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第四章曲线运动万有引力与航天要考题统计考法分析第1讲曲线运动运动的合成与分解考点一物体做曲线运动的条件及轨迹1．曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(3)曲线运动的条件①运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
②动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
3．速率变化情况判断(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
[思维诊断](1)曲线运动一定是变速运动。
()(2)曲线运动的速度大小可能不变。
()(3)曲线运动的加速度可以为零。
()(4)曲线运动的加速度可以不变。
()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√[题组训练]1．[曲线运动的条件](多选)关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是()A．物体受变力作用才可能做曲线运动B．物体受恒力作用也可能做曲线运动C．物体所受合力为零时不可能做曲线运动D．物体只要受到合外力作用就一定做曲线运动解析：物体做曲线运动的条件是合外力不为零且与速度不共线，与合外力是变力还是恒力无关，选项A错误，B正确；若物体所受合外力为零，则物体静止或做匀速直线运动，选项C正确；物体做匀变速直线运动时，也是受到合外力作用，选项D错误。
答案：BC2．[曲线运动的判断]一个物体在F1、F2、F3等几个力的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去力F1，则物体()A．可能做曲线运动B．不可能继续做直线运动C．必然沿F1的方向做直线运动D．必然沿F1的反方向做匀加速直线运动解析：物体做匀速直线运动的速度方向与F1的方向关系不明确，可能相同、相反或不在同一条直线上。
第四章曲线运动万有引力与航天[备考指南]第1节曲线运动运动的合成与分解(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。
(×)(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。
(×)(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。
(×)(4)曲线运动可能是匀变速运动。
(√)(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。
(√)(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。
(×)(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。
(×)(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。
(√)要点一物体做曲线运动的条件与轨迹分析[多角练通]1．(多选)(2016·广州模拟)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是( ) A．它所受的合外力一定不为零B．它所受的合外力一定是变力C．其速度可以保持不变D．其动能可以保持不变解析：选AD 物体做曲线运动，其速度方向一定改变，故物体的加速度一定不为零，合外力也一定不为零，合外力若与速度始终垂直，动能可以保持不变，故A、D正确，B、C 错误。
2．若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，图中M、N、P、Q表示物体运动的轨迹，其中正确的是( )解析：选B 物体运动的速度方向与运动轨迹一定相切，而且合外力F的方向一定指向轨迹的凹侧，故只有B正确。
3．如图411所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )图411A．质点经过C点的速率比D点的大B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°C．质点经过D点时的加速度比B点的大D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析：选A 质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由C到D速率减小，所以C点速率比D点大。
第3节圆周运动必备知识预案自诊知识梳理一、描述圆周运动的主要物理量关系②a n=v2r=rω2=ωv=4Δ2rT2=4π2f2r③F n=m v2r=mrω2=m4Δ2rT2=mωv=4mπ2f2r①注:线速度侧重于描述物体沿圆弧运动的快慢,角速度侧重于描述物体绕圆心转动的快慢。
②注:当转速n单位为r/s时,在数值上等于频率f。
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动续表所受到的为向心力,大小不变,方向改变,其方向时刻所受到的合力,合力产生两个效果:①沿半径方向的分力,即向心力,它改变速度的;③注:匀速圆周运动实质是匀速率圆周运动!三、离心运动1.定义④做的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需的情况下,将做逐渐远离圆心的运动。
2.本质做圆周运动的物体,由于本身的,总有沿着圆周飞出去的倾向。
3.受力特点(1)当F n=mω2r时,物体做运动。
(2)当F n=0时,物体沿方向飞出。
(3)当F n<mω2r时,物体逐渐圆心,做离心运动。
(4)当F n>mω2r时,物体将逐渐靠近圆心,做近心运动。
考点自诊1.判断下列说法的正误。
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。
()(2)物体做匀速圆周运动时,其角速度大小是不变的。
()(3)物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的。
()(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。
()(5)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。
()(6)做匀速圆周运动的物体,当合外力突然减小时,物体将沿切线方向飞出。
()(7)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是由于摩托车受沿转弯半径向外的离心力的作用。
()2.(新教材人教版必修第二册P41习题改编)波轮洗衣机中的脱水筒如图所示,在脱水时,衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。
某洗衣机的有关规格如下表所示。
在运行脱水程序时,有一质量m=6 g的硬币被甩到筒壁上,随筒壁一起做匀速圆周运动。
求筒壁对硬币的静摩擦力大小和弹力大小。
学习资料第3节圆周运动一、圆周运动及其描述1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是做匀速圆周运动。
（2)特点:加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.（3）条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量物理量意义、方向公式、单位线速度（v）①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切①v＝ΔsΔt＝错误!②单位：m/s角速度(ω) ①描述物体绕圆心转动快慢的物理量②中学不研究其方向①ω＝错误!＝错误!②单位：rad/s周期(T)和转速(n)或频率（f) ①周期是物体沿圆周运动一周的时间②转速是物体单位时间转过的圈数；频率是单位时间内运动重复的次数①T＝错误!单位:s②n的单位:r/s、r/min，f的单位：Hz向心加速度（a)①描述速度变化快慢的物理量②方向指向圆心①a＝错误!＝rω2②单位:m/s21．作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．大小F＝m错误!＝mω2r＝m错误!r＝mωv＝4π2mf2r。
3．方向始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变，即向心力是一个变力.4．来源向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分力提供。
三、离心现象1．现象做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2．受力特点及轨迹①当F n＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
②当F n＝0时，物体沿切线方向飞出。
③当F n＜mω2r时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。
④当F n＞mω2r时,物体逐渐靠近圆心，做近心运动.1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×")(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动. （×)(2）做匀速圆周运动的物体的向心加速度与半径成反比。
（×）（3）做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力。
第3讲圆周运动一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．描述匀速圆周运动的物理量深度思考如图1所示为一辆自行车传动装置的结构图．图1(1)同一齿轮上到转轴距离不同的各点的线速度、角速度是否相同？(2)两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速度是否相同，转速是否相同？答案(1)线速度不同，角速度相同．(2)线速度相同，角速度、转速不同．二、匀速圆周运动的向心力1．作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．2．大小F＝m v2r＝mrω2＝m4π2T2r＝mωv＝4π2mf2r.3．方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．4．来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．三、离心现象1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．3．受力特点(如图2)图2当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心．1．判断下列说法是否正确．(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动．(×)(2)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用．(×)(3)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出．(×)(4)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大．(√)(5)飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态．(√)2．(人教版必修2P25第3题改编)如图3所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是()图3A．重力、支持力B．重力、向心力C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力D．重力、支持力、向心力、摩擦力答案 C3．(人教版必修2P19第4题改编)图4是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为()图4A.πnr1r3r2 B.πnr2r3r1C.2πnr2r3r1 D.2πnr1r3r2答案 D4．(人教版必修2P25第2题改编)如图5所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是()图5A．A球的角速度等于B球的角速度B．A球的线速度大于B球的线速度C．A球的运动周期小于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力答案 B解析先对小球受力分析，如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力mg和支持力F N的合力，建立如图所示的坐标系，则有：F N sin θ＝mg①F N cos θ＝mrω2②由①得F N＝mgsin θ，小球A和B受到的支持力F N相等，由牛顿第三定律知，选项D错误．由于支持力F N相等，结合②式知，A球运动的半径大于B球运动的半径，故A球的角速度小于B球的角速度，A球的运动周期大于B球的运动周期，选项A 、C 错误．又根据F N cos θ＝m v 2r可知：A 球的线速度大于B 球的线速度，选项B 正确.命题点一 圆周运动的分析 1．圆周运动中的运动学分析 (1)对公式v ＝ωr 的理解 当r 一定时，v 与ω成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比． (2)对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 2．圆周运动中的动力学分析 (1)向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． (2)向心力的确定①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．②分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．例1 (多选)(2016·浙江理综·20)如图6所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )图6A ．在绕过小圆弧弯道后加速B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s绕赛道一圈时间最短．答案 AB解析 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg ＝m v 2m r ，当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A 正确；在大圆弧弯道上的速率为v m R ＝kgR ＝ 2.25×10×90 m/s ＝45 m/s ，选项B 正确；直道的长度为x ＝L 2－(R －r )2＝50 3 m ，在小弯道上的最大速率为：v m r ＝kgr ＝ 2.25×10×40 m/s ＝30 m/s ，在直道上的加速度大小为a ＝v 2m R －v 2m r2x ＝452－3022×503m/s 2≈6.50 m/s 2，选项C 错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为2πr3，通过小圆弧弯道的时间为t ＝2πr3v m r ＝2×3.14×403×30s ≈2.80 s ，选项D 错误．1．如图7所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )图7A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小 答案 D解析 根据题意可知，座椅A 和B 的角速度相等，A 的转动半径小于B 的转动半径，由v ＝rω可知，座椅A 的线速度比B 的小，选项A 错误；由a ＝rω2可知，座椅A 的向心加速度比B 的小，选项B 错误；座椅受力如图所示，由牛顿第二定律得mg tan θ＝mrω2，tan θ＝rω2g，因座椅A 的运动半径较小，故悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C 错误；拉力F T ＝mgcos θ，可判断悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小，选项D 正确．2．(多选)如图8所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )图8A ．周期相同B ．线速度的大小相等C ．角速度的大小相等D ．向心加速度的大小相等 答案 AC解析 对小球受力分析如图所示，受自身重力mg 、绳子拉力F T ，合力提供向心力即水平指向圆心，设细线和竖直方向夹角为θ，小球到悬点的距离为h ，则有mg tan θ＝ma n ＝mω2h tan θ，可得向心加速度a n ＝g tan θ，所以向心加速度大小不相等，选项D 错；角速度ω＝gh，所以角速度大小相等，选项C 对；由于水平面内圆周运动的半径不同，线速度v ＝ωh tan θ，所以线速度大小不同，选项B 错，周期T ＝2πω，角速度相等，所以周期相等，选项A 对．命题点二 水平面内圆周运动的临界问题例2 如图9所示，用一根长为l ＝1 m 的细线，一端系一质量为m ＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T .(g 取10 m/s 2，结果可用根式表示)求：图9(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？①小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动；②若要小球刚好离开锥面．答案 (1)522 rad/s (2)2 5 rad/s解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan θ＝mω20l sin θ解得：ω20＝gl cos θ即ω0＝gl cos θ＝52 2 rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan α＝mω′2l sin α解得：ω′2＝gl cos α，即ω′＝gl cos α＝2 5 rad/s.水平面内圆周运动临界问题的分析技巧1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．2．三种临界情况(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.3．(多选)如图10所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图10A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a＝kmg时，kmg＝mω2a l，ωa＝kgl；对木块b：f b＝mω2b·2l，当f b＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝mω2l ，f b ＝mω2·2l ，f a <f b ，选项B 错误；当ω＝ kg2l时b 刚要开始滑动，选项C 正确；当ω＝2kg 3l 时，a 没有滑动，则f a ＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误． 命题点三 竖直面内的圆周运动 1．竖直面内圆周运动两类模型一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”． 2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法最高点无支撑最高点有支撑重力、弹力，弹力方向向下或重力、弹力，弹力方向向下、22例3 小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图11所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( )图11A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度①P 球的质量大于Q 球的质量；②由静止释放；③在各自轨迹的最低点．答案 C解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL ＝12m v 2，解得v ＝2gL ，因L P <L Q ，故v P <v Q ，选项A 错误；因为E k ＝mgL ，又m P >m Q ，L P <L Q ，则两小球的动能大小无法比较，选项B 错误；对小球在最低点受力分析得，F T －mg ＝m v 2L ，可得F T ＝3mg ，选项C 正确；由a n ＝v 2L ＝2g 可知，两球的向心加速度相等，选项D 错误．例4 如图12所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g 取10 m/s 2，求：图12(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的速度不能超过多大？①轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动；②小球要做完整的圆周运动；③最大张力为45 N.答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg ＋F 1＝m v 2R①由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F 1不可能取负值，亦即F1≥0②联立①②得v≥gR，代入数值得v≥2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.(2)将v2＝4 m/s代入①得，F2＝15 N.(3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F3－mg＝m v23R③将F3＝45 N代入③得v3＝4 2 m/s即小球的速度不能超过4 2 m/s.4．(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图13所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则()图13A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大C．当v0>6gl时，小球一定能通过最高点PD．当v0<gl时，细绳始终处于绷紧状态答案CD解析小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，选项A错误；小球在最低点时：F T1－mg＝m v20l；在最高点时：F T2＋mg＝mv2l，其中12m v2－mg·2l＝12m v2，解得FT1－F T2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，选项B错误；当v0＝6gl时，得v＝2gl，因为小球能经过最高点的最小速度为gl，则当v0>6gl时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝gl时，由12m v2＝mgh得小球能上升的高度h＝12l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<gl时，小球将在最低点位置来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，选项D正确．5．如图14所示，轻杆长3L ，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 和B ，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力．忽略空气阻力．则球B 在最高点时( )图14A ．球B 的速度为零 B ．球A 的速度大小为2gLC ．水平转轴对杆的作用力为1.5mgD ．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案 C解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg ＝m v 2B 2L ，解得v B ＝2gL ，故A 错误；由于A 、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小v A ＝122gL ，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受重力和拉力的合力提供向心力，有F －mg ＝m v 2A L，解得：F ＝1.5mg ，故C 正确，D 错误.斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同．下面列举三类实例： 1．静摩擦力控制下的圆周运动图15典例1 如图15所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2.则ω的最大值是( ) A. 5 rad/s B. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s答案 C解析 当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2r 解得ω＝1.0 rad/s 故选项C 正确．2．轻绳控制下的圆周运动典例2 如图16所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2)图16答案 0°≤α≤30°解析 小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有F T ＋mg sin α＝m v 21l①研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有 －mgl sin α＝12m v 21－12m v 20② 若恰好能通过最高点，则绳子拉力F T ＝0③ 联立①②③解得sin α＝12，则α＝30°故α的范围为0°≤α≤30°. 3．轻杆控制下的圆周运动典例3 如图17所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取g ＝10 m/s 2，若要小球能通过最高点A ，则小球在最低点B 的最小速度是( )图17A ．4 m/sB ．210 m/sC ．2 5 m/sD ．2 2 m/s 答案 A解析 小球受轻杆控制，在A 点的最小速度为零，由2mgL sin α＝12m v 2B可得v B ＝4 m/s ，A 正确．题组1匀速圆周运动的分析1．水平放置的三个不同材料制成的圆轮A、B、C，用不打滑皮带相连，如图1所示(俯视图)，三圆轮的半径之比为R A∶R B∶R C＝3∶2∶1，当主动轮C匀速转动时，在三轮的边缘上分别放置一相同的小物块(可视为质点)，小物块均恰能相对静止在各轮的边缘上，设小物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块与轮A、B、C 接触面间的动摩擦因数分别为μA、μB、μC，A、B、C三轮转动的角速度分别为ωA、ωB、ωC，则()图1A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2答案 A解析小物块在水平方向由最大静摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝v2R，A、B、C三圆轮边缘的线速度大小相同，所以μ∝1R，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝1R，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正确．2．(多选)如图2为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图．已知质量为60 kg的学员在A 点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，学员和教练员(均可视为质点)()图2A．运动周期之比为5∶4B．运动线速度大小之比为1∶1C．向心加速度大小之比为5∶4D．受到的合力大小之比为15∶14答案CD解析A、B两点做圆周运动的角速度相等，根据T＝2πω知，周期相等，故A错误．根据v＝rω知，半径之比为5∶4，则线速度大小之比为5∶4，故B错误．根据a＝rω2知，半径之比为5∶4，则向心加速度大小之比为5∶4，故C正确．根据F＝ma知，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则合力大小之比为15∶14，故D 正确．题组2水平面内圆周运动的临界问题3．(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图3所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心．已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A ＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()图3A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动答案ABC解析假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据a＝ω2r得A、B的向心加速度之比为a A∶a B＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为F f A＝μm A g，F f B＝μm B g，最大静摩擦力之比为F f A∶F f B＝m A∶m B，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为F f A′∶F f B′＝(m A a A)∶(m B a B)＝m A∶(4.5m B)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误．4．(多选)如图4所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA＝OB＝BC＝r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是()图4A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变，A物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大C．当ω2> μgr时整体会发生滑动D．当μg2r<ω<μgr时，在ω增大的过程中B、C间的拉力不断增大答案BCD解析当圆盘转速增大时，静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由F0＝mω2r，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，此时μ(2m)g＝2m·2rω21，解得ω1＝μg 2r，当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，细线BC开始提供拉力，B的摩擦力增大，达到最大静摩擦力后，A、B 之间细线开始有力的作用，随着角速度增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A的摩擦力达到最大，且细线BC的拉力大于A、B整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到细线的拉力，对C有F T＋μ(2m)g＝2m·2rω22，对A、B整体有F T＝2μmg，解得ω2＝μgr，当ω2>μgr时整体会发生滑动，故A错误，B、C正确；当μg2r<ω<μgr时，C所受摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在ω增大的过程中，由于向心力F＝F T＋F f不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确．5.如图5所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()图5A．OB绳的拉力范围为0～33mgB．OB绳的拉力范围为33mg～233mgC．AB绳的拉力范围为33mg～233mgD．AB绳的拉力范围为0～233mg答案 B解析当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos30°＝mg，F1＝33mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos 30°＝mg，F2＝233mg，因此OB绳的拉力范围为33mg～233mg，AB绳的拉力范围为0～33mg，B项正确．6．如图6所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.图6(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．答案(1) 2g R(2)当ω＝(1＋k)ω0时，F f沿罐壁切线向下，大小为3k(2＋k)2mg当ω＝(1－k)ω0时，F f沿罐壁切线向上，大小为3k(2－k)2mg解析(1)对小物块受力分析可知：F N cos 60°＝mg①F N sin 60°＝mR′ω20②R′＝R sin 60°③联立①②③解得：ω0＝2g R(2)由于0＜k≪1，当ω＝(1＋k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下．由受力分析可知：F N′cos 60°＝mg＋F f cos 30°④F N′sin 60°＋F f sin 30°＝mR′ω2⑤联立③④⑤解得：F f＝3k(2＋k)2mg当ω＝(1－k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上．由受力分析和几何关系知：F N″cos 60°＋F f′sin 60°＝mg⑥F N″sin 60°－F f′cos 60°＝mR′ω2⑦联立③⑥⑦解得F f′＝3k(2－k)2mg.题组3 竖直平面内圆周运动的临界问题7．如图7所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )图7A.3mgB.433mg C ．3mg D ．23mg答案 A解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r ，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r ＝L cos θ＝32L .根据题述小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg ＝m v 2r ；小球在最高点速率为2v 时，设每根绳的拉力大小为F ，则有2F cos θ＋mg ＝m (2v )2r ，联立解得F ＝3mg ，选项A 正确．8.(多选)如图8所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r ＝0.4 m ，最低点处有一小球(半径比r 小很多)，现给小球一水平向右的初速度v 0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 0应当满足(取g ＝10 m/s 2)( )图8A ．v 0≥0B ．v 0≥4 m/sC ．v 0≥2 5 m/sD ．v 0≤2 2 m/s答案 CD解析 当v 0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg ≤m v 2r ，又根据机械能守恒定律有12m v 2＋2mgr ＝12m v 20，得v 0≥2 5 m/s ，C 正确．当v 0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr ＝12m v 20，得v 0＝2 2 m/s ，D 正确．9．如图9所示，两个四分之三竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R 相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A 和B 由静止释放，小球距离地面的高度分别为h A 、h B ，下列说法正确的是( )。
峙对市爱惜阳光实验学校第4章曲线运动万有引力与物理方法|类平抛运动的求解技巧1．类平抛运动的特点(1)受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．(2)运动特点在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝F合m.2．类平抛运动的求解技巧(1)常规分解法将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此，互不影响，且与合运动具有时性．(2)特殊分解法对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x、a y，初速度v0分解为v x、v y，然后分别在x、y方向列方程求解．在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图41所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：图41(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；(2)质点经过P点时的速度大小．【标准解答】(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．由牛顿第二律得：a＝F－mgm＝15－101m/s2＝5 m/s2.设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(x P，y P)，那么x P＝v0t，y P＝12at2又tan α＝y Px P联立解得：t＝3 s，x P＝30 m，y P＝22.5 m.(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度v y ＝at ＝15 m/s故过P 点时的速度大小v P ＝v 20＋v 2y ＝513 m/s.【答案】 (1)3 s x P ＝30 m ，y P ＝22.5 m (2)513 m/s [突破训练]1．如图42所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计阻力，那么以下说法正确的选项是( )【导学号：96622074】 图42A ．A 、B 的运动时间相同B ．A 、B 沿x 轴方向的位移相同C ．A 、B 运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 落地时速度大小相同D 设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg，t 2＝2hg sin 2θ，故t 1<t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2可知，x 1<x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋gt 12＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋a 2t 22＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确．物理模型|宇宙多星模型 1．宇宙双星模型(1)两颗双星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相．(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相的．(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r 1和r 2与两行星间距L 的大小关系：r 1＋r 2＝L .2．宇宙模型(1)如图43所示，三颗质量相的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡．运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm 2r 2＋Gm 22r2＝ma 向图43两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相．(2)如图44所示，三颗质量相的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．图44Gm 2L 2×2×cos 30°＝ma 向 其中L ＝2r cos 30°.三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相．(2021·高考)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图45所示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．假设A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：图45(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ； (4)体做圆周运动的周期T .【标准解答】 (1)由万有引力律可知，A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如下图，那么合力大小为F A ＝23G m 2a2.(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为F AB ＝G m A m Br 2＝G 2m2a 2，F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a2，方向如下图．由F Bx ＝F AB cos 60 °＋F CB ＝2G m 2a 2，F By ＝F AB sin 60°＝3G m 2a2，可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2.(3)通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，那么R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2，可得R C ＝74a .或⎝⎛由对称性可知OB ＝OC ＝R C ，cos ∠OBD ＝F Bx F B ＝DB OB ＝12a R C，得R C ＝⎭⎪⎪⎫74a (4)体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C ，可得T ＝πa 3Gm.【答案】 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)74a(4)πa 3Gm[突破训练]2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．假设某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，那么此时圆周运动的周期为( ) 【导学号：96622075】A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT B 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2·r对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T2·L即T 2＝4π2L 3G M ＋m那么当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确． 高考热点1|平抛运动的临界问题解决平抛运动的临界问题要注意以下三点： (1)明确平抛运动的根本性质、公式； (2)确临界状态；(3)确临界轨迹，在轨迹示意图上寻找出几何关系．(2021·高考)如图46所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s沿直线，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m ．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L 时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v ＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s ＝90 m 后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g ＝取10 m/s 2)图46(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；(2)当L ＝410 m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；(3)假设靶上只有一个弹孔，求L 的范围． 【思路导引】【标准解答】 (1)装甲车匀减速运动的加速度大小a ＝v 202s ＝209m/s 2.(2)第一发子弹飞行时间t 1＝Lv ＋v 0＝0.5 s弹孔离地高度h 1＝h －12gt 21＝0.55 m第二发子弹的弹孔离地的高度h 2＝h －12g ⎝⎛⎭⎪⎫L －s v 2＝1.0 m 两弹孔之间的距离Δh ＝h 2－h 1＝0.45 m.(3)第一发子弹打到靶的下沿时(第二发打到靶上)，装甲车离靶的距离为L 1L 1＝(v 0＋v )2hg＝492 m第二发子弹打到靶的下沿时(第一发打到地上)，装甲车离靶的距离为L 2L 2＝v2hg＋s ＝570 m故L 的范围为492 m<L ≤570 m.【答案】 (1)209 m/s 2(2)0.55 m 0.45 m(3)492 m<L ≤570 m [突破训练]3．(2021·卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图47所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .假设乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择适宜的方向，就能使乒乓球落到球右侧台面上，那么v 的最大取值范围是( )图47 A.L 12g6h <v <L 1g6hB.L 14g h <v <4L 21＋L 22g6hC.L 12g 6h <v <124L 21＋L 22g6hD.L 14g h <v <124L 21＋L 22g6hD 设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好擦球上边缘落到球间． 那么竖直方向上有3h －h ＝12gt 21①水平方向上有L 12＝v 1t 1②由①②两式可得v 1＝L 14g h设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22③在水平方向有⎝ ⎛⎭⎪⎫L 222＋L 21＝v 2t 2④由③④两式可得v 2＝124L 21＋L 22g6h那么v 的最大取值范围为v 1＜v ＜v 2.应选项D 正确． 高考热点2|万有引力律的用(多项选择)宇宙飞船以周期T 绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食〞过程，如图48所示．地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球自转周期为T 0，太阳光可看做平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，那么( )图48A ．飞船绕地球运动的线速度为2πRT sinα2B ．一天内飞船经历“日全食〞的次数为TT 0C ．飞船每次“日全食〞过程的时间为α2πT 0D ．飞船周期为T ＝2πR sinα2R GM sinα2【标准解答】 飞船绕地球运动的线速度为v ＝2πr T ，由几何关系知sinα2＝R r，所以v ＝2πRT sinα2，A 正确；又GMm r2 ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，由此得T ＝2πR sinα2R GM sinα2，D 正确；飞船每次经历“日全食〞过程的时间为飞船转过α角所需的时间，即α2πT ，C 错误；一天内飞船经历“日全食〞的次数为T 0T，B 错误．【答案】 AD[突破训练]4．一卫星绕火星外表附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T .假设宇航员在火星外表以初速度v 水平抛出一小球，经过时间t 恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图49所示．引力常量为G ，那么火星的质量为( )【导学号：96622076】 图49A.3v 3T 416Gt 3π4 B.33v 3T 416Gt 3π4 C.3v 2T 416Gt 3π4 D.33v 2T 416Gt 3π4 B 以M 表示火星的质量，r 0表示火星的半径，g ′表示火星外表附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有G Mm r 20＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 0，在火星外表有G Mm ′r 20＝m ′g ′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝g ′tv，联立以上各式解得M ＝33v 3T 416Gt 3π4，B 正确．。
[考试标准]考点一曲线运动的条件及轨迹1.曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.2.合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.3.速率变化情况判断(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.[思维深化]判断下列说法是否正确.(1)变速运动一定是曲线运动.(×)(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化.(×)(3)做曲线运动的物体加速度可以为零.(×)(4)做曲线运动的物体加速度可以不变.(√)(5)曲线运动可能是匀变速运动.(√)1.[曲线运动的条件]关于物体做曲线运动的条件，以下说法正确的是()A.物体受到的合外力不为零，物体一定做曲线运动B.物体受到的力不为恒力，物体一定做曲线运动C.初速度不为零，加速度也不为零，物体一定做曲线运动D.初速度不为零，且受到与初速度方向不在同一条直线上的外力作用，物体一定做曲线运动答案 D解析物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，物体在恒力作用下，可以做匀变速直线运动，不一定做曲线运动，而在变力作用下，可以做变加速直线运动，不一定做曲线运动，选项A、B错误；竖直上抛运动的初速度不为0，加速度也不为0，是直线运动，选项C错误；只有速度方向与合外力的方向不在一条直线上时，物体才做曲线运动，选项D正确.2.[曲线运动的性质](多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下处于平衡状态，若突然撤去F1，则质点()A.一定做匀变速运动B.可能做直线运动C.一定做非匀变速运动D.一定做曲线运动答案AB解析由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动，故A正确，C错误.在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B正确，D错误.3.[曲线运动的判断](多选)在地面上观察下列物体的运动，其中物体做曲线运动的是()A.正在竖直下落的雨滴突然遭遇一阵北风B.向东运动的质点受到一个向西的力的作用C.河水匀速流动，正在河里匀加速驶向对岸的汽艇D.在以速度v前进的列车尾部，以相对列车的速度v水平向后抛出的小球答案AC4.[曲线运动的轨迹]“神舟十号”飞船于2013年6月11日发射升空，在靠近轨道沿曲线从M 点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，在此过程中“神舟十号”所受合力的方向，可能是()答案 C解析考虑到合外力方向指向轨迹凹侧，且由M到N速度减小可知，C选项正确.5.[运动轨迹的分析]小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹.图1中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号).实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动.图1答案b c不在解析因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.合力、速度、轨迹之间的关系做曲线运动的物体，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态：1.如图2所示，已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，在电场中，经常根据这一规律确定带电粒子所受的电场力方向，进而分析粒子的电性或场强方向.图22.运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间内，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向.3.根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件.考点二 运动的合成与分解1.遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.2.合运动与分运动的关系(1)等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.(2)独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.(3)等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.3.合运动的性质判断⎩⎨⎧ 加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧ 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧ 共线：直线运动不共线：曲线运动[思维深化]判断下列说法是否正确.(1)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等.( √ )(2)合运动的速度一定比分运动的速度大.( × )(3)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动.( × )(4)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则.(√ )(5)合运动不一定是物体的实际运动.( × )6.[运动的合成]跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力有关D.运动员着地速度与风力无关答案 B解析根据运动的独立性原理，水平方向吹来的风不会影响竖直方向的运动，A、C错误；根据速度的合成，落地时速度v＝v2x＋v2y，风力越大，v x越大，则运动员落地时速度越大，B正确，D错误.7.[运动的合成]如图3所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()图3A.帆船朝正东方向航行，速度大小为vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v答案 D解析以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对帆板的速度v相对＝2v，方向为北偏东45°，D正确.8.[合运动的轨迹判断]如图4所示，起重机将货物沿竖直方向匀速吊起，同时又沿横梁水平向右匀加速运动.此时，站在地面上观察，货物运动的轨迹可能是选项图中的()图4答案 D解析 货物同时参与两个方向的运动，一是竖直向上的匀速运动，二是水平向右的匀加速运动，其合运动是曲线运动，运动的加速度水平向右，合外力的方向水平向右，运动轨迹应向合外力方向弯曲，所以站在地面上的人观察到货物的运动轨迹应如D 项所示.9.[运动的合成和合运动]某研究性学习小组进行了实验：如图5所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R ，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y 轴重合，在R 从坐标原点以速度v 0＝3 cm /s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动.同学们测出某时刻R 的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________ cm/s ，R 在上升过程中运动轨迹的示意图是________.(R 视为质点)图5答案 5 D解析 R 在竖直方向做匀速直线运动，故运动时间t ＝y v 0＝6 cm 3 cm/s＝2 s ；R 在水平方向做匀加速直线运动，由平均速度公式可得x ＝v x 2t ，解得v x ＝2x t ＝4 cm/s ，故此时R 的速度v ＝v 20＋v 2x ＝5 cm/s.轨迹曲线应弯向加速度的方向，又因R 的加速度方向沿x 轴正方向，故选项D 正确.10.[合速度的计算]2014年4月26日至29日，全国山地自行车冠军赛第二站在山东胶州举行.如图6所示，若在某一路段车手骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速也是4 m/s，则车手感觉的风速为________ m/s，方向是________.图6答案42西南解析以人为参考系，气流在水平方向上向西有4 m/s的速度，向南有4 m/s的速度，所以合速度为4 2 m/s，方向为西南方向，如图所示.处理运动的合成与分解问题的技巧1.两个分方向上的运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点.2.判断两个直线运动的合运动轨迹的依据：合初速度方向与合加速度方向是否共线.考点三实例分析1.首先根据运动的实际效果确定两个分运动，而实际运动为合运动.注意只有实际运动才是合运动(平行四边形的对角线).2.两分运动具有等效性、等时性和独立性.11.[运动合成分解实例分析]篮球是深受广大人民群众喜爱的体育运动，某电视台为宣传全民健身运动，举办了一期趣味投篮比赛，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球.如果运动员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)()答案 C解析当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐，故C 正确，A、B、D错误.12.[运动分解的实例分析]小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A.水速小时，位移小，时间也小B.水速大时，位移大，时间也大C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关答案 C解析小船渡河时参与了顺水飘流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间取决于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向对岸划去”，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.13.[最短时间问题]在漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息.假设江岸是平直的，江水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，原来地点A离岸边最近处O点的距离为d.若探险者想在最短时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为()A.d v2v22－v21B.0C.d v1v2 D.d v2v1答案 C解析根据运动的独立性与等时性可知，当摩托艇船头垂直江岸航行，即摩托艇在静水中的航速v2全部用来靠岸时，用时最短，最短时间t＝dv2，在此条件下摩托艇登陆的地点离O点的距离为x ＝v 1t ＝d v 1v 2. 14.[小船渡河的轨迹分析](多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图7所示，则( )图7A.越接近河岸水流速度越小B.越接近河岸水流速度越大C.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响答案 AC解析 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A 正确，B 错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C 正确，D 错误.小船渡河问题分析1.船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.2.三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度).3.最短时间问题：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1(d 为河宽). 4.过河路径最短(1)v 2<v 1时：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d .船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v 2v 1. (2)v 2>v 1时：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图8所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d cos α＝v 2v 1d .图8练出高分基础巩固题组1.做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是()A.速度大小一定改变B.加速度大小一定改变C.速度方向一定改变D.加速度方向一定改变答案 C2.下列说法正确的是()A.做匀速圆周运动的物体处于平衡状态B.物体所受的合外力不为零时，一定做曲线运动C.物体做曲线运动时所受的合外力一定是变力D.物体在变力作用下，可以做曲线运动答案 D3.如图所示的质点运动轨迹中，可能的是()答案 D解析当力的方向与速度方向在同一条直线上时，物体做直线运动，不在同一条直线上时，做曲线运动，A、B错；物体做曲线运动时，力要指向曲线凹侧，C错，D对.4.一名92岁的南非妇女从距地面大约2 700米的飞机上，与跳伞教练绑在一起跳下，成为南非已知的年龄最大的高空跳伞者.假设没有风的时候，他们落到地面所用的时间为t，而实际上在下落过程中受到了水平方向的风的影响，则实际下落所用时间()A.仍为tB.大于tC.小于tD.无法确定答案 A解析水平风力并不影响跳伞者在竖直方向的运动规律，有风与无风的情况下，下落时间均为t，故A正确.5.某小船在静水中的速度大小保持不变，该小船要渡过一条河，渡河时小船船头垂直指向河岸.若船行至河中间时，水流速度突然增大，则()A.小船渡河时间不变B.小船航行方向不变C.小船航行速度不变D.小船到达对岸地点不变答案 A解析因为分运动具有等时性，所以分析过河时间时，只分析垂直河岸方向的速度即可，渡河时小船船头垂直指向河岸，即船在静水中的速度方向指向河岸，而其大小不变，因此，小船渡河时间不变，故A正确；当水流速度突然增大时，由矢量合成的平行四边形定则知船的合速度变化，航行方向变化，因而小船到达对岸的地点变化，故B、C、D错误.6.如图1所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动.若在小铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小铁球运动的说法正确的是()图1A.磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动B.磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动C.磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动D.磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动答案 D解析磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，选项D正确.7.(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是()答案AB解析船头垂直于河岸，根据平行四边形定则知，合速度的方向偏向下游，故A正确；当船头偏向上游时，若船静水中速度与水流速度的合速度垂直河岸，会出现这种轨迹，故B正确；因船头垂直河岸，又存在水流速度，合速度不可能垂直河岸，因此不可能出现这种运动轨迹，故C错误；船头的指向为船静水速度的方向，船在静水中的速度与水流速度的合速度的方向应偏向下游，故D错误.8.(多选)电动自行车绕图2所示的400米标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36 km/h 处不动.则下列说法中正确的是()图2A.电动车的速度一直保持不变B.电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度C.电动车绕跑道一周需40秒钟，此40秒内的平均速度等于零D.电动车在弯道上运动时合外力不可能为0答案BCD解析速度是矢量，不仅有大小，还有方向.电动车运动过程中车速表指针一直指在36 km/h 处不动，只能说明其速度大小保持不变，而运动过程中速度的方向在发生变化，故选项A错；而经过弯道时，速度方向始终沿弯道的切线方向在不断发生变化，也就具有加速度，方向指向弯道的内侧，故选项B正确；此加速度由电动车所受合外力提供，由牛顿第二定律可以推断，此合外力不可能为0，所以选项D正确；电动车绕跑道一周过程中位移为零，由平均速度概念可知，此过程中平均速度为零，所以选项C也正确.9.(多选)如图3所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB 运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭.假设运动员骑马奔驰的速度为v 1，运动员静止时射出的箭的速度为v 2，跑道离固定目标的最近距离OC ＝d .若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )图3A.运动员放箭处离目标的距离为v 1v 2d B.运动员放箭处离目标的距离为v 21＋v 22v 2d C.箭射到固定目标的最短时间为d v 2D.箭射到固定目标的最短时间为d v 22－v 21 答案 BC解析 联系“小船渡河模型”可知，射出的箭同时参与了v 1、v 2两个运动，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，箭射出的方向应与马运动的方向垂直，故箭射到固定目标的最短时间为t ＝d v 2，箭的速度v ＝v 21＋v 22，所以运动员放箭处离固定目标的距离为x ＝v t ＝v 21＋v 22v 2d ，B 、C 正确. 能力提升题组10.如图4所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )图4A.大小和方向均不变B.大小不变，方向改变C.大小改变，方向不变D.大小和方向均改变答案 A解析 橡皮在水平方向匀速运动，由于橡皮向右运动的位移一定等于橡皮向上的位移，故在竖直方向以相等的速度匀速运动，根据平行四边形定则，可知合速度也是一定的，故合运动是匀速运动.11.如图5所示，某登陆舰船头垂直海岸从A 点出发，分别沿路径AB 、AC 在演练岛屿的BC 两点登陆.已知登陆舰在静水中速度恒定且大于水速，则下列说法正确的是( )图5A.沿AC 航行所用时间较长B.沿AC 航行时水速较大C.实际航速两次大小相等D.无论船头方向如何，登陆舰都无法在A 点正对岸登陆答案 A解析 根据沿着水流方向的位移，因沿路径AC 航行的方向位移长，则所用时间较长，故A 正确；不论沿哪种路程航行，水速不变，故B 错误；根据速度的合成可知，实际航速两次大小不相等，故C 错误；当船头偏向上游时，可以在A 点正对岸登陆，故D 错误.12.某直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m /s.若飞机停留在离地面100 m 高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1 m/s 的速度匀速水平向北运动，求：(1)物资在空中运动的时间；(2)物资落地时速度的大小；(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离.答案 (1)20 s (2)26 m/s (3)20 m解析 如图所示，物资的实际运动可以看做是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动.(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等.所以t ＝h v y ＝1005s ＝20 s(2)物资落地时v y＝5 m/s，v x＝1 m/s，由平行四边形定则得v＝v2x＋v2y＝12＋52m/s＝26 m/s(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离为：x＝v x t＝1×20 m＝20 m.13.如图6甲所示，质量m＝2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体沿x 方向和y方向的x－t图象和v y－t图象如图乙、丙所示，t＝0时刻，物体位于原点O.g取10 m/s2.根据以上条件，求：图6(1)t＝10 s时刻物体的位置坐标；(2)t＝10 s时刻物体的速度大小.答案(1)(30 m,20 m)(2)5.0 m/s解析(1)由图可知坐标与时间的关系为：在x轴方向上：x＝3.0t m，在y轴方向上：y＝0.2t2 m代入时间t＝10 s，可得：x＝3.0×10 m＝30 m，y＝0.2×102 m＝20 m即t＝10 s时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m).(2)在x轴方向上：v0＝3.0 m/s当t＝10 s时，v y＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/sv＝v20＋v2y＝ 3.02＋4.02m/s＝5.0 m/s。
