立体几何中档题练习

中档题目强化练——立体几何A组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是() A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 A解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．2．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β答案 D解析 对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；易知D正确．3．设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α答案 B解析 如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故B正确．4． 如图，在正四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是 ( )A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 答案 D解析 连接B1C ，AC ，则B 1C 交BC 1于F ，且F 为B 1C 的中点，又E 为AB 1的中点，所以EF 綊12AC ， 而B 1B ⊥平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，所以B 1B ⊥EF ，A 正确；又AC ⊥BD ，所以EF ⊥BD ，B 正确；显然EF 与CD 异面，C 正确；由EF 綊12，AC ∥A 1C 1， 得EF ∥A 1C 1.故不成立的选项为D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·福建)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________． 答案3解析 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A 为三棱锥P －ABC 的高，且P A ＝3.∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.6． 已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) 答案 ①③解析 由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ，这是不可能的，故②错； S △PCD ＝12CD ·PD ，S △P AB ＝12AB ·P A ， 由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．7． 三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12. 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③④解析 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，(如图)可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确．三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点．求证： (1)BC ∥平面MNB 1； (2)平面A 1CB ⊥平面ACC 1A . 证明 (1)因为BC ∥B 1C 1，且B 1C 1⊂平面MNB 1，BC ⊄平面MNB 1，故BC ∥平面MNB 1.(2)因为BC ⊥AC ，且ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 故BC ⊥平面ACC 1A 1. 因为BC ⊂平面A 1CB ，故平面A1CB⊥平面ACC1A1.9． (12分)如图，四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明 因为P A⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以P A⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又P A∩AD＝A，所以CE⊥平面P AD.(2)解 由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1.所以AE＝AD－ED＝2.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋12CE·DE＝1×2＋12×1×1＝5 2.又P A⊥平面ABCD，P A＝1，所以V四棱锥P—ABCD＝13S四边形ABCD·P A＝13×52×1＝56.B组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知直线l1，l2与平面α，则下列结论中正确的是() A．若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1，l2为异面直线B．若l1∥l2，l1∥α，则l2∥αC．若l1⊥l2，l1⊥α，则l2∥αD．若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2答案 D解析 对于选项A，当A∈l1时，结论不成立；对于选项B、C，当l2⊂α时，结论不成立．2．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题有()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④答案 B解析 ①中， ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βl ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，故①正确； ②中，l 与m 相交、平行、异面均有可能，故②错； ③中， ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β，故③正确； ④中，α与β也有可能相交，故④错误．3． 如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为P A 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有( ) A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④答案 B解析 对于①，因为E 、F 分别是P A 、PD 的中点， 所以EF ∥AD .又因为AD ∥BC ，所以EF ∥BC .所以BE 与CF 共面．故①不正确．对于②，因为BE 是平面APD 的斜线，AF 是平面APD 内与BE 不相交的直线，所以BE 与AF 不共面．故②正确．对于③，由①，知EF ∥BC ，所以EF ∥平面PBC .故③正确． 对于④，条件不足，无法判断两平面垂直． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 有一个内接于球的四棱锥P －ABCD ，若P A ⊥底面ABCD ，∠BCD ＝π2，∠ABC ≠π2，BC＝3，CD ＝4，P A ＝5，则该球的表面积为________． 答案 50π解析 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5. 又∠DAB ＝90°⇒P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把P A ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52，∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.5. 矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞) 解析 如图，连接AQ ， ∵P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ， ∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ， 等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点， ∴a2≥1，a ≥2.6. 如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该 几何体的侧视图的面积为2.若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点， 则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________． 答案 3解析 依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎠⎞222＝2，因为该几何体的侧视图的面积为12·BC ×2＝2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2，△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE 、△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE ·cos 120°＝9，AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 三、解答题7． (13分)(2012·浙江改编)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AA 1＝2，E 是DD 1的 中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点． 证明：(1)EF ∥A 1D 1； (2)BA 1⊥平面B 1C 1EF .证明 (1)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面A 1D 1DA ， 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ，所以C 1B 1∥EF ，所以EF ∥A 1D 1.(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1. 又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2 2，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F. 所以BA1⊥平面B1C1EF.。

中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积．(1)证明由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)解由(2)知，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，又AB＝20，BC＝4，△PMB为正三角形，M，D分别为AB，PB的中点，经计算可得MD＝53，DC＝5，S△BCD＝12×BC×BD×sin∠CBD＝12×5×4×215＝221.所以V D－BCM＝V M－DBC＝13×S△BCD×MD＝13×221×53＝107. 2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1.当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC .∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由题意知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。

中档大题分类练(四) 立体几何(建议用时：60分钟) (对应学生用书第139页)1．(2018·沈阳质检三)如图48，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，△ABC 和△ABB 1都是边长为2的正三角形．图48(1)过B 1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB ，并证明； (2)求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．[解] (1)设AB 中点为O ，连接OC ，OB 1，B 1C ，则截面OB 1C 为所求， OC ，OB 1分别为△ABC ，△ABB 1的中线，所以AB ⊥OC ，AB ⊥OB 1，又OC ，OB 1为平面OB 1C 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面OB 1C ， (2)以O 为原点，OB 方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得B (1,0,0)，A (－1,0,0)，C (0，3，0)，B 1(0,0，3)，C 1(－1，3，3)，CB →＝(1，－3，0)，B 1B →＝(1,0，－3)，AC 1→＝(0，3，3)，设平面BCC 1B 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥CB →n ⊥B 1B →⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝0，x －3z ＝0，解得平面BCC 1B 1的一个法向量为n ＝(3，1,1)，又|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝3＋36·5＝105，所以AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为105. 【教师备选】如图，在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，∠CBD ＝60°，BD ＝2BC ＝4，点E 在CD 上，DE ＝2EC .(1)求证：AC ⊥BE ；(2)若二面角E -BA -D 的余弦值为155，求三棱锥A -BCD 的体积．[解] (1)证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，EO . 因为AB ＝AD ，BO ＝OD ， 所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又BE ⊂平面BCD ，所以AO ⊥BE . 在△BCD 中，BD ＝2BC ，DE ＝2EC ， 所以BD BC ＝DEEC ＝2，由角平分线定理，得∠CBE ＝∠DBE .又BC ＝BO ＝2，所以BE ⊥CO ，又因为AO ∩CO ＝O ，AO ⊂平面ACO ，CO ⊂平面ACO ， 所以BE ⊥平面ACO ，又AC ⊂平面ACO ，所以AC ⊥BE .(2)在△BCD 中，BD ＝2BC ＝4，∠CBD ＝60°， 由余弦定理，得CD ＝23，所以BC 2＋CD 2＝BD 2， 即∠BCD ＝90°，所以∠EBD ＝∠EDB ＝30°，BE ＝DE ，所以EO ⊥BD ，结合(1)知，OE ，OD ，OA 两两垂直，以O 为原点，分别以OE ，OD ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz (如图)，设AO ＝t (t >0)，则A (0,0，t )，B (0，－2,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，0， 所以BA ＝(0,2，t )，BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2，0， 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA ＝0，n ·BE ＝0，即⎩⎨⎧2y ＋tz ＝0，233x ＋2y ＝0，整理，得⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－2t y ，令y ＝－1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－1，2t .因为OE ⊥平面ABD ，所以m ＝(1,0,0)是平面ABD 的一个法向量． 又因为二面角E -BA -D 的余弦值为155， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝33＋1＋4t 2＝155， 解得t ＝2或t ＝－2(舍去)．又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A -BCD 的高， 故V A -BCD ＝13·AO ·S △BCD ＝13×2×12×2×23＝433.2.在如图49所示的六面体中，平面ABCD 是边长为2的正方形，平面ABEF 是直角梯形，∠F AB ＝90°，AF ∥BE ，BE ＝2AF ＝4.图49(1)求证：AC ∥平面DEF ；(2)若二面角E -AB -D 为60°，求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值． [解] (1)证明：连接BD 交AC 于点O ，取DE 的中点为G ，连接FG ，OG . ∵平面ABCD 是正方形，∴O 是BD 的中点，∴OG ∥BE ，OG ＝12BE ，又∵AF ∥BE ，AF ＝12BE ，∴OG ∥AF 且OG ＝AF ， ∴四边形AOGF 是平行四边形， ∴AC ∥FG .又∵FG ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， ∴AC ∥平面DEF .(2)∵四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是直角梯形，∠F AB ＝90°， ∴DA ⊥AB ，F A ⊥AB .∵AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面AFD ， 同理可得AB ⊥平面EBC .又∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面AFD ⊥平面ABCD ， 又∵二面角E -AB -D 为60°，∴∠F AD ＝∠EBC ＝60°，BE ＝2AF ＝4，BC ＝2， 由余弦定理得EC ＝23，∴EC ⊥BC . 又∵AB ⊥平面EBC ，∴EC ⊥AB ， ∵AB ∩BC ＝B ，∴EC ⊥平面ABCD .以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CE 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．则C (0,0,0)，D (0,2,0)，E (0,0,23)， F (1,2，3)，∴CE→＝(0,0,23)，DF →＝(1,0，3)，EF →＝(1,2，－3)， 设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·DF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，x ＋2y －3z ＝0. 令z ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3.∴n ＝(－3,3，3)．设直线CE 和平面DEF 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈CE→，n 〉|＝623×21＝77.3．(2018·安庆市高三二模)如图50，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．图50(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)当ABAD ＝2时，求二面角D -AC -B 的余弦值．[解] (1)设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .(2)以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设|AD |＝a ，则|AB |＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a,0,0)．由(1)知AD ⊥BD ，又ABAD ＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，那么|AE |＝|AD |cos ∠DAB ＝12a ，|BE |＝|AB |－|AE |＝32a ， |DE |＝|AD |sin ∠DAB ＝32a ， 所以D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ，AC →＝(－a,2a,0)．设平面ACD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AD →＝0，m ·AC →＝0，即⎩⎨⎧12ay ＋32az ＝0，－ax ＋2ay ＝0.取y ＝1，则x ＝2，z ＝－33，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝－3312＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＝－14.故所求二面角D -AC -B 的余弦值为14. 【教师备选】(2018·东莞市二调)如图，平面CDEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，四边形CDEF 为直角梯形，∠ADC ＝120°，CF ⊥CD ，且CF ∥DE ，AD ＝2DC ＝DE ＝2CF .(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)设P 点是线段DE 上一点，若平面BCD 与平面BFP 所成的锐二面角为30°，求点P 的位置．[解] (1)证明：取DE 的中点H ，连接AH ，HF .∵四边形CDEF 为直角梯形，DE ＝2CF ，H 是DE 的中点，∴HF ＝DC ，且HF ∥DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴AB ＝HF ，且AB ∥HF ，∴四边形ABFH 是平行四边形， ∴BF ∥AH .∵AH ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF ∥平面ADE . (2)∵在△BCD 中，BC ＝2DC ， ∴∠BDC ＝90°，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝2，则DC ＝1，CF ＝1，设DP ＝h ，则B (3，0,0)，C (0,1,0)，F (0,1,1)，P (0,0，h )，BP→＝(－3，0，h )，BF →＝(－3，1,1)， 设平面BFP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BP →，n ⊥BF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋hz ＝0，－3x ＋y ＋z ＝0，不妨令x ＝3，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3－3h ，3h ， 平面BCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， ∵平面BCD 与平面BFP 所成锐二面角为30°， ∴|n·m ||n ||m |＝3h(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝32，解得h ＝12，或h ＝1. ∴点P 在线段DE 的中点或线段DE 的靠近点D 的四等分点处．4.如图51，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝32，PB ⊥AC .图51(1)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱P A 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，若存在，求出AEAP 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝22，所以BC ＝AD ＝22， 又AB ＝AC ＝2，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ， 又PB ⊥AC ，且AB ∩PB ＝B ，所以AC ⊥平面P AB ， 因为AC ⊂平面P AC ，所以平面P AB ⊥平面P AC . (2)由(1)知AC ⊥AB ，AC ⊥平面P AB ，如图，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面P AB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，AC →＝(0,2,0)，BC →＝(－2,2,0)，由∠PBA ＝45°，PB ＝32，可得P (－1,0,3)，所以AP→＝(－1,0,3)，BP →＝(－3,0,3)， 假设棱P A 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33， 设AE AP ＝λ(0＜λ＜1)，则AE→＝λAP →＝(－λ，0,3λ)，11/11 CE →＝AE →－AC →＝(－λ，－2,3λ)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·BC →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－3x ＋3z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1， 所以平面PBC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CE→〉|＝|－λ－2＋3λ|3·(－λ)2＋(－2)2＋(3λ)2＝|2λ－2|3·10λ2＋4＝33，整理得3λ2＋4λ＝0，因为0＜λ＜1，所以3λ2＋4λ＞0，故3λ2＋4λ＝0无解，所以棱P A 上不存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33.。

中专立体几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列几何体中，属于旋转体的是（）。

A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 棱锥答案：B2. 正方体的六个面都是（）。

A. 矩形B. 正方形C. 梯形D. 圆形答案：B3. 球体的表面积公式是（）。

A. 4πr²B. 2πr²C. πr²D. 3πr²答案：A4. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，其体积是（）。

A. 24cm³B. 12cm³C. 6cm³D. 8cm³答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆柱的底面半径为3cm，高为5cm，其体积是________cm³。

答案：90π2. 一个圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，其体积是________cm³。

答案：80π3. 一个球体的直径为8cm，其体积是________cm³。

答案：256π/34. 一个正方体的棱长为5cm，其表面积是________cm²。

答案：150三、计算题（每题10分，共40分）1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm，求其体积。

答案：24cm³2. 已知一个圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，求其体积。

答案：785.4cm³3. 已知一个圆锥的底面半径为6cm，高为9cm，求其体积。

答案：339.12cm³4. 已知一个球体的直径为12cm，求其体积。

答案：1130.4cm³。

中档大题分类练(四)　立体几何（建议用时：60分钟）1．如图57，已知多面体PE ­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED ∥PA ，且PA ＝2ED ＝2.图57(1)证明：平面PAC ⊥平面PCE ；(2)若∠ABC ＝60°，求点P 到平面ACE 的距离．[解]　(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF .因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF ∥PA ，且OF ＝PA ，12因为DE ∥PA ，且DE ＝PA ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE .12所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD ∥EF ，即BD ∥EF . 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC.因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC, 因为BD ∥EF ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE .(2)因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC ＝2.又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，∴S △PAC ＝×PA ×AC ＝2，12因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E ­PAC 的高，EF ＝DO ＝BO ＝，3∴V P ­ACE ＝V E ­PAC ＝S △PAC ×EF ＝×2×＝，13133233∵DE ∥PA ，PA ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，DE ⊥CD ，∵DE ＝1，∴AE ＝CE ＝，∴S △ACE ＝2×2×＝2，512所以点P 到平面ACE 的距离h ＝＝＝.VP ­ACE13S△ACE 2332332．如图58，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，△PAD ≌△BAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝4，PA ＝PD ，M 在棱PD 上运动．图58(1)当M 在何处时，PB ∥平面MAC ；(2)已知O 为AD 的中点，AC 与OB 交于点E ，当PB ∥平面MAC 时，求三棱锥E ­BCM 的体积．[解]　(1)如图，设AC 与BD 相交于点N，当M 为PD 的中点时，PB ∥平面MAC ，证明：∵四边形ABCD 是菱形，可得：DN ＝NB ，又∵M 为PD 的中点，可得：DM ＝MP ，∴NM 为△BDP 的中位线，可得NM ∥PB ，又∵NM ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，∴PB ∥平面MAC .(2)∵O 为AD 的中点，PA ＝PD ，则OP ⊥AD ，又△PAD ≌△BAD ，∴OB ⊥AD ，且OB ＝2，又∵△AEO ∽△CEB ，∴＝＝.3OE BE OA BC 12∴BE ＝OB ＝.∴S △EBC ＝×4×＝.2343312433833又∵OP ＝4×＝2，点M 为PD 的中点，323∴M 到平面EBC 的距离为.3∴V E ­BCM ＝V M ­EBC ＝××＝.138333833．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝AB .14图59(1)求证：EF ∥平面BDC 1；(2)求三棱锥D ­BEC 1的体积．[解]　(1)取AB 的中点O ，连接A 1O ，∵AF ＝AB ，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ，14∵A 1D ＝A 1B 1，BO ＝AB ，AB 綊A 1B 1，1212∴A 1D 綊BO ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形，∴A 1O ∥BD ，∴EF ∥BD ，又EF ⊄平面BDC 1，BD ⊂平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1.(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥C 1D ，∵A 1C 1＝B 1C 1＝A 1B 1＝2，D 为A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1，C 1D ＝，3又AA 1⊂平面AA 1B 1B ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，AA 1∩A 1B 1＝A 1，∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，∵AB ＝AA 1＝2，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，∴S △BDE ＝22－×1×2－×1×2－×1×1＝.12121232∴VD ­BEC 1＝VC 1­BDE ＝S △BDE ·C 1D ＝××＝.1313323324．如图60所示，在四棱锥P ­ABCD 中，△BCD ，△PAD 都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD ＝2AB ＝4，CD ＝2.3图60(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，求三棱锥C ­PDE 的体积．[解]　(1)因为AD ＝4，AB ＝2，BD ＝2，3所以AD 2＝AB 2＋BD 2，所以AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°，又因为△BCD 是等边三角形，所以∠ADC ＝90°，所以DC ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .(2)过点B 作BG ∥CD 交AD 于G ，过点G 作EG ∥PD 交于AP 于点E ，因为BG ∥CD ，BG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BG ∥平面PCD ，同理可得EG ∥平面PCD ，所以平面BEG ∥平面PCD ，因为BE ⊂平面BEG ，所以BE ∥平面PCD .因为EG ∥PD ，所以＝，在直角三角形BGD 中，BD ＝2，∠BDG ＝30°，PE PA DGDA 3所以DG ＝2cos 30°＝3，所以＝＝，3PEPA DG DA 34在平面PAD 内过E 作EH ⊥PD 于H ，因为CD ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以CD ⊥EH ，因为PD ∩CD ＝D ，所以EH ⊥平面PCD ，所以EH 是点E 到平面PCD 的距离，过点A 作AM ⊥PD 于M ，则AM ＝×4＝2，323由AM ∥EH ，得＝＝，所以EH ＝.EH AM PE PA 34323因为S △PCD ＝×4×2＝4，所以V C ­PDE ＝×4×＝6.1233133323(教师备选)1．如图，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小；(2)求三棱锥C 1­BCA 1的体积．[解]　(1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，则D 是BC 边上的中点．因为点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ，所以BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O .因为AD ∩A 1O ＝O ，所以BC ⊥平面ADA 1.所以BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，所以BC ⊥CC 1，所以异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C .因为BC ＝CC 1＝2，所以异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为.π4(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，所以可求得AD ＝，AO ＝AD ＝ ，323233A 1O ＝＝.AA 21－AO 2263因为S △ABC ＝×2×＝，1233所以VABC ­A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝2，2VA 1­BCC 1B 1＝VABC ­A 1B 1C 1－VA 1­ABC ＝.423所以VC 1­BCA 1＝VA 1­BCC 1＝VA 1­BCC 1B 1＝.122232．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝AD ＝a ，E 12是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE.图① 图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为36，求a 的值．2[解]　(1)证明：在图题①中，连接EC (图略)，因为AB ＝BC ＝AD ＝a ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，12E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE ⊥AC ，即在图题②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC .又A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可知A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高，由图1知，A 1O ＝AB ＝a ，2222平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1­BCDE 的体积V ＝×S ×A 1O ＝×a 2×a ＝a 3，13132226由a 3＝36，解得a ＝6.262。

高考中档大题专项训练-立体几何与空间向量1．如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB＝5,AC＝6,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF ＝错误!,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′＝错误!.1证明：D′H⊥平面ABCD；2求二面角B－D′A－C的正弦值．1证明由已知得AC⊥BD,AD＝CD.又由AE＝CF得错误!＝错误!,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.由AB＝5,AC＝6得DO＝BO＝错误!＝4.由EF∥AC得错误!＝错误!＝错误!.所以OH＝1,D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2,故D′H⊥OH.又D′H⊥EF,而OH∩EF＝H,所以D′H⊥平面ABCD.2解如图,以H为坐标原点,错误!的方向为x轴正方向,错误!的方向为y轴正方向,错误!的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系,则H0,0,0,A－3,－1,0,B0,－5,0,C3,－1,0,D′0,0,3,错误!＝3,－4,0,错误!＝6,0,0,错误!＝3,1,3．设m＝x1,y1,z1是平面ABD′的法向量,则错误!即错误!所以可取m＝4,3,－5．设n＝x2,y2,z2是平面ACD′的法向量,则错误!即错误!所以可取n＝0,－3,1．于是cos〈m,n〉＝错误!＝错误!＝－错误!. sin〈m,n〉＝错误!.因此二面角B－D′A－C的正弦值是错误!.2．在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线．1已知G,H分别为EC,FB的中点,求证：GH∥平面ABC；2已知EF＝FB＝错误!AC＝2错误!,AB＝BC,求二面角F－BC－A的余弦值．1证明设FC中点为I,连接GI,HI.在△CEF中,因为点G,I分别是CE,CF的中点,所以GI∥EF.又EF∥OB,所以GI∥OB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI＝I,BC∩OB＝B,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH∥平面ABC.2解连接OO′,则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B0,2错误!,0,C－2错误!,0,0．过点F作FM⊥OB于点M,所以FM＝错误!＝3,可得F0,错误!,3．故错误!＝－2错误!,－2错误!,0,错误!＝0,－错误!,3．设m＝x,y,z是平面BCF的法向量．由错误!可得错误!可得平面BCF的一个法向量m＝错误!,因为平面ABC的一个法向量n＝0,0,1,所以cos〈m,n〉＝错误!＝错误!.所以二面角F－BC－A的余弦值为错误!.3．将边长为1的正方形AA1O1O 及其内部绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为错误!π,11A B 长为错误!,其中B1与C 在平面AA1O1O 的同侧．1求三棱锥C —O1A1B1的体积；2求异面直线B1C 与AA1所成的角的大小．解 1连接O 1B 1,则11A B ＝∠A 1O 1B 1＝错误!,∴△O 1A 1B 1为正三角形,∴111O A B S ＝错误!,∴111—C O A B V＝错误!OO 1·111O A B S ＝错误!.2设点B 1在下底面圆周的射影为B ,连接BB 1,则BB 1∥AA 1,∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角或补角,BB 1＝AA 1＝1.连接BC ,BO ,OC ,AB ＝11A B ＝错误!,AC ＝错误!,∴BC ＝错误!,∴∠BOC ＝错误!,∴△BOC 为正三角形,∴BC ＝BO ＝1,∴tan∠BB 1C ＝错误!＝1,∴∠BB 1C ＝45°,∴直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为45°.4．如图,在四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝错误!为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.1在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；2若二面角P－CD－A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．解1在梯形ABCD中,AB与CD不平行．延长AB,DC,相交于点MM∈平面PAB,点M即为所求的一个点．理由如下：由已知,BC∥ED,且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形．从而CM∥EB.又EB平面PBE,CM平面PBE.所以CM∥平面PBE.说明：延长AP至点N,使得AP＝PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点2方法一由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1,则在Rt△PAD中,PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A,于是CE⊥平面PAH.又CE平面PCE,所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中,∠AEH＝45°,AE＝1,所以AH＝错误!.在Rt△PAH中,PH＝错误!＝错误!.所以sin∠APH＝错误!＝错误!.方法二由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.由∠PAB＝90°,且PA与CD所成的角为90°,可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1,则在Rt△PAD中,PA＝AD＝2.作Ay⊥AD,以A为原点,以错误!,错误!的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,0,0,P0,0,2,C2,1,0,E1,0,0．所以错误!＝1,0,－2,错误!＝1,1,0,错误!＝0,0,2．设平面PCE的法向量为n＝x,y,z．由错误!得错误!设x＝2,解得n＝2,－2,1．设直线PA与平面PCE所成的角为α,则sin α＝错误!＝错误!＝错误!.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为错误!.5．如图,在四棱锥P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA＝PD,AB⊥AD,AB＝1,AD＝2,AC ＝CD＝错误!.1求证：PD⊥平面PAB；2求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；3在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD若存在,求错误!的值；若不存在,说明理由．1证明∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,又AB⊥AD,AB平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD,∴AB⊥PD,又PA⊥PD,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB.2解取AD中点O,连接CO,PO.∵PA＝PD,∴PO⊥AD.又∵PO平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD,∵CO平面ABCD,∴PO⊥CO,∵AC＝CD,∴CO⊥AD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系．易知P0,0,1,B1,1,0,D0,－1,0,C2,0,0．则错误!＝1,1,－1,错误!＝0,－1,－1,错误!＝2,0,－1．设n＝x0,y0,1为平面PDC的一个法向量．由错误!得错误!解得错误!即n＝错误!.设PB与平面PCD的夹角为θ.则sin θ＝|cos〈n,错误!〉|＝错误!＝错误!＝错误!.3解设在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,则存在λ∈0,1使得错误!＝λ错误!,因此点M0,1－λ,λ,错误!＝－1,－λ,λ．∵BM平面PCD,∴BM∥平面PCD,当且仅当错误!·n＝0,即－1,－λ,λ·错误!＝0,解得λ＝错误!,∴在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时错误!＝错误!.。

微专题七：立体几何选择填空多选题中档题一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且MP ∥截面1AB C ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）.A ．[2,6]B ．[6,22]C ．[6,23]D ．[6,3]【答案】B 【分析】取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,证明平面MNRH//平面1AB C ,MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,通过证明222MN NR MR =+,说明MRN ∠为直角,得线段MP 长度的取值范围为[],MR MN 即可得解. 【详解】取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,作图如下:由图可知,11//,MB NC MB NC =,所以四边形1MNCB 为平行四边形, 所以1//MN B C ,因为1111//,//MH A C A C AC ,所以//MH AC , 因为1,MNMH M ACB C C ==, 故平面MNRH//平面1AB C ,因为MP ∥截面1AB C ,所以MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,由2AB =知,22,2MN NR ==,在1Rt MC R ∆中,22211MR C R C M =+,即()222156MR =+=,所以6MR =，所以222MN NR MR =+,即MRN ∠为直角,故线段MP 长度的取值范围为[],MR MN ,即6,22⎡⎤⎣⎦,故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A ．25|235t t B ．25|25t t C ．|223t t D ．|222t t【答案】D 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出.【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ；当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时111111tan 2222A B A B B FB M θ，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为|222t t ，故选D.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.3．如图，PO 是平面α的斜线，O 是斜足，PA α⊥于点A ，BC 是α内过点O 的直线．若POB ∠是锐角，则有（ ）．A ．POC COA ∠>∠B ．POA BOA ∠<∠C ．POC COA ∠<∠D ．POB AOB ∠<∠【答案】C 【解析】【分析】由三余弦定理可得POB AOB ∠>∠，即POC COA ∠<∠，再逐一检验A,B,D 选项即可得解. 【详解】解：由三余弦定理可得：cos cos cos POB POA AOB ∠=∠∠， 又,,POB POA AOB ∠∠∠为锐角，所以cos cos POB AOB ∠<∠， 所以POB AOB ∠>∠，所以POB AOB ππ-∠<-∠， 即POC COA ∠<∠，故C 正确，则选项A 错误， 同理POB AOB ∠>∠，则选项D 错误，又,POA BOA ∠∠大小无法确定，则不能比较大小，即选项B 错误， 故选C.【点睛】本题考查了三余弦定理，属中档题.4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】C 【分析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR ,由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， 所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为12222⨯⨯=，故选C.【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.5．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如左下图所示.其中，45,60CAD BCD ∠=∠=.现将Rt ACD ∆沿斜边AC 进行翻折成1D AC ∆（1D 不在平面ABC 上）.若,M N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD ∆翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60D ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- 【答案】D 【分析】由题意，可得二面角1D AC B --和二面角1D BC A --有共同的平面角ABC ∠,且另一个面都过点1D ，过点1D 作平面ABC 的垂线，即可得到二面角1D AC B --和二面角1D BC A --的平面角，进而得大小关系即可. 【详解】不妨设1AD =，取AB 中点E ，易知E 落在线段BD 上，且11122EN AD ==, 所以点N 到点E 的距离始终为12，即点N 在以点E 为球心，半径为12的球面上运动， 因此A 、B 选项不正确；对于C 选项，作1//,AP DM AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，易知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠ 取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60，此时1D 落在平面ABC 上，所以160PAD ∠<，即1AD 与DM 所成的角始终小于60，所以C 选项不正确；对于D 选项，易知二面角1D AC B --为直二面角时，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，当二面角1D AC B --为锐二面角时，如图所示作1D R ⊥平面ABC 与点R ，然后作,RO AC RS BC ⊥⊥分别交,AC BC 于,O S ，则二面角1D AC B --的平面角为1D OR ∠，二面角1D BC A --的平面角为1D SR ∠， 且1111tan ,tan D R D RD OR D SR OR SR∠=∠=，又因为OR SR <，所以11D OR D SR ∠>∠， 所以二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，故选D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P //平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．325(,)42B ．325[,]42C ．5[1,]2D ．5[0,]2【答案】B 【解析】分析：先判断出点P 的位置，确定使得1A P 取得最大值和最小值时点P 的位置，然后再通过计算可求得线段1A P 长度的取值范围．详解：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，∵,,,M N E F 分别为所在棱的中点，则11,MNBC EF BC ，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ．∵11,AA NE AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ．∵P 是侧面11BCC B 内一点，且1A P ∥平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上．在11Rt A B M ∆中，2221111151()2A M AB B M ++．同理，在11Rt A B N ∆中，可得15A N =∴1A MN ∆为等腰三角形． 当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长． ∵2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==．∴线段1A P 长度的取值范围是325[,]42．故选B ．点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得1A P 取得最值时的点P 的位置，然后再根据勾股定理进行计算． 7．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°【答案】D 【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.二、多选题8．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 【答案】ABC 【分析】根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】 ∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴BC ⊥平面CDE ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF ､AF ，则EF CD ⊥.∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE ∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，则6sin 4EF AE θ==，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B ､M ､E 确定的面即为平面BDE ，当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥， ∵F ､N 分别为CD ､BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=，故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=，则BM EN ≠，D 项错误. 故选：ABC . 【点睛】本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、线面夹角的求解，属综合困难题.9．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC 6D ．若点E 到平面11ACC AEB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以12a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,，12a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，12a BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为2111cos ,6||||a BC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA所成角的余弦值为6，选项C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]33x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______． 【答案】{}32a【分析】 当323,33x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323,33x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}32a【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．【答案】38375R 【分析】 2AB R =，BC R =，5AC R =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24()5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积． 【详解】 2AB R =，BC R =，5AC R =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形， 线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，455AM R ∴=， ∴45AM AC =，类似有45AN AD =， ∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积： 231613832253475A BMN V R R R -=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：38375R ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．如图，已知：在ABC 中，3CA CB ==，3AB =，点F 是BC 边上异于点B ，C 的一个动点，EF AB ⊥于点E ，现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AC ⊥，则四棱锥P ACFE -的体积的最大值为________．2 过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，进而证明PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ACFE -的高，设BE PE x ==，通过题设条件分别求出BEF S 和ABC S 的表达式，进而得出ACFE S 四边形的表达式，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ，由四棱锥的体积公式可得333()418V x x x =-（302x <<），然后利用导数求得(x)V 的最大值即可. 【详解】过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，因为EF AB ⊥，所以翻折后PE EF ⊥，所以PE CD ⊥，又PE AC ⊥，AC CD D =，AC ，CD ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ACFE -的高， 因为3CA CB ==3AB =，CD AB ⊥，所以可得：()22223332CD AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 设BE PE x ==，所以EF BE CD BD =332x =，即3EF x =， 所以2132BEF S BE EF x =⋅=△，又1332ABC S AB CD =⋅=△， 所以2333ACFE S x =四边形，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ， 所以323334133()34618x V x x x x ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭-（302x <<），2()V x x '=，令()0V x '=可得x =或x =（舍去），所以当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0V x '>，()V x '单调递增；当322x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x '单调递减，因此当2x =时，(x)V 取得最大值，最大值为24V ⎛= ⎝⎭.故答案为：4. 【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.。

中职立体几何试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 空间中，下列说法正确的是（）。

A. 两条异面直线一定相交B. 两条异面直线一定平行C. 两条异面直线既不相交也不平行D. 两条异面直线可能相交也可能平行答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为（）。

A. abcB. ab+bc+acC. a+b+cD. a*b*c答案：A3. 一个球的半径为r，其表面积为（）。

A. 4πrB. 4πr²C. 2πrD. 2πr²答案：B4. 一个圆柱的底面半径为r，高为h，其体积为（）。

A. πr²hB. 2πrhC. πr²D. πrh答案：A5. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，其体积为（）。

A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πrhD. 1/2πr²h答案：B6. 一个棱锥的底面为正方形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. a²hB. 1/2a²hC. 1/3a²hD. 1/4a²h答案：C7. 一个棱柱的底面为矩形，长为a，宽为b，高为h，其体积为（）。

A. a*b*hB. 2ab*hC. 2a*b*hD. 2ab答案：A8. 一个棱锥的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B9. 一个棱柱的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B10. 一个棱锥的底面为正五边形，边长为a，高为h，其体积为（）。

A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/5a²h答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其体积为____cm³。

SAB CDE立体几何训练题（1） 姓名1、（2008年深圳二模文数）如图，在四棱锥S ABCD -中，2SAAB ==，SB SD ==底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）证明：CD ⊥平面SAE ；（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．2、（2008年广州二模文数）如图5所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3AB BC CA ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。

（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ； （2）证明：线段PC 的中点为球O 的球心；（3）若球O 的表面积为25π，求三棱锥P ABC -的体积。

C3、（2009年广州一模文数）如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点，12AA AB ==．（1）求证：BC ⊥平面AC A 1；（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．4、（2009年深圳一模文数）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD . （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．5、（2009年深圳二模文数）在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；（Ⅱ）若=AD 2==BC AB ，P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积．6、（2009年广州二模文数）在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为403．（1）证明：直线1A B 平面11CDD C ；（2）求棱1A A 的长；（3）求经过11A C B D 、、、四点的球的表面积．BACDP1B 1A 1C7、（2010年广州二模文数）在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点．点N 和1AA 的中点． (1) 求证：//MN 平面1ACD ； (2) 过N ，C ，D 三点的平面把长方体1111ABCD A BC D -截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．8、（2010年广州一模文数）如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =．（1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积．ABCD E图5立体几何训练题（2） 姓名1、（2010年深圳一模文数）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且11112CC C E BC AB ====．（Ⅰ）求证：1D E ∥平面1ACB ； （Ⅱ）求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ；（Ⅲ）求四面体11D B AC 的体积．2、（2010年深圳二模文数）一个三棱柱111ABC A B C -直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E 、F 分别为1AA 和11B C 的中点．（Ⅰ）求几何体11E B C CB -的体积； （Ⅱ）证明：1//A F 平面1EBC ； （Ⅲ）证明：平面EBC ⊥平面11EB C .3、（2011年深圳一模文数）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．4、（2011年深圳二模文数）如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.MSDCBA FE D CBA 图1ABCDFE 图2M5、（2011年广州一模文数）如图5，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12, 3.A A AB BC ===（1）求证：AB 1//平面BC 1D ；（2）求四棱锥B —AA 1C 1D 的体积。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中档大题分类练(四) 立体几何（建议用时：60分钟）1．如图57，已知多面体PE ­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED ∥PA ，且PA ＝2ED ＝2.图57(1)证明：平面PAC ⊥平面PCE ；(2)若∠ABC ＝60°，求点P 到平面ACE 的距离．[解] (1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF .因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF ∥PA ，且OF ＝12PA ，因为DE ∥PA ，且DE ＝12PA ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE .所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD ∥EF ，即BD ∥EF . 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC, 因为BD ∥EF ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE .(2)因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC ＝2. 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，∴S △PAC ＝12×PA ×AC ＝2，因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E ­PAC 的高，EF ＝DO ＝BO ＝3，∴V P ­ACE ＝V E ­PAC ＝13S △PAC ×EF ＝13×2×3＝233，∵DE ∥PA ，PA ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，DE ⊥CD ， ∵DE ＝1，∴AE ＝CE ＝5，∴S △ACE ＝2×2×12＝2，所以点P 到平面ACE 的距离h ＝V P ­ACE13S △ACE＝23323＝3.2．如图58，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，△PAD ≌△BAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝4，PA ＝PD ，M 在棱PD 上运动．图58(1)当M 在何处时，PB ∥平面MAC ；(2)已知O 为AD 的中点，AC 与OB 交于点E ，当PB ∥平面MAC 时，求三棱锥E ­BCM的体积．[解] (1)如图，设AC 与BD 相交于点N ，当M 为PD 的中点时，PB ∥平面MAC ，证明：∵四边形ABCD 是菱形，可得：DN ＝NB ，又∵M 为PD 的中点，可得：DM ＝MP ，∴NM 为△BDP 的中位线，可得NM ∥PB ，又∵NM ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，∴PB ∥平面MAC .(2)∵O 为AD 的中点，PA ＝PD ，则OP ⊥AD ，又△PAD ≌△BAD ， ∴OB ⊥AD ，且OB ＝23，又∵△AEO ∽△CEB ，∴OE BE＝OA BC＝12. ∴BE ＝23OB ＝433.∴S △EBC ＝12×4×433＝833.又∵OP ＝4×32＝23，点M 为PD 的中点，∴M 到平面EBC 的距离为3. ∴V E ­BCM ＝V M ­EBC ＝13×833×3＝83.3．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .图59(1)求证：EF ∥平面BDC 1； (2)求三棱锥D ­BEC 1的体积． [解] (1)取AB 的中点O ，连接A 1O ，∵AF ＝14AB ，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ，∵A 1D ＝12A 1B 1，BO ＝12AB ，AB 綊A 1B 1，∴A 1D 綊BO ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形，∴A 1O ∥BD ， ∴EF ∥BD ，又EF ⊄平面BDC 1，BD ⊂平面BDC 1， ∴EF ∥平面BDC 1.(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥C 1D ，∵A 1C 1＝B 1C 1＝A 1B 1＝2，D 为A 1B 1的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1，C 1D ＝3，又AA 1⊂平面AA 1B 1B ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，∵AB ＝AA 1＝2，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点， ∴S △BDE ＝22－12×1×2－12×1×2－12×1×1＝32.∴VD ­BEC 1＝VC 1­BDE ＝13S △BDE ·C 1D ＝13×32×3＝32. 4．如图60所示，在四棱锥P ­ABCD 中，△BCD ，△PAD 都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD ＝2AB ＝4，CD ＝23.图60(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，求三棱锥C ­PDE 的体积． [解] (1)因为AD ＝4，AB ＝2，BD ＝23，所以AD 2＝AB 2＋BD 2，所以AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°，又因为△BCD 是等边三角形，所以∠ADC ＝90°，所以DC ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD . (2)过点B 作BG ∥CD 交AD 于G ，过点G 作EG ∥PD 交于AP 于点E ， 因为BG ∥CD ，BG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BG ∥平面PCD ， 同理可得EG ∥平面PCD ，所以平面BEG ∥平面PCD ， 因为BE ⊂平面BEG ，所以BE ∥平面PCD . 因为EG ∥PD ，所以PE PA ＝DGDA，在直角三角形BGD 中，BD ＝23，∠BDG ＝30°，所以DG＝23cos 30°＝3，所以PEPA＝DGDA＝34，在平面PAD内过E作EH⊥PD于H，因为CD⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，所以CD⊥EH，因为PD∩CD＝D，所以EH⊥平面PCD，所以EH是点E到平面PCD的距离，过点A作AM⊥PD于M，则AM＝32×4＝23，由AM∥EH，得EHAM＝PEPA＝34，所以EH＝323.因为S△PCD＝12×4×23＝43，所以V C­PDE＝13×43×323＝6.(教师备选)1．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．(1)求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)求三棱锥C1­BCA1的体积．[解] (1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ， 则D 是BC 边上的中点．因为点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O . 因为AD ∩A 1O ＝O ， 所以BC ⊥平面ADA 1. 所以BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，所以BC ⊥CC 1，所以异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . 因为BC ＝CC 1＝2，所以异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2， 所以可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233 ，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263.因为S △ABC ＝12×2×3＝3，所以VABC ­A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1­BCC 1B 1＝VABC ­A 1B 1C 1－VA 1­ABC ＝423.所以VC 1­BCA 1＝VA 1­BCC 1＝12VA 1­BCC 1B 1＝223.2．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .图① 图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．[解] (1)证明：在图题①中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE ⊥AC ，即在图题②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC . 又A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ， 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可知A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高， 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，解得a ＝6.。