天津市南开区2016届高三第二学期总复习质量检测(二)数学理试题

天津市南开区2016年中考数学二模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．|﹣2|的相反数为（）A．﹣2 B．2 C．D．2．计算cos30°的值为（）A．B．C．1 D．33．下列图形中，轴对称图形的个数（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4．用科学记数法表示的数6.18×10﹣3，其原数为（）A．0.618 B．0..618 C．0.00618 D．0.0006185．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．B．C．D．6．设A=+3，A在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和97．如图，已知△OAB 与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（）A．（﹣x，﹣y）B．（﹣2x，﹣2y）C．（﹣2x，2y）D．（2x，﹣2y）8．分式方程=的解是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1 或 x=29．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（）A．﹣2＜y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣4＜y＜0 D．0＜y＜110．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（）A．2πB．πC．D．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MGMH=，其中正确结论为（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④12．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（）A．①②③B．①③ C．①②④D．③④二、填空题：13．计算： += ．14．一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．15．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．16．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c的值为．17．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．18．在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE与正方形EFCD的位置如图所示．（I）△PEM △PMB相似（填“是”或“否”）；（II）若Q是线段BD上一点，连接FQ并延长交四边形ABCD的一边于点 R，且满足FR=BD，则的值为．三、解答题19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．20．某校260名学生读书活动，要求每人每年读课外书4～7本，活动结束后随机调查了部分学生每人的读书量，并分为四种类型．A：4 本；B：5 本；C：6 本；D：7 本．将各类的人数绘制成如下的扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图中尚有一处错误，回答下列问题：（I）找出条形图中存在的错误，并画出正确条形图；（II）样本数据的众数是本，中位数是本；（III）计算样本平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共读课外书多少本？21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．23．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？24．如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l 与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．2016年天津市南开区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．|﹣2|的相反数为（）A．﹣2 B．2 C．D．【考点】相反数；绝对值．【分析】利用相反数，绝对值的概念及性质进行解题即可．【解答】解：∵|﹣2|=2，∴|﹣2|的相反数为：﹣2．故选A．【点评】此题主要考查了相反数，绝对值的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；求出|﹣2|=2，再利用相反数定义是解决问题的关键．2．计算cos30°的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=×=，故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3．下列图形中，轴对称图形的个数（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：第1个和第4个图形为轴对称图形，共2个．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．用科学记数法表示的数6.18×10﹣3，其原数为（）A．0.618 B．0..618 C．0.00618 D．0.000618【考点】科学记数法—原数．【分析】根据已知的科学记数法表示的数，变形得到原数即可．【解答】解：用科学记数法表示的数6.18×10﹣3，其原数为0.00618，故选C．【点评】此题考查了科学记数法﹣原数，解题方法为：负指数负几，小数点就向左边移动几位．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱．故选：A．【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．6．设A=+3，A在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9【考点】估算无理数的大小．【分析】首先得出的取值范围，进而得出A在两个相邻整数之间．【解答】解：∵4＜＜5，A=+3，∴A在7和8两个相邻整数之间．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．7．如图，已知△OAB 与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（）A．（﹣x，﹣y）B．（﹣2x，﹣2y）C．（﹣2x，2y）D．（2x，﹣2y）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的﹣2倍，那么点P的坐标也应符合这个规律．【解答】解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，∴P′的坐标是（﹣2x，﹣2y）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律．8．分式方程=的解是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1 或 x=2【考点】分式方程的解．【分析】根据解分式方程的步骤，最后一定进行检验即可解答．【解答】解：在方程两边同乘x﹣2得：2x﹣5=﹣3，解得：x=1，检验：当x=1时，x﹣2≠0，∴分式方程的解为：x=1．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是解分式方程．9．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（）A．﹣2＜y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣4＜y＜0 D．0＜y＜1【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法可得反比例函数解析式，再画出反比例函数图象，求出当x=2时y的值，然后结合图象可得答案．【解答】解：设反比例函数的关系式为y=，∵图象经过点（﹣2，4），∴k=﹣8，∴y=﹣，∴x=﹣，当x=2时，y=﹣4，结合图象可得当x＞2时，﹣4＜y＜0，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（）A．2πB．πC．D．【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．【解答】解：连接OA、OC，∵∠B=135°，∴∠D=180°﹣135°=45°，∴∠AOC=90°，则的长==π．故选B．【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MGMH=，其中正确结论为（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【考点】相似形综合题．【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AFBF=ACBC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=，依此即可作出判断．【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AEBF=ACBC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=； =，即=； =，∴MG=AE；MH=BF，∴MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=，故④正确．故选：C．【点评】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．12．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3，正确结论的序号是（）A．①②③B．①③ C．①②④D．③④【考点】动点问题的函数图象．【分析】设P的坐标是（x，y），过P作PM⊥x轴，于M点，在直角△PFM中，根据勾股定理，即可求得函数的解析式．根据解析式即可判断．【解答】解：过P作PM⊥x轴于点M，如图所示：设P的坐标是（x，y）．直角△PMF中，PM=y，MF=3﹣x．PM2+MF2=PF2．∴（3﹣x）2+y2=（5﹣x）2．解得：y2=﹣x2+16．在上式中，令y=0，解得：x=5，则AF=OA﹣OF=5﹣3=2，故①，③正确；在上式中，令x=0，解得y=4．即OB=4．故④错误；在直角△OBF中，根据勾股定理即可求得：BF=5，故②正确．综上，正确的序号有①②③．故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，是一道函数与三角形相结合的综合题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．二、填空题：13．计算： += 5．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2+3=；故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．14．一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．【考点】概率公式．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可．【解答】解：女生当选组长的概率是：4÷10=．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．=1．=0．15．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为（﹣1，2）．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，2）．【解答】解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴x=0时，得y=4，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．16．把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c的值为17 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=17．【解答】解：∵y=x2﹣3x+5=（x﹣）2+，当y=x2﹣3x+5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=（x﹣+4）2++2=x2+5x+11；∴a+b+c=17．故答案是：17．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．17．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是2．【考点】正多边形和圆．【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC 即可求解．【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故答案是：2．【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．18．在边长为1的正方形网格中，正方形ABFE与正方形EFCD的位置如图所示．（I）△PEM 是△PMB相似（填“是”或“否”）；（II）若Q是线段BD上一点，连接FQ并延长交四边形ABCD的一边于点 R，且满足FR=BD，则的值为2或或1 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）计算出PM、BM、BP的值从而判定△PMB为直角三角形且∠PMB=90°、=，继而可得=，且∠PEM=∠PMB，即可得证；（2）如图，根据题意，画出R点的三个可能的位置，分别计算的值．【解答】解：（1）∵PM=2、BM=4、BP=10，∴PM2+BM2=BP2，∴∠PMB=90°，=，又∵=，∠PEM=90°，∴=，且∠PEM=∠PMB，∴△PEM∽△PMB，故答案为：是；（2）如图，当R在R1的位置时， ==2，当R在R2的位置时， ==，当R在R3的位置时， ==1，故答案为：2或或1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是能根据题意，利用相似三角形的判断画出图形，利用相似三角形的性质求解．三、解答题19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为：x≤2，将解集表示在数轴上如图：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．某校260名学生读书活动，要求每人每年读课外书4～7本，活动结束后随机调查了部分学生每人的读书量，并分为四种类型．A：4 本；B：5 本；C：6 本；D：7 本．将各类的人数绘制成如下的扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图中尚有一处错误，回答下列问题：（I）找出条形图中存在的错误，并画出正确条形图；（II）样本数据的众数是 5 本，中位数是 5 本；（III）计算样本平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共读课外书多少本？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．【分析】（Ⅰ）可以先假设A正确，通过计算看是否与题意相符，相符的话就可以找到哪个是错误的，从而可以得到正确的条形统计图；（Ⅱ）根据（1）正确的条形统计图可以得到众数和中位数；（Ⅲ）根据统计图中的数据可以得到这260名学生共读课外书的数量．【解答】解：（1）假设A正确，则B类学生数是：4÷20%×40%=8，C类学生数是：4÷20%×30%=6，D类学生数是：4÷20%×10%=2，∵条形图中尚有一处错误，∴D错误，D类学生有2人，正确的条形统计图如右图所示，（2）由上面的正确的条形统计图可知，众数是5本，中位数是5本，故答案为：5，5；（3）样本平均数为： =5.3，260×5.3=1378（本），即这260名学生共读课外书1378本．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D．（1）如图1，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；（2）如图2，若点P位于（1）中不同的位置，（1）的结论是否仍然成立？说明你的理由．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OC，则∠OCP=90°，根据∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切线，得∠OCP=90°．再根据PD是∠CPA的平分线，得∠APC=2∠APD．根据OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，则∠COP+∠OPC=90°，从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不发生变化．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC∴∠OCP=90°．∵∠CPA=30°，∴∠COP=60°∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°∵PD平分∠APC，∴∠APD=15°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（2）∠CDP的大小不发生变化．∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°．∵PD是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APD．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．【点评】本题考查了切线的性质以及角平分线的性质、等腰三角形的性质，要注意各个知识点的衔接．22．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE═==x，在Rt△ABC中，得到=，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF=BE，EF=AB=2设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，在Rt△ABC中，∵=，AB=2，∴BC=2，在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，∴AF===（x﹣2），∵AF=BE=BC+CE．∴（x﹣2）=2+x，解得x=6．答：树DE的高度为6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．23．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24．（1）若利润为21万元，求n的值．（2）哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？（3）当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把y=21代入，求出n的值即可；（2）根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可；（3）根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．【解答】解：（1）由题意得：﹣n2+14n﹣24=21，解得：n=5或n=9；（2）y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣7）2+25，∵﹣1＜0，∴开口向下，y有最大值，即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润，最大利润是25万；（3））∵y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣2）（n﹣12），当y=0时，n=2或者n=12．又∵图象开口向下，∴当n=1时，y＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．24．如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l 与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质．【分析】（1）由于平行四边形的对角相等，只需求得∠DAO的度数即可，在Rt△OAD中，根据A、D的坐标，可得到OA、OD的长，那么∠DAO的度数就不难求得了．（2）①根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的长，由此可判定△AOE是等边三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根据轴对称的性质知∠OF′E=∠EFA，通过等量代换可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可证得所求的三角形相似．②过E作CD的垂线，设垂足为M，则EM为△EGH中GH边上的高，根据△EGH的面积即可求得GH的长，在①题已经证得△DEG∽△DHE，可得DE2=DGDH，可设出DG的长，然后表示出DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到AF的长，进而可求得F点的坐标，需注意的是，在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点H在G的左侧．【解答】解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD=OD：OA=，∴∠A=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=60°；（2）①证明：∵A（﹣2，0），D（0，2），且E是AD的中点，∴E（﹣1，），AE=DE=2，OE=OA=2，∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，∴∠OF′E=∠DEH；∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，∴∠DGE=∠DEH，又∵∠GDE=∠EDH，∴△DGE∽△DEH．②过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=2×=，∵S△EGH=GHME=GH=3，∴GH=6；∵△DHE∽△DEG，∴=即DE2=DGDH，当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x（x+6），解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣（舍），∴点F的坐标为（1﹣，0）；当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x﹣6，∴4=x（x﹣6），解得：x1=3+，x2=3﹣（舍），∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=3+，∵OF=AO+AF=3++2=+5，∴点F的坐标为（﹣﹣5，0），综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1（1﹣，0），F2（﹣﹣5，0）．【点评】此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．25．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可；（2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y P﹣y D求出二函数最值即可；②当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以得出P点坐标，当点F落在y轴上时，x=﹣﹣x+，解得x=，可得P点坐标．【解答】解：（1）对于，当y=0，x=2．当x=﹣8时，y=﹣．∴A点坐标为（2，0），B点坐标为．由抛物线经过A、B两点，得解得．∴．（2）①设直线与y轴交于点M，当x=0时，y=．∴OM=．∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．∴AM=．∵OM：OA：AM=3：4：5．由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．∴DE：PE：PD=3：4：5．∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∵PD⊥x轴，∴PD两点横坐标相同，∴PD=y P﹣y D=﹣﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∴=．∴．∴x=﹣3时，l最大=15．②当点G落在y轴上时，如图2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以，如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，由△PNF≌△PSA，PN=PS，可得P点横纵坐标相等，故得当点F落在y轴上时，x=﹣﹣x+，解得x=，可得，（舍去）．综上所述：满足题意的点P有三个，分别是．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键．。

2016年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{0，3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0}2．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y﹣3的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．﹣1D．13．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∧q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题D．“a＞0，b＞0”是“≥”的充分不必要条件4．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1B．C．1D．25．（5分）＝（）A．B．﹣1C．D．16．（5分）已知l1，l2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l1的对称点在l2上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）若函数f（x）＝|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．（0，1）∪（2，+∞）8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是．11．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为．12．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，过定点P倾斜角为α的直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆心的极坐标为（3，），半径为3的圆C与直线l交于A，B两点，则|P A|•|PB|＝．13．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC分别交于点D，E，且DF⊥AC于F．若CD＝3，EA＝，则EF的长为．14．（5分）已知△ABC内一点P满足+，过点P的直线分别交边AB、AC于M、N两点，若，，则λ+μ的最小值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为3π．（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，c＝4，且f（A）＝1，求b和△ABC的面积．16．（13分）如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，图（2）是半径之比为1：2的两个同心圆，图（3）是正六边形）各有一个玻璃小球，一次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（2）用随机变量ξ表示一局游戏后小球停在阴影部分的个数与小球没有停在阴影部分的个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A＝PB，E为PC上的点，且BE⊥平面P AC．（Ⅰ）求证：P A⊥平面PBC（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面P AC的距离．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足＝2S n+n+4，a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若∁n＝（﹣1）n a n b n，求数列{∁n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣k）e x（k∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数，求k的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若k＝0，是否存在实数a，使得对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1＜x2时，恒有x1（f（x2）﹣f（a））﹣x2（f（x1）﹣f（a））＞a（f（x2）﹣f（x1））成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2016年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁R B）＝（）A．{0，3}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0}【解答】解：全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，集合B＝{1，2}，∴∁R B＝{x∈R|x≠1且x≠2}，∴集合A∩（∁R B）＝{0，3}．故选：A．2．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y﹣3的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．﹣1D．1【解答】解：由题意作平面区域如下，，化简z＝x﹣2y﹣3为y＝x﹣z﹣，故当直线y＝x﹣z﹣与直线x＝2y重合时有最小值，即z的最小值为0﹣3＝﹣3，故选：B．3．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∧q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题D．“a＞0，b＞0”是“≥”的充分不必要条件【解答】解：A．命题“若p，则￢q”与命题“若q，则￢p”互为逆否命题，为真命题．B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1成立，则p是真命题，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0为假命题，∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴x2+x+1＞0恒成立，则q是假命题，则p∧q为假命题，故B错误，C．“若am2＜bm2，则m≠0，此时a＜b成立，即命题为真命题，正确D．当a＞0，b＞0时，≥成立，当a＝2，b＝0时，满足≥，但a＞0，b ＞0不成立，即“a＞0，b＞0”是“≥”的充分不必要条件，故D正确故错误的是B，故选：B．4．（5分）如图所示的程序框图的运行结果为（）A．﹣1B．C．1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a＝2，i＝1，i＜2016，a＝1﹣＝；i＝2，i＜2016，a＝1﹣＝﹣1；i＝3，i＜2016，a＝1﹣＝2；i＝4，…所以该程序中a的值是以3为周期的数值，当i＝2015＝671×3+2时，i＜2016，a＝﹣1；当i＝2016＝672×3时，i≥2016，退出循环，输出a＝﹣1．故选：A．5．（5分）＝（）A．B．﹣1C．D．1【解答】解：＝＝2•＝2sin30°＝1，故选：D．6．（5分）已知l1，l2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l1的对称点在l2上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：l1，l2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，不妨设l1为y＝x，l2为y＝﹣x，由右焦点关于l1的对称点l2在上，设右焦点F关于l1的对称点为M（m，﹣），右焦点F坐标为（c，0），MF中点坐标为（，﹣），可得﹣＝•，解得m＝﹣c，即有M（﹣c，），可得MF的斜率为＝﹣，即有﹣•＝﹣1，可得b2＝3a2，即c2＝a2+b2＝4a2，则c＝2a，可得e＝＝2，故选：C．7．（5分）若函数f（x）＝|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：令|x|+＝0得＝﹣|x|，令y＝，则x2+y2＝a，表示半径为，圆心在原点的圆的上半部分，y＝﹣|x|，表示以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径，∴a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e）C．D．【解答】解：函数f（x）＝x sin x+cos x+x2的导数为：f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x+2x＝x（2+cos x），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）＝x sin x+cos（﹣x）+（﹣x）2＝f（x），则为偶函数，即有f（x）＝f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为2．【解答】解：复数＝＝，复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，3a﹣6＝0，a+18≠0，可得a＝2，故答案为：2．10．（5分）（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n＝8．（x﹣）n即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1＝＝•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r＝0，求得r＝4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4＝1120．故答案为：1120．11．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为4π．【解答】解：由已知中该几何体是一个四分之三球，其表面积包括个球面积和两个与球半径相等的半圆面积∵R＝1故S＝＝4π故答案为：4π12．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，过定点P倾斜角为α的直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆心的极坐标为（3，），半径为3的圆C与直线l交于A，B两点，则|P A|•|PB|＝16．【解答】解：圆心的极坐标为（3，）即（0，3），半径为3的圆C标准方程为：x2+（y ﹣3）2＝9．把直线l的参数方程为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣10t sinα+16＝0．∴t1t2＝16．则|P A|•|PB|＝|t1t2|＝16．13．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC分别交于点D，E，且DF⊥AC于F．若CD＝3，EA＝，则EF的长为．【解答】解：连接OD，AD，∵AB＝AC，AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AO＝BO，∴OD∥AC，∵DF⊥AC于F，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；连接DE，则∠B＝∠DEF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEF＝∠C，∴DE＝DC，∴CF＝EF，∵CD＝3，EA＝，∴9＝DF2+CF2，DF2＝CF•（EF+）∴EF＝，故答案为：．14．（5分）已知△ABC内一点P满足+，过点P的直线分别交边AB、AC于M、N两点，若，，则λ+μ的最小值为．【解答】解：如图，由及题意得，λ＞0，μ＞0，且，带入得：；又M，P，N三点共线；∴，且λ，μ＞0；∴＝＝＝，当且仅当，即λ＝2μ＝时取“＝”；∴λ+μ的最小值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（cos﹣sin）（ω＞0）的最小正周期为3π．（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，c＝4，且f（A）＝1，求b和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin cos﹣2sin2＝sinωx+cosωx﹣1＝2sin（ωx+）﹣1，…（3分）∴＝3π，∴ω＝．∴f（x）＝2sin（x+）﹣1，…（5分）∵x∈，∴f（x）在区间[﹣π，]单调递增，在区间[，]单调递减，f（﹣π）＝2sin（﹣）﹣1＝﹣3，f（）＝2sin﹣1＝1，f（）＝2sin﹣1＝﹣1，因此f（x）在区间上的最大值为1，最小值为﹣3．…（8分）（Ⅱ）∵f（A）＝2sin（A+）﹣1＝1，∴sin（A+）＝1，又∵0≤A≤π，∴A＝，…（10分）∵a＝2，c＝4，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A得12＝b2+16﹣4b，即b2﹣4b+4＝0，∴b＝2，…（12分）从而△ABC的面积S＝bc sin A＝2．…（13分）16．（13分）如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，图（2）是半径之比为1：2的两个同心圆，图（3）是正六边形）各有一个玻璃小球，一次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（2）用随机变量ξ表示一局游戏后小球停在阴影部分的个数与小球没有停在阴影部分的个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（1）一局游戏后，三个盘中停在阴影部分分别记为事件A1，A2，A3，由题意知A1，A2，A3互相独立，且，P（A2）＝，P（A3）＝，∴一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率为：P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2）P（A3）＝＝．（2）一局游戏后，小球停在阴影部分的次数可能取值为0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的次数可能取值为3、2、1、0，∴ξ可能取值为1、3，则P（ξ＝3）＝P（A 1A2A3）+P（）＝P（A 1）P（A2）P（A3）+＝＝，P（ξ＝1）＝1﹣，所以ξ分布列为：∴Eξ＝＝．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A＝PB，E为PC上的点，且BE⊥平面P AC．（Ⅰ）求证：P A⊥平面PBC（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣B的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面P AC的距离．【解答】证明（Ⅰ）∵BE⊥平面P AC，∴BE⊥P A．∵侧面P AB⊥底面ABCD，且CB⊥AB，∴CB⊥平面P AB，∴CB⊥P A，∴P A⊥平面PBC．…（4分）解：（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OP所在直线为z轴，AB所在直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标O﹣xyz．∵P A⊥平面PBC，PB⊂面PBC，∴P A⊥PB，在Rt△APB中，AB＝2，O为AB的中点，∴OP＝1．∴A（﹣1，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（﹣1，2，0），∴＝（1，0，1），＝（2，2，0），显然，平面BAC的一个法向量为＝（0，0，1），设平面APC的一个法向量为＝（x，y，z），则取x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，从而＝（1，﹣1，﹣1），设二面角P﹣AC﹣B的平面角为θ，则|cosθ|＝|cos＜，＞|＝＝，∴sinθ＝，即二面角P﹣AC﹣B的正弦值为．…（10分）（Ⅲ）∵＝（0，2，0），∴点D到平面P AC的距离d＝．…（13分）18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足＝2S n+n+4，a2﹣1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前3项．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若∁n＝（﹣1）n a n b n，求数列{∁n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵a n+12＝2S n+n+4，∴当n≥2时，a n2＝2S n﹣1+n+3，两式相减可得：a n+12﹣a n2＝2a n+1，∴a n+12＝（a n+1）2，∵数列{a n}是各项均为正数的数列，∴a n+1＝a n+1，即a n+1﹣a n＝1，∴a2﹣a1＝1．又a22＝2a1+5，联立解得a1＝2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为1．∴a n＝2+（n﹣1）＝n+1．∴a2﹣1＝2，a3＝4，a7＝8，∴等比数列{b n}的公比q＝＝2，首项为2．∴b n＝2n，（Ⅱ）∁n＝（﹣1）n a n b n＝（﹣1）n（n+1）2n＝（n+1）（﹣2）n，∴T n＝2×（﹣2）+3×（﹣2）2+4×（﹣2）3+…+（n+1）（﹣2）n，①﹣2T n＝2×（﹣2）2+3×（﹣2）3+4×（﹣2）4+…+n（﹣2）n+（n+1）（﹣2）n+1，②相减可得3T n＝（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣（n+1）（﹣2）n+1＝﹣（n+1）（﹣2）n+1＝﹣•（﹣2）n+1﹣∴T n＝﹣•（﹣2）n+1﹣19．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2＝相切（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N是左、右顶点），若以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：＝1（a＞b＞0），则＝．F（﹣c，0），∴过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线方程为：y＝（x+c），由于此直线与圆x2+y2＝相切，∴＝，又a2＝b2+c2，联立解得：a＝2，c＝1，b＝．∴椭圆C的方程为＝1．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为：3+4k2＞m2．（*）∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵以MN为直径的圆恰好经过椭圆C的右顶点A（2，0），∴＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4＝0，∴++m2+4＝0，化为：7m2+16km+4k2＝0，∴7m+2k＝0，或m+2k＝0．都满足（*）．当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣），直线l经过定点．当7m+2k＝0时，直线l化为：y＝k（x﹣2），直线l经过定点（2，0），舍去．因此直线l经过定点：．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣k）e x（k∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数，求k的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若k＝0，是否存在实数a，使得对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1＜x2时，恒有x1（f（x2）﹣f（a））﹣x2（f（x1）﹣f（a））＞a（f（x2）﹣f（x1））成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＝（x﹣k+1）e x＞0，得x＞k﹣1，∴f（x）在区间（k﹣1，+∞）单调递增．若f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数，则有k﹣1≤﹣1，解得k≤0．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间（﹣∞，k﹣1）单调递减，在区间（k﹣1，+∞）单调递增．①若k﹣1≤0，即k≤1，f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝﹣k．②若0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2，f（x）在区间[0，k﹣1）单调递减，在区间（k﹣1，1]单调递增，∴f（x）min＝f（k﹣1）＝﹣e k﹣1．③若k﹣1≥1，即k≥2，f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）min＝f（1）＝（1﹣k）e．…（8分）（Ⅲ）若k＝0，则f（x）＝xe x，∵x1（f（x2）﹣f（a））﹣x2（f（x1）﹣f（a））＞a（f（x2）﹣f（x1））⇔＜．…（10分）∴设g（x）＝＝，由题意，对任意的x1，x2∈（a，+∞），当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2），即y＝g（x）在（a，+∞）上是单调递增函数．∴g（x）＝＝≥0（x∈（a，+∞））恒成立．…（11分）令h（x）＝x2e x﹣axe x﹣ae x+ae a，h′（x）＝2xe x+x2e x﹣a（x+1）e x﹣ae x＝（x+2）（x﹣a）e x，若a≥﹣2，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为（a，+∞）上的单调递增函数，∴h（x）＞h（a）＝0，不等式成立．若a＜﹣2，当x∈（a，﹣2）时，h′（x）＜0，h（x）为（a，﹣2）上的单调递减函数，∴∃x0∈（a，﹣2），h（x0）＞h（a）＝0，与∀x∈（a，+∞），h（x）＞0矛盾．综上，a的取值范围为[﹣2，+∞）．…（14分）。

天津市河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{30}A x x x x =-<∈R ，，集合{2}B x x x =>∈R ，，则A B =（A ）(20)-， （B ）(23)-， （C ）(23)， （D ）(02)， （2）若复数i1ia z =--是纯虚数 (i 是虚数单位)，则实数a 的值为 （A） （B ）1- （C ）1 （D（3）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+2π（B ）16+π（C ）8+2π（D ）8+π（4）设a b ∈R ，，则“222a b a b ++=”是“2a b +≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆22430x y y +-+=相 切，则此双曲线的离心率为（A ）12（B（C（D ）2（6）若实数x ，y 满足条件02+0x y x x +y k ⎧⎪⎨⎪⎩≥，，，≤≤（k 为常数），且3z x+y =的最大值为12，则 实数k 的值为（A ）0（B ）24- （C ）2-1（D ）9-（7）已知函数=()y f x 是R 上的偶函数，当12(0+)x x ∈∞，，时，都有 1212()[()()]<0x x f x f x --成立，若21=ln =(ln π)=πa b c ，，（A ）()>()>()f a f b f c （B ）()>()>()f c f a f b （C ）()>()>()f b f a f c （D ）()>()>()f c f b f a（8）若至少存在一个(0)x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取 值范围是（A ）[45]-，（B ）[55]-， （C ）[45]， （D ）[54]-，河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

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2016年天津市五区县高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．2．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．B．4 C．3 D．03．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．81 B．27 C．16 D．94．（5分）计算的值为（）A．2 B．4 C．6 D．145．（5分）已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．6．（5分）如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．7．（5分）设p：∃x0∈R，mx02+1≤0，q：x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）8．（5分）定义函数F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|）（a，b∈R），设函数f（x）=﹣x2+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为（）A．4 B．6 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9．（5分）某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层抽样的方法抽取工作人员进行薪资情况调查，若管理人员抽取了6人，则抽到的教师人数为．10．（5分）一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为m211．（5分）等比数列{a n}前n项的乘积为T n，且2a3=a42，则T9=．12．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|BC|=．13．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=．14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在上的最值．16．（13分）为迎接2016年“猴”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1千元，正确回答问题B可获奖金2千元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1千元的概率；（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．17．（13分）如图，在三棱台ABO﹣A1B1O1中，侧面AOO1A1与侧面OBB1O1是全等的直角梯形，且OO1⊥OB，OO1⊥OA，平面AOO1A1⊥平面OBB1O1，OB=3，O1B1=1，OO1=．（1）证明：AB1⊥BO1；（2）求直线AO1与平面AOB1所成的角的正切值；（3）求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．18．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．19．（14分）数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．﹣1（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；（Ⅱ）设S n=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b n﹣a n），求S n（用a，b表示）；＞b k，求n的（Ⅲ）若存在n∈N*，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b k﹣1最大值（用a，b表示）．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a=，证明：e x﹣1f（x）≥x．2016年天津市五区县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C． D．【解答】解：，故选：D．2．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．B．4 C．3 D．0【解答】解：由题意作出的平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由，可得，即A（，）．当直线y=﹣2x+z经过A时，z有最大值，此时z的最大值2×+=；故选：A．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．81 B．27 C．16 D．9【解答】解：第一次执行循环体后，i=2，x=2，a=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i=4，x=3，a=3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i=6，x=4，a=3，满足退出循环的条件；故输出的结果为：34=81，故选：A．4．（5分）计算的值为（）A．2 B．4 C．6 D．14【解答】∫04|x﹣2|dx=∫02（2﹣x）dx+∫24（x﹣2）dx=（2x﹣x2）|02+（x2﹣2x）|24=4，故选：B．5．（5分）已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A．B．2 C．4 D．【解答】解：设两圆相切时的切点为A，∵|F1F2|=c，∴PA=c，∴|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PF2|=|AF1|=2a，∵|AF1|=c，∴c=2a，即离心率e==2，故选：B．6．（5分）如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由已知可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．故选：D．7．（5分）设p：∃x0∈R，mx02+1≤0，q：x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【解答】解：若命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为真命题，则m＜0，若命题q：x∈R，x2+mx+1＞0，则﹣2＜m＜2，若p∨q为真命题，则m＜0，或﹣2＜m＜2，即m∈（﹣∞，2），故选：A．8．（5分）定义函数F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|）（a，b∈R），设函数f（x）=﹣x2+2x+4，g（x）=x+2（x∈R）函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：∵F（a，b）=（a+b﹣|a﹣b|）=，∴设G（x）=F（f（x），g（x））=．∵当﹣1≤x≤2时，f（x）≥g（x），此时G（x）=x+2∈[1，4]，此时函数无零点，此时最大值为4，当x＞2或x＜﹣1时，f（x）＜g（x），G（x）=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+3＜4，综上可得，函数G（x）的最大值为4，由G（x）=﹣x2+2x+4=0，得方程的两根之和为2，则函数F（f（x），g（x））的最大值与零点之和为2+4=6，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..9．（5分）某单位工作人员的构成如图所示，现采用分层抽样的方法抽取工作人员进行薪资情况调查，若管理人员抽取了6人，则抽到的教师人数为9．【解答】解：由题意，设抽到的教师人数为x，则，∴x=9．故答案为：9．10．（5分）一个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则此几何体的表面积为12π+12m2【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径r=3m、圆锥的高是4m，则母线l==5（m），∴此几何体的表面积S===12π+12（m2），故答案为：12π+12．11．（5分）等比数列{a n}前n项的乘积为T n，且2a3=a42，则T9=512．【解答】解：由等比数列的性质可得2a3=a42=a3a5，解得a5=2，设等比数列{a n}的公比为q，∴T9=a1a2a3…a9=a19q1+2+3+…+8=a19=a19q36==a59=29=512故答案为：51212．（5分）在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|BC|=．【解答】解：∵A=60°，|AB|=2，∴△ABC的面积为S=，解得|AC|=1根据余弦定理，得|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB|•|AC|cosA=3∴|BC|=．13．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|= 2．【解答】解：将其化为直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，和x=1，代入得：y2﹣4y+1=0，则．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或1≤a＜2．【解答】解：函数f（x）=，图象如图所示，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，由图可得a≤0时，函数y=f（x）﹣ax+1恰有两个零点，（1，1）代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f（x）与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，﹣1＜a≤0或1≤a＜2．故答案为：﹣1＜a≤0或1≤a＜2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在上的最值．【解答】解：（1）由题意得：f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）…（2分）由周期为π，得ω=1，得f（x）=2sin（2x﹣）…（4分）由正弦函数的单调递增区间得2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z …（6分）（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1…（9分）因为，所以，故2sinx∈[﹣1，2]，所以函数g（x）的最大值为3，最小值为0．…（13分）16．（13分）为迎接2016年“猴”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1千元，正确回答问题B可获奖金2千元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1千元的概率；（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．【解答】解：（Ⅰ）随机猜对问题A的概率P1=，随机猜对问题B的概率P2=．设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金1千元为事件M，则P（M）=P1（1﹣P2）==，即参与者先回答问题A，其恰好获得奖金1千元的概率为．（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，1000，3000，则P（ξ=0）=1﹣P1=，P（ξ=1000）=P1（1﹣P2）=，P（ξ=3000）=P1P2==，∴Eξ=0×+1000×+3000×=500．②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额η，可取0，2000，3000，则P（η=0）=1﹣P 2=1﹣，P（η=2000）=（1﹣P1）P2==，P（η=3000）=P2P1=．∴Eη=0×+2000×+3000×≈583．∴先回答问题B，再回答问题A，能使该参与者获奖金额的期望值较大．17．（13分）如图，在三棱台ABO﹣A1B1O1中，侧面AOO1A1与侧面OBB1O1是全等的直角梯形，且OO1⊥OB，OO1⊥OA，平面AOO1A1⊥平面OBB1O1，OB=3，O1B1=1，OO1=．（1）证明：AB1⊥BO1；（2）求直线AO1与平面AOB1所成的角的正切值；（3）求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（1）由题设知OA⊥OO1，且平面AOO1A1⊥平面OBB1O1，平面AOO1A1∩平面OBB1O1=OO1，则OA⊥平面OBB1O1，所以OA⊥OB，OA⊥BO1，又因为．O 1B1=1，OB=3，所以∠OO1B=60°，∠O1OB1=30°，从而OB1⊥BO1，又因为OA⊥BO1，OB1∩OA=O，故BO1⊥平面AOB1，又AB1⊂平面AOB1，故AB1⊥BO1．…（4分）解：（2）以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A（3，0，0），B（0，3，0），B1（0，1，），O1（0，0，）．由（1）知BO1⊥平面OA B1，从而是平面OA B1的一个法向量．，，设直线AO1与平面AOB1所成的角为α，．cosα==，tanα==．∴直线AO1与平面AOB1所成的角的正切值为．…（8分）（3）由（II）知是平面OA B1的一个法向量．且，设是平面O 1A B1的一个法向量，由，得．设二面角O﹣AB1﹣O1的大小为，则cosθ=cos＜，＞=即二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值是．…（13分）18．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．（1）求椭圆C的标准方程和圆O的方程；（2）设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x平行，直线AP、BP与y轴的交点即为M、N，试证明∠MQN为直角．【解答】解：（1）由椭圆定义可得2a=4，又b=c且b2+c2=a2，解得a=2，b=c=，即椭圆C的标准方程为，则圆O的方程为x2+y2=2；（2）证明：设P（x0，y0），直线AP：y=k（x+2）（k≠0），令x=0可得M（0，2k）．将和y=k（x+2）（k≠0）联立可得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，则，，，故，直线BP的斜率为，直线BP：，令x=0可得．设Q（x Q，y0），则，由，，可得，所以，即∠MQN是定值90°．19．（14分）数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若a k﹣1+b k≥0，则a k=a k﹣1，b k=；若a k﹣1+b k﹣1＜0，则a k=，b k=b k﹣1．﹣1（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（Ⅱ）设S n =（b 1﹣a 1）+（b 2﹣a 2）+…+（b n ﹣a n ），求S n （用a ，b 表示）； （Ⅲ）若存在n ∈N *，对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k ﹣1＞b k ，求n 的最大值（用a ，b 表示）．【解答】解：（Ⅰ）a 2=﹣1，b 2=0，a 3=，b 3=0；（Ⅱ）∵=，=， ∴无论是a k ﹣1+b k ﹣1≥0，还是a k ﹣1+b k ﹣1＜0，都有b k ﹣a k =，即{b k ﹣a k }是以b 1﹣a 1=b ﹣a 为首项，为公比的等比数列， 所以S n =（b 1﹣a 1）+（b 2﹣a 2）+…+（b n ﹣a n ）=；（Ⅲ）∵b k ﹣1＞b k ，及数列{a n }与{b n }满足的关系， ∴a k ﹣1+b k ﹣1≥0，∴a k =a k ﹣1，即对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有a k =a ， 由（Ⅱ）知b k ﹣a k =，∴b k =a +，所以a k ﹣1+b k ﹣1=，解得， 所以n 的最大值为不超过的最大整数．20．（14分）已知函数f （x ）=ax 2﹣lnx （a ∈R ） （1）当a=1时，求函数y=f （x ）的单调区间；（2）若∀x ∈（0，1]，|f （x ）|≥1恒成立，求a 的取值范围； （3）若a=，证明：e x ﹣1f （x ）≥x ．【解答】解：（1）a=1时，函数f （x ）=x 2﹣lnx ，．函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 则由f'（x ）＞0得，由f'（x ）＜0得，所以函数f （x ）的单调递增区间为，单调递减区间为．…（4分）（2）由已知得f′（x ）=2ax ﹣．若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a ≤恒成立，所以2a ≤（）min=1，即a ≤．①a ≤时，f（x）在（0，1]单调递减，f（x）min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．…（6分）②当a ＞时，令f′（x）=2ax ﹣=0，得x=∈（0，1]．所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x ∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）min=f （）=a （）2﹣ln =+ln2a．由|f（x）|≥1得，+ln2a≥1，所以a ≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：a=时，由（Ⅱ）得f（x）min =+ln2a=1．…（11分）令h（x）=，则h′（x）=．所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x≥1时，h′（x）＜0，h（x）单减．所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）所以f（x）≥h（x），即e x﹣1f（x）≥x．…（14分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl 运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2016年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（5分）若集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）＝（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣33．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．5854．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：|x|＞a，且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥36．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）抛物线y2＝4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e，则2e﹣b2的值是（）A．+1B．2﹣2C．4﹣2D．47．（5分）设a＞b＞0，a+b＝1且x＝（）b，y＝a，z＝a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z8．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二、填空题9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第象限．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．11．（5分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC ＝90°，∠BAC＝∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB＝6，EC＝6，则BC的长为．12．（5分）已知二项式（+）n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A，c＝，且△ABC的面积为，则a+b＝．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P矩形内的一点，且AP＝，若＝λ+μ，（λ，μ∈R），則λ+μ的最大值为．三、解答题15．（13分）设f（x）＝sin（x﹣）﹣2cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g（x）的最大值．16．（13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x2+＝1有相同离心率，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足+＝λ，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行，求a的值；（Ⅲ）若x＞0，证明：（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．2016年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若集合A＝{y|y＝2x}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）＝（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，∁U B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}＝{x|﹣1≤x≤3}，A∩（∁U B）＝（0，+∞）∩[﹣1，3]＝（0，3]．故选：A．2．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣3【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z＝2x﹣y﹣1，得：y＝2x﹣z﹣1．要使z最大，则直线y＝2x﹣z﹣1在y轴上的截距最小，由图可知，当直线过可行域内的点C时在y轴上的截距最小．联立，解得C（2，﹣1）．∴目标函数z＝2x﹣y﹣1的最大值为2×2﹣（﹣1）+1＝4．故选：B．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．585【解答】解：经过第一次循环得到S＝0+13，不满足S≥50，x＝2，执行第二次循环得到S＝13+23，不满足S≥50，x＝4，执行第三次循环得到S＝13+23+43＝73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S＝73．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．【解答】解：∵a1＝1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2n﹣1，∴S n＝＝n2，∴＝．令t＝n+1，则＝t+﹣2≥6﹣2＝4当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为4．故选：A．5．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：|x|＞a，且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥3【解答】解：由|x+1|＞2，得x+1＜﹣2或x+1＞2，解得x＜﹣3或x＞1；由|x|＞a，若a＜0，得x∈R，若a≥0，得x＜﹣a或x＞a．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴不等式|x+1|＞2的解集为|x|＞a的解集的真子集，则当a＜0时，符合条件，当a≥0时，a≤1．∴a≤1．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣＝1（a，b＞0）抛物线y2＝4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为e，则2e﹣b2的值是（）A．+1B．2﹣2C．4﹣2D．4【解答】解：由抛物线y2＝4x可得焦点F（1，0），又双曲线﹣＝1（a，b＞0）与抛物线y2＝4x共焦点，∴a2+b2＝1．设双曲线与抛物线的一公共点为P（x0，y0）．（y0＞0）．∵点P到抛物线准线的距离为2，∴x0+1＝2，解得x0＝1，把x0＝1代入抛物线方程可得，解得y0＝2．把点P（1，2）代入双曲线方程可得．联立，解得．∴2e﹣b2＝＝4．故选：D．7．（5分）设a＞b＞0，a+b＝1且x＝（）b，y＝a，z＝a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．x＜y＜z【解答】解：∵a＞b＞0，a+b＝1，∴，∴y＝a＞z＝a，即y＞z．∵a＞b＞0，a+b＝1，∴，，0＜b＜a＜1．∴y＜0，＝1．∴x＞z．∴y＜z＜x．故选：B．8．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2 +f（﹣x）﹣x2 ＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二、填空题9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第三象限．【解答】解：由+（1+2i）2 ＝＝，∴复数+（1+2i）2的共轭复数为，对应的点的坐标为（），位于第三象限．故答案为：三．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是8+π．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和四棱锥的组合体，四棱柱的底面面积为3×4＝12，半圆锥的底面面积为＝2π，两个锥体的高均侧视图的高，即2，故该组合体的体积V＝×（12+2π）×2＝8+π，故答案为：8+π11．（5分）如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC ＝90°，∠BAC＝∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB＝6，EC＝6，则BC的长为2．【解答】解：连接OC，在直角三角形ACB和ADC中，∠D＝∠ACB，∠CAB＝∠DAC，可得∠DCA＝∠CBA，又OB＝OC，即∠CBA＝∠BCO，又∠BCO+∠ACO＝90°，可得∠DCA+∠ACO＝90°，即有OC⊥DE，ED为圆O的切线，由圆的切割线定理，可得CE2＝BE•AE，即有（6）2＝6（6+AB），解得AB＝6，即圆的半径为3，由AD∥OC，可得＝，即为＝，即有CD＝2，又＝，即为＝，解得AD＝4，AC＝＝2，BC＝＝＝2．故答案为：2．12．（5分）已知二项式（+）n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于135．【解答】解：令中x为1得各项系数和为4n又展开式的各项二项式系数和为2n∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64∴解得n＝6展开式的通项为T r+1＝3r C6r x3﹣r令3﹣r＝1得r＝2所以展开式中x的系数等于9C62＝135故答案为135．13．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2c sin A，c＝，且△ABC的面积为，则a+b＝5．【解答】解：∵a＝2c sin A，∴sin A＝2sin C sin A，∴sin C＝．∵S△ABC＝＝ab＝，∴ab＝6．∵△ABC是锐角三角形，∴cos C＝，由余弦定理得：cos C＝＝＝＝，解得a+b＝5．故答案为：5．14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P矩形内的一点，且AP＝，若＝λ+μ，（λ，μ∈R），則λ+μ的最大值为．【解答】解：如图所示，在图中，设P（x，y）．B（1，0），D（0，），C（1，），由AP＝，x2+y2＝，则点P满足的约束条件为，∵＝λ+μ，即（x，y）＝λ（1，0）+μ（0，），∴x＝λ，y＝μ，∴λ+＝x+y，由于x+y≤＝＝当且仅当x＝y时取等号．则λ+＝x+y的最大值为，故答案为：三、解答题15．（13分）设f（x）＝sin（x﹣）﹣2cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x cos﹣cos x sin﹣cos x＝sin x﹣cos x ＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣），∵ω＝，∴f（x）的最小正周期为T＝＝8；（2）在y＝g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x＝1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y＝f（x）的图象上，从而g（x）＝f（2﹣x）＝sin[（2﹣x）﹣]＝sin[﹣x﹣]＝cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y＝g（x）在区间[0，]上的最大值为g max＝cos＝．16．（13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【解答】（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），P（A i）＝（）i（）4﹣i．这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）＝（）2（）2＝．（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ＝0）＝P（A2）＝，P（ξ＝2）＝P（A1）+P（A3）＝，P（ξ＝4）＝P（A0）+P（A4）＝，∴ξ的分布列是数学期望Eξ＝0×+2×+4×＝．17．（13分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【解答】证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AC∩BD＝N，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），∴＝（，又点A、M的坐标分别是（）、（∴＝（∴＝且NE与AM不共线，∴NE∥AM又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDF解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF∴为平面DAF的法向量∵＝•＝0，∴＝•（，，1）＝0得，∴NE为平面BDF 的法向量∴cos＜＞＝∴的夹角是60°即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°（3）设P（x，x，0），，，则cos＝||，解得或（舍去）所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n（n∈N*）的n的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：∵S n＝﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N+），当n≥2时，S n﹣1＝﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2（n∈N+），∴a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，化为2n a n＝2n﹣1a n﹣1+1．∵b n＝2n a n．∴b n＝b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝1．令n＝1，可得S1＝﹣a1﹣1+2＝a1，即a1＝．又b1＝2a1＝1，∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n＝1+（n﹣1）•1＝n＝2n a n，∴a n＝．（Ⅱ）解：∵c n＝log2＝n，∴＝﹣，∴T n＝（1﹣）+（﹣）+…（﹣）＝1+﹣﹣，由T n，得1+﹣﹣，即+＞，∵f（n）＝+单调递减，f（4）＝，f（5）＝，∴n的最大值为4．19．（14分）椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x2+＝1有相同离心率，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足+＝λ，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．【解答】解：（I）由已知可解得，∴b＝1．所求椭圆C的方程．…（4分）（II）由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（1+2k2﹣m2）．由直线直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，有△＞0，∴1+2k2＞m2．①设点A（x1，y1），B（x2，y2），则于是．…（8分）当m＝0时，易知点A，B关于原点对称，则λ＝0；当m≠0时，易知点A，B不关于原点对称，则λ≠0．由，得即．∵Q点在椭圆上，∴．化简得4m2（1+2k2）＝λ2（1+2k2）2．∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2）．②由①②两式可得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2且λ≠0．综上可得实数λ的取值范围是﹣2＜λ＜2．…（14分）20．（14分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行，求a的值；（Ⅲ）若x＞0，证明：（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝，∴函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），∴f′（x）＝，设g（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），∴g′（x）＝1﹣[ln（x+1）+1]＝﹣ln（x+1），∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（0）＝0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（Ⅱ）∵f′（x）＝，∴k＝f′（1）＝，∵y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y＝0平行∴＝1，即ln（1﹣a）＝，分别画出y＝ln（1﹣x）与y＝的图象，又图象可知交点为（0，0）∴解得a＝0．（Ⅲ）：∵＝＝，∴＝，由（Ⅰ）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，+∞）上为减函数，故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜e x﹣1，令h（x）＝e x﹣1﹣x，则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＜e x﹣1，∴f（x）＞f（e x﹣1）即．。

A2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是 A ．25 B ．25i C ．－25 D ．－25i2. 设实数,x y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩，则z x y =+的最小值是A ．85B ．1C ．2D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，若输入6n =,则输出的S =A ．13B ．25C ．37D ．494. 下列说法正确的是A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题；B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题；C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b<-”；D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为3,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()1,1--,则双曲线的标准方程为A ．22122x y -= B ．22144x y -= C ．2214x y -= D ．2212x y -= 6. 函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x fx =-，且当1x ≠时，有(1)()0x f x '-<g ，设5(tan)4a f π=，3(log 2)b f =，3(0.2)c f -=，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．c b a <<7. 已知,AB DE 为圆O 的直径，CD AB ⊥于N ，N 为OB 的中点，EB 与CD 相交于点M ，切线EF 与DC 的延长线交 于点F .若圆O 的半径为1，则EF 的长为A ．43 C ．3D ．738. 已知菱形ABCD 的边长为2,︒=∠120BAD ,点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE BC λ=uu r uu u r，DF DC μ=u u u r u u u r .若32=+μλ, 则AE AF uu u r uu u r g 的最小值A ．49B ．59C ．109D ．119第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 某学院的,,A B C 三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的A 专业有420名学生，B 专业有580名学生，则在该学院的C 专业应抽取____________名学生．10.设区域{(,)|01,01},x y x y Ω=≤≤≤≤区域{(,)|,)}A x y y x y =≤∈Ω,在区域Ω中随机取一个点,则该点在A 中的概率___________11. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个 半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是____12. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ,,3))((bc a c b c b a =-+++tan 4a B ==则b 的值为_________13．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 32（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，弦长AB =___________ 14．若函数1+=kx y 的图象与函数|1||1|xx x x y --+=的图象恰有五个交点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+ (I)求函数()f x 的最小正周期；(II)若006(),,12542f x x πππ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. 16．（本小题满分13分）国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”。

高中数学学习材料唐玲出品2016年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知复数z=，则复数z的虚部是（）A．B．i C．﹣D．﹣i2．设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是（）A．B．1 C．2 D．73．执行如图所示的程序框图，若输入n=6，则输出的S=（）A．B．C．D．4．下列说法正确的是（）A．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题C．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＜b，则2a＜2b﹣1”D．“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣1），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=16．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x≠1时，有（x﹣1）•f′（x）＜0，设a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a7．已知AB，DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．若圆O的半径为1，则EF的长为（）A．B．C． D．8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、CD上，=λ，=μ．若λ+μ=，则•的最小值（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的A专业有420名学生，B专业有580名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．10．设区域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，区域A={（x，y）|y≤，（x，y）∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点在A中的概率________．11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是________12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，a=，tanB=，则b的值为________．13．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，弦长|AB|=________．14．若函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|﹣|x﹣|的图象恰有五个交点，则实数k的取值范围是________．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x0﹣）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．16．国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”．某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚．，现从中任取4枚．（Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；（Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为ξ枚，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且=2．（I）求证：EM∥平面PAD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角45°，求AF的长．18．己知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0），已知圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4π，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A作一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C1的另一个交点是B，与圆C2相交于点E，F．（1）求椭圆C1的方程；（2）当|AB|•|EF|=3时，求直线l的方程，并求△F2AB的面积（其中F2为椭圆C1的右焦点）19．已知数列{a n}满足a n+2=，．且n∈N*，a1=1，a2=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1，n∈N*，求数列{b n}的前2n项和S2n；a2n+（﹣1）n，证明： +++…+＜．（3）设c n=a2n﹣120．已知直线y=是函数f（x）=的切线（其中e=2.71828…）．（I）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞．2016年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知复数z=，则复数z的虚部是（）A．B．i C．﹣D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．2．设实数x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是（）A．B．1 C．2 D．7【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，由解得A（，），从而求最小值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，由解得，A（，），故z=x+y的最小值是+=，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若输入n=6，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出S的值，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=8时，不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=0，i=2满足条件i≤6，执行循环体，S==，i=4满足条件i≤6，执行循环体，S=+=，i=6满足条件i≤6，执行循环体，S=+=，i=8不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为．故选：C．4．下列说法正确的是（）A．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为真命题C．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a＜b，则2a＜2b﹣1”D．“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．根据逆命题的定义进行判断．C．根据否命题的定义进行判断．D．根据直线垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：A．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故A正确，B．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为若sinA ＞sinB，则A＞B，由正弦定理得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，则逆命题为真命题，故B正确，C．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，故C错误，D．若直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直，则1×1﹣a2=0，得a=±1，即“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充分不必要条件，故D错误，故选：B5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣1），则双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的左顶点和抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，求得p=a=b=2，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的左顶点为（﹣a，0），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），由题意可得a+=3，双曲线的渐近线方程为y=x，抛物线的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣1，﹣•=﹣1，解得p=2，a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：B．6．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x≠1时，有（x﹣1）•f′（x）＜0，设a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性，比较a=f（tanπ），b=f（log32），c=f（0.2﹣3）的大小．【解答】解：∵函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；当x≠1时，有（x﹣1）•f′（x）＜0，∴x＞1时，f′（x）＜0，x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∵0＜＜tan=1＜0.2﹣3，∴f（tanπ）＞f（log32）＞f（0.2﹣3），∴c＜b＜a．故选：D．7．已知AB，DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．若圆O的半径为1，则EF的长为（）A．B．C． D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】若圆O的半径为1，利用射影定理求EF的长．【解答】解：连接EC，∵DE为圆O的直径，∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=EC，∵圆O的半径为1，N为OB的中点，∴EC=1，CD=，Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=∴EF2=FC•FD=，∴EF=．故选：A．8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、CD上，=λ，=μ．若λ+μ=，则•的最小值（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把•用表示，最后转化为含有λ，μ的代数式，再结合λ+μ=及基本不等式求得•的最小值．【解答】解：如图，∵=λ，=μ，且λ+μ=，∴•=（）•（），=====．由题意可得，λ，μ＞0，∵λ+μ=，∴λμ，则﹣2（1+λμ）≥，∴（当且仅当时等号成立），∴•的最小值为．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．某学院的A，B，C三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本．已知该学院的A专业有420名学生，B专业有580名学生，则在该学院的C专业应抽取50名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：有分层抽样的标准在C学院抽取=50，故答案为：50．10．设区域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，区域A={（x，y）|y≤，（x，y）∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点在A中的概率．【考点】几何概型．【分析】首先利用定积分求出阴影部分区域面积，然后利用定积分求几何概型概率．【解答】解：如图，区域Ω对应的部分是边长为1的正方形，区域A对应部分为图中阴影部分，面积为，由几何概型公式得到在区域Ω中随机取一个点，则该点在A中的概率为=；故答案为：．11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径r=2、高是2，圆柱的底面圆的半径r=2、高是1，所以此几何体的体积V==，故答案为：．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，a=，tanB=，则b的值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知整理可得：b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理可得cosA=，从而可求A，又由tanB=，B为三角形内角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB的值，由正弦定理即可解得b的值．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∴A=．又∵tanB=，B为三角形内角，∴cosB==，sinB==，∴由正弦定理可得：=，解得：b=．故答案为：．13．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，弦长|AB|=．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），化为标准方程：，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m2﹣16m﹣64=0，利用|AB|=|m1﹣m2|=即可得出．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=8x．直线l的参数方程为（t为参数），化为标准方程：，代入曲线C的直角坐标方程可得：3m2﹣16m﹣64=0，∴m1+m2=，m1m2=﹣．∴|AB|=|m1﹣m2|===．故答案为：．14．若函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|﹣|x﹣|的图象恰有五个交点，则实数k的取值范围是．【考点】函数的图象．【分析】作出函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|﹣|x﹣|的图象，x＞1时，kx+1=，即kx2+x﹣2=0有两个不等的实数根，可得k的范围，利用对称性，即可求出实数k的取值范围．【解答】解：0＜x＜1时，y=2x；x＞1时，y=，函数y=|x+|﹣|x﹣|为偶函数，图象如图所示．∵函数y=kx+1的图象与函数y=|x+|﹣|x﹣|的图象恰有五个交点，∴x＞1时，kx+1=，即kx2+x﹣2=0有两个不等的实数根，∴△=1+8k＞0且k＜0，∴﹣＜k＜0，根据对称性，可得实数k的取值范围是．故答案为：三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（x0﹣）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用二倍角和两角和的正弦公式f（x）=2sin（2x+），求得周期为π，（2）f（x0﹣）=，代入求得sin（2x0+）=，写出2x0+∈[，]，求得，cos（2x0+）=，cos2x0=cos[（2x0+）﹣]，利用两角差的余弦公式求cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为π，（2）f（x0﹣）=，2sin[2（x0﹣）+]=，sin（2x0+）=，x0∈[，]，2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=，cos2x0=cos[（2x0+）﹣]，=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin，=，cos2x0=．16．国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”．某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚．，现从中任取4枚．（Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；（Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为ξ枚，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的4枚中恰有3个景点的概率．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，…．…（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，…，，，，…所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…=．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E为CD的中点，M在AB上，且=2．（I）求证：EM∥平面PAD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角45°，求AF的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能证明EM∥平面PAD．（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）令，，求出，由此利用向量法能求出AF的长．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），，P（0，0，2），…设M（x，y，z），∵，∴，∴，∴，∴，…∴，平面PAD的法向量…∴，∴，又∵EM⊄平面PAD，∴EM∥平面PAD，…解：（Ⅱ）设平面PBC的法向量，∵，，即，令x=﹣1，∴∴，…平面PAD的法向量，设二面角所成的锐二面角为θ，∴，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…（Ⅲ）令，，∴F（2λ，0，2﹣2λ）…，∴…∴4λ2﹣6λ+2=0，∴或λ=1（舍）∴F（1，0，1），∴．…18．己知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0），已知圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4π，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A作一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C1的另一个交点是B，与圆C2相交于点E，F．（1）求椭圆C1的方程；（2）当|AB|•|EF|=3时，求直线l的方程，并求△F2AB的面积（其中F2为椭圆C1的右焦点）【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由圆的面积公式得πr2=4π，得r=2，从而求出c=，由椭圆C1的离心率为，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设直线l：y=kx+1，求出圆心O到直线l的距离和|EF|，联立，得（3k2+1）x2+6kx=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0），圆C2的直径是椭圆C1焦距长的倍，且圆C2的面积为4π，∴πr2=4π，r＞0，解得r=2，∴2r=，∴r=，∴c=，又∵椭圆C1的离心率为，a2+b2=c2，∴a=，b=1，∴椭圆方程为．（2）由（1）知圆C2的圆心O（0，0），r=，A（0，1），设直线l：y=kx+1，圆心O到直线l的距离d=，|EF|=2=2，联立，得（3k2+1）x2+6kx=0，设B（x1，y1），则x1=，∴|AB|===，∵|AB|•|EF|=3，∴|AB|•|EF|=•==3，∴k4+6k2﹣7=0，∴（k2+7）（k2﹣1）=0，∴k2=1，∵k＞0，∴k=1，∴直线l：y=x+1．|AB|=，点F2到直线l的距离d1=，∴==．19．已知数列{a n}满足a n+2=，．且n∈N*，a1=1，a2=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n a n+1，n∈N*，求数列{b n}的前2n项和S2n；（3）设c n=a2n﹣1a2n+（﹣1）n，证明： +++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{a n}满足a n+2=，a1=1，a2=2．当n为奇数时，a n+2﹣a n=2，此时数列{a2k﹣1}（k∈N*）成等差数列．当n为偶数时，a n+2=2a n，此时数列{a2k}（k∈N*）成等比数列，即可得出．（2）b n=a n a n+1，n∈N*，可得：b2k﹣1+b2k=a2k﹣1a2k+a2k a2k+1=4k•2k．利用“错位相减法”与分组求和即可得出．（3）c n=a2n﹣1a2n+（﹣1）n=（2n﹣1）•2n+（﹣1）n．可得==＜，（n≥5）.==＜（n≥4），即可证明．【解答】（1）解：数列{a n}满足a n+2=，a1=1，a2=2．∴当n为奇数时，a n+2﹣a n=2，此时数列{a2k﹣1}（k∈N*）成等差数列，公差为2，首项为1，a n=a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1=n．当n为偶数时，a n+2=2a n，此时数列{a2k}（k∈N*）成等比数列，公比为2，首项为2，a n=a2k=2k=．∴a n=．（2）解：∵b n=a n a n+1，n∈N*，∴b2k﹣1+b2k=a2k﹣1a2k+a2k a2k+1=（2k+1+2k﹣1）2k=4k•2k．∴数列{b n}的前2n项和S2n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1+b2k）=4（2+2×22+3×23+…+k•2k），令A k=2+2×22+3×23+…+k•2k，2A k=22+2×23+…+（k﹣1）•2k+k•2k+1，∴﹣A k=2+22+…+2k﹣k•2k+1=﹣k•2k+1=（1﹣k）•2k+1﹣2，∴A k=（k﹣1）•2k+1+2．（3）证明：c n=a2n﹣1a2n+（﹣1）n=（2n﹣1）•2n+（﹣1）n．∴==＜，（n≥5）．==＜（n≥4）．+++…+＜1+++++…＜1+++＜．20．已知直线y=是函数f（x）=的切线（其中e=2.71828…）．（I）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，证明：g′（x1）+g′（x2）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切点坐标，从而求出a的值即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为对任意x∈（0，2）都成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，得到，令，则x2=tx1，则tx1﹣x1=lnt，问题转化为证明即证令φ（t）=t﹣﹣﹣lnt，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，设切点（）所以f'（x0）=0，得x0=1．则，∴a=1…（Ⅱ）由（1）知对任意x∈（0，2）都成立，∵2x﹣x2＞0，即对任意x∈（0，2）都成立，…令，…，∴x∈（0，1），h'（x）＞0；∴x∈（1，2），h'（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单增，（1，2）上单减，…∴，∴，…∴…（Ⅲ）证明：由题意知函数g（x）=lnx﹣x﹣b，所以，因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，所以，相减得，…不妨令，则x2=tx1，则tx1﹣x1=lnt，所以，，…要证g'（x1）+g'（x2）只要证只要证…即证令，令m（t）=t4+t3﹣4t2+t+1，m'（t）=4t3+3t2﹣8t+1，m''（t）=12t2+6t﹣8＞0对t＞1恒成立，∴m'（t）在（1，+∞）上单增，∴m'（t）＞m'（1）=0，∴m（t）在（1，+∞）上单增，∴m（t）＞m（1）=0，即φ'（t）＞0∴φ（t）在（1，+∞）上单增，∴φ（t）＞φ（1）=0，即原不等式成立．…2016年9月7日。

天津市南开区 2016 年中考数学二模模拟题满分:120 分 时间:100 分钟 姓名: 得分:一 选择题(每小题 3 分，共 12 题，共计 36 分)1.﹣2 的绝对值是（）A.2B.﹣2C.D.2.下列各数中是有理数的是（）A.B.4πC.sin45°D.3.2014 年 3 月 5 日,李克强总理在政府工作报告中指出:2013 年全国城镇新增就业人数约 13100000 人，创 历史新高,将数字 13100000 用科学记数法表示为（ ）A.13.1×106B.1.31×107C.1.31×108D.0.131×108 4.由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5.下列计算正确的是（ ）A.a+3a=4a 2B.a 4•a 4=2a 4C.(a 2)3=a 5D.(-a)3÷(-a)=a 2 6.下列命题中,假命题是（ ）A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于 360°7.某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器,现在生产 600 台所需时间与原计划生产 450 台机器所需 时间相同.设原计划平均每天生产 x 台机器,根据题意,下面所列方程正确的是（ ）A.= B. = C. = D. =8.将一次函数 y= x 的图象向上平移 2 个单位，平移后，若 y ＞0，则 x 的取值范围是（）A.x ＞4B.x ＞﹣4C.x ＞2D.x ＞﹣29.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边三角形 ADE,AC,BE 相交于点 F,则∠BFC 为（）A.45°B.55°C.60°D.75°第 9 题图 第 10 题图10. 如图,四边形 ABCD 中,AD ∥BC,∠B=90°,E 为 AB 上一点,分别以 ED,EC 为折痕将两个角（∠A,∠B ）向 内折起,点 A,B 恰好落在 CD 边的点 F 处.若 AD=3,BC=5,则 EF 的值是（ ）A. B.2 C. D.2 11.下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A.②③B.③④C.①②D.①④12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图,下列结论：①abc＞0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b＞am2+bm;④a﹣b+c＞0;⑤若ax2+bx=ax2+bx,且x≠x，x+x=2．其中正确的有（）11221212A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤二填空题(每小题3分，共6题，共计18分)13.分解因式：x3﹣4x=．14.圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为．15.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么cos∠ABD的值是．第15题图第16题图第17题图16.如图,已知△R t ABC,AC=5,BC=12,∠ACB=900,将△ABC绕点B顺时针旋转60°△得到A/BC/,连接CC/,与AB交于点△D.则ACD与△B C/D的周长和等于17.如图，点A为直线y=-x上一点，过A作OA的垂线交双曲线y=（x＜0）于点B，若OA2﹣AB2=12，则k的值为．18.如图,已知AB//CD,∠ABC=1200,AB=100m,BC=80m,CD=100m,圆O的半径为2m,开始在A点处.(1)圆O的面积为;(2)将圆O沿着A-B-C-D方向滚动到D点停止,则圆心O在滚动的过程中行驶的路程为.三计算推理题(共7题，共计66分)⎪3⎨⎧2x+1≥-119(本小题8分)解不等式组：⎪1+2x，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．>x-1⎩20(本小题8分)在一副扑克牌中,拿出红桃2,红桃3,红桃4,红桃5四张牌,洗匀后,小明从中随机摸出一张,记下牌面上的数字为x,然后放回并洗匀,再由小华随机摸出一张,记下牌面上的数字为y,组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．21(本小题8分)如图,已知AB为⊙O的直径,过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC于点D且交⊙O于点F,连接BC,CF,AC．（1）求证:BC=CF;（2）若AD=6,DE=8,求BE的长;（3）求证:AF+2DF=AB.22(本小题10分)某中学在“五月份学习竞赛月”中举办了演讲、书法、作文、手抄报、小品、漫画六项比赛某租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦,其中30台派往A地,20台派往B地.两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：（1）设派往A地x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元）,请用x表示y,并注明x的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案写出．23(本小题10分)如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处,再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离（精确到1km）；(2)确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）x24.(本小题10分)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.易证:CE=CF.(1)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=450.试猜想GE,BE,GD三线段之间的数量关系,并证明你的结论.(2)运用(1)中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：①如图2,在四边形ABCD中∠B=∠D=900,BC=CD,点E,点G分别是AB边,AD边上的动点.若∠BCD=α,∠ECG=β,试探索当α和β满足什么关系时,图1中GE,BE,GD三线段之间的关系仍然成立,并说明理由.②在平面直角坐标中,边长为1的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴、轴的正半轴上,点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线y=x 于点M,BC边交x轴于点N(如图3).设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化？若不变,请直接写出结论．25(本小题10分)如图，二次函数y=﹣x2+mx+m+的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．（1）当m=时，求tan∠ADH的值；（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S、S，且满足S=S，求点D到直线BC的距离．1212答案详解1.【解析】选A．﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．2.【解析】选D．A、==3，是无理数；B、4π是无理数；C、sin45°=是无理数；D、==2，是有理数3.【解析】选B．13100000=1.31×1074.【解析】选C．从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．5.【解析】选D．a+3a=4a，a4•a4=a8，（a2）3=a6，（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a26.【解析】选B．A、对顶角相等，正确，是真命题；B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；0 =C 、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；D 、多边形的外角和为 360°，正确，为真命题，7.【解析】选 B ．设原计划平均每天生产 x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得， = ．8.【解析】选 B ．∵将一次函数 y= x 的图象向上平移 2 个单位，∴平移后解析式为：y= x+2，当 y=0 时，x=﹣4，当 x=0 时，y=2，如图：∴y＞0，则 x 的取值范围是：x ＞﹣49.【解析】选 C ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．10.【解析】选 A ．∵分别以 ED ，EC 为折痕将两个角（∠A，∠B ）向内折起，点 A ，B 恰好落在 CD 边的点F 处，∴EA=EF，BE=EF ，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作 DH⊥BC 于 H ，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形 ABHD 为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC ﹣BH=BC ﹣AD=5﹣3=2，在 Rt△DHC 中，DH= =2 ，∴EF= DH= ．11.【解析】选 A ．①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（ ，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线 y=﹣x+2 与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故 S③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；阴影×2×2=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等12.【解析】选D．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax2+bx=ax2+bx，∴ax2+bx﹣ax2﹣bx=0，∴a（x+x）（x﹣x）+b（x﹣x）=0，11221122121212∴（x﹣x）[a（x+x）+b]=0，而x≠x，∴a（x+x）+b=0，即x+x=﹣，1212121212∵b=﹣2a，∴x+x=2，所以⑤正确．1213.【解析】x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．答案：x（x+2）（x﹣2）．14.【解析】设该扇形的半径是r．，得到：12π=，解得r=18．根据弧长的公式l=答案：18．15.【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∵CD⊥AB，∴，∴∠ABD=∠ABC，∴cos∠ABD=cos∠ABC==答案：．16.【解析】将△ABC绕点B顺时针旋转△60°得到A′BC′∴△ABC≌△A′BC′∠CBC′=60°，∴BC′=BC=12cm∴△BCC′为等边三角形，∴BC=CC′=12cm，在△R t ACB中，AB=AC2BC2=13，△ACD与△B C′D的周长之和=AC+AD+CD+BC′+BD+C′D=AC+AB+CC′+BC′=5+13+12+12=42(cm)答案：423 + 17.【解析】延长 AB 交 x 轴于 C 点，作 AF⊥x 轴于 F 点，BE⊥x 轴于 E 点，如图，∵点 A 为直线 y=﹣x 上一点，∴∠AOC=45°，∵AB⊥直线 y=﹣△x ，∴ AOC 、△BEC 为等腰直角三角形，∴AC=AO= AF ，BC= BE= CE ，AF= OC ，∴AB=AC﹣BC= （AF ﹣BE ），∵OA 2﹣AB 2=12，∴（AF ）2﹣[ （AF ﹣BE ）]2=12，整理得 2AF•BE﹣BE 2=6，∴BE（2AF ﹣BE ）=6，∴BE（OC ﹣CE ）=6，即 BE•OE=6，设 B 点坐标为（x ，y ），则 BE=y ，OE=﹣x ，∴BE•OE=﹣xy=6，∴xy=﹣6，∴k=﹣6．答案：﹣6．18. 【解析】(1)圆 O 的面积为 4π ;(2) ( 280 - 4 2 π )m.3319.【解析】由①得，x≥﹣1，由②得，x ＜4，故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．在数轴上表示为：20.【解析】（1）出现的情况如下：．红桃 2红桃 3红桃 4红桃 5红桃 22，23，24，25，2 红桃 32，33，34，35，3 红桃 42，43，44，45，4 红桃 52，53，54，55，5一共有 16 种．（2）数对（2，3），（3，2）是方程 x+y=5 的解，所以 P （和等于 5）== ．21.【解析】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴EOC∽EAD，∴=，=，∴BC=CF；设⊙O的半径为r，∴OE=10﹣r，∴（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD，在Rt△AGC和△R t ADC中，∵在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵=，∴r=，∴BE=10﹣2r=；，∴Rt AGC≌Rt ADC（△H L），∴AG=AD，，∴Rt CGB≌Rt CDF（△H L），∴GB=DF，∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，∴AF+2DF=AB．22.【解析】（1）y=（30﹣x）×1800+（x﹣10）×1600+1600x+（30﹣x）×1200=200x+74000，10≤x≤30；（2）200x+74000≥79600，解得x≥28，三种方案，依次为x=28，29，30的情况①当x=28时，派往A地28台乙型联合收割机，那么派往B地2台乙，派往A地的2台甲型收割机，派往B地18台甲．②当x=29时，派往A地29台乙型联合收割机，那么派往B地1台乙，派往A地的1台甲型收割机，派往B地19台甲．③当x=30时，派往A地30台乙型联合收割机，那么派往B地0台乙，派往A地的0台甲型收割机，派往B地20台甲．23.【解析】（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D，∠ABE=∠BAF=15°，由图得，∠ABC=∠EBC﹣∠ABE=∠EBC﹣∠BAF=75°﹣15°=60°，在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50，∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC==100≈173（km）．答：点C与点A的距离约为173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C位于点A的南偏东75°方向．24.【解析】（△1）∵在EBC和△FDC中，∴△EBC≌△FDC，∴∠DCF=∠BCE，∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，即∠DCG+∠DCF=45°，∴GC=GC，∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中，（2）①α=2β．如图，，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，即GE=BE+GD．延长AD到F点，使DF=BE，连接△C F，可证EBC≌△FDC，则∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，可证△ECG≌△FCG，故EG=GF，即GE=BE+GD．②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．证明：如图，延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．在△OAE和△OCN中，．∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．在△OME和△OMN中．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．△=△=25.【解析】（1）∵当 m= 时，y=﹣ x 2+ x+2=﹣ （x ﹣ ）2+ ，∴顶点 D （ ，），与 x 轴的交点 A （﹣1，0），B （4，0），∴DH=，AH= ﹣（﹣1）= ，∴tan∠ADH== = ；（2）y=﹣ x 2+mx+m+ =﹣ （x ﹣m ）2+ ，∴顶点 D （m ， ），令 y=﹣ x 2+mx+m+ =0，解得：x=﹣1 或 2m+1 则与 x 轴的交点 A （﹣1，0），B （2m+1，0），∴DH=，AH=m ﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH= = ．当 60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得 30°≤∠ADH≤45°，∴当∠ADH=30°时，= ，∴m=2 ﹣1，当∠ADH=45°时，=1，∴m=1，∴1≤m≤2 ﹣1；（3）设 DH 与 BC 交于点 M ，则点 M 的横坐标为 m ．设过点 B （2m+1，0），C （0，m+ ）的直线解析式为；y=kx+b ，则，解得 ，即 y=﹣ x+m+ ．当 x=m 时，y=﹣ m+m+ = ，∴M（m ， ）．∴DM= ﹣ = ，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2，又，∵SDBC△=S ABC，∴ •（2m+1）=（2m+2）•（m+ ），又∵抛物线的顶点 D 在第一象限，∴m＞0，解得 m=2．当 m=2 时，A （﹣1，0），B （5，0），C （0， ），∴BC== ，∴SABC×6× = ．设点 D 到直线 BC 的距离为 d ．∵SDBCBC•d，∴ × •d= ，∴d= ．答：点 D 到直线 BC 的距离为．。

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题(共40分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题,每小题5分，共40分. 参考公式：•如果事件B A ，互斥,那么•如果事件B A ，相互独立，那么)()()(B P A P B A P += 。

)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.•锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示 •球的体积公式343V R π=,其中R 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合1{-=x A ≤}4<x ，}034{2<+-=x x x B ，则)(B A R可表示为 （A))4,3()1,1[ -（B ）)4,3[]1,1[ - (C）)3,1(（D)),(+∞-∞(2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+，，01022,04y kx y x y x 其中21>k ，若目标函数y x z -=的最小值大于3-，则k 的取值范围是(A ）)3,21( （B ）),3(+∞（C ）)5,21( ≥≤ ≤（D ）),5(+∞(3)阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的S 值是 （A ）12（B)16(C ）24(D ）32（4）设∈x R ,则“ba =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C)充要条件（D ）既不充分也不必要条件(5)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 314（t 为参数），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为θρsin 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为(A ）5 （B ）22（C ）32 (D ）52（6）如图，圆O 的两条弦AB 与CD相交于点E ，圆O 的 切线CF 交AB 的延长线于F 点,且2:3:=EB AE ,CF EF =,2=CE ，23=ED ，则CF 的长为（A ）6(B ）5(C)62（D)52(7）已知双曲线12222=-b y ax （0,0>>b a )的左、右焦点分别为21F F 、,其一条渐近线为02=+y x ,点M 在双曲线上，且xMF ⊥1轴，若2F 同时为抛物线x y 122=的焦点,则1F 到直线M F 2的距离为（A ）563 （B ）665（C ）65 (D ）56（8）已知2()log2g x x x =--的三个零点为cb a ,,且c b a <<，若2()log f x x=， 则)(),(),(c f b f a f 的大小关系为 （A）)()()(c f a f b f <<（B ）)()()(a f c f b f << (C）)()()(c f b f a f <<(D ）)()()(b f a f c f <<第Ⅱ卷 非选择题（共110分) 注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答在本试卷上的无效。

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34R 3， 其中S 表示棱柱的底面积， 其中R 表示球的半径．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65 =（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i（2）已知命题p ： x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则 p 是（ ）．（A ） x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ） x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ） x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ） x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a–22y b =1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（ ）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（ ）． （A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）． （A ）98 （B ）910 （C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）题 号 二三总分(15) (16) (17) (18) (19) (20) 得 分第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

2016年天津市南开区高考数学模拟试卷一、选择题：（本大题共20个小题，第（1）～（15）题每小题2分，第（16）～（20）题每小题2分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）（2016•南开区模拟）设集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，0，3}，则A∪B等于（）A．{﹣1，3} B．{﹣2，﹣1，0，3，4} C．{﹣2，﹣1，0，4} D．{﹣2，﹣1，3，4} 2．（2分）（2016•南开区模拟）cos（﹣570°）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣3．（2分）（2016•南开区模拟）设复数z=+i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C． D．24．（2分）（2016•南开区模拟）已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4005．（2分）（2016•南开区模拟）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为06．（2分）（2016•南开区模拟）函数f（x）=log4x与g（x）=22x的图象（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称7．（2分）（2016•南开区模拟）椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（0，±）B．（±，0）C．（0，±） D．（±，0）8．（2分）（2016•南开区模拟）双曲线9x2﹣16y2=144的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x9．（2分）（2016•南开区模拟）过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=010．（2分）（2016•南开区模拟）过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=4x或x2=y B．y2=4xC．y2=4x或x2=﹣y D．x2=﹣y11．（2分）（2016•南开区模拟）当x，y满足条件时，目标函数z=x+3y的最小值是（）A．0 B．1.5 C．4 D．912．（2分）（2016•南开区模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为（）A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或1613．（2分）（2016•南开区模拟）将函数y=sin（x+）的图象向右平移，所得图象对应的表达式为（）A．y=sin x B．y=sin（x+）C．y=sin（x﹣） D．y=sin（x﹣）14．（2分）（2016•南开区模拟）某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是（）A．16 B．12 C．8 D．615．（2分）（2016•南开区模拟）已知向量=（，1），=（m，1）．若向量，的夹角为，则实数m=（）A．﹣B．C．﹣或0 D．216．（3分）（2013•延长县校级学业考试）已知f（x）=2x2﹣2x，则在下列区间中，方程f（x）=0有实数解的是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣1，0）C．（2，3）D．（4，5）17．（3分）（2016•南开区模拟）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）A．0.32＜20.3＜log20.3 B．0.32＜log20.3＜20.3C．log20.3＜0.32＜20.3D．log20.3＜20.3＜0.3218．（3分）（2016•南开区模拟）一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为（）A．B．C．D．19．（3分）（2016•南开区模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A．B．C． D．20．（3分）（2016•南开区模拟）有下列四种说法：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；④若实数x，y∈[0，1]，则满足：x2+y2＜1的概率为．其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．21．（3分）（2016•南开区模拟）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、．22．（3分）（2016•南开区模拟）关于x的不等式（mx﹣1）（x﹣2）＞0，若此不等式的解集为{x|＜x＜2}，则m的取值范围是．23．（3分）（2016•南开区模拟）a＞1，则的最小值是．24．（3分）（2016•南开区模拟）已知钝角△ABC的面积为2，AB=2，BC=4，则该三角形的外接圆半径为．25．（3分）（2016•南开区模拟）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）26．（8分）（2016•南开区模拟）已知sinα=﹣，α∈（﹣，）．（Ⅰ）求sin2α的值；（Ⅱ）求tan（﹣α）的值．27．（10分）（2013•四川）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．28．（10分）（2016•南开区模拟）在直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2+4x﹣2y+m=0与直线x ﹣y+﹣2=0相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2，求直线MN的方程．29．（12分）（2016•南开区模拟）已知函数f（x）=x3+3x﹣4．（Ⅰ）判断f（x）的单调性并证明；（Ⅱ）证明：曲线y=g（x）=f（x）+3a（x2﹣2x+4）（a∈R）在x=0处的切线过定点；（Ⅲ）若g（x）在x=x0处取得极小值，且x0∈（1，3），求a的取值范围．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积， 其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11（C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（ ）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（ ）．（A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910（C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A )•P (B )．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ， ·球的体积公式V 球=34πR 3，其中S 表示棱柱的底面积， 其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0（C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（5）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cos C=（ ）． （A ）725 （B ）725- （C ）725± （D ）2425（7）由曲线y=x 2，y=x 围成的封闭图形的面积为（ ）．（A ）61 （B ）31（C ）32（D ）1（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910（C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）题 号 二三总分(15)(16) (17) (18) (19) (20) 得 分第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 得 分 评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类）2016.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)•P(B)．·球的表面积公式S球=4 R2，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为R，集合A={x∈Z|–1＜x≤3}，集合B={1，2}，则集合A∩∁R B=（）．（A）{0，3}（B）(–1，1)∪(2，3]（C）(0，1)∪(1，2)∪(2，3]（D）{–1，0}（2）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤，，，02021y y x x 则z=x –2y –3的最小值为（ ）．（A ）–6 （B ）–3（C ）–1 （D ）1（3）下列结论错误的是（ ）．（A ）命题“若p ，则¬q ”与命题“若q ，则¬p ”互为逆否命题 （B ）命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则p ∧q 为真（C ）“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”为真命题 （D ）“a ＞0，b ＞0”是“2ba +≥ab ”的充分不必要条件 （4）如图所示的程序框图的运行结果为（ ）．（A ）–1 （B ）21（C ）1 （D ）2（5）17cos 17sin 347sin 2-=（ ）．（A ）–3 （B ）–1 （C ）3 （D ）1（6）已知l 1，l 2分别为双曲线22x a –22y b=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的离心率为（ ）．（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5（7）若函数f (x )=|x |+2x a -–2（a ＞0）没有零点，则a 的取值范围是（ ）．（A ）(2，+∞) （B ）(2，+∞) （C ）(0，1)∪(2，+∞) （D ）(0，1)∪(2，+∞) （8）已知函数f (x )=x sin x+cos x+x 2，则不等式f (ln x )+f (lnx1)＜2f (1)的解集为（ ）．（A ）(e ，+∞) （B ）(0，e ) （C ）(0，e 1)∪(1，e ) （D ）(e1，e )南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（理工类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

卜人入州八九几市潮王学校南开区二零二零—二零二壹第二学期高三年级总复习质量检测〔二〕数学试卷〔理工类〕本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部．一共150分，考试时间是是120分钟．第I 卷l 至2页，第II 卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I 卷本卷须知：2．每一小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f 上对应题翻之答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.本卷一共8小题，每一小题5分，一共40分，参考公式：一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

(1)i 是虚数单位，复数242(1)412i i i i +----=〔〕． (A)0(B)2(C)-4i(D)4i(2)“1sin 2a =〞是“1cos22a =〞的()， (A)充分丽不必要条件(B)必要两不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)假设执行右面的程序框图，那么输出的S=()。

(A)22(B)46(c)94(D)190(4)偶函数()f x 在区间[]0,a 〔a>0〕上是单凋函数，且(0)()0f f a ⋅<．那么方程()0f x =在区间[],a a -内根的个数是().(A)l(B)2(C)3(D)0(5)假设11()11n x -的展开式中第三项系数等于6，那么n 等于()． (A)4(B)8(C)12(D)16(6)在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ．C 的对边，22232,sin sin sin 2CA B C A =+-= sinBsinC ，那么cosC=()．(A)18(B)716(C)74(D)716- (7)设圆22:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点00(,)P x y ∈l ，假设存在点Q ∈C ，使60OPQ ∠=。

〔O 为坐标原点〕，那么0x 的取值范围是()． (A)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)[]0,1(D)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (8)如图，在△ABC 中，2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，假设,AP mAB AQ nAC ==，那么mn+m 的最小值为()．(A)63(B)23(C)6(D)2南开区2021～2021第二学期高三年级总复习质量检测〔二〕答题纸〔理工类〕第二卷本卷须知：1．用黑色墨水的钢笔或者签字笔答题：2．本卷一共12小题，一共110分．二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分请将答案填在题中横线上．(9)某企业三月中旬消费A 、B 、C 三种产品一共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息， 可得C 的产品数量是____件．(10)一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的体积为____．(11)设集合{}{}|237,|121A x x B x m x m =-≤=+≤≤-，假设A B A =，那么实数m 的取值范围是________．(12)己知抛物线的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕．焦点为F ．准线为1l ,直线2l 的参数方程为11,23,2x m y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(m 为参数)．假设直线2l 与抛物线在x 轴上方的局部相交于点A ， 是1AM l ⊥，垂足为M ，那么△AMF 的面积是________．(13)如右图，AB 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE垂直，垂足是D ．割线EC 交圆D 于B ，C ，且62BDC ∠=，108DBE ∠=，那么∠OEC=_______． (14)设函数[]()121,0,1f x x x =--∈，定义1'()(),,()(()),1n n f x f x f x f f x n -=⋅⋅⋅==，2，3，…．函数()()n g x f x x =-有8个零点．那么n=_______. 三、解答题：〔本大题一一共6个小题，一共80分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕(15)〔本小题总分值是13分〕函数2()sin(2)sin(2)2cos 66f x x x x ππ=++-+． (I)求f(x)的最小正周期及最大值：(TI)求使f(x)≥2的x 的取值范围，(16)〔本小题总分值是13分〕暗箱中开场有3个红球，2个白球〔所有的球除颜色外其它均一样〕．现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球〔一共6个球〕一起放回箱中．〔I)求第二次取出红球的概率；(II)求第三次取出自球的概率；(Ⅲ(17)〔本小题总分值是13分〕如图，直四棱1111ABCD A B C D -的底面为正方形，P 、O 分别是上、下底面的中心，点E是AB 的中点，1ABkAA =．(I)求证：1//A E平面PBC:(II)当k =PA 与平面PBC 所成角的正弦值：(III)当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为∆PBC 的重心？(18)〔本小题总分值是13分〕函数()4f x x =++，数列{}n a 满足：111,(),n n a a f a n N *+==∈，数列121,,b b b -321,,n n b b b b --⋅⋅⋅-是首项为l ，公比为13的等比数列．(1)求证：数列为等差数列(II)假设n n c b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .；(19)〔本小题总分值是14分〕 设双曲线22:12x C y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，垂直子x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q.(I)求直线1A P 与直线2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程；(lI)设点T(2，0)．过点F(1，0)作直线l 与(I)中的轨迹E 交于不同的两点名A 、B ，设FA FB λ=，假设[]2,1λ∈--，求TA TB +的取值范围。

2016年南开区高考模拟理科综合测试（二）物理试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分。

第Ⅰ卷注意事项：答卷前，考生务必用黑色水笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸上相应位置。

答题时，务必将Ⅰ卷答案用2B 铅笔涂写在答题卡上，答在试卷上无效；将Ⅱ卷答案用黑色水笔填写在答题纸上相应位置。

考后请将答题卡和答题纸交回。

一、单项选择题（每小题6分，共30分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

）1．甲、乙两物体在t =0时刻经过同一位置沿x 轴运动，其v －t 图象分别如图中甲、乙所示。

则下列说法错误．．的是 A ．甲、乙在0 ~ 1 s 内加速度方向相同 B ．乙在0 ~ 7 s 的位移为零 C ．甲在0 ~ 4 s 内做往复运动 D ．甲、乙在t =7 s 时的速度相同2．将一物块分成相等的A 、B 两部分靠在一起，下端放置在地面上，上端用绳子拴在天花板，绳子处于竖直伸直状态，整个装置静止。

则 A ．绳子上拉力不可能为零 B ．地面受的压力可能为零 C ．A 、B 间一定存在摩擦力 D ．物体与地面间不可能存在摩擦力3．我国已投产运行的1000 kV 特高压输电，是目前世界上电压最高的输电工程。

假设甲、乙两地原来用500 kV 的超高压输电，在保持输送电功率和输电线电阻都不变的条件下，现改用l000 kV 的特高压输电，不考虑其它因素的影响。

则 A ．送电电流变为原来的2倍B ．输电线上降落的电压变为原来的21C ．输电线上降落的电压变为原来的2倍D．输电线上损耗的电功率变为原来的214．如图所示，甲为某一简谐波在t=1.0 s时刻的图象，乙为甲图中B点的振动图像。

则下列说法正确的是A．甲图中C点的运动方向为y轴负方向B．该波的波速v=8 m/s，方向沿x轴负方向C．要使该波能够发生明显的衍射，则要求障碍物的尺寸远大于4 mD．该波与另一列波发生稳定的干涉，则另一列波的频率为2 Hz5．“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下。

南开区2008年高三年级质量调查（二）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

第I 卷一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，=++2)1(3i i（ ） A.i 2321+ B. i 2321--C. i 2321+-D. i 2321-2. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3311y x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最小值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 23. 对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（ ） A. “bc ac >”是“b a >”的必要条件 B. “bc ac =”是“b a =”的必要条件 C. “bc ac >”是“b a >”的充分条件 D. “bc ac =”是“b a =”的充分条件4. 以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系是（ ） A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定5. 函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是（ ） A. )0(log 13>+=x x y B. )31(log 13<≤+=x x y C. )0(log 13>+-=x x y D. )31(log 13<≤+-=x x y6. 已知m ，n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =⋂βα，则直线l （ ）A. 与m ，n 都相交B. 与m ，n 都不相交C. 与m ，n 中至少一条相交D. 至多与m ，n 中的一条相交7. 设)32sin(2)(ππ+=xx f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 1D.21 8. 设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若}{n S 是等差数列，则q 的值等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数x x f 2log )(=，)(2a f a z +=，当41)(1=-a f时，z 的值为（ ） A. 0 B.21 C. 1 D. 210. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值是（ ）A. 21 B. 21-C.23 D. 23-第II 卷二. 填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。