定有2人在同一个抽屉里，即同一个属相。②要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：4×12+1=49人，不能保证有6个人属相相同的最多人数为5×12=60人。所以，总人数应在49人到60人的范围内。

例2、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

【分析】首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

〖方法总结〗

这两个是抽屉原理的一个基本应用，主要考察对抽屉原理概念的理解。这时最重要的是要去判断哪个量代表“抽屉”，哪个量代表“苹果”，哪个量代表“结论”，然后具体确定各自的数值。

〖巩固练习〗

练习1：某班有52名同学，他们分别来自10所小学，请你证明，至少有一

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所小学来的人数超过5人。

练习2：一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

练习3：口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。证明：至少有4个人取出的球的颜色完全相同。

练习4：将1～10随意填在右图的10个○中。试说明至少有一行的数字之和不小于15。

〖经典例题〗

例3、一副扑克牌共54张，至少从中摸出多少张牌才能保证（1）至少5张牌的花色相同（2）四种花色的牌都有（3）至少有3张是黑桃。

【分析】（1）共四种花色，要5张牌的颜色相同，需4×4+1+2=19张。（2）要使四种花色的牌都有则在不利的情况下是三种颜色的牌都取完了（两王），如果再取一张，则肯定四种花色都有了。因此需要3×13+2+1=42张。（3）最不利的情况是取了两张黑桃，而其他的三种颜色都取完了，此时还需再取一张，因此共3×13+2+3=45张。

例4、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相匹配？

【分析】最不利的情况下，第一把锁试验9次，第二把锁试验8次，……，因此最多要试验9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。

例5、将400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本。问：至少有多少同学得到的书的本数相同？

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【分析】尽可能让大家的本数都不同，这时有1＋2＋…＋11＝66本，400÷66＝6……4。最不利的分法是：得1，2，…，11本书的各6人，还剩4本书，要使每人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本数相同。

例6、用载重1.5吨的汽车运送若干箱共重19.63吨的货物，每箱货物重量相同且不超过350千克。当每箱货物多重时，需要的汽车最多？最多需要多少辆汽车？

【分析】由1.5÷0.35=247知，每辆车至少能装4箱，当每箱不多于0.3吨时能装5箱，为使每辆车剩余的载重量尽量大，每箱的重量应大于且尽量接近0.3吨，此时，总箱数应小于19.63÷0.3=136530，所以应将19.63吨货物分为65箱，每箱重19.63÷65＝0.302（吨）＝302（千克），这时每辆车只能装4箱，需17辆汽车。

〖方法总结〗

这些题目都是抽屉原理里的最不利原则的应用，为了得到最少的数量，我们要尽量的让他们不相同，这样就是在最坏的情况下，而又不得不相同的才是最终的结果。

〖巩固练习〗

练习1：口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？

（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？

（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？

练习2：袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？

练习3：要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中，每个盒子最多可以装5个乒乓球。证明：至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。

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练习4：一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分。问：至少有几人的得分相同？

〖经典例题〗

例7、在边长为3米的正方形内，任意放28个点，求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。

【分析】我们将正方形分成9个小正方形，每个正方形的面积是1平方米，那么28个点放到9个抽屉里，必有四个点落在一个小正方形里，这四个点的面积不超过1平方米。

例8、能否在88的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1,或2,或3,要使每行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由.

【分析】注意到8行、8列及两对角线共有18条“线”,

每条线上有8个数字,要使每条线上的数字和不同,也就是需要

每条线上的数字和有18种以上的可能.但我们填入的数只有

1、2、3三种,因此在每条线上的8个数字中,其和最小是8,最大是24,只有24-8+1=17(种).故不可能.

例9、平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

【分析】（1）如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心，以1为半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内.

（2）如果这17个点中，有两点之间距离不小于1。设这两点为1O、

2O，分别以1O、2O为圆心，1为半径作两个圆（如图）.把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1，因此其他15个点中的每一点，到1O、2O的距离必有一个小于1.也就是说这些点必落在某一个圆中.根据抽屉原理必有一个圆至少包含这15个点中的8个点.由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点.

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〖方法总结〗

这是抽屉原理在划分图形中的应用，对于这样的题目我们要根据要求将图形划分为符合条件的几个小图形，然后再利用抽屉原理解题。

如例7，它要求四边形的面积不超过1平方米，那么我们就将原图形划分为若干个面积为1平方米的四边形，然后再利用抽屉原理就显而易见了。

再如例8，它要求的是和不相同，那我们就找和，看看有多少个和。

〖巩固练习〗

练习1：在边长为1的正三角形中，任意放入5个点。证明：其中至少有两个点的距离不大于12。

练习2：在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

练习3：在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰。证明：一定有两个同学间的距离不大于10米。

练习4:在边长为1米的正方形内，任意放入9个点，求证：至少有3个点，以这三个点为顶点的三角形面积不大于18平方米。

〖经典例题〗

例10、用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色，证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。

【分析】因为每列只有两格，而这两格的染法只有（下图）四种，将4种染色方式当作4个抽屉，题中所有的方格共有5列，根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。

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例11、对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

【分析】每一列的三个格用黑、白两种颜色染色，所有可能的染法只有如下图中的八种。

如果在所染色的3行7列阵列中某一列是第（1）种方式，即三格均为白色，则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之一（即该列中至少有两个白格），那么显然存在一个四角格都是白色的长方形。若第（1）（2）（3）（4）种方式均未出现，那么其余6列就只能是（5）（6）（7）（8）这四种方式，根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样。又（5）～（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。

同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑色，那么也存在四角同色的长方形。

如果在7列中（1）（8）两种方式都未出现，则只有（2）（3）（4）（5）（6）（7）这六种方式染这7列，根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样。所以仍然存在四角同色的长方形。

〖方法总结〗

这两个题目是抽屉原理中的染色问题，如例10，这样问题还是要根据题目的要求找出所有的染色方法，每一个方法代表一个抽屉，根据抽屉原理解题。

如例11，我们要分情况讨论。

〖巩固练习〗

练习1：如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。

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六年级数学教案《抽屉原理》

六年级数学教案《抽屉原理》

一、教学目标

1.理解抽屉原理的基本概念和应用。

2.掌握运用抽屉原理解决问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重点

1.抽屉原理的概念和应用。

2.运用抽屉原理解决问题。

三、教学难点

1.运用抽屉原理解决复杂问题的能力。

四、教学准备

1.教师准备好教学课件和教学实例。

2.学生准备好教科书、笔记本和铅笔。

五、教学过程

Step 1 导入（5分钟）

2.学生提示回答，教师出示抽屉原理表述：“如果将n+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子中的物体的数目多于1个。”

3.教师解释，抽屉原理就是讲将若干个物体放入若干个地方，那么至少有一个地方是存放了两个或两个以上的物体。

Step 2 探究（20分钟） 1.教师用3个抽屉和8对袜子的实例，引导学生自行思考和发现抽屉原理的应用。

2.学生完成思考后，教师请学生发表观点。

3.教师引导学生总结抽屉原理的应用：分析物体和盒子的关系，然后运用抽屉原理来解题。

Step 3 巩固（15分钟）

1.教师出示一些具体题目，引导学生运用抽屉原理解题。

2.学生个人完成练习题，然后与同学进行比较和分享。

3.教师对学生的答案进行讲解和总结。

Step 4 拓展（15分钟）

1.教师出示一些更复杂的问题，要求学生运用抽屉原理解答。

2.学生个人或小组完成拓展题目。

3.学生汇报答案，教师进行点评和引导。

Step 5 归纳总结（10分钟）

1.教师和学生共同总结抽屉原理的概念和应用。

2.教师与学生讨论抽屉原理在实际生活中的应用。

六、课堂小结

通过本节课的学习，我们知道了抽屉原理的概念和应用。抽屉原理是解决问题的一种基本方法，可以帮助我们更好地分析和解决问题。下节课我们将继续学习数学中的其他原理和方法。 七、课后作业

1.完成课后练习题目。

2.思考生活中还有哪些问题可以应用抽屉原理来解决，并写一篇小结。

教学实例：

例1：有20个学生共坐在三排座位上，也就是有三个抽屉，排列方式是第一排5个座位、第二排7个座位、第三排8个座位。问至少应有多少个学生坐在同一排？

六年级奥数.杂题.抽屉原理(ABC级).学生版

六年级奥数.杂题.抽屉原理(ABC级).学生版

MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.杂题.抽屉原理（ABC级）.学生版 Page1 of 11

一、 知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、 抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、 抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（2）余数＝x11xn， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

（二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

知识框架 抽屉原理 MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.杂题.抽屉原理（ABC级）.学生版 Page2 of 11

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：

（1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；

（2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程；

六年级数学抽屉原理(一)

六年级数学抽屉原理(一)

第1讲抽屉原理(一)

例1六年级有31名学生是在9月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是在同一天。为什么?

例2在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。为什么?

例3任意4个自然数，其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么?

例4(1)从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102；

(2)从1到100的所有奇数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于102。请说明理由。

例5下面画出了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色。不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么?

思考与练习

1．数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书?

2．某小学学生的年龄最大的为13岁．最小的为6岁，至多需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同?

3．在100米的路段上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米?

4．任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数?

5．从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。这是为什么?

6．从1，2，3，4，…，10这10个数中，任取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数?

7．从1，2，3，…，12这12个数中，任意取出7个数．其中差等于6的数至少有多少对?

8．有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同(每抓一次后又放回，再抓另一次)?

9．学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每名同学从中任意借两本。那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同?

10．将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，最少要把这些苹果和梨分成多少堆?

六年级上册奥数第29讲 抽屉原理(1)

六年级上册奥数第29讲 抽屉原理(1)

1 第29讲 抽屉原理（1）讲义

专题简析

如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么背定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本练习册分给两名同学，那么肯定其中有一名同学至少分到2本练习册。这些事例中蕴含着数学中的“抽屉原理”。基本的抽屉原理有两条：(1)如果把x＋k(k≥1)个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。(2)如果把m×x＋k(k≥1)个元素放到x个抽屜里，那么至少有一个抽屉里含有(m+1)个或(m+1)个以上的元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”，哪些是“元素”。然后按以下步骤解答：a.构造抽屉，指出元素；b.把元素放入(或取出)抽屉。C.说明理由，得出结论。本周我们先来学习第一条原理及其应用。

例1、某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么?

练习：1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么?

2、某校有30名学生是2月份出生的。能否至少有2名学生的生日是在同一天?

3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生?

2 例2、某班学生去买语文书、数学书、英语书。买书的情况是：有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)

练习：1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、两本、三本或四本的。问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)

2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每名学生从中任意借两本，那么至少要几名学生才能保证一定有2名学生所借的图书属于同一种？

3、一个布袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种。问最少要取出多少个珠子才能保证有2个是同色的?