高考数列专题题型讲解及答案

高考数学复习历年考点题型专题讲解38数列中的通项公式一、题型精讲 解题方法与技巧 题型一、由S a n n 与的关系求通项公式例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N *=+∈，且12a =.求数列{}n a 的通项公式；【解析】因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==,所以2n a n =例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足1,a 2,a 31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2nn n a S +=.求：（1）,n a n b ；【解析】设{}n a 的公比为q. 因为1,a 2,a 31a a -成等差数列， 所以()21312a a a a =+-，即232a a =.因为20a ≠，所以322a q a ==. 因为134a a a =，所以4132a a q a ===. 因此112n n n a a q-==.由题意，2(1)log 2n n n a S +=(1)2n n+=.所以111b S ==，1223b b S +==，从而22b =.所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=.所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-⋅=.例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.求数列{}n a 的通项公式；【解析】当1n =时，211142a a a =+，整理得2112a a =，10a >，解得12a =；当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得211142n n n S a a ---=+②，①－②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()221120n n n n a a a a ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； 题型二、由a a n n 与1+的递推关系求通项公式例3、【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21nn a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n na ab a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}kn a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．212n n a n -=⨯ B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯【答案】B【解析】根据题中定义可得()()2*1112n n n n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，即()1122nn n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122nn n a a +=+，等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且1122a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n n a n n ∴=+-=， 因此，12n n a n -=⋅.故选：B.例5、【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221nna c -的通项公式；【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯． 所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯． （2）（i ）()()()()22211321321941nnnn n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．所以，数列(){}221nna c -的通项公式为()221941nnn a c -=⨯-．题型三、新定义题型中通项公式的求法例6、【2020年高考江苏】已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； 【解析】（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=，也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）（2）因为数列*{}()n a n ∈N是“”数列，==．因为0n a >，所以10n n S S +>>1-=．n b，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =，即2=，也即14n nS S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12mi i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12mi i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得1pq r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ，又12,,,pr r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0pm r a a ≤.所以0m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）.假设2m 排在2m −1之后.设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m . 因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B .2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，在正项等比数列{}n b 中22b a =，45b a =．求{}n a 和{}n b 的通项公式；【解析】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，1n n n a S S -=- =22(1)[(1)(1)1]n n n n -+----+=22n -，所以1(1)22(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．所以22b =，48b =于是2424b q b ==，解得2q 或2q =-（舍）所以22n n b b q-=⋅=12n -．3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==.（1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； 【解析】证明：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．因为121n n a a n +=+- 所以()()112n n a n a n +++=+ 所以12n n b b +=．又12b =，所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，所以1222n n n b -=⨯=．4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列.求数列{}n a 的通项公式；【解析】对任意*n ∈N ，有()()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=. 当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 【解析】（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．由已知得11914684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．于是12(1)21n a n n =+-=-．（2）当1n =时，1111122b a =-=． 当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n n nb a -=---=， 当1n =时上式也成立．于是12n n nb a =． 故12122n n n n n b a -==． 6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n N ∈，且2n ≥）求数列{}n a 的通项公式；【解析】由n a =1n n S S --=+1(2)n =≥，所以数列1==为首项，以1为公差的等差数列，1(1)1n n =+-⨯=，即2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-；7、【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==． 从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n项和．①求数列{b n }的通项公式；【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n nb b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .。

高考求数列真题及答案解析数列是高中数学中的重要概念，也是高考数学中的必考内容之一。

在高考数学试卷中，数列题目通常包括数列的概念、性质、递推公式、通项公式等方面的考查。

为了帮助广大考生更好地备考数列题目，在本文中，我们将对一些高考数列题目进行解析，希望对考生们有所帮助。

第一题：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3^n，求数列{an}的前n项和Sn。

解析：要求数列的前n项和Sn，我们需要先确定数列的通项公式。

题目中给出的通项公式为an = 2^n + 3^n，因此可以得到数列的前n项和Sn的表达式为：Sn = a1 + a2 + ... + an。

将通项公式代入到Sn的表达式中，我们可以得到：Sn = (2^1 + 3^1) + (2^2 + 3^2) + ... + (2^n + 3^n)。

这是一个等差数列求和的问题，由等差数列的求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，我们可以将Sn重新整理为：Sn = [(2^1 + 2^n) + (3^1 + 3^n)] * n / 2。

进一步化简，我们可以得到：Sn = [(2 + 2^n) + (3 + 3^n)] * n / 2。

至此，我们得到了数列{an}的前n项和Sn的表达式。

第二题：已知数列{an}满足an+1 = an + 2n + 3，a1 = 4，求数列{an}的通项公式。

解析：题目给出了数列的递推公式an+1 = an + 2n + 3，我们可以尝试寻找数列的递推关系。

观察递推公式可以得知，数字2n + 3可能是数列的公差。

我们可以将递推公式进行一下变换：an+1 - an = 2n + 3。

再次变形，我们可以得到：an+1 - an - (n + 3) = n。

将等式两边同时累加，可以得到：a2 - a1 - n - 3 = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n。

根据等差数列的求和公式，1 + 2 + ... + (n - 1) + n 的等于n(n + 1)/2。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 2．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 答案：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.3．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8答案：BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.4．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >答案：ABD 【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.6．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =- B ．23n a n =+ C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+答案：AC 【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 8．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ACD 【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】 由已知解析：ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nnN上单调递增，1na 在7nn N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值答案：CD 【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案； 【详解】 ，，设，则点在抛物线上， 抛物线的开口向下，对称轴为， 且为的最大值，解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上， 抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

高考数学复习考点题型专题讲解专题10 数列的递推关系与通项1.求数列的通项公式是高考的重点内容，等差、等比数列可直接利用其通项公式求解，但有些数列是以递推关系给出的，需要构造新数列转为等差或等比数列，再利用公式求解.2.利用数列的递推关系求数列的通项，常见的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)构造法(包括辅助数列法，取倒数法，取对数法等).类型一利用a n与S n的关系求通项1.已知S n求a n的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式.(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，若符合，则数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.2.S n与a n关系问题的求解思路(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解.(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.例1 (1)已知数列{a n}为正项数列，且4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{a n}的各项均为正数，且S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，求数列{a n}的通项公式.解(1)由题知4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S nan＋2＝S n，①则4S1a1＋2＋4S2a2＋2＋…＋4S n－1an－1＋2＝S n－1(n≥2，n∈N*)，②由①－②可得4S nan＋2＝a n，即4S n＝a2n＋2a n，n≥2，n∈N*，在已知等式中令n＝1，得4S1a1＋2＝S1，则4S1＝a1(a1＋2)，③满足上式，所以4S n＝a2n＋2a n，④则4S n－1＝a2n－1＋2a n－1(n≥2)，⑤④－⑤可得4a n＝a2n＋2a n－a2n－1－2a n－1⇔2(a n＋a n－1)＝a2n－a2n－1. 因为a2n－a2n－1＝(a n＋a n－1)(a n－a n－1)，a n>0，所以a n－a n－1＝2，所以{a n}为公差是2的等差数列，由③可解得a1＝2，所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N*).(2)由S n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an＋1an，得当n ≥2时，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －S n －1＋1S n －S n －1，所以2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，即S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，所以S 2n －S 2n －1＝1，所以{S 2n }为公差是1的等差数列，所以S 2n ＝S 21＋(n －1).在S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 中，令n ＝1可得S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，解得a 1＝1，所以S 2n ＝n ，所以S n ＝n ，所以a n ＝⎩⎨⎧S n －S n －1，n ≥2，S 1，n ＝1＝⎩⎨⎧n －n －1，n ≥2，1，n ＝1，所以a n ＝n －n －1(n ∈N *).训练1 已知正项数列{a n ＋2n －1}的前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3.求数列{a n }的通项公式.解 由题知4S n ＝a 2n ＋(2n ＋2)a n ＋4n －1＋2n －3＝(a n ＋2n －1)2＋2(a n ＋2n －1)－3， 令b n ＝a n ＋2n －1， 则4S n ＝b 2n ＋2b n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝b 2n －1＋2b n －1－3，②由①－②，得4b n ＝b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1， 整理得(b n －b n －1－2)(b n ＋b n －1)＝0. 因为b n >0，所以b n －b n －1＝2(n ≥2). 又4S 1＝b 21＋2b 1－3， 即b 21－2b 1－3＝0，解得b 1＝3或b 1＝－1(舍去)，所以数列{b n }是以3为首项，2为公差的等差数列， 则b n ＝2n ＋1，所以a n ＝b n －2n －1＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *). 类型二 构造辅助数列求通项(1)形如a n ＝pa n －1＋q (p ≠1，q ≠0)的形式，通常可构造出等比数列a n ＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1，进而求出通项公式. (2)形如a n ＝pa n －1＋q n ，此类问题可先处理q n ，两边同时除以q n ，得a nq n ＝pa n －1q n＋1，进而构造成a n q n ＝p q ·a n －1q n －1＋1，设b n ＝a n q n ，从而变成b n ＝pqb n －1＋1，从而将问题转化为第(1)个问题.(3)形如qa n －1－pa n ＝a n a n －1，可以考虑两边同时除以a n a n －1，转化为q a n －pa n －1＝1的形式，进而可设b n ＝1a n，递推公式变为qb n －pb n －1＝1，从而转变为上面第(1)个问题.(4)形如a n ＝ma n －1k （a n －1＋b ）(其中n ≥2，mkb ≠0)取倒数，得到1a n ＝k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a n －1⇔1a n＝kb m ·1a n －1＋km，转化为(1)中的类型. (5)形如a n ＝pa r n －1(n ≥2，a n ，p >0)两边取常用对数，得lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，转化为(1)中的类型. 考向1 构造法求通项例2 (1)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由a n ＝2a n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，得2n a n ＝2n ＋1a n ＋1－1，所以数列{2n a n }是首项和公差均为1的等差数列， 于是2n a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， 所以a n ＝n2n (n ∈N *).(2)因为S n ＋1－2S n ＝1， 所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)，n ∈N *. 因为a 1＝S 1＝1， 所以可推出S n ＋1>0，故S n ＋1＋1S n ＋1＝2， 即{S n ＋1}为等比数列. 因为S 1＋1＝2，公比为2， 所以S n ＋1＝2n ， 即S n ＝2n －1.因为S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 又a 1＝1也满足此式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). 考向2 取倒数法求通项 例3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n a n ＋3，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.解 对a n ＋1＝a na n ＋3两边取倒数，可得1a n ＋1＝3a n＋1，由1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，∴1a n ＋12＝3n －1， 则a n ＝22·3n －1－1(n ∈N *). 考向3 取对数法求通项例4 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2a 2n －1(n ≥2).求数列{a n }的通项公式. 解 对a n ＝2a 2n －1两边取对数得log 2a n ＝1＋2log 2a n －1， ∴log 2a n ＋1＝2(log 2a n －1＋1)， 设b n ＝log 2a n ＋1，则{b n }是以2为公比，1为首项的等比数列，所以b n ＝2n －1， 即log 2a n ＋1＝2n －1， 故a n ＝22n －1－1(n ∈N *).训练2 (1)若数列{a n }中，a 1＝3，且a n ＋1＝a 2n ，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1，则a n ＝________.答案 (1)32n －1(n ∈N *) (2)12n －1(n ∈N *) 解析 (1)易知a n >0，由a n ＋1＝a 2n 得lg a n ＋1＝2lg a n ， 故{lg a n }是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列， 则lg a n ＝lg a 1·2n －1＝lg 32n －1， 即a n ＝32n －1(n ∈N *). (2)由a n ＝a n －12a n －1＋1，取倒数得1a n ＝2＋1a n －1，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以2为公差，1为首项的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1(n ∈N *).(3)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12(a n －2)，所以数列{a n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列，所以a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n ∈N *.一、基本技能练1.(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2S n ＋1，则a 7＝________. 答案 96解析 因为S n ＋1＝2S n ＋1， 所以S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 1＝2，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，得a 2＝3， 所以数列{a n }从第二项开始成等比数列， 因此其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2， 所以a 7＝3×25＝96.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝2n （n ＋1）(n ∈N *)解析 由S n ＝n 2a n 可得， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 则a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n2－1)a n＝(n－1)2a n－1，故anan－1＝n－1n＋1，所以a n＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24×13×1＝2n（n＋1）.当n＝1时，a1＝1满足a n＝2n（n＋1）.故数列{a n}的通项公式为a n＝2n（n＋1），n∈N*.3.已知正项数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝a n，则a n＝________.答案221－n(n∈N*)解析将a n＋1＝a n两边取以2为底的对数得log2a n＋1＝12log2an，∴数列{log2an}是以1为首项，12为公比的等比数列，故log2an＝1×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝21－n，即a n＝221－n(n∈N*).4.数列{a n}的首项a1＝2，且a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，令b n＝log3(a n＋1)，则b n＝________. 答案n(n∈N*)解析由a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)可知a n＋1＋1＝3(a n＋1)，又a1＝2，知a n＋1≠0，所以数列{a n＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，因此a n＋1＝3·3n－1＝3n，故b n ＝log 3(a n ＋1)＝n .5.(2022·南京调研)在数列{b n }中，b 1＝－1，b n ＋1＝b n 3b n ＋2，n ∈N *，则通项公式b n ＝________.答案 12n －3(n ∈N *)解析 由b n ＋1＝b n 3b n ＋2，且b 1＝－1.易知b n ≠0，得1b n ＋1＝2b n＋3.因此1b n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋3，1b 1＋3＝2， 故⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ＋3是以2为首项，2为公比的等比数列，于是1b n＋3＝2·2n －1，可得b n ＝12n－3，n ∈N *. 6.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋ln 3(n ≥2)，则数列{a n }的通项a n ＝________. 答案 (1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *)解析 由a n ＝2a n －1＋ln 3得a n ＋ln 3＝2(a n －1＋ln 3)， 则{a n ＋ln 3}是以1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n －1， 因此a n ＝(1＋ln 3)·2n －1－ln 3(n ∈N *).7.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n .某同学已经证明了数列 {a n ＋1－2a n }和数列{a n ＋1＋a n }都是等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 2n ＋1－（－1）n －13(n ∈N *)解析因为a n＋2＝a n＋1＋2a n，所以当n＝1时，a3＝a2＋2a1＝5.令b n＝a n＋1－2a n，则{b n}为等比数列. 又b1＝a2－2a1＝1，b2＝a3－2a2＝－1，所以等比数列{b n}的公比q＝b2b1＝－1，所以b n＝(－1)n－1，即a n＋1－2a n＝(－1)n－1.①令c n＝a n＋1＋a n，则{c n}为等比数列，c1＝a2＋a1＝4，c2＝a3＋a2＝8，所以等比数列{c n}的公比q1＝c2c1＝2，所以c n＝4×2n－1＝2n＋1，即a n＋1＋a n＝2n＋1.②联立①②，解得a n＝2n＋1－（－1）n－13.8.(2022·青岛二模)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝12，a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，则b2 023＝________.答案2 023 2 024解析因为a n＋b n＝1，b n＋1＝bn1－a2n，所以1－a n＋1＝1－a n（1－a n）（1＋a n），a n ＋1＝1－11＋a n ＝a n1＋a n ，所以1a n ＋1＝1a n＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，其公差为1，首项为1a 1＝2，所以1a n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝1n ＋1， 所以b n ＝n n ＋1，所以b 2 023＝2 0232 024.9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n －na n ＝3n (n ∈N *)，且S 3＝15，则S 10＝________. 答案 120解析 当n ＝1时，2S 1－a 1＝3， 解得a 1＝3. 又2S n －na n ＝3n ，①当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝3(n －1)，② 所以①－②得(n －1)a n －1－(n －2)a n ＝3，③ 当n ≥3时，(n －2)a n －2－(n －3)a n －1＝3，④ 所以④－③得(n －1)·a n －1－(n －2)a n ＝(n －2)a n －2－(n －3)a n －1， 可得2a n －1＝a n ＋a n －2，所以数列{a n }为等差数列，设其公差为d .因为a 1＝3，S 3＝3a 1＋3d ＝9＋3d ＝15， 解得d ＝2， 故S 10＝10×3＋10×92×2＝120. 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，则数列{a n }的通项公式为________.答案a n ＝2n ＋n (n ∈N *) 解析∵a n ＋1＝2a n －n ＋1， ∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴a n ＋1－（n ＋1）a n －n＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋n (n ∈N *).11.数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1，a 1＝－1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝3a n ＋2n ＋1， ∴a n ＋12n ＋1＝32·a n2n＋1, ∴a n ＋12n ＋1＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋2， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋2是以a 12＋2＝32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n，∴a n ＝3n －2n ＋1，∴S n ＝(31＋32＋…＋3n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)＝3－3n ＋11－3－4－2n ＋21－2＝3n ＋12－2n ＋2＋52(n ∈N *).12.已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，则{a n }的通项公式为________. 答案a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *)解析∵a n ＋1＝2a n ＋3a n －1， ∴a n ＋1＋a n ＝3(a n ＋a n －1)，∴{a n ＋1＋a n }是以a 2＋a 1＝3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n .① 又a n ＋1－3a n ＝－(a n －3a n －1)，∴{a n ＋1－3a n }是以a 2－3a 1＝－1为首项，－1为公比的等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝(－1)×(－1)n －1＝(－1)n ，② 由①－②得4a n ＝3n －(－1)n ， ∴a n ＝3n －（－1）n4(n ∈N *).二、创新拓展练13.(2022·金丽衢12校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且T n ＝a 1a 2…a n ，若T n ＋1＝a n T na 2n ＋1，n ∈N *，则( )A.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，111B.a 50∈⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110C.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，17D.a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，15答案 B解析 因为T n ＝a 1a 2…a n ， 所以a n ＋1＝T n ＋1T n. 因为T n ＋1＝a n T na 2n ＋1， 所以a n ＋1＝a n a 2n ＋1，所以1a n ＋1＝a n ＋1a n.因为a 1＝1>0，所以1a n ＋1>1a n >0，a 2＝12， 所以0<a n ＋1<a n ≤1， 所以1a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n＋2，所以a 2n ＋2＝1a 2n ＋1－1a 2n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94，n ≥2.由累加法可得1a 210－1a 22∈(16，18)，所以1a 10∈(20，22)，所以a 10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2222，510，同理可得a 50∈⎝⎛⎭⎪⎫1121，110＝⎝ ⎛⎭⎪⎫111，110，故选B. 14.(多选)(2022·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n(n ∈N *)，则下列结论正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3为等比数列 B.{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1－3C.{a n }为递增数列D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4答案 ABD 解析 因为1a n ＋1＝2＋3a na n ＝2a n＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 又1a 1＋3＝4≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1a n＋3＝4×2n －1，则a n ＝12n ＋1－3， 所以{a n }为递减数列，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝22＋23＋…＋2n ＋1－3n ＝4（1－2n ）1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4，故ABD 正确.15.(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{a n }，则( )A.a 4＝12B.a n ＋1＝a n ＋n ＋1C.a 100＝5 050D.2a n ＋1＝a n ·a n ＋2答案 BC解析 由题意知，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，…，a n ＝a n －1＋n ， 故a n ＝n （n ＋1）2，∴a 4＝4×（4＋1）2＝10，故A 错误；a n ＋1＝a n ＋n ＋1，故B 正确； a 100＝100×（100＋1）2＝5 050，故C 正确；2a n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)，a n ·a n ＋2＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）4，显然2a n ＋1≠a n ·a n ＋2，故D 错误.16.(多选)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n 项记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A.a 60＝16 B.S 18＝128 C.a k 2＋k 2＝2k －1D.S k 2＋k 2＝2k －k －1答案 AC解析 由题意可将数列分组： 第一组为20， 第二组为20，21， 第三组为20，21，22， ……，则前k 组一共有1＋2＋…＋k ＝k （1＋k ）2个数.第k 组第k 个数为2k －1， 故a k 2＋k 2＝2k －1，所以C 正确.因为10×（10＋1）2＝55，所以a 55＝29，又11×（11＋1）2＝66，则a 60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210， 故a 60＝24＝16，所以A 正确.每一组数的和为20＋21＋…＋2k －1＝2k －12－1＝2k －1，故前k 组数之和为21＋22＋ (2)－k ＝2（2k －1）2－1－k ＝2k ＋1－2－k ，S k 2＋k 2＝2k ＋1－k －2，所以D 错误.S 15＝26－5－2＝57，S 18＝S 15＋20＋21＋22 ＝26－5－2＋7＝64，所以B 错误.故选AC. 17.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝7a n －2a n ＋4，则该数列的通项公式a n ＝________. 答案4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1(n ∈N *)解析 由a n ＋1－1a n ＋1－2＝7a n －2a n ＋4－17a n －2a n ＋4－2＝7a n －2－（a n ＋4）7a n －2－2（a n ＋4）＝65·a n －1a n －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －1a n －2是首项为a 1－1a 1－2＝2，公比为65的等比数列，所以a n －1a n －2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1，解得a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫65n －1－1＋2＝4·6n －1－5n －12·6n －1－5n －1，n ∈N *.18.(2022·徐州考前卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，写出一个满足S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n 的通项公式：a n ＝________.答案 2n (答案不唯一)解析 当a n ＝2n时，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－22n 2n＝2n ＋1－2＝S n ，∴a n ＝2n 满足条件.。

高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§6.4 数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一 形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型命题点1 a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)例1(1)数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)且a 1＝0，则a 2 024等于( )A ．22 023－1B ．42 023－1C ．22 023＋1D ．42 023＋1 答案 B解析 ∵a n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4(a n －1＋1)(n ≥2)，∴{a n ＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n ＋1＝4n －1.∴a n ＝4n －1－1，∴a 2 024＝42 023－1.(2)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且1a n ＋1＝3a n＋2，则数列{a n }的通项公式为__________． 答案 a n ＝12·3n －1－1解析 ∵1a n ＋1＝3a n ＋2，等式两边同时加1整理得1a n ＋1＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，又∵a 1＝1，∴1a 1＋1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为2，公比为3的等比数列．∴1a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝12·3n －1－1.命题点2 a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)例2已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －n ＋1(n ∈N *)，a 1＝3，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2，∴数列{a n －n }是以a 1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n －n ＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋n .命题点3 a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)例3(1)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1，n ∈N *.则数列{a n }的通项公式为() A ．a n ＝(2n ＋1)·3n B ．a n ＝(n －1)·2nC ．a n ＝(2n －1)·3nD ．a n ＝(n ＋1)·2n答案 C解析 由a n ＋1＝3a n ＋2·3n ＋1得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋2·3n ＋13n ＋1，∴a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n3n ＝2n －1，故a n ＝(2n －1)·3n .(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝6a n ＋3n ，则a n ＝________.答案 6n 3－3n －1解析 将已知a n ＋1＝6a n ＋3n 的两边同乘13n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝2·a n 3n ＋13， 令b n ＝a n 3n ，则b n ＋1＝2b n ＋13，利用命题点1的方法知b n ＝2n 3－13，则a n ＝6n 3－3n －1. 思维升华跟踪训练1(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．n ·2nC ．(n －1)·2nD ．(n ＋1)·2n 答案 A解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n 得a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，设b n ＝a n 2n －1，则b n ＋1＝b n ＋1， 又b 1＝1，∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．∴b n ＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，(2＋a n )·(1－a n ＋1)＝2，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则a 2 023(S 2 023＋2 023)的值为( )A．22 023－2 B．22 023－1 C．2 D．1 答案 C解析(2＋a n)(1－a n＋1)＝2，则a n＋1＝a na n＋2，即1a n＋1＝2a n＋1，得1a n＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a n＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，1a n＋1＝2n，1a n＝2n－1，a n＝12n－1，S2 023＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2，∴a2 023(S2 023＋2 023)＝2.(3)已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋n，a1＝2，则a n＝________. 答案2n＋1－n－1解析令a n＋1＋x(n＋1)＋y＝2(a n＋xn＋y)，即a n＋1＝2a n＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以a n＋1＋(n＋1)＋1a n＋n＋1＝2，所以数列{a n＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a n＋n＋1＝4×2n－1，即a n＝2n＋1－n－1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如a n＋1＝pa n＋qa n－1)例4(1)已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，则a9＋a10等于() A．47 B．48C．49 D．410答案 C解析由题意得a1＋a2＝4，由a n＝3a n－1＋4a n－2(n≥3)，得a n＋a n－1＝4(a n－1＋a n－2)，即a n ＋a n －1a n －1＋a n －2＝4(n ≥3)， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a 9＋a 10＝49.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 3n －(－1)n 4解析 方法一 因为a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 设b n ＝a n ＋1＋a n ，所以b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝3(a n ＋a n －1)a n ＋a n －1＝3， 又因为b 1＝a 2＋a 1＝3，所以{b n }是以首项为3，公比为3的等比数列．所以b n ＝a n ＋1＋a n ＝3×3n －1＝3n ，从而a n ＋13n ＋1＋13·a n 3n ＝13， 不妨令c n ＝a n 3n ，即c n ＋1＋13c n ＝13，故c n ＋1－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －14，即c n ＋1－14c n －14＝－13，又因为c 1－14＝a 13－14＝112，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n －14是首项为112，公比为－13的等比数列， 故c n －14＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1＝a n 3n －14，从而a n ＝3n －(－1)n 4. 方法二 因为方程x 2＝2x ＋3的两根为－1,3，可设a n ＝c 1·(－1)n －1＋c 2·3n －1，由a 1＝1，a 2＝2，解得c 1＝14，c 2＝34，所以a n ＝3n －(－1)n 4. 思维升华可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }．跟踪训练2若x ＝1是函数f (x )＝a n ＋1x 4－a n x 3－a n ＋2x ＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 3n －1解析 f ′(x )＝4a n ＋1x 3－3a n x 2－a n ＋2，∴f ′(1)＝4a n ＋1－3a n －a n ＋2＝0， 即a n ＋2－a n ＋1＝3(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2×3n －1，则a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2×3n －2＋…＋2×30＋1＝3n －1.题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎪⎫形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s 型 例5(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 4a n ＋1(n ∈N *)，则满足a n >137的n 的最大取值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析 因为a n ＋1＝a n 4a n ＋1，所以1a n ＋1＝4＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝4，又1a 1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以1a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3，所以a n ＝14n －3，由a n >137，即14n －3>137，即0<4n －3<37，解得34<n <10，因为n 为正整数，所以n 的最大取值为9.(2)(多选)数列{a n }满足a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，a 1＝1，则下列结论正确的是( ) A.2a 10＝1a 3＋1a 17B.1{2}n a 是等比数列 C ．(2n －1)a n ＝1 D ．3a 5a 17＝a 49答案 ABC解析 由a n ＋1＝a n 1＋2a n， 可得1a n ＋1＝1＋2a n a n ＝1a n ＋2，所以1a n ＋1－1a n ＝2，且1a 1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2， 所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，则(2n －1)a n ＝1，其中n ∈N *，故C 对； 1111112=22n n n n a a a a ++-＝22＝4，所以数列1{2}na 是等比数列，故B 对； 由等差中项的性质可得2a 10＝1a 3＋1a 17，故A 对； 由上可知a n ＝12n －1，则3a 5a 17＝3×12×5－1×12×17－1＝199，a 49＝12×49－1＝197，所以3a 5a 17≠a 49，故D 错．思维升华两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p 的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n 的表达式，再求a n .跟踪训练3已知函数f (x )＝x 3x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为____________．答案 a n ＝13n －2(n ∈N *) 解析 由已知得，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故a n ＝13n －2(n ∈N *)． 课时精练1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 4的值为( )A ．15B ．23C ．32D ．42答案 B解析 因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1，a 4＝23.2．在数列{a n }中，a 1＝5，且满足a n ＋12n －5－2＝a n 2n －7，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －3 B ．2n －7C ．(2n －3)(2n －7)D ．2n －5答案 C解析 因为a n ＋12n －5－2＝a n 2n －7，所以a n ＋12n －5－a n 2n －7＝2， 又a 12－7＝－1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －7是以－1为首项，公差为2的等差数列， 所以a n 2n －7＝－1＋2(n －1)＝2n －3， 所以a n ＝(2n －3)(2n －7)．3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1－2a n ＝n －1，其中n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －nB ．a n ＝2n ＋nC ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1答案 A解析 由题设，a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n )，而a 1＋1＝2， ∴{a n ＋n }是首项、公比均为2的等比数列， 故a n ＋n ＝2n ，即a n ＝2n －n .4．已知数列{a n }满足a 2＝14，a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，则数列的通项公式a n 等于( )A.13n －2B.13n ＋2C ．3n －2D ．3n ＋2 答案 A解析 ∵a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1，a 2＝14，∴a 1－a 2＝3a 1a 2，即a 1－14＝34a 1，解得a 1＝1.由题意知a n ≠0，由a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1得1a n ＋1－1a n＝3， 又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， 则a n ＝13n －2. 5．在数列{a n }中，若a 1＝3，a n ＋1＝a 2n ，则a n 等于( )A ．2n －1B.3n －1C ．132n －D ．123n － 答案 D解析 由a 1＝3，a n ＋1＝a 2n 知a n >0，对a n ＋1＝a 2n 两边取以3为底的对数得，log 3a n ＋1＝2log 3a n ，则数列{log 3a n }是以log 3a 1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log 3a n ＝1·2n －1＝2n －1，即a n ＝123n －.6．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝－a n －1＋2n (n ≥2)，则数列的通项公式a n 等于( )A.13·2n ＋13B.13·2n ＋13·(－1)nC.2n ＋13＋13D.2n ＋13＋13·(－1)n答案 D解析 ∵a n －1＋a n ＝2n ，两边同时除以2n 得，a n 2n ＋12·a n －12n －1＝1.令c n ＝a n 2n ，则c n ＝－12c n －1＋1.两边同时加上－23得c n －23＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －1－23.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n －23是以c 1－23为首项，－12为公比的等比数列，∴c n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴c n ＝23＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴a n ＝2n ·c n ＝2n ＋13＋13·(－1)n .7．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 2＋3a n (n ∈N *)，则下列结论正确的是() A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3为等差数列B ．{a n }的通项公式为a n ＝12n －1－3C ．{a n }为递减数列D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝2n ＋2－3n －4 答案 CD解析 因为a n ＋1＝a n 2＋3a n， 所以1a n ＋1＝2＋3a n a n ＝2a n ＋3， 所以1a n ＋1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋3， 且1a 1＋3＝4≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3是以4为首项，2为公比的等比数列，即1a n＋3＝4×2n －1， 所以1a n＝2n ＋1－3， 可得a n ＝12n ＋1－3， 故选项A ，B 错误；因为1a n＝2n ＋1－3单调递增， 所以a n ＝12n ＋1－3单调递减， 即{a n }为递减数列，故选项C 正确；⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n ＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－3n＝22×1－2n1－2－3n ＝2n ＋2－3n －4， 故选项D 正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M ，则M 等于( )A ．2 023×22 020B ．2 024×22 021C ．2 023×22 021D ．2 024×22 022答案 B解析 记第n 行的第一个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝3＝2a 1＋1，a 3＝8＝2a 2＋2，a 4＝20＝2a 3＋4，…，a n ＝2a n －1＋2n －2，∴a n 2n －2＝a n －12n －3＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是以a 12－1＝2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n 2n －2＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)×2n －2. 又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2 023行，∴M ＝a 2 023＝2 024×22 021.9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3，若c n ＝3na n，则c n ＝____________. 答案 (n ＋1)3n －1解析 因为a 1＝32，a n ＋1＝3a n a n ＋3， 所以1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝13＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝23，公差为13的等差数列， 所以1a n＝23＋13(n －1)＝n ＋13， 则c n ＝3na n＝(n ＋1)3n －1. 10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，a 6＝124，则a 2＝________.答案 4解析 由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，若a n －a n －1＝0，则a 6＝a 5＝…＝a 1，与题中条件矛盾，故a n －a n －1≠0，所以a n ＋1－a n a n －a n －1＝2，即数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋1－a n ＝a 2·2n －1，所以a 6－a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋a 5－a 4＋a 6－a 5＝a 2·20＋a 2·21＋a 2·22＋a 2·23＋a 2·24＝31a 2＝124，所以a 2＝4.11．在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝3a n ＋2n ，则a n ＝________.答案 52·3n －1－n －12解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2n ①，∴a n ＝3a n －1＋2(n －1)(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3(a n －a n －1)＋2，令b n ＝a n ＋1－a n ，则b n ＝3b n －1＋2(n ≥2)，利用求a n ＋1＝pa n ＋q 的方法知，b n ＝5·3n －1－1，即a n ＋1－a n ＝5·3n －1－1②，再利用累加法知，a n ＝52·3n －1－n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫或联立①②解出a n ＝52·3n －1－n －12. 12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n }满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，则称数列{x n }为牛顿数列．如果函数f (x )＝2x 2－8，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n ＋2x n －2，且a 1＝1，x n >2.数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.答案 2n －1解析 ∵f (x )＝2x 2－8，∴f ′(x )＝4x ，又∵x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －2x 2n －84x n ＝x 2n ＋42x n， ∴x n ＋1＋2＝(x n ＋2)22x n ，x n ＋1－2＝(x n －2)22x n， ∴x n ＋1＋2x n ＋1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋2x n －22， 又x n >2，∴ln x n ＋1＋2x n ＋1－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋2x n －22＝2ln x n ＋2x n －2， 又a n ＝ln x n ＋2x n －2，且a 1＝1， ∴a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴{a n }的前n 项和S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。

高考数学数列多选题(讲义及答案)及解析一、数列多选题1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值， 显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．（多选题）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N+=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的为（ ） A ．10n n a a +<<B ．22221231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．11n a n <+ 【答案】ABCD 【分析】对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111111nn a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】对于A ，2211124n nn n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0n a >，10n a +>， 又210n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：21n n n a a a +=-，()()()2221212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；对于C ，由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及A 中结论得：1112na <-<，1121n a <<-， 12111111nn a a a ∴++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确；对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：112a <成立， （ii ）假设当()n k k N*=∈时，11nan <+成立， 则222111112411n nn n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()()()221111012121n n n n n -+-=-<+++++，即()2111121n n n -+<+++， 112n a n +∴<+， 综上所述：当n *∈N 时，112n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.3．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得． 【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．4．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC .【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.5．下列说法中正确的是（ ）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法： （1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.6．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n ++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.7．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.故选：BC ． 【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ）A ．2n S n =B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a++⋅⋅⋅+求和；（4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．如图，A､B分别是射线OM､ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（）A．2OA OB+B．1123 OA OB+C．3143OA OB+D．3145OA OB+【答案】AC【分析】利用向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，等价于存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.证明如下：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE//ON，PF//OM，分别交OM，ON于点E，F；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.10．给出下列结论，其中真命题为（ ）A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a b a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题； 对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.。

1 / 91高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题23：巨难的数列题1．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>2．已知数列{}n a 满足：0n a >，且()22112n n n a a a n N *++=-∈，下列说法正确的是（）A ．若112a =，则1n n a a +>B ．若1n n a a +<，则11a > C ．1532a a a +≤D．211n n n n a a a +++-≤-3．设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为114．若数列{}n a 满足1a a =，()*1sin 2n n a a n N π+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，记数列{}n a 的前n 项和是n S ，则（） A ．若数列{}n a 是常数列，则1a =± B ．若()0,1a ∈，则数列{}n a 单调递减C ．若12a =，则52n S n >- D ．若a Z ∉，任取{}n a 中的9项()19129,,1k k a a k k k <<<<构成数列{}n a 的子数列{}()1,2,,9nk a n =，则{}n k a 不全是单调数列5．已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212πC ．2020πD ．40412π 6．已知数列{}n a ，()1n n nna a n N a +++=∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断不一定．．．正确的是（）A ．n a n ≥B ．211n n n n a a a a +++-≥-C ．211n n n na a a a +++≤D ．存在正整数k ，当n k ≥时，1n a n ≤+恒成立 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 8．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->3 / 919．数列{}n a ，{}n b 满足2112333...33n n n a a a a -++++=，()*n N ∈，3n n n b a n=⋅，若{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是（ ） A ．20172018ln S >B ．201820181S ln >+ C ．100920181ln S <-D ．20181ln2018S -<10．数列{}n a 满足*12sin 12,2n nn a a n n N π+⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前60项和为（ ） A ．1860B ．5100 C ．3720D ．93011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2n n n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．612．已知数列{}n a 满足()1131nn n a a n ++-=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A ．2020S 是定值，12020a a +是定值B ．2020S 不是定值，12020a a +是定值C ．2020S 是定值，12020a a +不是定值D ．2020S 不是定值，12020a a +不是定值13．设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3n =.若11b c >，1112b c a +=， 1n n a a +=， 12n n n c a b ++=， 12n nn b a c ++=，则( )A ．{}n S 为递减数列B ．{}n S 为递增数列C ．{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列D ．{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列14．已知数列{}n a 由首项1a a =及递推关系1311n n n a a a +-=+确定.若{}n a 为有穷数列，则称a 为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列{}n b ，若201912020b a b <<，则（）A ．202010a -<<B ．2020103a <<C ．20213a >D ．202113a << 15．若数列{}n a 满足112a =，2112n n n a a a m +=-+，若对任意的正整数都有2n a <，则实数m 的最大值为（） A ．12B ．1C ．2D ．4 16．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228mm S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3 17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项5 / 9118．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯19．数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ） A ．3690B ．3660C ．1845D ．183020．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（）A ．5979B ．5980C ．5981D ．以上都不对21．已知数列{}n a 和{}n b ，11a =，11b =，11n n n n n a a b a b +++⋅=，11n n nn nb a b b a +++⋅=，（）A ．202012a <B ．202013a >C ．20203b <D ．20205b <22．设常数R λ∈，无穷数列{}n a 满足11a =-，2113n n a a λ+=+，若存在常数M ，使得对于任意*n N ∈，不等式n a M ≤恒成立，则λ的最大值为（） A ．1B ．12C ．23D ．3423．已知数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=-+.记12111n n A a a a =++⋅⋅⋅+，12111n nB a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅则（）A ．202020201AB +>B ．202020201A B +<C ．2020202012A B ->D ．2020202012A B -< 24．已知数列{}n a 满足11a =，121n n na a a +=+，n *∈N ，则（） A ．18532a <<B ．18732a <<C ．18742a <<D ．18942a << 25．已知数列{}n a 满足()*1111,1n n a a a n N n +=->∈+，则（） A ．100ln102a >B ．99ln100a >C ．99ln100a <D ．100ln 99a <26．数列{}n c 满足1112(22)(21)n n n n c +++=--，其前n 项和为n T ，若9991000n T <成立，则n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．1127．已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（）A ．20181010B ．20191010C ．20192018D ．2020201928．设实数p ∈R ，在等差数列{}n a 中，121n a pn p +=++，其前n 项和2n S pn n =+，若满足1234S S S S <<<，且1n n S S +>对()*5n n ≥∈N 恒成立，则实数p 的取值范围是( )A ．11,711⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,810⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．11,810 ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,711⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7 / 9129．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（）A ．当1p =-时，则2019S π<B ．当0p =时，则2019S π>C ．当12p =时，则20191S >D ．当1p =时，则20191S >30．已知数列{}n a 满足条件10a =，11n n a a +=+，*n N ∈，则1211a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．031．已知数列{}n a 满足11,1,2n n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，（*N n ∈），若1023a ≤≤，则1a 的取值范围是( )A ．1110a ≤≤B ．1117a ≤≤C ．123a ≤≤D ．126a ≤≤32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（） A ．①②B．①③C．①③④D．①②③④33．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，在同一个坐标系中，a n =f （n ）及S n =g （n ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．当n =4时，S n 取得最大值B ．当n =3时，S n 取得最大值C ．当n =4时，S n 取得最小值D ．当n =3时，S n 取得最大值34．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是723n n S n T n +=+，则57a b 等于（） A ．214B ．6512C ．278D ．651635．己数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝lna n ＋1na ＋1，记S n ＝[a 1]＋ [a 2]＋···＋[a n ]，[t ]表示不超过t 的最大整数，则S 2019的值为( ) A ．2019B ．2018C ．4038D ．403736．若数列{}n a 满足112a =且1n a +=2018a 为（） AB．15+C ．0D ．137．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()2*12n n S S n n ++=∈N ，且10a ≠，1028a =，则1a 的值为（ ） A ．－8B ．6C ．－5D ．438．若正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =，则9 / 916824246811111111a a a a S S S S ++++-+-+----1001200020001(1)1a S ++-=-（ ）A ．20002001B ．20022001C ．40004001D ．4002400139．已知数列{}n a 满足112a =，2*1()2018nn n a a a n N +=+∈，则使1n a >的正整数n 的最小值是（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．202140．已知数列{}n a 满足11n a a Z =∈，，且1112113322n n n n n n a a a a ++-+-<+->-，，则2019a =（ ）A ．2021318-B ．2020318-C ．2019318-D ．2018318-41．已知数列：()12,,,11kk N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的（）A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项42．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n n n n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为__________．43．已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．44．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1264111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.45．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．46．已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．47．已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,?231,?nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，则m 所有可能的取值为________．48．已知数列{}n a 满足21k k a a d +-=（d 为常数，1,2k n =⋯，*N n ∈，3n ≥），给出下列四个结论：①若数列{}n a 是周期数列，则周期必为2：②若0d =，则数列{}n a 必是常数列：③若0d >，则数列{}n a 是递增数列：④若0d <，则数列{}n a 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________.49．已知数列{}n a 满足:，1(22n n n a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()n *∈N ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设A 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i A a a =+≤∑(其中符号∑为连加号，如112ni i n ==+++∑)，则A 的最小值是__________；50．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，2133122n n S S n n ++=++(N n *∈)，则52S ＝_______．11 / 9151．数列{}n a 的前m 项为()12,,,m a a a m N *∈，若对任意正整数n ，有n m n a a q +=（其中q为常数，0q ≠且1q ≠），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{}n b 的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{}n b 前42t +项的和等于__________.（t 为正整数）52．艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 的零点时给出了一个数列{}n x ：()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()(0)f x ax bx c a =++>有两个零点1和3，数列{}n x 为牛顿数列，3lg 1n n n x a x -=-，且13a =，3n x >，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．53．等差数列{}n a ，()sin n n b a =，存在正整数t ，使得n t n b b +=，*n N ∈，若集合{}*|,nx x b n N =∈有4个不同元素，则t 的可能取值有______个.54．已知数列{}n a 中，22a =，对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，公差为21k +，则101a =__．55．若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m ＜，则m 的最小值为________.56．任意实数a ，b ，定义00ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数()2log f x x x =⊗，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且()()()()()101112320192020131,++a f a f a f a f a f a a =+++=-…，则1a =___；57．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且12412124168a a S ≥≥≤，，，则29a d -的取值范围是_________.58．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________59．（2016安徽模拟改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 1(1)32n n n n S a n =-++-，若n a M 对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的取值范围是_______．60．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,11464,1,，，，，.记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则68S =___ .61．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，若集合()(){}11,n M n n n t a n N *+≥+∈中有3个元素，则实数t 的取值范围是__________．62．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且[0,4],12019i a i ∈，设函数()3sin 42x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，则1232019a a a a ++++=______．63．等差数列{}n a 的公差d ≠0，a 3是a 2，a 5的等比中项，已知数列a 2，a 4，1k a ，2k a ，……，13 / 91n k a ，……为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为T n ，则2T n ＋9=_______64．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________.65．已知数列{}n a 与{}n b 满足()()()1*113121,2n nn n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=∈，且12a=，则2n a =__________．66．已知数列{}n a 的奇数项和偶数项为公比为q 的等比数列，12q =，且1221a a ==.则数列{}37n a n +-的前n 项和的最小值为__________．67．数列{}n a 为单调递增数列，且(23)814,4,{log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈，则t 的取值范围是__________．68．已知数列{}n a 满足2nn a =，则数列{}n n a b ⋅满足对任意的n N +∈，都有1211n n n b a b a b a -+++212n n=--，则数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T =__________． 69．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，()*1910N n n a S n +=+∈，若()20161lg n nm a +-()201710lg 1n n a +<+-对任意*N n ∈恒成立，则实数m 的取值范围是__________．70．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.71．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()()()*21212nnn n n n a a n N +-⋅=+-⋅∈，则10S =__________．72．已知数列{}n a 中，()*111,231n n a a a n n N +=-=+-∈，则其前n 项和=n S __________．15 / 91参考答案1．B【分析】先证不等式ln 1x x ≥+，再确定公比的取值范围，作出判断.【解析】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x '=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点评】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥2．D【分析】化简已知递推关系式可得到()()1110n n a a +-->，由此分别判断,A B 选项，可知,A B 错误；设1n a x +=，则n a =214n a ++={}1n n a a +-越来越小，C 错误；假设D 成立，通过化简不等式可知不等式恒成立，知D 正确.【解析】22112n n n a a a ++=-，2211121n n n a a a ++∴-=--，()()()()1111121n n n n a a a a ++∴-+=-+， 又0n a >，10n a ∴+>，1210n a ++>，()()1110n n a a +∴--> 对于A ，若112a =，则1102n a -=-<，110n a +∴-<，()2221111110n n n n n n a a a a a a +++++∴-=-=-<，1n n a a +∴<，A 错误；对于B ，若1n n a a +<，则()2221111110n n n n n n a a a a a a +++++-=-=-<，10n a ∴-<，即1n a <，11a ∴<，B 错误；对于C ，设1n a x +=，则n a =考虑函数y =与y x =的图象，如下图所示：当10a >时，{}n a 单调递减，且{}1n n a a +-越来越小，1335a a a a ∴->-，1532a a a ∴+>，C 错误；17 / 91对于D ，设1n a x +=，则n a =2n a +=若211n n n n a a a +++-≤-x -≤，等价于()1841x +≤-，即31x ≤-，即2210x x -+≥，而()222110x x x -+=-≥显然成立，211n n n n a a a +++∴-≤-，D 正确. 故选：D .【点评】本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得到数列前后项所满足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象来进行表现，属于难题. 3．A【分析】根据题意，设出绝对值函数()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥，根据绝对值函数的性质判断即可．【解析】因为1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=所以111+(1)a a d a n d ++⋅⋅⋅++-11111+1(1)a a d a n d=-+-+⋅⋅⋅+-+-111222+(1)a a d a n d m =+++++⋅⋅⋅++-= 令()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥则111()(1)(2)f a f a f a m =-=+=（*）①当0d =时，()f x n x =，不满足（*），舍去．②当0d >时，由（*）得()f x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥ ．()f x 的大致图像为：则11112(1)22n nd a a a d -≤-<<+≤--所以(1)+=322n n d d d --≥，故A 正确． 由1111212(1)222(1)2n d a n n d a d n a d⎧-≤-⎪⎪⇒-≤≤---⎨⎪+≤--⎪⎩当1,2,,2n i =时1(1)2(1)(1)()222i n na a i d d i d i d =+-≤---+-=-- 当+1,+2,,22n ni n =时1(1)1(1)=1+(1)122i n na a i d d i d i d =+-≥-+---≥故不存在*i N ∈，满足21i a -<<，C 错112122()n nn m f a a a a a a +==++++++1212222()()n n n n a a a a a a ++≥+++-+++2112=()24n n n a a d +-=19 / 91由于4,3n d ≥≥所以2124n m d ≥≥，故D 错③当0d <时，令0d d '=->由于()f x 的图像与()f x -的图像关于y 轴对称，故只需研究()f x - 故令()()g x f x =-=2(1),3x x d x d x n d n -+-++-+++-+-≥2(1),3x x d x d x n d n '''=+++++++-≥因为111()(1)(2)f a f a f a m =-=+= 所以111()(1)(2)g a g a g a m -=--=-+=由②知()g x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥，故B 错 令1111,(1)1i i a a a a i d a ''''=--=+-=-所以()(1)(2)i i i g a g a g a m '''=-=+=3d d '⇒=-≥，故A 正确由②知，不存在*i N ∈，满足2121112i i i a a a -<<⇔-<-<⇔-<'<-，故C 错由②知，2()124i n m g a d '=≥≥，故D 错综上所述，A 正确,BCD 错误 故选A.【点评】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题． 4．C【分析】对于A ：由数列为常数数列，则，解方程可得的值；对于B ：由函数，，求得导数，判断单调性和极值，即可进行判断；对于D ：由，判断()f x 的奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，可得数列都是单调数列，即可进行判断．【解析】对于A ：若数列{}n a 为常数列，则2sin()2a a a π==，0a =或1a =±，故A 错误；对于B ：若()0,1a ∈，(0,)22a ππ∈，2sin()2a a π=，设函数()sin(),(0,1)2f x x x x π=-∈，'()cos()122f x x ππ=-，由(0,)22x ππ∈，可得极值点唯一且为022arccos x ππ=，极值点为022()arccos 0f x πππ=->，由(0)(1)0f f ==，可得21a a >，则3221sin()sin()022a a a a ππ-=->，即有32,,a a >由于(0,1)n a ∈，(0,)22n a ππ∈，由正弦函数单调性可得1n n a a +>， 所以数列{}n a 是单调递增函数，故B 错误； 对于D ：若，任取中的9项，，，，，构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；由，可得()()f x f x -=-，()f x 为奇函数；21 / 91当时，，时，； 当时，；时，， 运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；或时，数列单调递减．所以数列都是单调数列，故D 错误；故选C .【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性和应用，和分类讨论的数学思想，属于难题． 5．A【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解.【解析】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d = 函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=，即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=①对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos22i i i d a a --+=⨯()12020202122cos cos 22i d a a -+=⨯， 记120202a am +=，将①化简可得()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦，即20192017201520202cos cos cos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦②令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦，所23 / 91以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A.【点评】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 6．C【分析】根据递推关系式()1n n nna a n N a +++=∈利用数学归纳法证明A 正确，利用分析法证明B 正确，取特值可说明C 不正确，()1n n nna a n N a +++=∈两边平方后利用放缩法可得22221(1)n n a n a n +-+≤-，即可得到22224n a n a -≤-，分析1n a d n ≤+恒成立的条件即可.【解析】()1n n nna a n N a +++=∈，10a >, 当1n =时，21112a a a =+≥，当11a =时取等号， 假设n k =时，k a k ≥，当1n k =+时，1k k k k a a a +=+，由函数ky x x=+在)+∞上单调递增知 11k ka k k k+≥+=+， 由以上可知，n a n ≥对2n ≥成立，故A 正确.若211n n n n a a a a +++-≥-成立，则需11n nn n a a ++成立，即11n n a n a n++成立， 而122111n n n a n n n a a n n++=++=成立，故原命题，B 正确； 取12a =，则252a =，33310a =，此时323323310525a a =⨯=，21515224a a =⨯=，所以3221a a a a >可知C 不正确；()1n n nna a n N a +++=∈ 222212221nn n nn aa n a n a +∴=++++，故22221(1)n n a n a n +-+≤-，故22224n a n a d -≤-=1n a d n ⇒≤+取12d k -≥的正整数，则有n k ≥时，1n a n ≤+恒成立，故D 正确. 故选：C【点评】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法，分析法证明，特值法排除，放缩法等不等式的性质，考查推理能力，运算能力，属于难题.25 / 917．D【分析】令(2)n d t -=,由222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++，当243a t =-时，取得最小值，由此能求出结果. 【解析】2212222122122(1)2[(1)]22[(2)][(2)]2[](1)(1)2n n n n a n d Sn a a n d a n d a d n n +++++=+-+=+-++++ 22221[(2)][2(2)]2a n d a n d +-++-=,令(2)n d t -=，则222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++， 当243a t =-时，取最小值2213a ， 即23(42)n d a -=-，2423an d=-， 因为不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立， 当20a ≠，所以13m ≤，当20a =时，m R ∈，综上13m ≤.故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，二次函数的单调性，分类讨论，不等式的性质，属于难题. 8．A【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【解析】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=，1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，22211(22n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；27 / 91选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2， 同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A.【点评】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解. 9．D【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到()221231133 (323)n n n a a a a n ---++++=≥，与原递推式作差可得数列{}n a 的通项公式，代入3nn n b a n=⋅，得到{}n b 的通项公式，从而得出n S ,然后构造函数，证明不等式成立，从而得到答案．【解析】由2112333 (33)n n na a a a -++++=，① 得113a =，()221231133 (323)n n n a a a a n ---++++=≥，② ①-②得：1133n n a -=，即()123n n a n =≥．113a =成立，∴13n na =； 则33113n n n n n b a n n n =⋅=⋅=．所以11111234n S n=++++⋅⋅⋅，设ln 101g x x x x =+-∈（）（），（，），则1'1011xg x x x -=-=++（）＜． ∴()g x 在()0,1上单调递减，则00g x g <=（）（），即ln 1x x +<（）． 令1x n =，则111ln 1lnn n n n +⎛⎫+=< ⎪⎝⎭． ∴2341111ln ln ln ln112323n n n+++++<++++，故ln 1n n S +<（）． 设()1ln 1,1,h x x x x =+-∈+∞（），则()2110h x x x=->'． ()h x ∴在1+∞（，）上单调递增，29 / 91∴10h x h >=（）（），即1ln 11x x x>-∈+∞，（，）． 令11x n =+，则111ln 1ln 1n n n n +⎛⎫+=> ⎪+⎝⎭．∴2341ln ln ln ln123n n +++++>1111231n n +++++． 故1ln 11n n S ++>-（）． ∴20181ln2018S -<． 故选D ．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用作差法求数列的通项公式，考查利用导数证明函数不等式，正确构造函数是关键，属难题． 10．A【分析】利用题目所给数列的递推公式，分成n 为偶数和n 为奇数两类，找出数列的规律，然后利用这个规律求数列前60项的和.【解析】当2n k =时，2124k k a a k +=-+，当21n k =+时，222142k k a a k ++=++，两式相加得22282k k a a k ++=+，故245860a a a a ++++()()245860a a a a =++++()8132930=++++()1512983018302⨯+=⨯+=.由222142k k a a k ++=++得()212242k k a a k ++=-+.所以()1359246040122960a a a a a a ⎡⎤+++=+++-+++++⎣⎦()02930186046018301800302⎡⎤+⨯=-⨯+=-=⎢⎥⎣⎦.故12601830301860a a a +++=+=.所以选A.【点评】本小题主要考查已知递推数列求数列前60项的和，考查分析与思考问题的能力，还考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 11．B【分析】由21441n n a S n +=++知2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得12n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，求出通项公式代入2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，转化为2352nn m -->对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当3n =时，n b 取得最大值38，即可求解.【解析】由题意，数列满足21441n n a S n +=++，则当2n ≥时，2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得22114()444n n n n n a a S S a +--=-+=+，所以222144(2)n n n n a a a a +=++=+，又由0n a >，所以12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项11a =，公差为2的等差数列，所以*21()n a n n =-∈N ，因为2483(5)2nn n n m a -+<-⋅，所以2483(5)2(21)n n n m n -+<-⋅-，即(23)(21)(5)2(21)n n n m n --<-⋅-， 则(23)(5)2n n m -<-对任意的正整数恒成立， 又20n >，所以2352nn m -->对任意的正整数恒成立， 设232n n n b -=，则111212325222n n n n n n n n b b +++---+-=-=， 所以12334,n b b b b b b <<>>>，当3n =时，n b 最大,此时最大值为38，31 / 91所以538m ->，即337858m <-=，所以m 的最大整数为4，故选B .故选：B【点评】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题. 12．A【分析】按照n 的奇偶分类讨论，可得21261k k a a k ++=-以及24212k k a a +-=，再根据等差数列的定义可得202026061a a =-，而212a a -=，即可求出120206059a a +=为定值，采用并项求和的方式即可求出1009202016059(61)i S k ==+-∑也为定值．【解析】当()*2n k k N =∈，则21261k k a a k ++=-，222162k k a a k ++-=+，∴222121k k a a k ++=+，即有2413a a =-，24221213k k a a k +++=+，作差得24212k k a a +-=，∴()2020422125041360486061a a a a =+⨯=-+=-， ∴12020126061a a a a +=+-，令1n =可得，212a a -=， ∴12020606126059a a +=-=为定值．而()()()()()10092020120202345201820191605961k S a a a a a a a a k ==++++++++=+-∑也为定值． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用数列的递推式判断数列的性质，以及并项求和法的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题． 13．B【分析】【解析】由题意得1n n a a ＋＝，所以数列{}n a 是常数列，故1n a a =．∵111=222n n n n n nn n c a b a b c b c a +++++++=+， ∴111111111121112? (2)(2)(2)0222n n n n n n n b c a b c a b c a b c a ++--+-=+-=+-==+-=， ∴12?n n b c a +=，即1||2n n n n A B A C a +=．∴n n n A B C ∆是以点n n B C ，为焦点，长轴长为12a 的椭圆的焦点三角形， 又11b c >，所以n n n A B C ∆的形状和位置如下图所示：∵11 222n n n n n n n n c a b a b c b c ++++--=-=-， ∴数列{}n n b c -是首项为11b c -，公比为12-的等比数列，∴1111()()2n n n b c b c --=--，故当n →+∞时，0,n n n n b c b c -→→，∴点n A 的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点P ．33 / 91∴n n n A B C ∆的边n n B C 上的高n h 单调递增， ∴1122n n n n n n S B C h a h ==单调递增， ∴数列{}n S 为递增数列．选B ．点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．首先，在数列运算的基础上，要处理好数列{}{}{}n n n a b c ，，之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分析上，确定出点n A 的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决． 14．C【分析】由1311n n n a a a +-=+得1111121n n a a +-=--，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列,则()()1311121121n a n an a a a -+--=+=---，求出数列{}n a ，当分母为0，得()130a n a -⨯+-=，即31n a n -=-时，数列{}n a 为有穷数列，得出2n n b n -=，即2017200920191010a <<，又()202021120192017a a a -=+-，20211110101009a a a -=+-，根据单调性可得答案. 【解析】由1311n n n a a a +-=+，得()121311111n n n n n a a a a a +--=-=++-则()()11211212111211n n n n n n a a a a a a +++===+-----，即1111121n n a a +-=--所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列,则()()1311121121n a n an a a a -+--=+=--- 则()()21113n a a a n a --=-+-，所以()()21113n a a a n a -=+-+-当1n =时, ()()1211113a a a a a-=+=-⨯+-，满足条件.当分母为0，得()130a n a -⨯+-=，即3(1)1n a n n -=>-时，数列{}n a 为有穷数列. 当1a =-时, 数列{}n a 为有穷数列.则11b =-当分母为0时，n a 无意义，此时数列{}n a 为有穷数列，此时对应a 的值为1n b + 所以2n n b n -=，由201912020b a b <<，则1201720182009201920201010a <<=，即2017200920191010a << ()()()202021211112020320192017a a a a aa --+=+-⨯+--=设()()21120192017x f x x -=+-，则()()24020192017f x a '=>- 所以()f x 在2017200920191010，⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 所以20201009211010111009201920171010a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-⨯-< ()()20212111112021310101009a a a a aa --+=+-⨯+--=设设()1110101009x g x x -=+-，则()()21010101009g x x '=>- 所以()g x 在2017200920191010，⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.35 / 91所以2020202712019132027101010092019a -+=⨯-> 所以选项C 正确 故选：C【点评】本题考查根据递推公式求数列的通项公式，考查新定义，考查求数列中项的范围，属于难题. 15．C【分析】递推关系变形可得211(2)22n n n a a a m +-=-+-，分析可知2m >时不满足题意，再验证2m =时满足题意，即可得解．【解析】2112n nn a a a m +=-+， ∴221112(2)222n n n n n a a a a m a m +-=-+=-+-，若2m >，则211(2)202n n n a a a m +-=-+->，则12n n a a m +>+-， 则1(1)(2)n a a n m >+--，那么n a 可以无限的大下去，不符合题意； 若2m =，则10n n a a +->，则1n n a a +>，数列{}n a 单调递增， 又112a =，故0n a >， 又112(2)2n n n a a a +-=-，故12n a +-与2n a -同号，则2n a <，符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．16．D【分析】先判断1q ≠，由228mmS S =，利用等比数列求和公式可得27m q =，结合22212m m a m a m +=-可得3m =，从而根据327q =可得结果. 【解析】设等比数列公比为q 当1q =时，2228mmS S =≠，不符合题意， 当1q ≠时，()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--， 得27m q =，又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--， 由221272m m +=-，得3m =， 327,3q q ∴=∴=，故选D.【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论1q ≠与1q =两种情况，这是易错点. 17．A【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解.【解析】∵1(1)n n n a S S n -=->,37 / 91∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈,∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（）, 244142()(1)1n n b n b n n +∴==++当11n >+时, 1n >+, ∴当13n ≤<时, 1n n b b +>, 当3n ≥时,1n n b b +<,又23132,281b b ==,∴当3n =时, n b 有最小值. 故选：A【点评】本题主要考查了数列n S 与n a 的关系，数列的单调性，属于中档题. 18．A【分析】由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()22211n n n n <++<+可得n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦. 故选：A【点评】本题考查数列创新问题、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 19．D【分析】【解析】由于数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，故有 a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=3，a 4﹣a 3=5，a 5+a 4=7，a 6﹣a 5=9，a 7+a 6=11，…a 50﹣a 49=97．从而可得 a 3+a 1=2，a 4+a 2=8，a 7+a 5=2，a 8+a 6=24，a 9+a 11=2，a 12+a 10=40，a 13+a 15=2，a 16+a 14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {a n }的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D ．。

一、等比数列选择题1．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．323．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110245．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f6．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2057．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列8．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．110．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±13．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．915．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列16．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定17．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n-18．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1119．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．122二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） ABCD23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+25．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-26．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列 27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8329．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++30．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=31．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +--- 32．数列{}n a 为等比数列（ ）.A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4na n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<34．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值. 35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 2．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦，即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---， 令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24，故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 5．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 6．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。