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人教版九年级新人教版数学上_22.1_二次函数的图象和性质(第1课时)课件

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人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)

人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)

相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;

二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)

二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)

然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．

《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学

《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标

人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)

人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)

y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )

人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件

人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件

4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。

人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)

人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法

人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质

2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点

九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第1课时)》

向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1

人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件

2

b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x

2
2a
4a

2
b
4
ac

b


a x
.
2a
4a

2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac

b


y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2

2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21

人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)


二次 函数
注意：a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项.(自变量的最高次数是2；二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
方法总结 判断二次函数的方法
1.自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0；
即y = 12x2-2x+9.
例3 在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场？
解：∵比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
∴代入n=4，得m =6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为（ D ） A．在弹性限度内， 弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.B．距离一定时，火车 行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之 间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系
围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，
面积是 S ( 单位：m2 )． BC 是(45 - 3x)cm 0＜45 - 3x≤20 (1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围； -45＜- 3x ≤ -25
S =AB ·BC
≤ x ＜ 15
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x ( ≤ x < 15 ).
解：比赛的场次数为m = 1 n(n - 1)， 2
即m = 1 n2 - 1 n. 22
情境3 悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数f与t之间有怎样的关系？
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件,再经过
y=20(x+1)²
即
y=20x² +40x+20 ③
③式表示了两年后的产 量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x 的函数。
有什么共同点？ 函 数 y = 6 x2 1 2 3 d n n 2 2
① ② ③
y 20 x 40 x 20
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,连
因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d n n3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 3 即 d 2 n② n 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。
NBA赛场
探究：
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,你能用x的式子表示y 吗？
问题1:
y=6x2①
此式表示了正 方体表面积y与正 方体棱长x之间的 关系，对于x的每 一个值， y都有唯 一的一个对应值， 即y是x的函数。
问题2:
接与这点不相邻的各顶点,可以作 (n-3) 条 对角线.
r r
S 2r 2r r 4r
2
2
2．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写 出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式． 每个球队都要跟（n-1）支球队进行比赛 ,因此要进行n(n-1)场比赛,由于甲队与乙 队的比赛应是同一场比赛所以总比赛数 目
1 1 2 1 m n(n 1) n n 2 2 2
2
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．
一般地，形如
y ax2 bx c a, b, c是常数，a 0
的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a,b,c分别是函数 表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
3. 若y=（b-2 ）
x2 是二次函数，则b应满足的条件是（
）。
4．反思与小结

（1）一个函数是否为二次函数的关键是什么？ （2）你还有哪些困惑？ 你还想研究二次函数的什 么内容？
作业：
1、必作题：22.1第1，2题。
2、选作：复习题22第1,2题。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
解决问题1、判断：下列函数是否为二次 函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值. (1) y＝1— 3 x 2 (2)y＝x(x－5) 3 1 2 (3)y＝ x－ x＋1
2
2
2
1 (4)y＝ 2 3x 2 x 1
(5) y＝ x 2 5x 6 (7)y＝ax2＋bx＋c
(6)y＝ x4＋2x2－1
解决问题2、当m为何值时， 2＋5m+8 m y＝(m＋3)x ＋(m＋2)x＋3， 是x的二次函数？
解决问题3
1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关 系式．
22.1 二次函数的图象和性质 （第1课时）
平梁初级中学
张学军
2017.10
观察
从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线，在这条曲线上的各个位置 上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x有什么关系？
观察图片，投出篮球，在空中走过一条美如画曲线， 在这条曲线上的各个位置上，篮球的竖直高度y与它距 离出手点的水平宽度x有什么关系？


问题3：某工厂一种产品现在的产量是20
件，计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种 产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20+20x 即 ) 一年后的产量是 20(1+x)(1+x)即20(x+1)² 件，20(1+x 即两年后的产量为