2019—2020年最新浙教版九年级数学上册《相似多边形》单元同步练习及答案.docx

4．6相似多边形知识点1.图形的相似1．“相似的图形”是(A)A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同．知识点2.相似多边形的概念与性质2．[2018秋·福田区校级月考]下列说法中不正确的是(D)A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比3．[2018秋·东区校级月考]两个相似六边形的相似比为3∶5，它们周长的差是24 cm，那么较大的六边形周长为(C)A．40 cm B．50 cmC．60 cm D．70 cm【解析】由题意，可设较小六边形的周长为3x，则较大六边形的周长为5x，则有5x－3x＝24，解得x＝12，∴5x＝60.4．[2017秋·滨湖区期末]已知A4纸的宽度为21 cm ，如图1对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( C )图1A ．24.8 cmB ．26.7 cmC ．29.7 cmD ．无法确定【解析】 设A4纸的高度为x cm ，则对折后的矩形的高度为x 2，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴21x 2＝x 21，解得x ＝212≈29.7 cm ，即A4纸的高度约为29.7 cm.5．[2017秋·鼓楼区期末]四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，它们的面积比为9∶4，四边形ABCD 的周长是24，则四边形A 1B 1C 1D 1的周长为__16__．【解析】 设四边形A 1B 1C 1D 1的周长为x ，∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1的面积比为9∶4，∴它们的周长比为3∶2，∴24∶x ＝3∶2，解得x ＝16.6．把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x 为．【解析】∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x ＝x 6，解得x ＝23(负值舍去)．图2 图3 7．[2017秋·徐汇区校级月考]如图3，已知矩形ABCD 中，AB ＝2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD 相似，则AD ＝．【解析】 设AD ＝x ，∵AB ＝2，则FD ＝x －2，FE ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，∴2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)， 经检验x 1＝1＋5是原方程的解，∴AD ＝1＋ 5.8．[2018秋·太原期中]如图4，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，且EF ⊥BC ，若矩形ABFE ∽矩形DEFC ，且相似比为1∶2，求AD 的长．图4解：∵矩形ABFE ∽矩形DEFC ，且相似比为1∶2，∴AB DE ＝AE DC ＝12，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝4，∴4DE ＝AE 4＝12，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE ＋DE ＝2＋8＝10.易错点：对相似图形的概念理解不透．9．[2017秋·泰兴校级月考]如图5，矩形A ′B ′C ′D ′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A ′B ′，AD ∥A ′D ′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′，CD 与C ′D ′，DA 与D ′A ′之间的距离分别为a ，b ，c ，d .(1)若a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似吗？为什么？(2)若矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ，a ，b ，c ，d 应满足什么等量关系？请说明理由．图5解：(1)不相似，理由如下：∵AD A ′D ′＝128＝32≠AB A ′B ′＝62＝3，∴不相似；(2)要使矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ，就要ADA′D′＝ABA′B′，即1212－a－c＝66－d－b，可得2d＋2b＝a＋c.。

4.5 相似三角形的性质及其应用(二)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶162．已知△ABC的三边长分别为4，2，3，△ABC与△A′B′C′相似，△A′B′C′的周长为15，则△A′B′C′的最大边长为(C)A. 4B. 125C.203D. 63．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边长AB，BC，AC的中点，则△DEF与△ABC的面积之比为(A)A. 1∶4B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶ 2(第3题) (第4题)4．如图，D，E分别为△ABC的边长AB，AC上的中点，则△ADE与四边形BCED 的面积的比为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 1∶15．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，且两个三角形的面积之差为28 ，则△ABC 的面积为__36__．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 的周长为10．(第6题)7．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，求S 1S 2的值．(第7题)【解】 ∵AD AB ＝12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC ＝5a.∵BF ⊥AC ，四边形ABCD 为矩形， ∴易得△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ， ∴BC 2＝CE ·AC ，AB 2＝AE ·AC ，∴a 2＝CE ·5a ，(2a)2＝AE ·5a ，∴CE ＝5a 5，AE ＝4 5a 5，∴CE AE ＝14.易得△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AE 2＝116.8．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AECE ＝23，S △ABC ＝25，求S ▱BFED.(第8题)【解】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AE AC 2，S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CE AC 2. ∵AECE ＝23，∴AE AC ＝25，CE AC ＝35. ∵S △ABC ＝25，∴S △ADE ＝4，S △CEF ＝9， ∴S ▱BFED ＝25－4－9＝12.9．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为(D)(第9题)A. 13B. 14C. 19D. 116【解】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4. ∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE AC 2＝116. 10．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半．若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝2－1．(第10题)【解】 设BC 与A ′C ′交于点E. 易知AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B 2∶AB 2＝1∶2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.11．如图，已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 交于点F ，则△AEF 的面积等于3－34(结果保留根号).(第11题)【解】 过点F 作FG ⊥AE 于点G.∵△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC S △ADE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB AD 2＝4， ∴S △ADE ＝34，∴正三角形ADE 的边长为1.∵∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，∴FG ＝AG.在Rt △EGF 中，设EG ＝x ，则易得FG ＝3x ，∴3x ＋x ＝1，∴x ＝3－12，∴FG ＝3－32.∴S △AEF ＝12AE ·FG ＝3－34.12．如图，已知A 是反比例函数y ＝6x 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B ，以AB 为边向右作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在反比例函数y ＝kx 上运动，则k 的值是－3__6．(第12题)(第12题解)【解】 ∵反比例函数y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB. 连结OC ，如解图．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°.∴AC ＝2OA.∴OC ＝3OA.过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F. ∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ， ∴∠AEO ＝∠OFC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ， ∴△OFC ∽△AEO ，且相似比OCOA＝3，∴S △OFC S △AEO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OC OA 2＝3. 设点A 的坐标为(a ，b)．∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ·OF ＝3 62.设点C 的坐标为(x ，y)．∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ·OF ＝x ·(－y)＝－xy ＝3 6.∵点C 在双曲线y ＝kx上，∴k ＝xy ＝－36.(第13题)13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，并将△ABC 分成面积分别为S 1，S 2，S 3的三块．若S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶10，BC ＝15，求DE ，FG 的长．【解】 ∵DE ∥FG ∥BC ， ∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE BC 2，S △AFG S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG BC 2， 即S 1S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152. 设S 1＝k ，则S 2＝4k ，S 3＝10k ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝kk ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫DE 152，S 1＋S 2S 1＋S 2＋S 3＝k ＋4k k ＋4k ＋10k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫FG 152， ∴DE ＝15，FG ＝53.14．已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的点P 处．(第14题)(1)如图①，已知折痕与边BC 相交于点O. ①求证：△OCP ∽△PDA.②若△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，求边AB 的长． (2)若图①中的P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数．(3)如图②，在(1)的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP.动点M 在线段AP 上(点M 不与点P ，A 重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且BN ＝PM ，连结MN 交PB 于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E.试问：在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF 的长度．【解】 (1)①∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，DC ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°. 由折叠的性质，得∠APO ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠POC ＝90°－∠CPO ＝∠APD. 又∵∠C ＝∠D ，∴△OCP ∽△PDA.②∵△OCP 与△PDA 的面积之比为1∶4，△OCP ∽△PDA ，∴OC PD ＝OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴PD ＝2OC ，PA ＝2OP ，DA ＝2CP. ∵AD ＝8，∴CP ＝4，BC ＝8. 设OP ＝x ，则OB ＝x ，OC ＝8－x.在Rt △PCO 中，∵∠C ＝90°，CP ＝4，OP ＝x ，OC ＝8－x ， ∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，∴边AB 的长为10. (2)∵P 是CD 边的中点，∴DP ＝12DC.∵DC ＝AB ，AB ＝AP ，∴DP ＝12AP.∵∠D ＝90°，∴∠DAP ＝30°. ∵∠DAB ＝90°，∠OAP ＝∠OAB ， ∴∠OAB ＝30°.(3)过点M 作MQ ∥AN 交PB 于点Q. ∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB ＝∠ABP ，∠ABP ＝∠MQP ， ∴∠APB ＝∠MQP ，∴MP ＝MQ. ∵ME ⊥PQ ，∴PE ＝QE ＝12PQ.∵BN ＝MP ，MP ＝MQ ，∴BN ＝MQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF.又∵∠QFM ＝∠BFN ，QM ＝BN ，∴△MFQ ≌△NFB(AAS)，∴QF ＝BF ，∴QF ＝12QB ， ∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12PB. 由(1)中的结论，得CP ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝4 5，∴EF ＝12PB ＝2 5，∴在(1)的条件下，在点M ，N 移动的过程中，线段EF 的长度不变，为2 5.。

4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D)(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F.如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B)A. 25B. 35C. 23D. 53(第3题) (第4题)4．如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为(C)A. 154B. 7C. 152D. 2455．如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上一点，直线DF 与AB 的延长线交于点E ，作BP ∥DF ，与AD 交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP ∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A.已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD ＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题)【解】结论：△AEC∽△ACD.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD.10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC的值为(B)A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶3(第10题)【解】 如解图，连结BD ，交AC 于点O.(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO. 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】 当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶BC. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶BC. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3.由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ，∴BN ＝5 3－3t.当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15.(2)分两种情况： ①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157.综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t10，解得MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×53－12(53－3t)×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38cm 2.13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°.在△A ′B ′C ′中，∠C ′＝90°， A ′C ′＝B ′C ′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC 所分成的两个三角形与△A ′B ′C ′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】 能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)。

浙教版九年级数学同步训练（39）第四章相似三角形相似多边形（word版附答案）4.6 相似多边形1.以下多边形中，一定相似的是〔 D 〕A.两个平行四边形B.两个菱形C.两个矩形D.两个正方形2.两个相似多边形的一组对应边区分是3cm 和 4.5cm ，假设它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是〔 D 〕A.44.8cm2B.42cm2C.52cm2D.54cm23.如下图的三个矩形中，相似的是〔 B 〕A.甲与乙B.乙与丙C.甲与丙D.甲、乙、丙都相似4.如下图的两个四边形相似，那么∠α等于〔 A 〕A.87°B.60°C.75°D.120°5.如下图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，那么AD 等于〔 A 〕A.2B.2.4C.2.5D.36.以下说法中，正确的选项是(C)A．一切的等腰三角形都相似B．一切的矩形都相似C．一切的正六边形都相似D．一切的等腰梯形都相似111，那么边长增加为原来的(B)7．把一个多边形改成和它相似的多边形，假设面积增加为原来的31 3A.3B. 3C. 3D．38．四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，且点A 与A1，B 与B1，C 与C1 是对应点，AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，那么四边形A1B1C1D1 的周长为38．9．两个相似多边形的一组对应边区分为3 cm 和4.5 cm，假设它们的面积之和为130 cm2，那么较小的那个多边形的面积是40cm2.10．如图，在一个长8 cm，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影局部)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为8cm2.11.假定两个相似多边形的面积比是16∶25，那么它们的相似比等于4∶5 .12.一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，那么它的最大边长为20 cm.13.如下图，将一根铁丝分红两段，区分围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1∶4，其中小五边形的边长为〔x2-4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕.求这根铁丝的总长.【解析】∵两个五边形相似，面积比是1∶4，∴相似比为1∶2.由题意得2〔x2-4〕=x2+2x，整理得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2〔舍去〕.∴铁丝长为12×5+24×5=180〔cm〕.14.如下图，矩形ABCD 能分红三个全等的小矩形，且每个小矩形都与矩形ABCD 相似，AD=1，求AB 的长.【解析】∵三个小矩形全等，∴DE=DC.∵每个小矩形都与矩形ABCD 相似，∴= ，即AB2=1，解得AB= ．∴AB 的长为．15.如下图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的外部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是〔 B 〕A. B. C. D.16.一个矩形ABCD 的较短边长为2.〔1〕如图1 所示，假设沿较长边对折后失掉的矩形与原矩形相似，那么矩形ABCD 的另一边长为2 .〔2〕如图2 所示，矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，那么余下的矩形EFDC 的面积为 2 .图1 图2【解析】〔1〕设它的另一边长为 2x ，那么 AM=DM=x.∵矩形 ABNM 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 x=. ∴矩形 ABCD 的另一边长为 2. 〔2〕设 DF=a.∵余下的矩形 EFDC 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 DF=1.∴矩形 EFDC 的面积为 2×1=2.17.如下图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，取 BC 边中点 E ，作 ED ∥AB ，EF ∥AC ，失掉四边形 EDAF ，它的面积记做 S1.取 BE 中点 E1，作 E 1D 1∥FB ，E1F1∥EF ，失掉四边形 E1D1FF1，它的面积记做 S2，照此规律作下去，那么 S 2021= 〔 〕2021 .【解析】∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S =1×2×2=2. ∵点 E 为 BC 的点，ED ∥AB ，∴=〔 〕2= 1 1，∴S =1.∴S △CDE =2.同理可得 S △BEF =21 ∵E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1 为 BE 中点，1 ∴四边形 E 1D 1FF 1 与四边形 EDAF 相似，相似比为 .∴=〔 〕2= .∴S 2= .. 同理可得 S 3=〔〕2. 由此规律可得 S 2021=〔〕2021．18.如下图，矩形 ABCD 的长 AB=30，宽 BC=20.〔1〕如图 1 所示，假定矩形 ABCD 内周围有宽为 1 的方形区域，图中所构成的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′ 相似吗？请说明理由.〔2〕如图 2 所示，当 x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′相似？图1 图2【解析】〔1〕不相似.理由：∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似.〔2〕假定矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，那么=，∴①= 或②=，解①得x=1.5，解②得x=9．∴当x=1.5 或9 时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.19.如下图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD 区分为它们的最短边，点F 在AB 上，且3AE=2AD.〔1〕矩形ABCD 的面积为450cm2，求矩形AEFG 的面积.〔2〕求证：∠1=∠2.【解析】〔1〕∵3AE=2AD，∴= .∵矩形AGFE∽矩形ABCD∴相似比为= .∴面积的比为..∵矩形ABCD 的面积为450cm2，∴四边形AEFG 的面积为200cm2.〔2〕∵矩形AGFE∽矩形ABCD，∴∠DAB=∠EAG=90°，AE∶AD=AG∶AB.∴∠DAE+∠EAF=∠GAB+∠EAF.∴∠DAE=∠GAB.∵AE∶AD=AG∶AB，∴△ADE∽△ABG.∴∠1=∠2.20.菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1 相交于点O，以点O 为坐标原点，区分以OA1，OB1 所在直线为x 轴，y 轴，树立如下图的直角坐标系，以B1D1 为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2 为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上失掉点A1，A2，A3，…，A n，那么点A n 的坐标为(3n－1，0)．【解】∵菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，∴∠A1B1O＝30°，∴OA1＝1，OB1＝3，∴点A1(1，0)．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A2O＝30°，∴OA2＝3OB1＝3，∴点A2(3，0)．同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……∴点A n(3n－1，0)．21．过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土空中积大约是乙庄主的4 倍，土地的外形都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：〝我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h，绕你的土地跑一周3.5 h 足够．〞甲庄主不信，说：〝假设你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你；假设你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．〞乙庄主说：〝一言为定．〞然后就催马而去．你以为谁是成功者？【解】把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1，所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2 倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只需1.5×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h，所以乙庄主是成功者．22.在长为3、宽为1 的大矩形内不堆叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.〔1〕按如图1 所示放置时，两个小矩形的周长和〔两个小矩形堆叠的边要重复计算〕为163〔2〕怎样放置才干使两个小矩形的周长和最大？在图2 中画出图形，其最大值为88/9. 图1 图2【解析】〔1〕设小矩形的宽为x.∵小矩形与大矩形相似，∴= ，解得x= .∴两个小矩形周长和为2×2〔1+ 〕= .〔2〕两个矩形的放置方式有如下几种:①如答图1 所示，两个小矩形都〝竖放〞，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长区分为1 和，周长和的最大值为.图1②两个小矩形都〝横放〞，有如下两种状况，如答图2，图3 所示.图2图3这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2〔a+3a〕+2［1-a+3〔1-a〕］=8.③两个小矩形一个〝横放〞，一个〝竖放〞，如答图4 所示.这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2×(1+ )+2×图4〔第16 题答图〕∴如答图4 所示为所求，此时最大值为。

4.6 相似多边形对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为(D).A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶52.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A).A. B. C. D.3.下列说法中，错误的是(C).A.等边三角形都相似B.等腰直角三角形都相似C.矩形都相似D.正方形都相似4.如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为(C).A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶2（第4题）（第5题）5.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于(B).A.215-B.215+C.3D.26.如图所示，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=120°，∠B=85°，∠C1=75°，AB=10，A1B1=16，CD=18，则∠D1= 80°，C1D1= 28.8 ，它们的相似比为 5∶8 ．（第6题）（第7题）（第8题）7.如图所示，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连结OA，OB，OC，OD的中点得四边形A1B1C1D1，顺次连结OA1，OB1，OC1，OD1的中点得四边形A2B2C2D2……依此作下去，得四边形AnBnCnDn ，则四边形AnBnCnDn 的周长为n 29 cm ，面积为1229+n cm 2.（用含n 的代数式表示） 8.如图所示，菱形ABCD 的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC 上有两点E 和F （点E 在点F 的左侧），若要使四边形DEBF 与菱形ABCD 相似，则AE 的长为 3 .（第9题）9.如图所示，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，连结EB ，GD ．（1）求证：EB=GD ．（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=3，求GD 的长．【答案】(1)∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB.∴∠EAB=∠GAD.∵AE=AG，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD.∴EB=GD.(2)如答图所示，连结BD 交AC 于点P ，则BP⊥AC.（第9题答图） ∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°.∴BP=21AB=1，AP=22BP AB -=3.∵AE=AG=3，∴EP=23.∴EB=22BP EP +=13.∴GD=13.10.如图所示，矩形ABCD 的面积是72，点E 在BC 上，点F 在DC 上，且DF=21AB ，BE=21AD ，则矩形ECFG 的面积是(C ).A.9B.12C.18D.24 （第10题） （第11题）11.如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，则ADAB 等于(B ).A. 215-B. 22 C. 2 D.2 12.如图所示，连结正五边形的各条对角线AD ，AC ，BE ，BD ，CE ，有下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM ∽五边形ABCDE ；③AN 2=AM·AD.其中正确的是(D ).A.①②B.①③C.②③D.①②③（第12题） （第13题）13.一块矩形绸布的宽AB=a （m ），长AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的n 面矩形彩旗，若使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则a 的值为nn . 14.如图1所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD=DC=CB=a ，∠A=60°.取AB 的中点A1，连结A1C ，再分别取A1C ，BC 的中点D1，C1，连结D1C1，如图2所示.取A1B 的中点A2，连结A2C1，再分别取A2C1，BC1的中点D2，C2，连结D2C2，如图3所示……如此进行下去，则线段DnCn 的长度为na 2 . 图1 图2 图3（第14题）15.如图所示，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD=12，AB=6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d.（1）当a=b=c=d=2时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？（2）若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，则a ，b ，c ，d 应满足怎样的等量关系？请说明理由.（第15题）【答案】(1)不相似.理由如下：∵，∴ .∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 不相似.(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，就要，即c a --1212=b d --66 可得a+c=2b+2d.∴当a+c=2b+2d 时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.16.【葫芦岛】如图所示，在矩形ABCD 中，AD=2，CD=1，连结AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB1C1C ，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C 的相似矩形AB2C2C1……按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为 5n2的面积为 1225 n n. （第16题） （第17题）17.【成都】已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O ，以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An ，则点An 的坐标为 (3n-1,0) .18.数学学习小组在学过相似图形的知识这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如我们可以定义：长和宽之比相等的矩形是相似矩形；相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方等.请你参与这个学习小组，一同探索这类问题.（1）写出判定菱形相似的一种判定方法．（2）如图所示，将菱形ABCD 沿着直线AC 向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE 是菱形，且菱形ABCD ∽菱形A′FCE．（3）若AC=2，菱形A′FCE 的面积是菱形ABCD 面积的一半，求平移的距离AA′的长．（第18题）【答案】(1)若两个菱形有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似.(2)∵AD∥A′E∥FC，AB∥A′F∥EC，∴四边形A′FCE 为平行四边形，△CEA′∽△CDA, △CFA′∽△CBA.∴.∵AD=AB,∴EA′=FA′.∴四边形A′FCE 为菱形.∵∠EA′F=∠DAB,∴菱形A′FCE ∽菱形ABCD.(3)∵菱形ABCD ∽菱形A′FCE，菱形A′FCE 的面积是菱形ABCD 面积的一半，∴菱形ABC 与菱形A′FCE 的面积比为2∶1.∴对应边之比为2∶1，即AC ∶A′C=2∶1.∵AC=2，∴A′C=1.∴AA′=2-1.。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯相似多边形知识讲解1.相似多边形(1)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．(2)相似多边形的对应边的比叫做相似比．2.相似多边形的性质相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．典型例题例1：已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.求证：四边形ABCD⊥四边形EBFO.同步练习一、选择题1.在下列几个命题中，正确的有()⊥四条边相等的四边形都相似；⊥四个角都相等的四边形都相似；⊥三条边相等的三角形都相似；⊥所有的正十二边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个2.将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是()A．新三角形与原三角形相似B．新矩形与原矩形相似C．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都相似D．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都不相似3.（2019秋•嘉兴期末）下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似4.如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推．若各种开本的矩形都相似，那么ABMN等于()A．0.618 B．22C． 2 D．25.已知四边形ABCD⊥四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：46.（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积（）A．9cm2B．16cm2C．56cm2D．24cm27.（2020春•广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（）A．2：1B．4：1C．√2：1D．1：28.（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（）A．⊥D＝81°B．⊥F＝83°C．⊥G＝78°D．⊥H＝91°9.（2019秋•巴州区校级期中）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．1080元C．720元D．2160元10.如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：⊥⊥AME＝108°；⊥五边形PFQNM⊥五边形ABCDE；⊥AN2＝AM•AD，其中正确的是（）A．⊥⊥B．⊥⊥C．⊥⊥D．⊥⊥⊥二、填空题1.四边形ABCD⊥四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9⊥4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为____．2.把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为____．3.如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将⊥ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝____．4.（2019秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则⊥α的度数是．5.（2019春•张店区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为．三、解答题1.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．3.（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若⊥BPQ与⊥ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．4.（2019秋•雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在⊥ABC中，⊥A＝40°，⊥B＝60°，当⊥BCD＝40°时，CD为⊥ABC的完美分割线；（2）如图2，⊥ABC中，AC＝2，BC=√2，CD是⊥ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．5.【核心素养题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3；…；这样继续下去．求图中的四边形A8B8C8D8的周长和四边形A9B9C9D9的面积．。

第4章 相似三角形检测题【本检测题满分100分，时间90分钟】一、 选择题（每小题3分，共30分）1.如图，正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，若 ，则下列结论正确的是( )A. B. C. ∠ ∠ D. ∠ ∠2. （ 015·南京中考）如图，在△ 中， ∥ ,12AD DB =,则下列结论中正确的是（ ）A.12AE AC = B.12DE BC = C.的周长 的周长1D .的面积 的面积13.已知四条线段 ， ， ， 是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（ ） A ．B.b ad b c a =++ C. d bc bd a -=-D ．2222dc b a =4. 若把△ABC 的各边扩大到原来的3倍后，得△ ′ ′ ′，则下列结论错误的是（ ） A ．△ABC ∽△ ′ ′ ′ B ．△ABC 与△ ′ ′ ′的相似比为1C ．△ABC 与△ ′ ′ ′的对应角相等D ．△ABC 与△ ′ ′ ′的相似比为15.若875cb a ==，且 － ，则 － 的值是（ ）第1题图第2题图A.14B.42C.7D.314 6.如图，已知 // ， // ， 、 分别交 于点 、 ，则图中共有相似三角 形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对第7题图7. （2015·浙江舟山中考）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C;直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）A.1B.2C.5D.58.如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积.然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（ ）A.91()44B.101()44C.91()42D.101()42⨯ 9.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm10.（陕西中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）第8二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，在△ 中， ∥ ,23DE BC ,△ 的面积为8，则△ 的面积为 . 第11题图12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．13.将三角形纸片（△ ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ 相似，那么BF 的长度是 ．14. （ 015·兰州中考）如果=k( + +f≠0)，且a+c+e=3(b+d+f)，那么k ＝ . 15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 处放一水平的平面镜，光线从点 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端 处，已知 ， ，且测得AB=1.2 m ，BP=1.8 m ，PD=12 m ，那么该古城墙的高度是_____.16.已知五边形 ∽五边形 ′ ′ ′ ′ ′，∠A=120°，∠ ′=130°,∠C=105°,∠ ′=85°,则∠E= .17. (2015·浙江湖州中考)已知正方形 1 1的边长为1，延长 1 1到 1，以 1 1为边向右作正方形 1 1 ，延长 到 ，以 为边向右作正方形 (如下图所示)，以此类推…若 1 1=2，且点A, , ,…, 10都在同一直线上，则正方形 10 10的边长是 .18.如图，△ 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，0 ， ， ，以原点为位似中心， 将△ 缩小，位似比为1 ，则线段 的中点 变换后对应点的坐标为_________.三、解答题（共46分）19.(6分)如图，在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC ∆（顶点是网格线的交点）.（1）将ABC ∆向上平移3个单位得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆； （2）请画出一个格点222A B C ∆，使222A B C ∆∽ABC ∆，且相似比不为1.20.（6分）(2015·宁波中考节选)如图①，点P 为∠ O 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM,ON 交于A,B 两点，如果∠ P 绕点P 旋转时始终满足O · ，我们就把∠ P 叫做∠ O 的智慧角．如图②，已知∠ O = 0°，点P 为∠ O 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM,ON 交于A,B 两点，且∠ P =1 5°． 求证：∠ P 是∠ O 的智慧角．图②第20题图AE DFCG第21题图21.（6分）如图，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点， ， 41，连接 并延长交 的延长线于点（1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求 的长．22.（6分）如图，在 ×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以O 为位似中心，在网格图中作△ ′ ′ ′和△ 位似，且位似比为12； （2）连接（1）中的 ′,求四边形 ′ ′ 的周长（结果保留根号）.23.（6分）已知：如图所示，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，AB=6，AE ∶EC=2∶1，求S 四边形AFEG ．24.（8分）（2015·浙江丽水中考）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接CF 并延长交AB 于点M ， ⊥ 交射线AD 于点N. （1）当F 为BE 的中点时，求证：AM=CE ； （2）若2==BF EFBC AB ，求NDAN 的值； （3）若n BFEF BC AB ==，当n 为何值时， ∥ ？第24题图25.（8分）（2014·呼和浩特中考）如图，已知反比例函数k y x=（0x >，k 是常数）的图象经过点A （1，4），点B （m ，n ），其中m ＞1，AM ⊥x 轴，垂足为M ，BN ⊥y 轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C. （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：△ ∽△ O ；（3）若△ 与△ O 的相似比为2，求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式.第4章 相似三角形检测题参考答案1. B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B 正确.2. C 解析：11,23AD AD DB AB =∴=.1,3AE DE AD DE BC AC BC AB ∴===∥, 故选项A 、B 错误；∵ DE ∥BC,∴ △ADE ∽△ABC,且相似比为1,3AD AB =∴，21139⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选项C 正确，选项D 错误. 3.C 解析：由比例的基本性质知A 、B 、D 项都正确，C 项不正确.4. B 解析：A.因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，正确；B.可知△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为，错误；C.因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以△ABC 与△A ′B ′C ′的对应角相等，正确；D.因为相似比即是对应边的比，所以△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为，正确．故选B ． 5.D 解析：设x cb a ===875，则所以所以314. 6.C 解析：△∽△∽△∽△.7. D 解析：因为l 1∥l 2∥l 3，所以.因为AG=2，GB=1，所以AB=3.又BC=5，所以.8.A 解析：正三角形的面积=×（边长）2，所以要求正△A 10B 10C 10的面积，关键是求出其边长. 由于正△A 10B 10C 10是由边长为1的正△A 1B 1C 1演变而来的，所以我们不妨从边长为1的正△A 1B 1C 1入手，求出正△A 10B 10C 10的边长. （1）列表填数．观察上表，易知正三角形边长=，所以第10个正△A 10B 10C 10的边长为，即，它的面积=，故选A.9. A 解析：两个相似多边形的面积比是9︰16，则相似比为3︰4，所以两多边形的周长比为3︰4，即36︰48，故选A.10.D 解析：选项A 中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B 中，由于任意两个等边三角形相似，因此B 中两三角形相似；同理C 中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似. 11.18 解析：∵ DE ∥BC,∴ △ABC ∽△ADE ，∴.94)(2==∆∆BC DE S S ABC ADE ∵ △ADE 的面积为8，∴,948=∆ABCS 解得ABC S ∆=18. 12.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长为由题意得，所以又因为所以此三角形是直角三角形，所以周长为13.127或2 解析：设，由折叠的性质知，当△∽△时，CF B CB B 'F A =，∴ 443x x-=，解得127.当△∽△时,CF B CA B 'F A =，∴ 433x x-=，解得.∴的长度是127或2.14.3解析：由题意，得a c e kb kd kfk b d f b d f ++++==++++，因为a+c+e=3(b+d+f)，所以k=3.15.8 解析：由反射角等于入射角知∠∠，所以△∽△所以DP CD BP AB =，所以128.12.1CD =，所以CD=8 m.16.解析：因为五边形∽五边形所以.又因为五边形的内角和为所以.17. 7823解析：如图，设AD 2交A 1C 1于M ，由题意易证△∽△∽△∽△∽…∽△.因为△∽△，所以2111211＝＝M A M D D A AD .因为111＝D A ，所以321＝M A ，即3121＝MA D A ，所以233445910223344993A D A D A D A DA D A D A D A D 鬃?＝＝＝＝＝. 在Rt △322D D A 中，＝2232D A D A 3，即323232＝－D A D A ，所以32D A ＝3＝0123； 在Rt △433D D A 中，＝3343D A D A 3，即334343＝－D A D A ，所以43D A ＝29＝1223； 在Rt △544D D A 中，＝4454D A DA 3，即3295454＝－D A D A ，所以54D A ＝427＝2323； 同理，456332A D =，，8910732A D =.第17题答图 18.或解析：∵ （2，2），（6，4），∴ AC 中点的坐标为（4，3）.又以原点为位似中心，将△缩小，位似比为，∴ 线段的中点变换后对应点的坐标为或.19.解：（1）作出111A B C ∆如图所示.（2）本题是开放题，答案不唯一，只要作出的222A B C ∆满足条件即可.第19题答图20.证明：∵ ∠ O = 0°,P 是∠MON 平分线上一点， ∴ ∠AOP=∠BOP ＝∠MON ＝ 5°．∵ ∠AOP+∠OAP+∠ PO=180°，∴ ∠OAP+∠ PO=1 5°． ∵ ∠ P =1 5°，∴ ∠APO+∠OP =1 5°，∴ ∠OAP=∠OPB ，∴ △AOP ∽△POB ．∴=,∴=O ·O ,∴ ∠APB 是∠MON 的智慧角． 21.（1）证明：在正方形中，︒=∠=∠90D A ，.∵∴，∴DFAEDE AB =，∴ ABE DEF △∽△. （2）解：∵∴ 522422=+=BE .又由（1）得DEF ABE ∠=∠，︒=∠+∠=∠+∠90DEF AEB ABE AEB ， ∴ ︒=∠90BEG . 由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△，∴ BGBE BE AE =，∴ 102==AE BE BG . 22. 解：（1）如图.第22题答图（2）四边形的周长=4+62.23.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.解:已知正方形ABCD ，且EF ⊥AB ，EG ⊥AD,∴ EF ∥CB ，EG ∥DC. ∴ 四边形AFEG 是平行四边形. ∵ ∠1=∠2= 5°,∴ .又∵ ∠，∴ 四边形AFEG 是正方形，∴ 正方形ABCD ∽正方形AFEG ，∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）. 在△ABC 中，EF ∥CB ,∴ AE ∶EC=AF ∶FB=2∶1. 又,∴.∴ S正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =36∶16，∴ 36161636AFEG S ⨯==正方形. 24.解：（1）F 为BE 的中点，∴BF ＝EF.AB ∥CD ，∴MBF CEF ∠=∠，BMF ECF ∠=∠，∴△BMF ≌△ECF ，∴MB CE =.∵ AB=CD ，CE=DE ，∴ MB=AM.∴ AM=CE.(2)设MB=a ，∵ AB ∥CD ，∴ △BMF ∽△ECF.∵＝2，∴ =2，∴ CE=2a ，∴ AB=CD=2CE=4a ，AM=AB-MB=3a.∵=2，∴ BC=AD=2a.∵ MN ⊥MC ，∠A=∠ = 0°，∴ △AMN ∽△BCM ，∴ =，即=,∴AN=a ，ND=AD-AN=2a-a=，∴ ==3.第24题答图(3)方法一：∵==n ，设MB=a ，∴ 由(2)可得BC=AD=2a ，CE=DE=na ，AM=(2n-1)a.经分析知△AMN ∽△BCM ，∴ =，∴ AN ＝ (2n-1)a,DN ＝AN-AD ＝.∵ DH ∥AM ，∴ =，∴ DH=(2n-5)a ，∴ HE=DE-DH=(5-n)a.∵MBEH 是平行四边形，∴ HE=MB ，即(5-n)a=a ，∴ n=4.方法二：∵==n ，设MB=a,由(2)可得BC=2a ，CE=na.当MN ∥BE 时，CM ⊥BE ，可证△MBC ∽△BCE ，∴ =∴ =∴ n=4.25.（1）解：∵ 函数k y x=的图象经过（1，4）点， ∴ 4k =，反比例函数解析式为4y .x= （2）证明：∵ B （m ，n ），A （1，4），∴ AC = 4–n ，BC = m –1，ON = n ，OM = 1， ∴ 441AC n .ON n n-==-而B （m ，n ）在函数4y x =的图象上，∴ 4n m =，∴ 1AC m ,ON =- 而11BC m ,OM -= ∴ AC BC .ON OM= 又∵ ∠ACB =∠ O = 0°，∴ △ACB ∽△NOM.（3）解：∵ △ACB 与△NOM 的相似比为2， ∴ 12m -=， ∴ 3m =，∴ B 点坐标为433.⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB 所在直线的解析式为y = kx ＋b ， ∴ 4=334k b,k b,⎧+⎪⎨⎪=+⎩∴43163k ,b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ AB 所在直线的解析式为41633y x .=-+。

2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题1．（2019秋•江干区期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，若CC CC=CC CC=23，AB ＝8cm ，求DE 的长．2．（2019秋•江干区期末）如图1，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ． （1）求证：BE •BC ＝AE •CD ；（2）如图2，若点P 是边AD 上一点，且PE ⊥EC ．求证：AE •AB ＝DE •AP ．3．（2019秋•德清县期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE ＝∠B ． 求证：（1）△ABD ∽△ADE ； （2）AD 2＝AE •AB ．4．（2019秋•诸暨市期末）锐角△ABC 中，BC ＝6，AD 为BC 边上的高线，S △ABC ＝12，两动点M ，N 分别在边AB ，AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN （如图1），设其边长为x ， （1）当PQ 恰好落在边BC 上（如图2）时，求x ； （2）正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为163时，求x 的值．5．（2019秋•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 于点E ，交CD 于点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．6．（2019秋•新昌县期末）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D 作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：（1）写出正确的比例式及后续解答；（2）指出另一个错误，并给予正确解答．̂的中点，且与点C位于AB的异侧，CD 7．（2019秋•余姚市期末）如图1，△ABC内接于⊙O，点D是CC交AB于点E．（1）求证：△ADE∽△CDA．（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4√6，CE＝2，求AD和CD的长．8．（2019秋•长兴县期末）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的长．9．（2019秋•嘉兴期末）如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD 交于点E．（1）求证△DCE∽△DBC；（2）若CE=√5，CD＝2，求直径BC的长．10．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．11．（2019秋•下城区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是边BC上一点，AB2＝BD•BC，E为线段AD中点，连结CE并延长交AB于点F．（1）求证：AD⊥BC．（2）若AF：BF＝1：3，求证：CD：DB＝1：2．12．（2019秋•瑞安市期末）如图Rt△ABC与Rt△DEF中，∠A＝∠D＝90°，∠B＝40°，∠E＝20°，用一条过顶点的线段将Rt△ABC分割成两个三角形，再用另一条过顶点的线段将Rt△DEF也分割成两个三角形；所分割成的四个三角形恰好是两对相似三角形．（要求：1．用三种不同的方法；2．在图中标出相应的锐角度数．）13．（2019秋•北仑区期末）如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）14．（2019秋•临安区期末）如图，点B 、D 、E 在一条直线上，BE 交AC 于点F ，CC CC=CC CC，且∠BAD ＝∠CAE ．（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△AEF ∽△BCF ．15．（2019秋•越城区期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACB ，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠EFB ＝∠D ．（1）求证：△EFB ∽△CDA ；（2）若AB ＝20，AD ＝5，BF ＝4，求EB 的长．16．（2019秋•镇海区期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm 和8cm ，它们的周长之和为56cm ，面积之差为28cm 2，求较小相似多边形的周长与面积． 17．（2019秋•南浔区期末）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A ，B ，C（1）画出△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）若点D ，E 也是网格中的格点，画出△BDE ，使得△BDE 与△ABC 相似（不包括全等），并求相似比．18．（2019秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD 中，点E 在BC 边上（不与点B 、C 重合），连接AE 、BD交于点G ．（1）若AG ＝BG ，AB ＝4，BD ＝6，求线段DG 的长；（2）设BC ＝kBE ，△BGE 的面积为S ，△AGD 和四边形CDGE 的面积分别为S 1和S 2，把S 1和S 2分别用k 、S 的代数式表示； （3）求C 2C 1的最大值．19．（2019秋•萧山区期末）如图，⊙ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，CE 平分∠DCB 交AD 于点E ，BF 和CE 相交于点P ． （1）求证：AE ＝DF ． （2）已知AB ＝4，AD ＝5 ⊙求CC CC的值；⊙求四边形ABPE 的面积与△BPC 的面积之比．20．（2019秋•海曙区期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC 的三个顶点均在格点上． （1）将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB 1C 1，在图⊙中作出△AB 1C 1； （2）在图⊙中作一个与△ABC 相似且面积最大的格点△A 2B 2C 2；（3）在图⊙中找出三个与点A 、B 、C 在同一圆上的格点，并用D 1，D 2，D 3标注．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《相似三角形》试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题） 1．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵CC CC=CC CC=23，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CC CC=CC CC=23，∵AB ＝8cm ，∴DE =163cm ． 2．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AB ＝CD ．AD ＝BC ，∠BAD ＝90°， ∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠AED ＝90°，∴∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠EAD ， ∴∠ABE ＝∠DAE ， ∴△ABE ∽△DAE ， ∴CC CC =CC CC ， ∴CC CC=CC CC，∴BE •BC ＝AE •CD ； （2）证明：如图⊙中， ∵AE ⊥BD ，PE ⊥EC ， ∴∠AED ＝∠PEC ＝90°， ∴∠AEP ＝∠DEC ，∵∠EAD +∠ADE ＝90°，∠ADE +∠CDE ＝90°， ∴∠EAP ＝∠EDC ， ∴△AEP ∽△DEC ， ∴CC CC=CC CC，∵AB ＝CD ，∴AE •AB ＝DE •AP ． 3．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠DAE ， ∵∠ADE ＝∠B ． ∴△ABD ∽△ADE ；（2）∵△ABD ∽△ADE ， ∴CC CC=CC CC∴AD 2＝AE •AB ． 4．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC ＝6，AD 为BC 边上的高线，S △ABC ＝12， ∴12×6⋅CC =12， ∴AD ＝4，设AD 交MN 于点H ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴CC CC=CC CC，即4−C 4=C6，解得x =125， ∴当PQ 恰好落在边BC 上时，x =125．（2）⊙当PQ 在△ABC 的内部时，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积即为正方形MPQN 的面积，∴C 2=163，解得C =4√33，⊙当PQ 在△ABC 的外部时，如图3，PM 交BC 于点E ，QN 交BC 于点F ，AD 交MN 于点H ，设HD ＝a ，则AH ＝4﹣a ， 由CC CC=CC CC得4−C 4=C 6，解得a =−23C +4，∴矩形MEFN 的面积为MN ⋅CC =C (−23C +4)=−23C 2+4C （2.4＜x ≤6）． 即−23C 2+4C =163，解得x 1＝4，x 2＝2（舍去），综上：正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为163时，x 为4√33或4．5．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92． ∴CC CC=CC CC，∵∠AOB ＝∠COD ， ∴△OAB ∽△ODC ， ∴∠A ＝∠D ．（2）∵∠A ＝∠D ， ∴AB ∥CD ， ∴CC CC =CC CC ，CC CC=CC CC，∴CC CC=CC CC．∵AE ＝BE ， ∴CF ＝DF ． 6．【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）CCCC =CCCC，∴CC =CC ⋅CC CC =2×56=53．（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D 作∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ， ∴CC CC=CCCC，∴CC =CC ⋅CC CC =2×54=52．综合以上可得，DE =53或52．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵点D 是CCĈ的中点， ∴CĈ=CC ̂ ∴∠ACD ＝∠BAD ， ∵∠ADE ＝∠CDA ∴△ADE ∽△CDA （2）连结BD ，∵点D 是CCĈ的中点， ∴AD ＝BD∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴CC =2=√62=4√3， 由（1）得△ADE ∽△CDA ，∴CC CC=CC CC，即AD 2＝CD •ED，∴(4√3)2=CC (CC −2)，∴CD 2﹣2CD ﹣48＝0，解得CD ＝8或﹣6． ∴CD ＝8．8．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BC ＝CD ， ∴∠DBC ＝∠D ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝∠DBA ， ∴∠D ＝∠DBA ，又∵∠AEB ＝∠CED ， ∴△AEB ∽△CED ；（2）解：∵△AEB ∽△CED ， ∴CC CC =CC CC ，又∵BC ＝CD ＝6，EC ＝3，AE ＝2， ∴CC 6=23，∴AB ＝4． 9．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵D 是弧AC 的中点， ∴CĈ=CC ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ，且∠BDC ＝∠EDC ， ∴△DCE ∽△DBC ； （2）∵BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴DE =√CC 2−CC 2=√5−4=1， ∵△DCE ∽△DBC ， ∴CC CC =CCCC ，∴12=√5CC， ∴BC ＝2√5． 10．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AE •AB ＝AD •AC ， ∴AE ：AC ＝AD ：AB ， ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ．（2）解：∵点E 为AB 中点，∴AE ＝BE ，∵AD ：AE ＝6：5，∴设AD ＝6x ，则AE ＝5x ，AB ＝10x ， ∵AE •AB ＝AD •AC ，∴AC =CC ⋅CC CC=5C ⋅10C 6C =253x ， ∴CD ＝AC ﹣AD =73x ， ∴CC CC=725，∵△ABC 的面积为50，∴△BCD 的面积=725×50＝14．11．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AB 2＝BD •BC ， ∴CC CC=CC CC，又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBA ，∴∠BDA ＝∠BAC ＝90°，即AD ⊥BC ． （2）作EG ∥CB 交AB 于点G ， 则△AEG ∽△ADB ， ∴CC CC =CC CC =CC CC=12，∴BD ＝2EG ， ∵CC CC =13， ∴CC CC=13，∵EG ∥CB ，∴△FEG ∽△FCB ， ∴CC CC=CC CC=13，∴BC ＝3EG ，∴CB ：DB ＝3：2． ∴CD ：DB ＝1：2．12．【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一：方法二：方法三：方法四：方法五：13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△BCD即为所求．（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，相似比C=√10 2；相似比C =√5．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）∵∠BAD ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAD ＝∠CAE +∠CAD即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中CC CC =CC CC ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ；（2）∵△ABC ∽△ADE ，∴∠C ＝∠E 、在△AEF 和△BFC 中，∠C ＝∠E ，∠AFE ＝∠BFC ，∴△AEF ∽△BCF ．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠DAC ，∵∠D ＝∠EFB ，∴△EFB ∽△CDA ；（2）∵△EFB ∽△CDA ，∴CC CC =CC CC ，∵AB ＝AC ＝20，AD ＝5，BF ＝4，∴BE ＝16．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设较小相似多边形的周长为x ，面积为y ，则较大相似多边形的周长为56﹣x ，面积28+y ， 根据题意得C56−C =68，C 28+C =（68）2， 解得x ＝24，y ＝36，所以较小相似多边形的周长为24cm ，面积为36cm 2．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图2所示：△BDE ，即为所求，相似比为：√2：2．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AG ＝BG ，∴∠BAG ＝∠ABG ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴∠BAG ＝∠ADB ，∴△BAG ∽△BDA ，∴CC CC =CC CC ，即4CC =64， ∴BG =83， ∴DG ＝BD ﹣BG ＝6−83=103；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝AD ＝kBE ，AD ∥BC ，∵AD ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∠ADG ＝∠BEG∴△ADG ∽△EBG ，∴C 1C =（CC CC ）2＝k 2，CC CC =CC CC =k ， ∴S 1＝k 2S ， ∵C 1C △CCC =CC CC=k ， ∴S △ABG =C 1C ，∵△ABD 的面积＝△BDC 的面积，∴S 2＝S 1+C 1C −S ＝k 2S +kS ﹣S ＝（k 2+k ﹣1）S ；（3）∵C 2C 1=C 2+C −1C 2=1+1C −1C 2=−（1C −12）2+54， ∴C 2C 1的最大值为54．19．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，DC ＝AB ，AD ＝BC ，∴∠AFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ，则∠ABF ＝∠AFB ，∴AF ＝AB ，同理可证：DE ＝DC ，∴AF ＝DE ，∴AE ＝DF ．（2）⊙解：由（1）可知AB ＝AF ＝DE ＝4，∵AD ＝5，∴AE ＝DF ＝1，EF ＝3，∵EF ∥BC ，∴CC CC =CC CC =35．⊙解：连接P A ．设△AEP 的面积为S ．∵EF ＝3AE ，∴△EFP 的面积为3S ，∵△EFP ∽△CBP ，∴C △CCCC △CCC =（CC CC ）2=925， ∴S △BCP =253S ， ∵PB ：PF ＝5：3，∴S △APB ：S △APF ＝5：3，∴S △ABP =203S ，∴S 四边形ABPE =233S ，∴C 四边形CCCCC △CCC =233C 253C =2325． 20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△AB 1C 1如图所示．（2）△A 2B 2C 2如图所示．（3）D 1，D 2，D 3如图所示．（答案不唯一）。

第4章自我评价一、选择题(每小题2分，共20分) 1．下列四组线段中，不能成比例的是(C) A ． a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4 B ． a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3 C ． a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 D ． a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若a ＋b 2c ＝b ＋c 2a ＝c ＋a 2b ＝k ，则k 的值为(C)A ． 1B ． －12C ． 1或－12D ． 不存在3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为5，则m ＝(B)A ． 5B ． 4 5C ． 3 5D ． 10(第3题) (第4题)4．如图，AB ∥CD ，BO ∶CO ＝1∶4，E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF∶AB 的值为(B)A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，AA 1与DD 1相交于点P ，且PA 1＝23PA ，则AB∶A 1B 1等于(B)(第5题)A ． 23B ． 32C ． 35D ． 536．如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中与△ABC 相似的三角形共有(B)A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个(第6题) (第7题)7．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高线，∠ABE ＝45°，F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别相交于点G ，H ，∠CBE ＝∠BAD．有下列结论：①FD＝FE ；②AH＝2CD ；③BC·AD＝2AE 2；④S △ABC ＝4S △ADF ．其中正确的结论有(D)A ． 1个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4个【解】 ∵在△ABC 中，AD 和BE 是高线， ∴∠ADB ＝∠AEB＝∠CEB＝90°． ∵F 是AB 的中点， ∴FD ＝12AB ．∵∠ABE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AE ＝BE ，FE ＝12AB ．∴FD ＝FE ，故①正确．∵∠CBE ＝∠BAD，∠CBE ＋∠C＝90°，∠BAD ＋∠ABC＝90°， ∴∠ABC ＝∠C，∴AB ＝AC ． ∵AD ⊥BC ，∴BC ＝2CD ，∠CAD ＝∠BAD＝∠CBE．在△AEH 和△BEC 中，∵⎩⎨⎧∠AEH＝∠BEC，AE ＝BE ，∠EAH ＝∠EBC，∴△AEH ≌△BEC(ASA)． ∴AH ＝BC ＝2CD ，故②正确． ∵∠BAD ＝∠CBE，∠ADB ＝∠BEC， ∴△ABD ∽△BCE ，∴AB BC ＝ADBE，即BC·AD＝AB·BE．∵2AE 2＝AB·AE＝AB·BE，BC ·AD ＝AC·BE＝AB·BE， ∴BC·AD＝2AE 2，故③正确． ∵F 是AB 的中点，BD ＝CD ， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝4S △ADF ，故④正确． 综上所述，正确的结论为①②③④．(第8题)8．某班布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝30cm ，AC ＝302cm ，依次裁下宽为1cm 的矩形纸条a 1，a 2，a 3，…，若要使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm ，则该直角三角形彩纸裁成的矩形纸条总数最多是(B)A ．24条B ．25条C ．26条D ．27条【解】 ∵AB＝30 cm ，AC ＝30 2 cm ，∠B ＝90°，∴BC ＝30 cm ．设能裁n 条矩形纸条，则30－n 30＝530，解得n ＝25．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝20°．动点P ，Q 均在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ＝100°．设PB ＝x ，QC ＝y ，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为(A)(第9题)【解】 由题意，得∠APB＋∠PAB＝∠ABC＝180°－20°2＝80°，∠PAB ＋∠QAC＝∠PAQ－∠BAC＝80°， ∴∠APB ＝∠QAC． 同理，∠PAB ＝∠AQC． ∴△PAB ∽△AQC ． ∴PB AC ＝AB QC． ∵AB ＝AC ＝2，∴PB ·QC ＝xy ＝4， ∴y ＝4x(x>0)．故选A ．10．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则ABBD的值为(A)A ．4 25 B ． 345 C ．5 28 D ． 20 223(第10题)【解】 如解图，过点B 作BF⊥l 3于点F ，过点A 作AE⊥l 3于点E ，交l 2于点G ．(第10题解)∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCF ＋∠ACE＝90°． ∵∠BCF ＋∠CBF＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBF． 在△ACE 和△CBF 中，∵⎩⎨⎧∠CEA＝∠BFC，∠ACE ＝∠CBF，AC ＝CB ，∴△ACE ≌△CBF(AAS)．又∵l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3， ∴CE ＝BF ＝3，CF ＝AE ＝4，∴AG ＝1，BG ＝EF ＝CF ＋CE ＝7． ∴AB ＝BG 2＋AG 2＝5 2．∵l 2∥l 3， ∴DG CE ＝AG AE ＝14， ∴DG ＝14CE ＝34，∴BD ＝BG －DG ＝7－34＝254．∴AB BD ＝5 2254＝4 25． 二、填空题(每小题3分，共30分) 11．已知a b ＝32，那么a ＋ba －b＝__5__．12．若两个相似三角形的面积之比是1∶4，则这两个相似三角形的周长之比是__1∶2__．13．在一张比例尺为1∶50000的地图上，如果一块多边形地的面积是320 cm 2，那么这块地的实际面积是8×1011cm 2(用科学记数法表示)．14．在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是14． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1．8，连结AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD ＝13．【解】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°． 又∵AB＝3，BC ＝6， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3．∵BE ＝1．8，∴DE ＝3－1．8＝1．2． ∵AB ∥CD ，∴DF BA ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8， 解得DF ＝2 33．∴CF ＝CD －DF ＝33． ∴CF CD ＝333＝13．(第15题) (第16题)16．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标如图所示，E 是图中两条虚线的交点，若△ABC∽△ADE，则点C 的对应点E 的坐标是__(4，－3)__．【解】 ∵点A(－5，3)，B(1，3)，C(1，－1)，D(4，3)，∴AB ＝6，AD ＝9，BC ＝4．∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝BCDE，∴DE ＝6．∴点E(4，－3)． 17．已知一次函数y ＝2x ＋4的图象分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，若该一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ，且AB ＝2BC ，则这个反比例函数的表达式为__y ＝6x__．【解】 ∵一次函数y ＝2x ＋4的图象分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点， ∴点A(－2，0)，B(0，4)．(第17题解)如解图，过点C 作CD⊥x 轴于点D ． 易得OB∥DC， ∴△ABO ∽△ACD ，∴OB DC ＝AO AD ＝AB AC ＝2BC 2BC ＋BC ＝23， ∴CD ＝6，AD ＝3， ∴OD ＝1， ∴点C(1，6)．设反比例函数的表达式为y ＝kx ，则k ＝1×6＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x．18．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝6，点D 在AB 上，点E 在AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且相似比为1∶3，则BD 的长为8或10．(第18题)【解】 ∵∠A 是公共角，∴当AE AB ＝AD AC ＝13时，△AED ∽△ABC，此时AD ＝2，∴BD ＝10；当AE AC ＝AD AB ＝13时，△ADE ∽△ABC ， 此时AD ＝4，∴BD ＝8． 综上所述，BD ＝8或10．19．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式是__b ＝a ＋c ．(第19题)【解】 如解图所示标注字母．(第19题解)易得DH∥AB∥QF，∴∠EDH ＝∠A，∠GFQ ＝∠B．又∵∠EDH＋∠DEH＝90°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠DEH ＝∠GFQ．又∵∠DHE＝∠GQF＝90°， ∴△DHE ∽△GQF ，∴DH GQ ＝EH FQ ，即a b －c ＝b －ac， 化简，得b 2＝(a ＋c)b ． ∵b ≠0，∴b ＝a ＋c ．20．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，CD ＝1，CH ⊥BD 于点H ，O 是AB 的中点，连结OH ，则OH ＝3 55．(第20题)【解】 如解图，在BD 上截取BE ＝CH ，连结CO ，OE ．(第20题解)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，CD ＝1，∴BD ＝10． ∵CH ⊥BD ，∴∠DCB ＝∠DHC＝90°． 又∵∠CDH＝∠BDC， ∴△CDH ∽△BDC ， ∴DH DC ＝CH BC ＝CD BD， ∴DH ＝CD 2BD ＝1010，CH ＝BC·CD BD ＝3 1010．∵△ACB 是等腰直角三角形，O 是AB 的中点，∴AO ＝OB ＝OC ，∠A ＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°， ∴∠OCH ＋∠DCH＝45°，∠ABD ＋∠DBC＝45°． ∵∠DCH ＝∠DBC，∴∠OCH ＝∠OBE．在△CHO 与△BEO 中，∵⎩⎨⎧CH ＝BE ，∠OCH ＝∠OBE，OC ＝OB ，∴△CHO ≌△BEO(SAS)． ∴OE ＝OH ，∠BOE ＝∠COH． ∵OC ⊥BO ，∴∠EOH ＝∠COH＋∠COE＝∠BOE＋∠COE＝90°， 即△HOE 是等腰直角三角形．易得EH ＝BD －DH －BE ＝10－1010－3 1010＝3 105，∴OH ＝22EH ＝3 55． 三、解答题(共50分)(第21题)21．(6分)如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，AE AC ＝AD AB ＝23．已知△ABC 的面积为60 cm 2，求四边形BCDE 的面积．【解】 ∵AE AC ＝ADAB ，∠A ＝∠A，∴△AED ∽△ACB ， ∴S △AED S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝49， ∴S △AED 60＝49，∴S △AED ＝803cm 2， ∴S 四边形BCDE ＝60－803＝1003(cm 2)．(第22题)22．(6分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点B 出发，在BC 上移动至点C 停止，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，求y 关于x 的函数表达式．【解】 在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴AD ＝BC ＝4，∠DAE ＝∠APB． 又∵∠AED＝∠B＝90°， ∴△DEA ∽△ABP ， ∴DE AB ＝AD PA ，∴y 3＝4x， ∴y ＝12x．(第23题)23．(8分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 交于点G ，且∠EDF＝∠ABE．求证：(1)△DEF∽△BDE． (2)DG·DF＝BD·EF． 【解】 (1)∵AB＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB． ∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE＝∠ACB＋∠CED＝180°， ∴∠CED ＝∠BDE， 即∠DEF＝∠BDE． 又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DE F∽△BDE．(2)由△DEF∽△BDE，得DEBD＝EF DE，∴DE2＝BD·EF．由△DEF∽△BDE，得∠DFE＝∠BED，即∠DFE＝∠GED．又∵∠GDE＝∠EDF，∴△DGE∽△DEF，∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝BD·EF．24．(8分)汪老师要装修自己带阁楼的新居(如图所示为新居剖面图)．在建造到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1．75 m．他量得客厅高AB＝2．8 m，楼梯洞口宽AF＝2 m，阁楼阳台宽EF＝3 m．请你帮助汪老师解决下列问题：(1)要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1．75 m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？(2)在(1)的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每级台阶高要小于20 cm，每级台阶宽要大于20 cm，问：汪老师应该将楼梯建几级台阶？为什么？(第24题)【解】(1)根据题意，知AF∥BC，∴∠ACB＝∠GAF．又∵∠ABC＝∠GFA＝90°， ∴△ABC ∽△GFA ，∴BC FA ＝AB GD ，即BC 2＝2.81.75，解得BC ＝3．2(cm)． ∴CD ＝(3＋2)－3．2＝1．8(m)． (2)设楼梯应建n 级台阶，则⎩⎨⎧0.2n>2.8，0.2n<3.2，解得14<n<16． ∴楼梯应建15级台阶．25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(第25题)(1)求直线AD 的函数表达式．(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．【解】 (1)设直线AD 的函数表达式为y ＝kx ＋b ． 将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，D(0，1)的坐标代入，得⎩⎨⎧43k ＋b ＝53，b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝1.∴直线AD 的函数表达式为y ＝12x ＋1．(2)易得直线AD 与x 轴交于点B(－2，0)， ∴OB ＝2．∵点D 的坐标为(0，1)， ∴OD ＝1．易得y ＝－x ＋3与x 轴交于点C(3，0)， ∴OC ＝3． ∴BC ＝5．(第25题解)如解图．∵△BOD 与△BCE 相似， ∴BD BC ＝BO BE ＝OD EC 或BO BC ＝OD CE′， ∴12＋225＝2BE ＝1CE 或25＝1CE′，∴BE ＝25，CE ＝5，CE ′＝52，∴点E′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，DE ＝BE －BD ＝5．∵点E 在y ＝12x ＋1上，∴可设点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1．则有x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－12＝5，解得x ＝2(负值舍去)．∴点E(2，2)．综上所述，点E(2，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52．26．(12分)抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴的下方．(1)如图①，若点P(1，－3)，B(4，0)． ①求该抛物线的函数表达式．②若D 是抛物线上一点，且满足∠DPO＝∠POB，求点D 的坐标．(2)如图②，已知直线PA ，PB 与y 轴分别交于E ，F 两点．当点P 运动时，OE ＋OFOC 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．(第26题)【解】 (1)①将点P(1，－3)，B(4，0)的坐标代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎨⎧a ＋c ＝－3，16a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，c ＝－165.∴抛物线的函数表达式为y ＝15x 2－165．(第26题解①)②当点D 在点P 的左侧时，如解图①． ∵∠DPO ＝∠POB， ∴DP ∥OB ．易得点D 与点P 关于y 轴对称， ∴点D(－1，－3)．当点D 在点P 的右侧时，如解图②，延长PD 交x 轴于点Q ． ∵∠DPO ＝∠POB，∴QO ＝QP ．设点Q(q ，0)，则(q －1)2＋32＝q 2，解得q ＝5． ∴点Q(5，0)．则直线PD 的函数表达式为y ＝34x －154．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x －154，y ＝15x 2－165，解得x 1＝114，x 2＝1(舍去)．此时y ＝34×114－154＝－2716．∴点D ⎝⎛⎭⎪⎫114，－2716．综上所述，点D 的坐标为(－1，－3)或⎝⎛⎭⎪⎫114，－2716．(第26题解)(2)是定值．如解图③，设点B(b ，0)，则点A(－b ，0)． ∵ab 2＋c ＝0， ∴b 2＝－ca．过点P(x 0，y 0)作PH⊥AB，垂足为H ， 则有y 0＝ax 02＋c ． 易得△EAO ∽△PAH， ∴OE OA ＝HP HA ，即OE b ＝－y 0x 0＋b ， ∴OE ＝－by 0x 0＋b．同理，OF OB ＝HP HB， 即OF b ＝－y 0b －x 0， ∴OF ＝－by 0b －x 0． ∴OE ＋OF ＝－by 0·⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋x 0＋1b －x 0 ＝－2b 2y 0b 2－x 02＝－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ·y 0－c a －y 0－c a ＝－2c ．又∵OC＝－c ，∴OE ＋OF OC ＝－2c －c＝2． ∴OE ＋OF OC 是定值，为2．。

浙教新版九年级上册《4.6相似多边形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于()A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换2.如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是()A.这种变换是相似变换B.对应边扩大到原来的2倍C.各对应角度数不变D.面积扩大到原来的2倍3.下列说法正确的是()A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正六边形一定相似D.所有的等腰三角形都相似4.若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为()A.6B.8C.10D.125.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于()A. B. C. D.2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

6.一张比例尺为1：5000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，则这个地区的实际周长______7.如图，四边形ABCD∽四边形，则______.8.如图，点E、F分别在BC、AD上，且矩形ABEF和矩形ABCD相似，又，，则AF：______.9.制作一块长方形广告牌的成本是110元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是______元．10.如图，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点，早BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分如图，已知在梯形ABCD中，，，，若EF把梯形分成的两个小梯形相似，求EF的长.12.本小题8分如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，求证：若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积．13.本小题8分根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比.某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确直接在横线上填写“真”或“假”①四条边成比例的两个凸四边形相似；______命题②三个角分别相等的两个凸四边形相似；______命题③两个大小不同的正方形相似______命题如图，在四边形ABCD和四边形中，，，求证：四边形ABCD与四边形答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2.【答案】D【解析】解：平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，则平行四边形AEFG与平行四边形ABCD相似，因而各对应角度数不变，相似比是1：2，面积的比是1：4，即面积扩大到原来的4倍．故选项D不正确．故选：根据相似多边形对应边之比相等、对应角相等，周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．本题考查相似多边形的性质和相似变换的概念．3.【答案】C【解析】解：所有的菱形都相似，错误，不符合题意；B.所有的矩形都相似，错误，不符合题意；C.所有的正六边形一定相似，正确，符合题意；D.所有的等腰三角形都相似，错误，不符合题意；故选：判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、三角形、菱形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似；而两个正六边形，对应角都是，对应边的比也都相当，故一定相似．本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．4.【答案】B【解析】解：设这个多边形的最短边长为x，两个多边形相似，，解得，，故选：根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，，故选根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．6.【答案】3000【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比：5000，一块周长地图上为60cm，表示的实际周长为故答案为比例尺为1：5000的地图上的多边形按照比例缩小，因此它们是相似多边形，利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比计算．本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．7.【答案】【解析】解：四边形ABCD∽四边形，，，故答案为：利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】1：3【解析】解：矩形ABEF 和矩形ABCD 相似，，，，，，，，，：：3，故答案为：1：根据相似多边形的性质可得，进而可得，再计算出FD 的长度，然后可得AF ：FD 的值．此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．9.【答案】990【解析】解：将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，面积扩大为原来的9倍，扩大后长方形广告牌的成本为：元故答案为：直接利用相似多边形的性质进而得出答案．本题考查相似多边形的性质，正确记忆相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题关键．10.【答案】【解析】解：，设，则，，四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，，，解得，不合题意舍去，经检验是原方程的解．故答案为：可设，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．本题考查了翻折变换折叠问题，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．11.【答案】解：把梯形分成的两个小梯形相似，，，【解析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．本题考查了相似多边形的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键．12.【答案】证明：矩形AGFE∽矩形ABCD，，，，即，∽，解：，，，，解得：【解析】根据相似多边形的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的对应角相等证明结论；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．13.【答案】解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等；②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；③两个大小不同的正方形相似，是真命题；故答案为：假，假，真；证明：如图，连接BD，，且，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形ABCD与四边形相似．【解析】根据相似多边形的定义即可判断．证明四边成比例，四个角相等即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．。

4.4 两个三角形相似的判定(二)1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)(第1题) (第2题)2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)A. P1B. P2C. P3D. P4(第3题)4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，有下列条件：①∠AED ＝∠B ；②AD AC ＝AE AB ；③DE BC ＝ADAC.其中能够判断△ADE 与△ACB 相似的有(A)A.①②B.①③C.①②③D.①(第4题) (第5题)5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C 与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．(第6题)7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.(第8题)8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED. 【解】∵AB·AD＝AC·AE，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠BAC ＝∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED.9．在△ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使△ADE 与△ABC 相似，则AD 的值是(C)A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25(第9题解)【解】 如解图．①当△ADE ∽△ABC 时，有AD AE ＝AB AC.∵AE ＝2，BE ＝3，∴AB ＝5. ∴AD 2＝54，∴AD ＝52.②当△AED ∽△ABC 时，有AE AD ＝ABAC，∴2AD ＝54，∴AD ＝85. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若DC 边上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则符合条件的点P 有(C)(第10题)A.1个B.2个C.3个D.4个 【解】 设PD ＝x ，则PC ＝8－x. 在△PAD 与△PBC 中，∠D ＝∠C ＝90°.①若△PAD ∽△PBC ，则AD BC ＝PD PC ，即25＝x 8－x，解得x ＝167，符合题意．②若△PAD ∽△BPC ，则AD PC ＝PD BC ，即28－x ＝x5，解得x ＝4±6，均符合题意．综上所述，符合条件的点P 有3个．(第11题)11．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14BC ，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．【解】 图中相似三角形共有3对．证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝CB.∵DE ＝EC ，FC ＝14BC ，∴EC ＝12BC ＝2CF ，∴AD DE ＝ECCF＝2，∴△ADE ∽△ECF ， ∴AE EF ＝ADEC，∠DAE ＝∠CEF ， ∴AE EF ＝AD DE ，即AD AE ＝DE EF. ∵∠DAE ＋∠AED ＝90°， ∴∠CEF ＋∠AED ＝90°， ∴∠AEF ＝90°，∴∠D ＝∠AEF ，∴△ADE∽△AEF.由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.12．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．(第12题)【解】(1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)． ∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠CBD.∵M ，N 分别是斜边AB ，DE 的中点，P 是AD 的 中点，∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得∠NPD ＝∠EAC ，∠MPA ＝∠BDC ，∠EAC ＋∠BDC ＝90°，∴∠MPA ＋∠NPD ＝90°， ∴∠MPN ＝180°－90°＝90°，即PM ⊥PN. (2)成立．证明如下：同(1)可得△ACE ≌△BCD(SAS)， ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC ＝∠BOE ， ∴∠BHO ＝∠ACO ＝90°.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得PM ∥BD ，PN ∥AE. ∴∠MGE ＋∠BHA ＝180°. ∴∠MGE ＝∠BHO ＝90°. ∴∠MPN ＝∠MGE ＝90°. ∴PM ⊥PN.(3)PM ＝kPN.证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是直角三角形， ∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠ECD ＋∠BCE. ∴∠ACE ＝∠BCD. ∵BC ＝kAC ，CD ＝kCE ， ∴BC AC ＝CDCE＝k ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴BD ＝kAE.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE.∴PM ＝kPN.。

浙教版数学初三上册第四章相似三角形41.将一个五边形改成与它相似的五边形，假如面积扩大为原先的9倍，那么周长扩大为原先的( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍2.一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则那个多边形的最短边长为（）A.6B.8C.12D.103.假如五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A.2：3B.3：2C.6：4D.9：44.已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A.2：3B.3：2C.4：9D.9：45.将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法中不正确的是（）A.菱形的边长扩大到原先的2倍B.菱形的角的度数不变C.菱形的面积扩大到原先的2倍D.菱形的面积扩大到原先的4倍6.如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），假如剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm7.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABC D各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1 ，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A.2：1B.3：C.4：1D.5：18.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，假如它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A.36cmB.42cmC.48cmD.54cm9.下面的图形都能够看作某种专门的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为（）A.1：4B.1：3C.1：2D.1：10.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（）A.:1B.1:C.:D.1:二、填空题11.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是______ __．12.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________13.若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是________.14.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为a cm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________cm215.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为a cm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________16.若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于______ __．17.假如两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为_______ _18.若用一个2倍放大镜去看△ABC，则∠A的大小________；面积大小为________三、解答题19.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥A B，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．20.如图，An系列矩形纸张的规格特点是：①各矩形纸张都相似；②A 1纸对裁后能够得到两张A2纸，A2纸对裁后能够得到两张A3纸，…，A n纸对裁后能够得到两张An+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；（2）依照An系列纸张的规格特点，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）21.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．四、综合题22.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABC D相似，已知AB＝4.（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．23.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】依照面积扩大为原先的9倍可得边长扩大为原先的3倍，即可判定周长的变化。

4.3 相似三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知 ，若与的相似比为，则与对应中线的比为A. B. C. D.2. 两个相似三角形的对应边分别为和 ，它们的周长差为 ，则这两个三角形的周长分别为A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知两个相似三角形的周长分别是和 ，则它们的面积比是 ( )A. B. C. D.4. 如图，已知一次函数的图象与两坐标轴分别交于、 ，点在轴上， ，第一象限内有一个点 ，且轴于点 ，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点的坐标为A. B. 或C. D. 和5. 在平行四边形中，点在上，且 ， 的延长线与的延长线交于点为，则四边形A. B. C. D.6. 如图所示，在正方形网格上，若 ，则点的位置在 ( )A. B. C. D.7. 如图，在直角梯形中， ， ， ， ， ，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点个数是A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知的三边长分别为 ， ， ，现要利用长度分别为和的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位： ）分别为A. ，B. ， 或 ，C. ，D. ， 或 ，9. 如图所示，已知 ， 分别是的边 ， 上的点且 ，若四边形 ，那么等于 ( )A. B. C. D.10. 如图，已知点， 为坐标原点， 是线段上任意一点（不含端点 ， ），过 ，两点的二次函数和过 ， 两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为 ， ，射线与相交于点 ．当时，这两个二次函数的最大值之和等于 ( )．A. B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 若两个相似三角形的面积比为 ，则这两个相似三角形的周长比是．12. 若与相似且面积之比为 ： ，则与的周长之比为．13. 已知相似比为， ， 分别是它们的对应角平分线， ，则．14. 如图，在中， ， ，直线经过 ，且 ， 为上一个动点，若与相似，则．15. 如图，中，， ，则的面积与四边形的面积之比为．16. 如图，在直角三角形中（ ），放置边长分别 ， ，的三个正方形，则的值为．17. 如图，已知，， ，则．18. 如图，中，点在边上，满足，若 ， ，则．19. 如图，直角三角形中， ， ， ，在线段上取一点，作交于点．现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为；的中点的对应点记为．若，则．20. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图所示，在的方格纸中，作格点与相似（相似比不能为 ），则点坐标是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知：如图，是上一点，，求证： ．22. 如图，与相似，，是的高，，是的高．求证：．23. 如图，已知，作一条与平行的直线，把划分成两部分．要使划分成的三角形与四边形的面积之比为 ，可怎样作?如果要使划分成的两部分的面积之比为呢?24. 某小区的居民筹集资金元，计划在一块四边形空地上种植花木，如图，其中，， ．Ⅰ 他们在和地带上种植太阳花，价格为元．当地带上种满太阳花后（图中阴影部分），共花了元，请计算种满地带所需要的费用．Ⅱ 若其余地带有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，价格分别为元和元，则应该选择哪种花木可以刚好用完所筹集的资金?25. 已知：如图，一次函数的图象与二次函数的图象与轴交于同一点，且与轴交于点，设二次函数交轴于点，在轴上有一点，使以点、、组成三角形与相似．试求出点的坐标．答案第一部分1. A2. A3. B4. D5. D6. C7. C8. D9. B 10. A第二部分11.12.13.14. 或15.16.17.18.19.20. 或第三部分21. ，，，，，，，，，．22. ，为边长的高，为边上的高．，同理，．23. 划分成的三角形与四边形的面积之比为 ，划分成的三角形与原的面积之比为 ，则边长之比为 ．如果面积之比为，那么划分成的三角形与原三角形的边长之比为 ．24. （1），，．．．种植地带花了元，．．种满地带的花费为元．（2）设的边上的高为，的边上的高为，梯形的高为．，．，．．．梯形．若种植玫瑰，共需花费元，若种植茉莉，共需花费元．选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．25.令 ，一次函数与轴的交点，二次函数与轴的交点为，是等腰直角三角形， ，， ，中， 和都不等于， ，和是对应角为，点在点的左边，①和是对应边时，，，，，点的坐标为②和是对应边时，，，，，点的坐标为 .综上所述，在轴上有一点或，使以点、、组成的三角形与相似．。

浙教版初三上册数学第四章相似多边形随堂练习（分析版）1． [2019·高密期末 ]两个多边形相似的条件是 ( D )A 、对应角相等B 、对应边成比率C 、对应角相等或对应边成比率D 、对应角相等且对应边成比率2．以下四组图形中，必定相似的是 ( D )A 、正方形与矩形B 、正方形与菱形C 、菱形与菱形D 、正五边形与正五边形3．假如两个相似多边形面积的比为 1∶5，那么它们的相似比为 ( D)A 、1∶25B 、1∶5C 、1∶2.5D 、1∶ 54．如图 4－6－1，四边形 ABCD ∽四边形 A1B1C1D1 ，AB ＝12，CD＝ 15，A1B1＝9，那么边 C1D1 的长是 ( C )图 4－6－14526A 、10B 、12 C. 4 D. 5 【分析】 ∵四边形 ABCD ∽四边形 A1B1C1D1 ，AB CD ∴ A1B1＝C1D1.∵ A B ＝12，CD ＝15，A1B1 ＝9，9×1545∴C1D1＝ 12 ＝ 4 .应选 C.5．如图 4－6－2，六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ，相似比为 2∶1，那么以下结论正确的选项是 ( B )图 4－6－2A 、∠ E ＝2∠KB 、BC ＝2HIC 、六边形 ABCDEF 的周长＝六边形 GHIJKL 的周长D 、S 六边形 ABCDEF ＝2S 六边形 GHIJKL6．我国国土面积约为 960 万平方千米，画在比率尺为1∶1 000 万的地图上的面积约是 (D )A 、960km2B 、960 m2C 、960 dm2D 、960 cm2【分析】 960 万平方千米＝ 9.6×1016 cm2，设画在地图上的面积约为 x cm2，那么 x ∶9.6×1016＝(1∶1000 万)2， 解得 x ＝960.那么画在地图上的面积约为 960 cm2.应选 D. 7．在研究相似问题时，甲、乙同学的看法以下： 对于两人的看法，以下说法正确的选项是 ( C )A 、两人都对B 、两人都不对C 、甲对，乙不对D 、甲不对，乙对8．一张比率尺为 1∶250 的图纸上，一块多边形地域的周长是54 cm ，面积是280 cm2，那么该地域的实质周长是 __135__m__，实质面积是 __1750__m2__．9．两个五边形相似，一组对应边长分别是3 cm 和 4.5 cm ，假设它们的面积之和是 78 cm2，那么较大的五边形的面积是 __54__cm2__．【分析】 设这两个五边形的面积分别为 x cm2，y cm2(x>y)，那么x4.5 2y＝3x ＝54，，解得y ＝ 24.x ＋y ＝78，10．两个相似多边形的最长边分别为 35 cm 和 14 cm ，它们的周长的__100__cm ，40__cm__． x cm ，y cm(x ＞ y)，那么 x ＝ 35 解得y ， y ＝ 40.14x ，y 和11．如图 4－6－4 所示的两个相似四边形中，求未知边的长度∠α 的大小．【分析】 设这两个多边形的周长分别为x －y ＝60，x ＝ 100，差为 60 cm ，那么这两个多边形的周长分别为图 4－6－418 y解：∵两个四边形相似，它们的对应边成比率，对应角相等，∴4 ＝6x＝7，解得 x ＝31.5，y ＝27.∠α＝ 360°－ (77°＋ 83°＋ 117°)＝83°.图 4－6－512．[2019·河南模拟 ]如图 4－6－5，四边形 ABCD 为平行四边形， A E 均分∠ BAD 交 BC 于点 E ，过点 E 作 EF ∥ AB ，交 AD 于点 F ，连结 BF.(1)求证： BF 均分∠ ABC ；(2)假设 AB ＝6，且四边形 ABCD ∽四边形 CEFD ，求 BC 的长．解： (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ A D ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠ FAE ＝∠ AEB ，∵EF ∥AB ，∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AE 均分∠ BAD ，∴∠ FAE ＝∠ BAE ， ∴∠ BAE ＝∠ AEB ，∴ AB ＝EB ，∴四边形 ABEF 是菱形，∴ BF 均分∠ ABC ；(2)∵四边形 ABEF 为菱形，∴ BE ＝ AB ＝6，∵四边形 ABCD ∽四边形 CEFD ，AB BC 6 BC ∴ CE ＝CD ，即 BC －6＝ 6 ，解得 BC ＝3±3 5(负值舍去 )，∴ BC ＝ 3＋3 5.13．如图 4－6－6，在 ? ABCD 中， E 是 CD 的延长线上一点， BE 与 AD 交于点 F ，CD ＝2DE.假设△ DEF 的面积为 a ，那么 ? ABCD 的面积为 _ _12a__(用含 a 的代数式表示 )．图 4－6－6【分析】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ A B ∥CD ，AD ∥ BC ，AB ＝CD ，∴△ DEF ∽△ CEB ，△ D EF ∽△ ABF ，S △DEF DE 2 S △DEFDE 2∴S △CEB＝CE ， S △ABF ＝AB.∵ CD ＝2DE ，∴ DE ∶CE ＝1∶3，DE ∶AB ＝1∶2.∵ S △DEF ＝a ，∴ S △CBE ＝9a ，S △ABF ＝4a ，∴S 四边形 BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝8a ，∴S? ABCD ＝S 四边形 BCDF ＋S △ABF ＝ 8a ＋4a ＝12a.14．公园里有块草坪，其平面图如图 4－6－7 所示，∠ A ＝90°，其比率尺为 1∶2 000，依据图中注明的数据 (单位：cm)，求该草坪的实质周长和面积．图 4－6－7第 14 题答图解：如答图，连结BD ，由条件可得△ABD和△ BDC 是直角三角形，面积之和为 0.003 6 m2，四边形 ABCD 周长为 0.32 m.1 2 0.003 6那么 2 000 ＝ S ，解得 S ＝1.44×104；1 0.322 000＝ C ，解得 C ＝640.答：该草坪的实质周长为 640 m ，实质面积为 1.44×104 m2.15．如图 4－6－8，M 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点， ME ∥CD ，MF ∥BC ，MC ∶MA ＝1∶3.(1)求证：四边形 AFME ∽四边形 ABCD ；图 4－6－8(2)求四边形 AFME 与四边形 ABCD 的面积比．解： (1)证明：∵ ME ∥CD ，∴△ AME ∽△ ACD ，AM ME AE ，∠ AME ＝∠ ACD ，∠ AEM ＝∠ D. ∴ AC ＝ CD ＝AD 同理可证△ AMF ∽△ ACB ，AM MF AF ，∠ AMF ＝∠ ACB ，∠ AFM ＝∠ B ， ∴ AC ＝ CB ＝AB AF MF ME AE 33 ∴AB ＝ BC ＝ CD ＝AD ＝1＋3＝4，∠ AFM ＝∠ B ，∠ FME ＝∠ BCD ，∠ AEM ＝∠ D ，∠ FAE ＝∠ BAD ，∴四边形 AFME ∽四边形 ABCD ；S 四边形 AFME AM 2 3 2 9(2)S 四边形 ABCD ＝ AC ＝ 4 ＝16.16．如图 4－6－9，矩形草坪的长为 a(m)，宽为 b(m)(a ＞b)，沿草坪周围外头有宽为 x(m)的环形小道．(1)草坪的 与 的比m ＝__a ∶b__，外 矩形的 与 的比 n ＝__(a ＋2x)∶(b ＋2x)__(用含有 a ，b ，x 的代数式表示 )；(2) 比 m 与 n 的大小；(3) 中的两个矩形相似 ？ 什么？4－6－9a a ＋ 2x a 〔b ＋2x 〕－ b 〔a ＋2x 〕2x 〔 a －b 〕解： (2)m － n ＝b －b ＋2x ＝b 〔b ＋2x 〕＝b 〔b ＋2x 〕.2x 〔a －b 〕∵a>b>0，x>0，∴ m －n ＝b 〔b ＋2x 〕>0，∴ m ＞n ； (3)不相似．假 中的两个矩形相似，那么需 m ＝n ，∵m ＞n ，∴ 中的两个矩形不相似．17．如 4－6－10，An 系列矩形 的 格特色是：①各矩形 都相似；② A1 裁后可以获得两 A2 ， A2 裁后可以获得两 A3 ，⋯， An 裁后可以获得两 An ＋1 ．(1)填空： A1 面 是 A2 面 的 __2__倍， A2 周 是 A4 周的__2__倍；(2)依据 An 系列 的 格特色， 求出 系列 的 与 ( 大于 ) 之比；(3) A1 的重量 a 克， 求出 A8 的重量． (用含 a 的代数式表示 )4－6－10解： (1)∵ A1 裁后可以获得两A2 ，∴A1 面 是 A2 面 2 倍；∵ A2 的 a ， b ，那么 A2 周 ＝ 2(a ＋b)，那么 A3 的a ab a b是 b ， 是 2，A4 的 是 2， 是 2，A4的周 ＝ 2 2＋2 ＝a ＋b ， ∴A2 周 是 A4 周 的 2 倍；1(2) A1 的 和 分 是 m ，n ，那么 A2 的 和 分n ，2m ，m n m＝ 2，∴ n ＝1，即 nm2∶1；即 系列 的 与 ( 大于 )之比2(3)∵ A1 的重量 a g ，A2是 A1面 的一半，1∴A2 的重量 2a g ，1同理， A3 纸的重量是4a g，1 7∴A8 纸张的重量是2 a g.。

九年级数学上4.6相似多边形同步导学练（浙教版附答案） CO
M 46 相似多边形
对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为(D)
A1∶25 B1∶5 C1∶25 D1∶
2在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A)
A B C D
3下列说法中，错误的是(C)
A等边三角形都相似
B等腰直角三角形都相似
C矩形都相似
D正方形都相似
4如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为(C)
A1∶4 B1∶3 C1∶2 D1∶
（第4题）（第5题）
5已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于(B)
A B C D2
6如图所示，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=11,0) 18数学学习小组在学过相似图形的知识这一后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去如我们可以定义长和宽之比相等的矩形是相似矩形；相似矩形也有以下的性质。