2019-2020年北师大版数学选修2-2课时分层作业1 归纳推理+Word版含解析

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V P­BCDV A­BCD，同理，p b h b ＝V P­ACD V A­BCD ，p c h c ＝V P­ABD V A­BCD ，p d h d ＝V P­ABCV A­BCD .∵V P­BCD ＋V P­ACD ＋V P­ABD ＋V P­ABC ＝V A­BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P­BCD ＋V P­ACD ＋V P­ABD ＋V P­ABCV A­BCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ） A ．122k + B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a +（ ） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于23．某电影院共有(3000)n n ≤个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、 下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．前三个答案都不对 4．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（ ）A ．都大于13 B ．都小于13 C ．至少有一个不大于13 D ．至少有一个不小于135．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定 6．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20647．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( )A ．0B ．13C ．12D ．18．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是 9．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变12．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 二、填空题13．用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到1k +时，右边应增加的因式是____________.14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =______15．已知数列{}n a 为等差数列，则有12320a a a -+=1234330a a a a -+-=123454640a a a a a -+-+=类似上三行,第四行的结论为________________.16．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论： 结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1.结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1.结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3.……照此规律，结论6为_____ 17．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．18．观察下列等式：（1）24sinsin 033ππ+= （2）2468sinsin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sin sin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234S h h h h k +++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.22．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想．23．设，其中为正整数． （1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 24．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 25．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.26．已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- (1).求函数()f x 的解析式；(2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n k =时，左边的代数式为111 12k k k k++⋯++++， 当1n k =+时，左边的代数式为11111 232122k k k k k k ++⋯++++++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111 212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．D解析：D【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案.详解:因为1116a b c b c a +++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.3．A解析：A【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则2007n ≥，依次验证即可得到答案. 详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影， 则9851010201920072n ++≥=， 当2007n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上； 当2008n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当2018=n 时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上； 当2019n =时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上；所以当n 有2007,2008,2009,,2018取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题. 4．D解析：D【解析】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论.详解：不妨假设2,2,23a a a a +++都小于13， 由不等式的性质可知：()()()22231a a a a +++++<， 事实上：()()()2223a a a a +++++ 245a a =++()2211a =++≥，与假设矛盾，故假设不成立，即2,2,23a a a a +++至少有一个不小于13. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．B解析：B【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B 选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．6．B解析：B【解析】第一行数字之和为1112-=；第二行数字之和为2122-=；第三行数字之和为3142-=； 第四行数字之和为4182,...-=，第n 行数字之和为12n n a ，31041122a a ∴+=+ 810241032=+=，故选B.【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.7．B解析：B【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13 ∴三个数中至少有一个大于或等于13 假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13 故选B.8．C解析：C【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.9．C解析：C【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.10．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理.本题选择A选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．11．B解析：B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了++ 2m+2t+T22m t T分钟，共节省了T t- T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 12．C解析：C【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k 时，左边为11112k k k k +++++， 当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++ 所以增加项为两式作差得：11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．二、填空题13．【分析】根据右边式子的含义以及n 的变化给式子带来的变化进行求解【详解】当时右式为当时右式为则右边应增加的因式是故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解解题的关键是理解左边式子的意义属 解析：2(21)k +【分析】 根据右边式子的含义，以及n 的变化给式子带来的变化，进行求解.【详解】当(*)n k k N =∈时,右式为2135(21)k k ⋅⋅⋅-，当1n k =+时,右式为12135(21)(21)22135(21)(21)k k k k k k +⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅-+， 则右边应增加的因式是2(21)k +，故答案为：2(21)k +【点睛】本题考查数学归纳法中由n k =到1n k =+时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.14．【分析】将杨辉三角中的奇数换成1偶数换成0可得第1次全行的数都为1的是第2行第2次全行的数都为1的是第4行…由此可知全奇数的行出现在2n 的行数即第n 次全行的数都为1的是第2n 行126＝27﹣2故可得解析：【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．【详解】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S 126＝2×31+2＝64，故答案为：64点睛：本题考查归纳推理，属中档题.15．【解析】观察前三个式子可知三个式子的项数分别是所以第四个式子有项前三个式子奇数项为正偶数项为负项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四项的结论：故答案为【方法点睛】本题通过观察几组多项式式归纳出一般 解析：1234565101050a a a a a a -+-+-=【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是3,4,5，所以第四个式子有6项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：1234565101050a a a a a a -+-+-=，故答案为1234565101050a a a a a a -+-+-=.【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比解析：当1213x <<时，()122392max f x =⨯-= 【解析】 由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律，可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 122392f x =⨯-=． 点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)． 17．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时，A 经C 到D 的时间为3+4=7小时，故A 到F 的最短时间就为9小时，则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时，即组装该产品所需要的最短时间是11小时18．（或）【解析】由式子可知第n 个式子分母是2n+1共2n 项所以 解析：24sin sin 2121n n ππ+++++24sin sin 02121k n n n ππ++=++（或212sin021n k k n π==+∑） 【解析】 由式子可知，第n 个式子，分母是2n+1,共2n 项。

姓名，年级：时间：§2综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．（重点）2．会用综合法证明数学命题．（难点）1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习,培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为:错误!→错误!→错误!→…→错误!思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？［提示］综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案］B2．在△ABC中,若sin A sin B<cos A cos B,则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形C [由条件可知cos A cos B －sin A sin B ＝cos （A ＋B ）＝－cos C 〉0，即cos C 〈0，∴C 为钝角,故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f （x ）＝x －x ln x 在区间（0,1）上是增函数"的证明过程“对函数f (x ）＝x －x ln x 求导，得f ′（x )＝－ln x ，当x ∈(0，1）时，f ′（x ）＝－lnx >0,故函数f （x ）在区间（0,1）上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法 ［证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题－c )sin B ＋（2c －b ）sin C 。

（1)求证：A 的大小为60°；（2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明:△ABC 为等边三角形．思路探究：（1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A 。

课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．5 C [∵函数为奇函数，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，∴f (2)＝2f (1)＝2×12＝1，f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.]2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12. 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.]4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝b sin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .]5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．]二、填空题6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2，y 2＝a ＋b . y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2＝a ＋b －2ab 2 ＝(a －b )22≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .] 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C三点共线，则k ＝________.6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.] 8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． a >c >b [∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .] 三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. [证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ＋2ac ·2ab abc ＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，① 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2，②把②代入①得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12 C [∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1．故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．] 3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． a ＋b [由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．]4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]5．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得y E＝1－ky0k，∴x E＝(1－ky0)2k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝(1＋ky0)2k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k(1－ky0)2k2－(1＋ky0)2k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。

课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49B [由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 019的末两位数字为43.]2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1B [可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2,3,4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n＝2n (n ＋1).]3．给出下面的等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……猜测123 456×9＋7等于( ) A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113B [观察几组数据可知，等号左边变化的数字依次为1和2,12和3,123和4,1 234和5,12 345和6，等号右边依次为2个1,3个1,4个1,5个1,6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边应为7个1.]4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C[观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.]5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3A[∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.]二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，当n∈N＋时，由归纳推理可得：f n(1)＝________.12n＋1－1[归纳推理可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(n∈N＋)，解得f n(1)＝12n＋1－1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.]8．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋) [依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)．] 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．[解] 由f (x )＝13x ＋3，得f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33， f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x＋13＋3x ＋1＝3·3x＋13(1＋3·3x)＝33. [能力提升练]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.]2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)A [由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．]3．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．13 3n ＋1 [n ＝1,2,3,4时，火柴杆数分别为4根，7根，10根，13根，由此可归纳火柴杆数是一个以4为首项，以3为公差的等差数列，故第n 个图形中，火柴杆有3n ＋1根．]4．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③，……，试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.① ② ③3×4n －1(n ∈N ＋) [观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1(n ∈N ＋)．]5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋si n 30°sin α)2－ sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋343 4.cos2α＝。

第一章DIYIZHANG推理与证明§1归纳与类比课后训练案巩固提升A组1.观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n（n≥2)个圆点,第n个图案中圆点的总数是S n.按此规律推断出S n与n的关系式为()A。

S n=2n B.S n=4nC。

S=2n D。

S n=4n-4n=2，n=3,n=4的图案,推断第n个图案是这样构成的:圆点排成正方形的四条边,每条S n=4n-4。

()①由圆的性质类比出球的有关性质。

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均为180°，归纳出所有三角形的内角和均为180°。

③教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了.④由a1=1,a2=3,a3=5，a4=7，归纳出数列｛a n}的通项公式为a n=2n-1.A.①②B.①③④C.①②④D。

②④是类比推理,②④是归纳推理,故①②④都是合情推理.()A.“若a·3=b·3，则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B。

“（a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc"C.“（a+b)c=ac+bc”类比推出“a+bc=ac+bc(c≠0）”D.“（ab）n=a n b n”类比推出“(a+b）n=a n+b n”:(1，1），(1,2）,（2，1），(1,3）,（2,2），(3，1),（1,4），(2，3)，(3,2),（4，1），（1，5），(2，4),…,则第60个数对是（）A。

(3，8) B。

(4，7） C。

（4,8）D。

（5，7)2的有1个,为3的有2个，为4的有3 11的有10个,则根据数对规律可推出第56个数对为（1，11)，往下的数对依次为(2,10),（3,9)，（4,8）,（5,7)，（6，6)，…。

故选D.5。

已知｛b n ｝为等比数列，b 5=2,则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9=29，若{a n ｝为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A 。

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)一、选择题1.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛ab d xB.⎠⎛ab d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d xD.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f （x ）－g （x ）]dx【解析】 当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛ab d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .【答案】 C2.由抛物线y ＝x 2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为() A.45π B.165πC.85πD.325π【解析】 V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.【答案】 D3.如图4­3­4，阴影部分的面积是( )图4­3­4 A.2 3 B.2－ 3C.323D.353 【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x3－x2⎪⎪⎪1-3＝323. 【答案】 C4.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( )A.13B.23C.1D.43 【解析】 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x3⎪⎪⎪10 ＝2×23＝43. 【答案】 D5.由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( )A.6πB.12πC.24πD.3π【解析】 因为xy ＝4，所以y ＝4x ， V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x ＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41 ＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π. 【答案】 B二、填空题6.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x . 【答案】 ⎠⎛01(x －x 3)d x 7.由曲线y ＝e x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】 体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e －1). 【答案】 π(e －1)8.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________.【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4，2).因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －（x －2）]dx ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 【答案】 163三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图4­3­5所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.图4­3­5【解】 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝⎠⎛0－a d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x44＋ax33|－a 0＝a412， 所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10.设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求：(1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】 如图，M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为⎠⎛01d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x3＋x2⎪⎪⎪10＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为π⎠⎛01d x ＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x4＋43x3⎪⎪⎪10＝π3.1.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B.2C.83D.1623 【解析】∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 【答案】 C2.已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( ) A.y ＝axB.y ＝±axC.y ＝－axD.y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a ＋k d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x2－x33⎪⎪⎪2a ＋k 0 ＝（k ＋2a ）32－（2a ＋k ）33 ＝（2a ＋k ）36. 又因为S ＝92a 3，所以（2a ＋k ）36＝92a 3， 解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A .【答案】 A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】 V ＝⎠⎛－11π(1－x 2)d x ＝π⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫⎠⎛－111dx －⎠⎛－11x2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝43π. 【答案】 43π 4.已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C 围成的图形的面积.【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x20－6x 0－2＝y 0x 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1， 解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x3－3x2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为 S ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x ＝， 即所求面积为2732.。

习题课——数学归纳法的应用课后训练案巩固提升A 组1.记凸k 边形的内角和为f (k ),则f (k+1)-f (k )=( )A. B.π C. D.2ππ23π2答案:B2.下列代数式中能被9整除的是( )(其中k ∈N +)A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k )解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k )能被9整除.(2)假设当k=n (n ≥1,n ∈N +)时,命题成立,即3(2+7n )能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7n+1)=21(2+7n )-36=7[3(2+7n )]-36能被9整除,即当k=n+1时命题成立.由(1)(2)知3(2+7k )能被9整除.答案:D3.在数列{a n }中,a 1=,且S n =n (2n-1)a n ,通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( )13A. B.1(n -1)(n +1)12n (2n +1)C. D.1(2n -1)(2n +1)1(2n +1)(2n +2)解析:∵由a 1=,S n =n (2n-1)a n ,得S 2=2(2×2-1)a 2,13即a 1+a 2=6a 2,∴a 2=.115=13×5∵S 3=3(2×3-1)a 3,即+a 3=15a 3,13+115∴a 3=.135=15×7同理可得a 4=.17×9据此可猜想a n =.1(2n -1)(2n +1)答案:C4.用数学归纳法证明“5n -2n 能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为( )A.(5k -2k )+4×5k -2kB.5(5k -2k )+3×2kC.(5-2)(5k -2k )D.2(5k -2k )-3×5k解析:假设当n=k 时,5k -2k 能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k -2×2k =5×5k -5×2k +3×2k =5(5k -2k )+3×2k ,就可以应用假设.故选B .答案:B5.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n (na-b )+c 对一切n ∈N +都成立,则a ,b ,c 的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=121414C.a=0,b=c=D.不存在这样的a ,b ,c14解析:∵等式对一切n ∈N +都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得解得a=,b=c=.{1=3(a -b )+c ,1+2×3=32(2a -b )+c ,1+2×3+3×32=33(3a -b )+c ,1214答案:A6.用数学归纳法证明“当n ∈N +时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为 ,从k 到k+1时需增添的项是 .解析:∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,∴原式为1+2+22+23+24.从k 到k+1时需添上25k +25k+1+…+25(k+1)-1.答案:1+2+22+23+2425k +25k+1+25k+2+25k+3+25k+47.导学号88184011已知f (n )=1++…+,g (n )=,n ∈N +.123+133+1431n 332‒12n 2(1)当n=1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小关系;(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明.解(1)当n=1时,f (1)=1,g (1)=1,∴f (1)=g (1).当n=2时,f (2)=,g (2)=,∴f (2)<g (2).98118当n=3时,f (3)=,g (3)=,∴f (3)<g (3).251216312216(2)由(1),猜想f (n )≤g (n ).下面用数学归纳法给出证明:①当n=1,2,3时,不等式显然成立.②假设当n=k (k ≥3)时不等式成立,即1++…+,则当n=k+1时,f (k+1)=f (k )+123+133+1431k 3<32‒12k 21(k +1)3<32‒,12k 2+1(k +1)3∵12(k +1)2‒[12k 2-1(k +1)3]=<0,k +32(k +1)3‒12k 2=-3k -12(k +1)3k 2∴f (k+1)<=g (k+1).32‒12(k +1)2由①②可知,对一切n ∈N +,都有f (n )≤g (n )成立.B 组1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=,则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上( )n 4+n 22A.k 2+1B.(k+1)2C.(k +1)4+(k +1)22D.(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k+1)2解析:当n=k 时,等式左端=1+2+…+k 2,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k+1)2,所以当n=k+1时,左端应在n=k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k+1)2.答案:D2.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n ·1=n (n+1)(n+2)左边的式子为f (n ),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推16时,即当n 从k 变为k+1时,等式左边的改变量f (k+1)-f (k )=( )A.k+1B.1·(k+1)+(k+1)·1C.1+2+3+…+kD.1+2+3+…+k+(k+1)解析:依题意,f (k )=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k ·1,则f (k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k ·2+(k+1)·1,∴f (k+1)-f (k )=1·[(k+1)-k ]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k ·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1),故选D .答案:D3.导学号88184012设n ∈N +,f (n )=5n +2×3n-1+1.(1)当n=1,2,3,4时,计算f (n )的值;(2)你对f (n )有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.解(1)当n=1时,f (1)=51+2×31-1+1=8=8×1;当n=2时,f (2)=52+2×32-1+1=32=8×4;当n=3时,f (3)=53+2×33-1+1=144=8×18;当n=4时,f (4)=54+2×34-1+1=680=8×85.(2)猜想:当n ∈N +时,f (n )=5n +2×3n-1+1能被8整除.①当n=1时,由(1)知命题成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N +)时命题成立,即f (k )=5k +2×3k-1+1能被8整除,则当n=k+1时,f (k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k +6×3k-1+1=(5k +2×3k-1+1)+4(5k +3k-1)=f (k )+4(5k +3k-1).这里,5k ,3k-1都是奇数,二者的和为偶数,从而4(5k +3k-1)能被8整除,又f (k )能被8整除,故f (k+1)能被8整除,即当n=k+1时命题也成立.根据①和②,可知命题对任意n ∈N +都成立.4.导学号88184013观察下列各不等式:1+,122<321+,122+132<531+,122+132+142<741+,122+132+142+152<95…(1)由上述不等式,归纳出一个与正整数n (n ≥2)有关的一般性结论;(2)用数学归纳法证明你得到的结论.解(1)观察上述各不等式,得到与正整数n (n ≥2)有关的一般不等式为1++…+(n ∈N +,且n ≥2).122+132+1421n 2<2n -1n (2)以下用数学归纳法证明这个不等式.①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.②假设当n=k (k ≥2,k ∈N +)时,不等式成立,即1++…+,则当n=k+1时,有1+122+132+1421k 2<2k -1k 122+132+142+…+=2-.1k 2+1(k +1)2<2k -1k +1(k +1)2<2k -1k +1k (k +1)=(2-1k )+(1k -1k +1)1k +1=2(k +1)-1k +1所以当n=k+1时,不等式也成立.根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立.。

选修2-2 第一章 §4 课时作业61．证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．2．[2014·吉安检测]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13， a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n. 下面用数学归纳法进行证明①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k，那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 解：(1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S 1＝1，S 2＝2＋3＝5，S 3＝4＋5＋6＝15，S 4＝7＋8＋9＋10＝34，S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解：分别计算n ＝1,2,3,4时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)一、选择题1.函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( )A.有最大值，无最小值B.有最大值、最小值C.无最大值、最小值D.无最大值，有最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍).当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0.从而函数f (x )有最大值，无最小值，故选A.【答案】 A2.一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t 单位：s)( )A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s ，1 s ，4 s 【解析】 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t＝1或t ＝4.【答案】 D3.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A.0≤a <1B.0<a <1C.－1<a <1D.0<a <12 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，则f ′(x )＝0有解，可得a ＝x 2.又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1.故选B.【答案】 B4.已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥32B.m >32C.m ≤32D.m <32 【解析】 令f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3.经检验，知x ＝3是函数的最小值点，所以函数f (x )的最小值为f (3)＝3m －272.因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A.【答案】 A5.做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A.6 mB.8 mC.4 mD.2 m【解析】 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8， 因此h ＝25664＝4(m). 【答案】 C二、填空题6.当x ∈时，函数f (x )＝x2ex的值域是__________.【导学号：94210065】 【解析】 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x2ex ′＝2x·ex－x2·ex （ex ）2＝2x －x2ex，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去).∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e ，∴函数f (x )＝x2ex ，x ∈的值域为.【答案】7.若函数f (x )＝x x2＋a(a >0)在 1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元 【解析】 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去).此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】 D2.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若存在x 0∈，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：94210066】A.2≤a ≤52B.－232≤a ≤52C.2≤a ≤16D.－232≤a ≤16 【解析】 ∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.【答案】 D3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0).因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0). 所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0，20)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小.【答案】 204.设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .【解】 (1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0).故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.设t ＝cos x ，则t ∈令g (t )＝2at 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)＞g (1)>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)·sin x |≤2α＋|α－1|.当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A . 当15<α＜1时，A ＝α8＋18α＋34>1， 所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A .所以|f ′(x )|≤2A .。

第一章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( ) A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解解析:至多有两个解包含:有两个解,有一个解,无解三种情况.答案:C2.设n ∈N +,f (n )=1++…+,计算知f (2)=,f (4)>2,f (8)>,f (16)>3,f (32)>,由此猜想( )12+131n 325272A.f (2n )> B.f (n 2)≥2n +12n +22C.f (2n )≥D.以上都不对n +22解析:根据题意,由f (2)=,f (4)>,f (8)>,f (16)>即可猜想f (2n )≥,故选C .32425262n +22答案:C3.用数学归纳法证明:1++…+时,由n=k 到n=k+1左边需要添11+2+11+2+311+2+3+…+n =2nn +1加的项是( )A. B.2k (k +2)1k (k +1)C. D.1(k +1)(k +2)2(k +1)(k +2)解析:由n=k 到n=k+1,左边需要添加的项是.11+2+3+…+(k +1)=2(k +1)(k +2)4.下列推理正确的是( )A.把a (b+c )与log a (x+y )类比,则有:log a (x+y )=log a x+log a yB.把a (b+c )与sin(x+y )类比,则有:sin(x+y )=sin x+sin yC.把(ab )n 与(x+y )n 类比,则有:(x+y )n =x n +y nD.把(a+b )+c 与(xy )z 类比,则有:(xy )z=x (yz )答案:D5.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n ∈N +)时,验证n=1,左边应取的项是( )(n +3)(n +4)2A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析:当n=1时,左边应取1+2+3+4,故选D .答案:D6.用反证法证明命题:“若a ,b ∈N ,ab 能被3整除,则a ,b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.a ,b 都能被3整除 B.a ,b 都不能被3整除C.a ,b 不都能被3整除D.a 不能被3整除解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a ,b 中至少有一个能被3整除”的反面是:“a ,b 都不能被3整除”,故应假设a ,b 都不能被3整除.答案:B7.若P=,Q=(a ≥0),则P ,Q 的大小关系是( )a +a +7a +3+a +4A.P>Q B.P=QC.P<QD.由a 的取值确定解析:要证P<Q ,只需证P 2<Q 2,只要证2a+7+2<2a+7+2,只要证a (a +7)(a +3)(a +4)a 2+7a<a 2+7a+12,只要证0<12,∵0<12成立,∴P<Q 成立.8.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末位数字是( )A.1B.3C.7D.9解析:规律:71的末位数字为7,72的末位数字为9,73的末位数字为3,74的末位数字为1,75的末位数字为7,……末位数字分别为7,9,3,1,7,9,3,1,……∵2 015=4×503+3,∴72 015的末位数字是3.答案:B9.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n-1)(n ∈N +)时,从n=k 到n=k+1时左边需增乘的代数式是( )A.2k+1B.2(2k+1)C. D.2k +1k +12k +3k +1解析:当n=k 时,左边式子为(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k ).当n=k+1时,左边式子为(k+2)(k+3)(k+4)…[k+1+(k+1)],所以左边需增乘的式子为=2(2k+1).(k +1+k )[k +1+(k +1)]k +1答案:B10.已知正三角形内切圆的半径是其高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是( )13A.正四面体的内切球的半径是其高的12B.正四面体的内切球的半径是其高的13C.正四面体的内切球的半径是其高的14D.正四面体的内切球的半径是其高的15解析:原问题的解法为等面积法,即S=ah=3×ar ⇒r=h ,类比问题的解法应为等体积法,V=Sh=4×1212131313Sr ⇒r=h ,即正四面体的内切球的半径是其高的,所以应选C .1414答案:C11.若a>0,b>0,则p=(ab 与q=a b ·b a 的大小关系是( ))a +b 2A.p ≥qB.p ≤qC.p>qD.p<q解析:p q =(ab )a +b 2a b ba=aa +b2-b ·ba +b2-a =.aa -b2·bb -a 2=(ab)a -b 2若a>b>0,则>1,a-b>0,此时>1;ab pq 若0<a<b ,则0<<1,a-b<0,此时>1;ab pq 若a=b ,则=1.综上,可知p ≥q.pq 答案:A 12.导学号88184014设函数f (x )定义如下表,数列{x n }满足x 0=5,且对任意的自然数均有x n+1=f (x n ),则x 2 015=( )x12345f (x )41352A.1B.2C.4D.5解析:因为x 1=f (x 0)=f (5)=2,x 2=f (2)=1,x 3=f (1)=4,x 4=f (4)=5,x 5=f (5)=2,…,数列{x n }是周期为4的数列,所以x 2 015=x 3=4.故选C .答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“a ,b 是实数,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为 . 解析:“a=b=1”是“a=1且b=1”,因为“p 且q ”的否定为“非p 或非q ”,所以“a=b=1”的否定为“a ≠1或b ≠1”.答案:a ≠1或b ≠114.观察下列等式:=1-=1-=1-31×2×12122,31×2×12+42×3×12213×22,31×2×12+42×3×122+53×4×123,……由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N +,+…+14×2331×2×12+42×3×122n +2n (n +1)×12n= .解析:因为=1-,31×2×12122=1-,31×2×12+42×3×12213×22=1-,31×2×12+42×3×122+53×4×12314×23……所以对于n ∈N +,+…+=1-.31×2×12+42×3×122n +2n (n +1)×12n 1(n +1)2n答案:1-1(n +1)2n15.在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n<19,n ∈N +)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式 成立.解析:在等差数列{a n }的前19项中,其中间项a 10=0,则a 1+a 19=a 2+a 18=…=a n +a 20-n =a n+1+a 19-n =2a 10=0,所以a 1+a 2+…+a n +…+a 19=0,即a 1+a 2+…+a n =-a 19-a 18-…-a n+1.又∵a 1=-a 19,a 2=-a 18,…,a 19-n =-a n+1,∴a 1+a 2+…+a n =-a 19-a 18-…-a n+1=a 1+a 2+…+a 19-n .相似地,在等比数列{b n }的前17项中,b 9=1为其中间项,则可得b 1·b 2·…·b n =b 1·b 2·…·b 17-n (n<17,n ∈N +).故填b 1·b 2·…·b n =b 1·b 2·…·b 17-n (n<17,n ∈N +).答案:b 1·b 2·…·b n =b 1·b 2·…·b 17-n (n<17,n ∈N +)16.导学号88184015蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数,则用n 表示的f (n )= .解析:由于f (2)-f (1)=7-1=6,f (3)-f (2)=19-7=2×6,推测当n ≥2时,有f (n )-f (n-1)=6(n-1),所以f (n )=[f (n )-f (n-1)]+[f (n-1)-f (n-2)]+[f (n-2)-f (n-3)]+…+[f (2)-f (1)]+f (1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n 2-3n+1.又f (1)=1=3×12-3×1+1,所以f (n )=3n 2-3n+1.答案:3n 2-3n+1三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a>b>c ,且a+b+c=0,求证:.b 2-aca <3证明因为a>b>c ,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,要证明原不等式成立,只需证明a ,b 2-ac <3即证b 2-ac<3a 2,从而只需证明(a+c )2-ac<3a 2,即(a-c )(2a+c )>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c )(2a+c )>0成立.故原不等式成立.18.(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a 1,a 2∈R ,a 1+a 2=1,求证:a 21.+a 22≥12证明:构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2,因为对一切x ∈R ,恒有f (x )≥0,所以Δ=4-8()≤0,从而得.a 21+a 22a 21+a 22≥12(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R ,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.(1)解若a 1,a 2,…,a n ∈R ,a 1+a 2+…+a n =1,则+…+.a 21+a 22a 2n ≥1n (2)证明构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x++…+a 21+a 22a 2n=nx 2-2x++…+,a 21+a 22a 2n 因为对一切x ∈R ,都有f (x )≥0,所以Δ=4-4n (+…+)≤0,从而证得+…+.a 21+a 22a 2n a 21+a 22a 2n ≥1n 19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,且AD ∥BC ,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD ⊥底面ABCD ,若PA=AB=BC=,AD=1.12(1)求证:CD ⊥平面PAC.(2)侧棱PA 上是否存在点E ,使得BE ∥平面PCD ?若存在,指出点E 的位置并证明,若不存在,请说明理由.证明(1)∵∠PAD=90°,∴PA ⊥AD.又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PA ⫋侧面PAD ,且侧面PAD ∩底面ABCD=AD ,∴PA ⊥底面ABCD.∵CD ⫋底面ABCD ,∴PA ⊥CD.∵在底面ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,PA=AB=BC=,AD=1,12∴AC=,∠CAB=∠CAD=45°.AB 2+BC 2=22在△CAD 中,由余弦定理,得CD=,AC 2+AD 2-2·AC ·AD cos45°=22可得CD 2+AC 2=1=AD 2,得AC ⊥CD.又∵PA ,AC 是平面PAC 内的相交直线,∴CD ⊥平面PAC.(2)在PA 上存在中点E ,使得BE ∥平面PCD ,证明如下:设PD 的中点为F ,连结BE ,EF ,FC ,则∵EF 是△PAD 的中位线,∴EF ∥AD ,且EF=AD.12∵BC ∥AD ,BC=AD ,12∴BC ∥EF ,且BC=EF.∴四边形BEFC 为平行四边形.∴BE ∥CF.∵BE ⊈平面PCD ,CF ⫋平面PCD ,∴BE ∥平面PCD.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1=3,a n ·a n-1=2·a n-1-1.(1)求a 2,a 3,a 4;(2)求证:数列是等差数列,并写出数列{a n }的一个通项公式.{1a n -1}(1)解由a n ·a n-1=2·a n-1-1,得a n =2-,1an -1代入a 1=3,n 依次取值2,3,4,得a 2=2-,a 3=2-,a 4=2-.13=5335=7557=97(2)证明由a n ·a n-1=2·a n-1-1变形,得(a n -1)·(a n-1-1)=-(a n -1)+(a n-1-1),即=1,1an-1‒1a n -1-1所以数列是等差数列.{1a n -1}因为,所以+n-1,1a1-1=121an-1=12变形得a n -1=.所以a n =.22n -12n +12n -121.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a x +(a>1).x -2x +1(1)证明:函数f (x )在(-1,+∞)上是增加的;(2)用反证法证明方程f (x )=0没有负根.证明(1)任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,>1且>0,ax 2-x 1a x1于是-1)>0.a x 2‒a x 1=a x 1(a x 2-x1又∵x 1+1>0,x 2+1>0,∴x 2-2x 2+1‒x 1-2x 1+1=(x 2-2)(x 1+1)-(x 1-2)(x 2+1)(x 1+1)(x 2+1)=>0.3(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1)于是f (x 2)-f (x 1)=ax 2-ax 1+>0.x 2-2x 2+1‒x 1-2x 1+1故函数f (x )在(-1,+∞)上是增加的.(2)设存在x 0<0(x 0≠-1)满足f (x 0)=0,则=-,且0<<1.a x 0x 0-2x 0+1a x 0∴0<-<1,即<x 0<2,与假设x 0<0矛盾.故方程f (x )=0没有负数根.x 0-2x 0+11222.导学号88184016(本小题满分12分)设a 1=1,a n+1=+b (n ∈N +).a 2n -2a n +2(1)若b=1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c<a 2n+1对所有n ∈N +成立?证明你的结论.解(1)a 2=2,a 3=+1,可写为a 1=+1,a 2=+1,a 3=+1.21-12-13-1因此猜想a n =+1.n -1下面用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k (k ≥1,k ∈N +)时结论成立,即a k =+1,则a k+1=+1=+1=k -1(a k -1)2+1(k -1)+1+1.(k +1)-1所以当n=k+1时结论成立.所以a n =+1(n ∈N +).n -1(2)设f (x )=-1,则a n+1=f (a n ).(x -1)2+1令c=f (c ),即c=-1,解得c=.(c -1)2+114下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c<a 2n+1<1.当n=1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=-1,2所以a 2<<a 3<1,结论成立.14假设n=k (k ≥1,k ∈N +)时结论成立,即a 2k <c<a 2k+1<1.易知f (x )在(-∞,1]上是减少的,从而c=f (c )>f (a 2k+1)>f (1)=a 2,即1>c>a 2k+2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上是减少的,得c=f (c )<f (a 2k+2)<f (a 2)=a 3<1.故c<a 2k+3<1,因此a 2(k+1)<c<a 2(k+1)+1<1.所以当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c=.14。

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课时素养评价一归纳推理(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ( ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2【解析】选C.设第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为a n，则a1=8，a2=14，a3=20，猜想a n=6n+2.2.已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是( )A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】选A.由题意，发现所给整数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n-1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).3.观察下列各式：32-1=8，72-1=48，112-1=120，152-1=224，…据此规律，所得的结果都是8的倍数.由此推测可得( )A.其中包含等式：1032-1=10 608B.其中包含等式：852-1=7 224C.其中包含等式：532-1=2 808D.其中包含等式：332-1=1 088【解析】选A.数列3，7，11，15，…的通项为a n=3+(n-1)×4=4n-1，当n=26时，a26=103，但是85，53，33都不是数列{a n}中的项.4.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 ( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【解析】选A.若甲正确，则乙，丙都不正确，即由此判断乙>丙，即甲>乙>丙成立.二、填空题(每小题5分，共10分)5.根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_________.【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1=22-3，5=23-3，13=24-3，29=25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509. 答案：5096.观察分析下表中的数据：多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__________________. 【解析】由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，正方体，6+8=12+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数F，V，E所满足的等式是：F+V-E=2.答案：F+V-E=2三、解答题(每小题10分，共20分)7.某同学在一次研究性学习中发现：若集合A，B满足：A∪B={1，2}，则A，B共有9组；若集合A，B，C满足：A∪B∪C={1，2}，则A，B，C共有49组；若集合A，B，C，D满足：A∪B∪C∪D={1，2}，则A，B，C，D共有225组.根据上述结果，将该同学的发现推广为A，B，C，D，E五个集合，可以得出的正确结论是：若集合A，B，C，D，E满足：A ∪B∪C∪D∪E={1，2}，则A，B，C，D，E共有多少组？【解析】由A∪B={1，2}时，A，B共有9组，即32=9；A∪B∪C={1，2}时，A，B，C共有49组，即72=49；A∪B∪C∪D={1，2}时，A，B，C，D共有225组，即152=225；根据上述结果，推广为：A∪B∪C∪D∪E={1，2}时，A，B，C，D，E共有312=961即961组.所以A，B，C，D，E共有961组.8.如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分.那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【解析】设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分.(1)f(1)=1=12，g(1)=2=；f(2)=4=22，g(2)=4=；f(3)=9=32，g(3)=7=；f(4)=16=42，g(4)=11=；所以n=5时，f(5)=25，g(5)==16.(2)根据题意猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为f(n)=n2条线段，将圆最多分割为g(n)=部分.(15分钟·30分)1.(5分)根据给出的数塔，猜测123 456×9+7等于( )1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1 111；1234×9+5=11 111；12345×9+6=111 111；A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113【解析】选B.由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9+7=1 111 111.2.(5分)已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，观察下列算式：a1·a2=log23·log34=·=2；a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=··…·=3，…；若a1·a2·a3·…·a m=2 018(m∈N+)，则m的值为( )A.22 018+2B.22 018C.22 018-2D.22 018-4【解析】选C.由已知得a1·a2·a3·…·a m==2 018，lg(m+2)=lg 22 018，解得m=22 018-2.3.(5分)将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2 018，则i+j=_________.【解析】由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n(n+1)个数，所以前63行共有×63×64=2 016个数，故若a ij=2 018，则i=64，j=2，故i+j=66.答案：664.(5分)则上起第n行，左起第n+1列的数是_________.【解析】第1行第2个数为2=1×2，第2行第3个数为6=2×3，第3行第4个数为12=3×4，第4行第5个数为20=4×5.故归纳出第n行第n+1个数为n(n+1)=n2+n.答案：n2+n5.(10分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求+++…+的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由上式规律，得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时，==.所以+++…+=1+×1-+-+-+…+-=1+=-.【补偿训练】设f(x)=，x1=1，x n=f(x n-1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为_________，猜想x n=_________.【解析】x2=f(x1)==，x3=f(x2)==，x4=f(x3)==，所以x n=.答案：，，1.将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )A.397B.398C.399D.400【解析】选D.由三角形数组可推断出，第n行共有2n-1项，且最后一项为n2，所以第20行，最后一项为400.2.设f(n)=n2+n+41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜测是否正确.【解析】f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151，由于43，47，53，61，71，83，97，113，131，151均为质数，我们猜测f(n)=n2+n+41为质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41，因此f(40)为合数，故猜测不正确.关闭Word文档返回原板块。

选修2-2第一章§1课时作业1一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.答案：A2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．1,2 B．1,3C．2,4 D．1,4解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.答案：C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N *.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为a n ，故选A.答案：A4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D ，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查． 答案：D 二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式．．．．．为__________． 解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…， 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. 答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析：由首项为1，得a 1＝1；由n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12； 当n ＝2时，由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0， 即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13； …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n (n ∈N *)．答案：a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ………………可推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：三角形数：N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2；正方形数：N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n 2；五边形数：N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n2；六边形数：N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n 2＝(6－2)n 2＋(4－6)n 2；……根据以上规律总结，推测：N (n ，k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案：1000 三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，猜想数列{b n }的通项公式．解：a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28， b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1；a 2＝6＝2×3； a 3＝15＝3×5；a 4＝28＝4×7； …，猜想a n ＝n ×(2n －1)， 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．解：反映一般规律的等式是：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.。

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)一、选择题1.－(2－2i)的虚部是( )A.－2B.－2C.2D.2【解析】 ∵－(2－2i)＝－2＋2i ， ∴其虚部是2.【答案】 C2.在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限.故选D.【答案】 D3.若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )A.－2＋iB.2＋iC.1－2iD.1＋2i 【解析】 由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.【答案】 B4.已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A.a ≠2或a ≠1B.a ≠2，且a ≠1C.a ＝0D.a ＝2或a ＝0 【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D.【答案】 D5.如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )【导学号：94210082】A.－34＋iB.34－iC.－34－iD.34＋i 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.【答案】 D二、填空题6.设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3. 【答案】 －37.以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________.【解析】 3i －2的虚部为3，3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i8.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】 ∵|z |＝3， ∴（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】 以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆三、解答题9.已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时； (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i?【解】 (1)∵z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3， ∴当m ＝－3时，z ∈R .(2)∵z 是虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠1且m≠－3，m≠1，∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数.(3)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m2＋2m －3≠0，m （m ＋2）m －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠1且m≠－3，m ＝0或m ＝－2， ∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数.(4)∵z ＝12－4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）m －1＝12，m2＋2m －3＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10.已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值.【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ →1＝(－3，4)，OZ →2＝(2a ，1).因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.1.若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A.－7B.－17C.7D.－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A. 【答案】 A2.已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A.1＋3iB.2C.(－1, 3)D.－1＋3i 【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y＝|z|·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z对应的点为(－1, 3)，∴z＝－1＋3i.【答案】 D3.复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.【导学号：94210083】【解析】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝（－5）2＋（－12）2＝13.【答案】134.若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m的值的集合又是什么？【解】当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝－2，∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝1或m＝4，∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1<z2时，m值的集合为{0}.。