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第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
第一章测试题一、选择题1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A一定互不相容得事件为(A) (B) (C) (D)2、对于任意二事件A与B,与不等价得就是(A) (B) (C) (D)3.设、就是任意两个事件,,,则下列不等式中成立得就是( )4.设,,,则( )事件与互不相容事件与相互独立事件与相互对立事件与互不独立5.对于任意两事件与,( )6.若、互斥,且,则下列式子成立得就是( )7.设、、为三个事件,已知,则( )0、3 0、24 0、5 0、218.设A,B就是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,,则必有( )(A) (B)(C) (D)9.设A,B,C就是三个相互独立得随机事件,且0<P(C)<1。
则在下列给定得四对事件中不相互独立得就是( )(A)与C (B)与(C)与(D)与10.设A, B, C三个事件两两独立,则A, B, C相互独立得充要条件就是( )(A)A与BC独立(B)AB与A+C独立(C)AB与AC独立(D)A+B与A+C独立11.将一枚均匀得硬币独立地掷三次,记事件A=“正、反面都出现”,B=“正面最多出现一次”,C=“反面最多出现一次”,则下面结论中不正确得就是( )(A)A与B独立(B)B与C独立(C)A与C独立(D)与A独立12.进行一系列独立重复试验,每次试验成功得概率为p,则在成功2 次之前已经失败3次得概率为( )(A) (B) (C) (D)二、选择题1、设A, B, C为三个事件, 且____、2、设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件就是不合格品, 另一件也就是不合格品得概率为_______、3、随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域得概率与区域得面积成正比, 则原点与该点得连线与x轴得夹角小于得概率为______、4、设随机事件A, B及其与事件A⋃B得概率分别就是0、4, 0、3, 0、6, 若表示B得对立事件, 则积事件得概率= ______、5、某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中得一种, 则同时订这两种报纸得住户得百分比就是________、6、三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障得概率依次为0、9, 0、8, 0、7, 则这三台机器中至少有一台发生故障得概率________、7、电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏得概率依次为0、3, 0、2, 0、1, 则电路断路得概率就是________、8、甲乙两人投篮, 命中率分别为0、7, 0、6, 每人投三次, 则甲比乙进球多得概率______、9、三人独立破译一密码, 她们能单独译出得概率分别为, 则此密码被译出得概率_____、10、设A,B就是任意两个随机事件,则11、已知A、B两事件满足条件,且,则12、已知13()()(),()()0,()416P A P B P C P AB P BC P AC======,则都不发生得概率为__________ 三、计算题1.一袋中装有10个球,其中3个黑球7个白球,每次从中任取一球,然后放回,求下列事件得概率:(1)若取3次,A={3个球都就是黑球};(2)若取10次,B={10次中恰好取到3次黑球},C={10次中能取到黑球};(3)若未取到黑球就一直取下去,直到取到黑球为止,D={恰好取3次}, E={至少取3次}、2.有两箱同种类得零件, 第一箱内装50只, 其中10只一等品, 第二箱内装30只, 其中18只一等品、今从两箱中任意挑出一箱, 然后从该箱中取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样、求(1)第一次取到得零件就是一等品得概率;(2)已知第一次取到得零件就是一等品得条件下,第二次取到得也就是一等品得概率、3.设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回、试求下列事件得概率、(1)第三次取到次品;(2)第三次才取到次品;(3)已知前两次没有取到次品, 第三次取到次品;4、从过去得资料得知,在出口罐头导致索赔事件中,有50%就是质量问题,30%就是数量短缺问题,20%就是包装问题。
又知在质量问题争议中,经过协商解决得占40%;数量短缺问题争议中,经过协商解决得占60%;包装问题争议中,经过协商解决得占75%、如果一件索赔事件在争议中经过协商得到解决了,那么这一事件不属于质量问题得概率就是多少？5、轰炸机要完成它得使命,驾驶员必须要找到目标,同时投弹员必须要投中目标。
设驾驶员甲、乙找到目标得概率分别为0、9、0、8;投弹员丙、丁在找到目标得条件下投中得概率分别0、7、0、6、现在要配备两组轰炸人员,问甲、乙、丙、丁怎样配合才能使完成使命有较大得概率(只要有一架飞机投中目标即完成使命)？求此概率就是多少？6、 已知A,B 就是两个随机事件,且 ,证明:2答案一、选择题1.(A) 2、(D) 3.(B) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(B)8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(B) 12.(D)二、填空题1、 设A, B, C 为三个事件, 且____、解、)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=－= 0、97－0、9 = 0、072、 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件就是不合格品, 另一件也就是不合格品得概率为_______、解、 ,注意: =+所以;3、 随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域得概率与区域得面积成正比, 则原点与该点得连线与x 轴得夹角小于得概率为______、解、 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆、 则, k 为比例系数、 所以假设D 1 = {D 中落点与原点连线与x 轴夹角小于得区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积、 4、 设随机事件A, B 及其与事件A ⋃B 得概率分别就是0、4, 0、3, 0、6, 若表示B 得对立事件, 则积事件得概率 = ______、解、 0、4 + 0、3－0、6 = 0、1、5、 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中得一种, 则同时订这两种报纸得住户得百分比就是________、解、 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B 、由已知 P(A) = 0、5, P(B) = 0、65, P(C) = 0、85、所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0、5 + 0、65－0、85 = 0、3、6、 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障得概率依次为0、9, 0、8, 0、7, 则这三台机器中至少有一台发生故障得概率________、 解、 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3)、则 P(A 1) = 0、9, P(A 2) = 0、8, P(A 3) = 0、7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0、9×0、8×0、7=0、496、7、 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏得概率依次为0、3, 0、2, 0、1, 则电路断路得概率就是________、 解、 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好、P(A) = 0、7, P(B) = 0、8, P(C) = 0、9、 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC 、 P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)= 0、7×0、8 +0、7×0、9－0、7×0、8×0、9 = 0、686、 所以 P(电路断路) = 1－0、686 = 0、314、8、 甲乙两人投篮, 命中率分别为0、7, 0、6, 每人投三次, 则甲比乙进球多得概率______、解、 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数、P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0) =+= 0、148176 + 0、098784 +0、021952 + 0、127008 + 0、028224 + 0、012096= 0、43624、9、三人独立破译一密码, 她们能单独译出得概率分别为, 则此密码被译出得概率_____、解、设A, B, C表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码、, 则、P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)=、10.0 11.1p 12.7/16三、计算题1、一袋中装有10个球,其中3个黑球7个白球,每次从中任取一球,然后放回,求下列事件得概率:1）若取3次,A={3个球都就是黑球};2）若取10次,B={10次中恰好取到3次黑球},C={10次中能取到黑球};3）若未取到黑球就一直取下去,直到取到黑球为止,D={恰好取3次}, E={至少取3次}、解:还原有序抽样。
(n重伯努利试验)2、有两箱同种类得零件, 第一箱内装50只, 其中10只一等品, 第二箱内装30只, 其中18只一等品、今从两箱中任意挑出一箱, 然后从该箱中取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样、求1）第一次取到得零件就是一等品得概率;2）已知第一次取到得零件就是一等品得条件下,第二次取到得也就是一等品得概率、解:A i=“挑出第i 箱”, i = 1,2、B j=“第i次取到得零件就是一等品”,i=1, 2、则由全概率公式知(2)由全概率公式知由条件概率公式有3、设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回、试求下列事件得概率、1）第三次取到次品;2）第三次才取到次品;3）已知前两次没有取到次品, 第三次取到次品;解:设Ai =“第i次取到次品,i = 1,2,3、则(1)(2)(3)4、 从过去得资料得知,在出口罐头导致索赔事件中,有50%就是质量问题,30%就是数量短缺问题,20%就是包装问题。
