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第1课时 圆的极坐标方程[核心必知]1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程圆心为C (a ，0)(a >0)半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ．[问题思考]1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一极坐标为(π4，π4)，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(π4，9π4)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．2．圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2处且过极点的圆的方程又是什么？提示：圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r ；圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin_θ(0≤θ≤π)．设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程．[精讲详析]本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹方程．设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：设P(ρ，θ)为轨迹上的一点，则OP＝ρ，∠xOP＝θ.在直角三角形ODP中，OP＝OD·cos θ，∵OP＝ρ，OD＝2r，∴ρ＝2r cos θ(ρ≠0，ρ≠2r)．这就是所求轨迹的方程．(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：①建立适当的极坐标系．②设P(ρ，θ)是曲线上任一点．③列出ρ，θ的关系式．④化简整理．(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．1．设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图． 设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP ⊥MA ，∴|MA |2＋|MP |2＝|P A |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|P A |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a （a －r cos θ）a cos θ－r.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程． [精讲详析]在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，∴r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法．(2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ；若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．2．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程； (2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ 、OQ ， 则|OD |＝6， ∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，∠DQO ＝π2.在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos (θ－π3)， 即ρ＝6cos (θ－π3)．(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． ∴2ρ＝6cos (θ－π3)，∴ρ＝3cos (θ－π3)．∴P 的轨迹是圆.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝12－cos θ.[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式． (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2θ2＝1，∴ρ·1＋cos θ2＝1，即ρ＋ρcos θ＝2.∴x 2＋y 2＋x ＝2.化简，得y 2＝－4(x －1)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．3．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程．解：由ρcos (θ－π6)＝1得32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得32x ＋y2＝1，即3x ＋y －2＝0.利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解决问题，是高考命题的重点题型之一．湖南高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖南高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．[命题立意] 本题考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法． [解析] ∵ρ＝2sin θ， ∴ρ2＝2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝0一、选择题1．(北京高考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 因为该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标是(1，－π2)．2．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选D ∵ρ＝cos (π4－θ)＝22cos θ＋22sin θ，ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆． 3．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．22 D ．2 3解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为（23）2＋（2－2）2－22＝2 2.4．(安徽高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 3解析：选D 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.二、填空题5．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝06．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝5，则圆C 的极坐标方程为________．解析：将圆心C (2，π3)化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5.化简，得ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝0，此即为所求的圆C 的极坐标方程．答案：ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝07．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________．解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2，0)．点P 的直角坐标为(2，23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 38．已知曲线C 与曲线ρ＝53cos θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线C 的极坐标方程是________．解析：曲线ρ＝53cos θ－5sin θ＝10cos (θ＋π6)，它关于极轴对称的曲线为ρ＝10cos (－θ＋π6)＝10cos (θ－π6)．答案：ρ＝10cos (θ－π6)三、解答题 9.如图，在圆心极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．解：设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0， 所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ，故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为轨迹的直角坐标方程．10．指出极坐标方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，ρ＝2cos θ代表的曲线，并指出它们之间的关系．解：ρ＝2cos (θ＋π3)是以点(1，－π3)为圆心，半径为1的圆．ρ＝2cos (θ－π3)是以点(1，π3)为圆心，半径为1的圆． ρ＝2cos θ是以点(1，0)为圆心，半径为1的圆．因此曲线ρ＝2cos (θ＋π3)，可看成曲线ρ＝2cos θ绕极点顺时针旋转π3得到的曲线．ρ＝2cos (θ－π3)是由曲线ρ＝2cos θ绕极点逆时针旋转π3得到的曲线．11．已知半径为R 的定圆O ′外有一定点O ，|OO ′|＝a (a >R )，P 为定圆O ′上的动点，以OP 为边作正三角形OPQ (O 、P 、Q 按逆时针方向排列)，求Q 点的轨迹的极坐标方程．解：如图所示，以定点O 为极点，射线OO ′为极轴正向建立极坐标系， 则⊙O ′的极坐标方程是ρ2－(2a cos θ)ρ＋a 2－R 2＝0. 设Q (ρ，θ)，则有P (ρ，θ－π3)，又P 在⊙O ′上，∴ρ2－[2a cos (θ－π3)]ρ＋a 2－R 2＝0.即所求Q 点的轨迹方程是：ρ2－2aρcos (θ－π3)＋a 2－R 2＝0.。
高二数学选修4-4教案06圆的参数方程教学目的：学习圆的参数方程，理解参数θ的几何意义；会用圆的参数方程解题。
教学重点：圆的参数方程的推导及应用。
教学难点：参数θ的几何意义及应用。
教学方法：师生互动，培养创新思维。
教学过程：一、问题情景：【1】已知1y x 22=+，怎样求22y xy 2x -+的最大与最小值？【2】函数ϑϑcos 2sin 2y --=的值域怎么求？你知道有哪几种方法？二、数学构建.从上面的问题可以看到：圆的方程1y x 22=+与方程组⎩⎨⎧==θθsin y cos x 之间有着一定的对应关系，那么我们怎样来认识和理解它们的这种关系呢？事实上：1．设点P 在圆O ：222r y x =+上，从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，且设∠P 0OP=θ.若设点P 的坐标是(x,y)，由三角函数的定义不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数，即⎩⎨⎧==θθsin r y ,cos r x ① 另一方面，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x,y ）都在圆O 上.这表明，方程①也可用来表示圆。
那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程。
其中θ是参数.注意：根据点与θ角的一一对应性质，我们一般设定)2,0[πθ∈。
2．对于圆心为O （a,b ）、半径为r 的圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆222r y x =+按向量ν=(a,b)平移得到的（如右图）.不难求出，圆心在（a,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.sin r b y ,cos r a x θθ (θ为参数且)2,0[πθ∈）② 注意：若将方程组①、②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：222r y x =+和（x-a)2+(y-b)2=r 2。
反之，由圆的标准方程也可直接采用三角换元的方法得到圆的参数方程。
三 简单曲线的极坐标方程课 题: 1、圆的极坐标方程教学目标：1、掌握极坐标方程的意义[来源:学.科.网]2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程[来源:学.科.网]教学重点、极坐标方程的意义教学难点：极坐标方程的意义 [来源:学科网ZXXK]教学方法：启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？[来源:Z*xx*]2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课：1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(r,q)满足的条件？解：设M (r ,q)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？[来源:学科网]①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a ；(２)中心在(a,p/2)，半径为a ；(３)中心在Ｃ(a,q ０)，半径为a答案：(1)r ＝2acos q (2) r ＝2asin q (3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则P A·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ， 所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：设PD ＝9t ，DB ＝16t ，则PB ＝25t ，根据切割线定理得32＝9t ×25t ，解得t ＝15，所以PD ＝95，PB ＝5.在直角三角形APB 中，根据勾股定理得AB ＝4.答案：95 4[例3] 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求P A 的长．[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析] (1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE ∶CE ＝EF ∶ED .∵∠DEF 是公共角，∴△DEF ∽△CED . ∴∠EDF ＝∠C .∵CD ∥AP ，∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE ＝EF ∶EA . 即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4， ∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝1523.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．解析：设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵P A ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝P A ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ， 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r ＝ 6. 答案：6[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5解析：由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8.∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 答案：A2．如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB ，PD ，P A ＝AB ＝ 5，CD ＝3，则PC 等于( )A ．2或－5B ．2C ．3D ．10解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD .即5×2 5＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D ，E ，F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．35解析：∵AD ，AE ，BC 分别为圆O 的切线．∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE .∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ＝40.答案：C4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1解析：连接OD ，则OD ⊥BD ， ∴Rt △BOD ∽Rt △BAC .∴OD AC ＝BDBC. 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2，∴AC ＝2. ∴a 2＝BD4a，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ，∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2. ∴4a 4＝8a 2，∴a ＝ 2. ∴BE ＝2a ＝2 2. 答案：B 二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.解析：如图所示，由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为____________．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC ＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，EA ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72.答案：727.如图，⊙O 的弦ED 、CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析：由切割线定理知， AB ·AC ＝AD ·AE .即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.∵BD ⊥AE ，且E 、D 、B 、C 四点共圆，∴∠C ＝90°. 在直角三角形ACE 中，AC ＝6，AE ＝8， ∴CE ＝64－36＝27. 答案：5 278．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝10 3. 由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°， 所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5. 答案：5 三、解答题9．如图，PT 切⊙O 于T ，P AB ，PDC 是圆O 的两条割线，P A ＝3，PD ＝4，PT ＝6，AD ＝2，求弦CD 的长和弦BC 的长．解：由已知可得PT 2＝P A ·PB ， 且PT ＝6，P A ＝3，∴PB ＝12. 同理可得PC ＝9，∴CD ＝5. ∵PD ·PC ＝P A ·PB ，∴PD PB ＝P A PC ，∴△PDA ∽△PBC ， ∴AD BC ＝PD PB ⇒412＝2BC，∴BC ＝6. 10．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P .(1)求证：PM 2＝P A ·PC ；(2)若⊙O 的半径为2 3，OA ＝ 3OM ，求MN 的长．解：(1)证明：连接ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ， ∴PM ＝PN .由条件，根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， 所以PM 2＝P A ·PC .(2)依题意得OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ， 于是BO BN ＝BM BD ，即2 3BN ＝44 3，得BN ＝6. 所以MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：P A ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切，且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E ，∴∠D ＝∠E .又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE . ∴P A PC ＝PDPE. 即P A ·PE ＝PC ·PD .(2)∵P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE ＝2×12，∴PE ＝4. 由相交弦定理，得PE ·PB ＝P A ·PC . ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16. ∵DA 切⊙O 2于点A ，∴DA 2＝DB ·DE ，即AD 2＝9×16，∴AD ＝12.。
1．圆的极坐标方程[对应学生用书P6] 1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.(3)圆心在点(a，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)．[对应学生用书P6][例1]求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．[思路点拨]结合圆的定义求其极坐标方程．[解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ， 故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程．解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2， 即ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为 ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0.2．求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程．解：设M (ρ，θ)为圆上除O 、B 外的任意一点，连结OM 、MB ，则有OB ＝4，OM ＝ρ，∠MOB ＝θ－32π.∠BMO ＝90°，从而△BOM 为直角三角形． ∴有|OM |＝|OB |cos ∠MOB即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32π＝－4sin θ.[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0； (3)ρ＝12－cos θ.[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化： ⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).[解] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1.∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝3x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3.(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ. 4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－π4)．解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsinπ4＝2cos θ＋2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.所以化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.[对应学生用书P7]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．半圆解析：∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．答案：C2．极坐标方程ρ＝a sin θ(a＞0)所表示的曲线的图形是()解析：如图所示．设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，即ρ＝2r sin θ＝a sin θ.答案：C3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是() A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D．以点(3，π2)为圆心，3为半径的圆解析：由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x2＋y2－6x＝0，表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．答案：C4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A．ρ＝2cos(θ－π4) B．ρ＝2sin(θ－π4)C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．答案：C二、填空题5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.答案：ρ＝4sin θ6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.答案：x2＋y2－3y＝07．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.解析：由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±3，则|AB|＝2 3.答案：2 3三、解答题8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．(1)x2＋y2－2x＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ；(3)ρ2＝cos2θ.解：(1)∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos 2θ， ∴ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2. ∴(x 2＋y 2)2＝x 2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .9．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解：设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0) 则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ ∵ρ0＝2cos θ0.∴25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ 它表示一个圆．10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程． (2)关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程．解：法一：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求．(2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，即ρ＝－2a cos θ为所求．法二：由圆的极坐标方程ρ＝2a sin θ得ρ2＝2ρa sin θ， 利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ＝x 2＋y 2， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，即x 2＋(y －a )2＝a 2，故圆心为C (0，a )，半径为|a |. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a )，圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρa sin θ，故ρ＝－2a sin θ为所求．(2)由θ＝3π4得tan θ＝－1，故直线θ＝3π4的直角坐标方程为y＝－x.圆x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρa cos θ.故此圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.。
