江苏省连云港市赣榆县智贤中学高一数学下学期期末考试试题6(无答案)苏教版

赣榆智贤中学2021～2021学 年度第二学期期末考试高一数学模拟试题命题：韩玉波 徐建 姓名 总分一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分，请将答案填写上在题目中的横线上〕 1．求值：=-）（419cos π． 2．角α的终边经过点)12,5(-P ，那么=αsin ．3．一个样本753，，，x 的平均数是4，那么该样本的方差是 ．4．一根长6m 的绳子拉直后在任意位置剪断，所得的两段都不少于1 m 的概率是 ． 5．某商场想通过检查发票及销售记录的2℅来快速估计每月的销售总额，现采用系统抽样，从某本50张的发票存根中随机抽取1张，如15号，然后按顺序往后抽，依次为15，65，115…，那么第五个号是 ． 6．函数)2,3(),6sin(πππ-∈-=x x y 的值域是 ．7．如图的算法伪代码运行后，输出的S 为 ．8．在一次选拔运发动中，测得7名选手的身高(单位：cm)茎叶图为：⎪⎪⎪1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9，记录的平均身高为177 cmx 的值是 ．9．函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R 〔其中0,||2ωϕπ><〕的图象的一局部如下图，那么 ．第7题图第97321-2Oxy10．函数()sin(2)6f x x π=-的单调递增区间是 ．11．函数x x x f cos 2sin 2)(2+-=的最小值为 ．12． ， 那么： ．13．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，那么=+-b a 3 ． 14．5(,)6θπ∈π，θθθθcos sin 22cos sin =+，那么sin(2)3θπ+= ． 二、解答题：〔本大题，15、16、17小题各14分，18、19、20小题各16分，一共计90分．〕 15．一只不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和1个蓝球，这些球除颜色外都一样．, 〔1〕求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；〔2〕搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再任意摸出1个球，求至少有一次摸出的球是红球的概率．16．c b a ,,在同一平面内，且 ． 〔1〕假设)3,1(m m c -=，且a c //，求m 的值；〔2〕假设23||=b ，且(2)(2)a b a b +⊥-，求向量a 与b 的夹角．=)(x f =+)6(c πx os 73)3(sin -=-πx ），（21-=a17．函数 ．〔1〕求 的最大值； 〔2〕求 的递减区间；18．设函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0,0,A ωπϕπ>>-<<〕在512x π=处获得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的间隔 为2π． xx x f cos 3sin )(+=)(x f )(x f〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕求()f x 的单调增区间；〔3〕假设42x ππ≤≤，求()f x 的最值．19．某企业消费A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表〔单位：件〕．用分层抽样的方法从这月下旬消费的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件．〔1〕求x 的值；〔2〕用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；〔3〕用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：，，，，，，，．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过的概率．yxO第20题图20．圆心在第二象限内，半径为52的圆1O 与x 轴交于)0,5( 和)0,3(两点． 〔1〕求圆1O 的方程； 〔2〕求圆1O 的过点A 〔1,6〕的切线方程；〔3〕点N 〔9,2〕在〔2〕中的切线上，过点A 作1O N 的垂线，垂足为M ，点H 为线段AM 上异于两个端点的动点，以点H 为中点的弦与圆交于点B ，C ，过B ，C 两点分别作圆的切线，两切线交于点P ，求直线1PO 的斜率与直线PN 的斜率之积．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

江苏省连云港市赣榆县智贤中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题8（无答案）苏教版一、 填空题：（14×5′=70′）1．sin13°cos17°+cos13°sin17°= _________ ．2．过点（2，1）且斜率为2的直线方程为 _________ ．3．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 _________ ．4．如图，给出一个算法的伪代码，则f （﹣2）+f （3）= _________ ．5．如图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 _________ ．6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为 _________ ．7．P 从（1，0）出发，沿圆122=+y x 按顺时针方向运动34π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为______________． 8．若B A B A B A cos cos ,332tan tan ,3⋅=+=+则π的值是 . 9．已知sin()3cos()0παπα-++=，则sin cos αα的值为___________________. 10．已知点P(sin α-cos α,tan α)在第一象限，则在内α的取值范围是 . 11.函数3sin sin y x x =+的值域是 . 12．函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意的实数都有()()33f x f x ππ+=-恒成立，设()g x =3cos()1x ωϕ++，则()3g π= ．13．直线y =y=2sin ωx(ω＞0)交于最近两个交点间距离为6π，则y=2sin ωx 的最小正周期为 .14．在ABC ∆中，已知120A ∠=，2AB AC ==，D 是BC 边的中点，若P 是线段AD 上任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 ．二、解答题：15．（14分）(1) 若3cos(75),(18090)5αα+=-<<-,求sin(105)cos(375)αα-+-值；(2) 在△ABC 中，若137cos sin -=+A A ，求sinA-cosA,A tan 的值．．16．（14分）已知向量(,)u x y =与向量(,2)v y y x =-的对应关系可用()v f u =表示.(1)设(1,1),(1,0)a b ==，求向量()()f a f b 及的坐标；(2)证明：对于任意向量a b 、及常数m n 、，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立； (3)求使()(3,5)f c =成立的向量c .E17．（14分）某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB =50米，BC =平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，考虑到小区整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°，如图所示．（1）设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．18．（16分）已知函数()2sin(2)4f x x π=-，R x ∈．（1）求函数)(x f 在],0[π内的单调递减区间；（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值．19．（16分）已知函数2()2sin [1cos()]2cos 12f x x x x π=-++-(1)设ω>0为常数，若函数()y f x ω=在区间2[,]23ππ-上是增函数，求ω的取值范围； (2)设集合|6A x π⎧=⎨⎩≤x ≤23π⎫⎬⎭，{}||()|2B x f x m =-<，若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．20．（16分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x A x π=-，（0A ≠）（1）当 0≤x ≤2π时，求(sin )y f x =的最大值； （2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数A 的取值范围； （3）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解？。

2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，则x＝（）A．4B．﹣4C．9D．﹣92．计算的结果是（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i3．sin的值是（）A．B．C．D．4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（）A．20nmile B．20nmile C．20nmile D．20nmile 5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（）A．B．C．D．7．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A．5B．6C．7D．88．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则（）A．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20B．C．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为D．10．下列关于向量的说法正确的是（）A．若∥，∥，则∥B．若单位向量，夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为cosθC．若•＝•且≠，则＝D．若非零向量，满足，则∥11．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|D．若，则z1＝z2＝012．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点M，N，P分别为AB，BC，A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．直线A1M与直线C1N为异面直线B．平面ANC1⊥平面BCC1B1C．三棱柱外接球的表面积为D．直线CC1与平面ANC1所成角的正弦值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，3+2i，﹣2+4i，则点B 所对应的复数为．14．已知圆台下底面的半径为4cm，高为4cm，母线长为cm，则圆台的体积为cm3．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为．16．已知向量，满足：，，，则＝；若t为非零实数，则的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①，②a cos A＝b cos B，③a cos B+b cos A＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____，判断△ABC的形状．18．在锐角三角形ABC中，sin A＝，tan（A﹣B）＝﹣，求sin B，cos C的值．19．某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：网购金额（单位：千元）人数频率（0，1]80.08（1，2]120.12（2，3]x p（3，4]y q（4，5]80.08（5，6]70.07合计100 1.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．（1）求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，点P为面A1B1C1D1内的一点．（1）画出图1中平面PEF与平面B1BCC1的交线；（2）如图2，若P为矩形A1B1C1D1对角线的交点，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，求点B到平面PEF的距离．21．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及最小值；（2）若，求的值．22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝，BC＝B1C＝1，∠CBB1＝∠CBA＝45°，∠ABB1＝60°．（1）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值；（2）求证：平面B1BCC1⊥平面ABC．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，则x＝（）A．4B．﹣4C．9D．﹣9【分析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的条件，写出两个向量平行的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可得到要求的x的值．解：∵向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，∴2×（﹣6）﹣3x＝0，∴x＝﹣4，故选：B．2．计算的结果是（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i【分析】利用复数的除法将所求化为a+bi（a、b∈R）的形式即可．解：＝＝＝＝i．故选：C．3．sin的值是（）A．B．C．D．【分析】利用两角差的正弦公式化简即可求解．解：sin＝sin（﹣）＝sin cos﹣cos sin＝×﹣×＝．故选：B．4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（）A．20nmile B．20nmile C．20nmile D．20nmile【分析】由题意，△ABC中，AC＝40nmile，∠C＝30°，∠B＝135°，由正弦定理可得AB．解：由题意，△ABC中，AC＝40nmile，∠C＝30°，∠B＝135°，由正弦定理可得：＝，∴AB＝×＝20nmile．故选：A．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角，在△ACD1中，利用余弦定理求解．解：如图，连接AC，CD1．在长方体中，因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角；在△ACD1中，，由余弦定理得＝．故选：D．6．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（）A．B．C．D．【分析】密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，由此能求出密码被译出的概率．解：∵密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，∴密码被译出的概率为P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．7．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】11×0.4＝4.4，可得该队员得分的40百分位数．解：由表可知频数共计11，11×0.4＝4.4，可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7．故选：C．8．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取（）A．B．C．D．【分析】由题意结合椎体的体积公式和圆的周长公式整理计算即可确定公式中π的近似值．解：由圆锥的体积公式结合圆的周长公式可得：，结合题中的公式可得：，∴．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则（）A．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20B．C．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为D．【分析】利用平均数与方差的计算公式以及运算性质，依次判断四个选项即可．解：因为数据x1，x2，…，x10的平均数为2，所以数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为3×2+2＝8，故选项A错误；＝10×2＝20，故选项B正确；数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为32×3＝27，所以数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为，故选项C正确；由方差的计算公式可得，＝10×3+4×2×10﹣10×22＝70，故选项D正确．故选：BCD．10．下列关于向量的说法正确的是（）A．若∥，∥，则∥B．若单位向量，夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为cosθC．若•＝•且≠，则＝D．若非零向量，满足，则∥【分析】A，由零向量与任意向量平行，可判断；B，根据平面向量数量积的几何意义可得解；C，由平面向量数量积的定义可得解；D，由平面向量数量积的运算法则知cos＜，＞＝1，从而得到∥．解：选项A，若＝，则与不平行，即选项A错误；选项B，向量在向量上的投影为cosθ＝cosθ，所以投影向量为cosθ，即选项B 正确；选项C，若•＝•，则||cos＜，＞＝||cos＜，＞，不能推出＝，即选项C 错误；选项D，因为cos＜，＞＝||•||，所以cos＜，＞＝1，所以＜，＞＝0°，所以∥，即选项D正确．故选：BD．11．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|D．若，则z1＝z2＝0【分析】利用共轭复数的定义判断选项A，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B，由复数模的运算性质判断选项C，由特殊例子判断选项D．解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，对于A，，，故选项A正确；对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，则，则a＝b＝0或c＝d＝0，所以z1，z2中至少有一个为0，故选项B正确；对于C，由复数模的运算性质可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；对于D，当z1＝1，z2＝i时，，故选项D错误．故选：ABC．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点M，N，P分别为AB，BC，A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．直线A1M与直线C1N为异面直线B．平面ANC1⊥平面BCC1B1C．三棱柱外接球的表面积为D．直线CC1与平面ANC1所成角的正弦值为【分析】A，利用MN∥A1C1即可判断；B，利用AN⊥面平面BCC1B1，即可判断；C，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，求出其球半径R＝，即可；D，可得∠CC1N直线CC1与平面ANC1所成角，其正弦值为＝＝，即可判断．解：对于A，∵MN∥A1C1，∴直线A1M与直线C1N共面，故错；对于B，∵AN⊥面平面BCC1B1，∴平面ANC1⊥平面BCC1B1，故正确；对于C，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，故球半径R＝＝，故球的表面积为4＝．故正确；对于D，因为平面ANC1⊥平面BCC1B1，过C作CH⊥C1N，即可得CH⊥平面ANC1，∴∠CC1N直线CC1与平面ANC1所成角，其正弦值为＝＝，故正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，3+2i，﹣2+4i，则点B 所对应的复数为1+6i．【分析】设点B所对应的复数为x+yi（x，y∈R），由题意可得，转化为坐标运算求得x与y的值，则答案可求．解：设点B所对应的复数为x+yi（x，y∈R），∵四边形OABC是平行四边形，∴，又A（3，2），B（x，y），C（﹣2，4），∴（x，y）＝（3，2）+（﹣2，4）＝（1，6），即x＝1，y＝6，则点B所对应的复数为1+6i．故答案为：1+6i．14．已知圆台下底面的半径为4cm，高为4cm，母线长为cm，则圆台的体积为πcm3．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求圆台的上底面半径，再求圆台的体积．解：如图所示，AA1＝2，OA＝4，O1O＝4，过A1作A1B⊥OA，垂足为B，则A1B＝O1O＝4，AB＝OA﹣OB＝OA﹣O1A1＝＝2，所以圆台的上底面半径为O1A1＝2；所以圆台的体积为V＝π（22+2×4+42）×4＝（cm3）．故答案为：．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为7．【分析】首先由正弦定理求得AC的长度，然后由余弦定理求得AD的长度即可．解：在△ABC中，由正弦定理可得：，在△ACD中，由余弦定理可得：．故答案为：7．16．已知向量，满足：，，，则＝；若t 为非零实数，则的最小值为．【分析】先根据可以求出，再根据即可求出；利用再结合基本不等式可求的最小值．解：，，两式作差可得，所以，，所以，所以．，当，即时不等式等号成立，所以的最小值为．故答案为为：；．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①，②a cos A＝b cos B，③a cos B+b cos A＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____，判断△ABC的形状．【分析】选①，根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，选②，根据已知条件，运用正弦定理，可得sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，可推得2A＝2B或2A+2B＝π，即可求解，选③，根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．解：选择条件①，由正弦定理可得，，∴sin B＝cos B，sin C＝cos C，又∵B，C∈（0，π），∴C＝B＝，A＝，∴三角形ABC为等腰直角三角形，选择条件②a cos A＝b cos B，由正弦定理可得，sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又∵2A，2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴三角形ABC为等腰三角形或直角三角形，选择条件③a cos B+b cos A＝a，由余弦定理，可得，解得a＝c，∴三角形ABC为等腰三角形．18．在锐角三角形ABC中，sin A＝，tan（A﹣B）＝﹣，求sin B，cos C的值．【分析】利用同角三角函数关系，求出cos A、tan A，再利用差角的正切公式、和角的余弦公式，即可得出结论．解：∵锐角三角形ABC中，sin A＝，∴cos A＝，∴tan A＝，∵tan（A﹣B）＝﹣，∴tan B＝tan[A﹣（A﹣B）]＝＝，∴sin B＝＝，cos B＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝﹣•+•＝．19．某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：网购金额（单位：千元）人数频率（0，1]80.08（1，2]120.12（2，3]x p（3，4]y q（4，5]80.08（5，6]70.07合计100 1.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．（1）求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【分析】（1）利用频数为100，以及网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2，得到关于x和y的方程组，求出x和y的值，然后利用频率的计算公式求出p，q即可，由此补全频率分布直方图．（2）由分层抽样先求出在（1，2]内和（4，5]内应抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．解：（1）由题意可得，，解得x＝40，y＝25，所以p＝，q＝，频率分布直方图如图所示：（2）由分层抽样可知，在（1，2]内的12人中，抽取人，在（4，5]内的8人中，抽取人，所以此2人来自不同群体的概率为＝．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，点P为面A1B1C1D1内的一点．（1）画出图1中平面PEF与平面B1BCC1的交线；（2）如图2，若P为矩形A1B1C1D1对角线的交点，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，求点B到平面PEF的距离．【分析】（1）利用两个平面交线的定义作出图形即可；（2）设点B到平面PEF的距离为h，利用等体积法V B﹣PEF＝V P﹣BEF，由锥体的体积公式求解即可．解：（1）如图1所示，平面PEF与平面B1BCC1的交线为FG；（2）在△PEF中，，PF＝，PE＝，所以，在△BEF中，，设点B到平面PEF的距离为h，点B1到平面ABCD的距离为BB1＝2，由等体积法V B﹣PEF＝V P﹣BEF，则，即，解得h＝，所以点B到平面PEF的距离为．21．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及最小值；（2）若，求的值．【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式与辅助角公式，可得f（x）＝2sin（2x+），再由正弦函数的周期性和最小值，即可得解；（2）由，知sin（x+）＝，再根据2x﹣＝2（x+）﹣]，并结合诱导公式，二倍角公式，得解．解：（1）＝2（sin x cos x+cos2x）﹣1＝sin2x+1+cos2x﹣1＝2sin （2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，当2x+＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z时，函数f（x）取得最小值，为﹣2．（2）∵＝2sin（2•+）∴sin（x+）＝，∴＝sin[2（x+）﹣]＝﹣cos2（x+）＝2sin2（x+）﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝，BC＝B1C＝1，∠CBB1＝∠CBA＝45°，∠ABB1＝60°．（1）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值；（2）求证：平面B1BCC1⊥平面ABC．【分析】（1）连接AB1，取B1B的中点D，连接AD，CD，利用边角关系结合余弦定理可求出所需边长以及角度，由二面角的平面角的定义得到∠CDA为平面AB1B与平面B1BC所成的二面角，在三角形中，由余弦定理求解二面角即可．（2）由二面角的平面角的定义，可得∠ACB1即为平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角的平面角，通过勾股定理证明∠ACB1＝90°，即可证明．【解答】（1）解：连接AB1，在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠CBA＝45°，由余弦定理可得，，故AC＝1，可得AC2+BC2＝AB2，故∠ACB＝90°，在△BCB1中，BC＝1，B1C＝1，∠CBB1＝45°，故∠CB1B＝45°，∠B1CB＝90°，BB1＝，在△ABB1中，AB＝，BB1＝，∠B1BA＝60°，所以AB1＝，取B1B的中点D，连接AD，CD，则CD⊥BB1，AD⊥BB1，故∠CDA为平面AB1B与平面B1BC所成的二面角，在△CDA中，AC＝1，则CD＝，AD＝AB sin60°＝，由余弦定理可得，＝，故二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为；（2）证明：由（1）可知，∠ACB＝90°，∠B1CB＝90°，则AC⊥BC，B1C⊥BC，所以∠ACB1即为平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角的平面角，在△ACB1中，B1C＝1，AB1＝，AC＝1，则，故∠ACB1＝90°，所以平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角为90°，故平面BCC1B1⊥平面ABC．。

2021-2022学年江苏省连云港市高一下学期期末数学试题一、单选题1．计算的结果是（ ）()221i -A ．B ．C ．D ．2i 2i-ii-C【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.【详解】.()22221ii112i i i1i ====-----故选：C.2．在锐角三角形中，，则（ ）ABC 2sin a b A =B =A ．B ．C ．D ．6π4π3π712πA【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，ABC 02B π<<sin sin a bA B =又，所以，且，故.2sin a b A =1sin 2B =02B π<<6B π=故选：A.3．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）A ．0.4B ．0.48C ．0.6D ．0.8A【分析】根据概率运算求得正确答案.【详解】目标受损但未击毁的概率是.10.20.40.4--=故选：A4．某校高一年级1000名学生在一次中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40～70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50～60分的人数是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50B【分析】先求出三个分数段的的同学的频率之比，从而求出抽取成绩50～60分的人数.【详解】从频率分布直方图可以看出三个分数段的的同学的频率之比为，0.005:0.015:0.0201:3:4=所以抽取成绩50～60分的人数为，38030134⨯=++故选：B 5．已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）3a = 5b =a b 135︒b aA ．BC ．DA【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.【详解】在上的投影向量是：ba.cos135cos13553a b a b aa a ab aa aaa ⋅⋅︒⎛⋅⋅=⋅=⋅︒⋅=⨯⋅= ⎝故选：A6．一个直角梯形上底、下底和高之比为2:旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．4:9:34:9:84:9:94:9:10D【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底2,3x x 半径和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案．【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、2,3x x 下底半径和高．如图示，过点作于，则中，B BC OA ⊥C Rt ABC △，，32AC OA OC OA O B x x x '=-=-=-=BC O O '==．∴2AB x =．∴()][()][()22::2:3:2324:9:10S S S x x x x x πππ⎡⎤=+⨯=⎣⎦下上侧故选：D7．若a ，b 为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列αβa α⊂b β⊂l αβ= 结论中正确的是( )A ．l 至少与a ，b 中一条相交B ．l 至多与a ，b 中一条相交C ．l 至少与a ，b 中一条平行D ．l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行A【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.【详解】因为a ，b 为两条异面直线且，，，所以a 与l 共面，b a α⊂b β⊂l αβ= 与l 共面.若l 与a 、b 都不相交，则a ∥l ，b ∥l ，a ∥b ，与a 、b 异面矛盾，故A 对；当a 、b 为如图所示的位置时，可知l 与a 、b 都相交，故B 、C 、D 错.故选：A.8．如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，ABC AC BC =AB ，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应BAC α∠=α为（ ）A ．B ．C ．D ．30°45︒60︒75︒B【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应的值.α【详解】设雨水的质量为，下滑加速度为，，取的中点，连接.m a AC s =AB D CD 则,且.CD AB ⊥12AD BD AB ==因为，所以；sin F mg ma α==sin a g α=在直角三角形中，ACD 21,cos 2AD s at α==所以222216,cos sin cos sin 2AD AB AB AB t a g g g g αααα===≥=当,即时等号成立，sin 21α=45α=︒故选：B.二、多选题9．一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则（ ）A ．这组数据的平均数是5B ．这组数据的方差是112C ．这组数据的众数是8D ．这组数据的75百分位数是6AB【分析】将数据从小到大排列，根据数据的特征，逐项判断即可.【详解】解：数据从小到大排列为：2，3，3，3，6，7，8，8，则这组数据的平均数为，故A 项正确；2333678858+++++++=这组数据的方差为：，故B22222222111(25)(35)(35)(35)(65)(75)(85)(85)82⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦项正确；这组数据中有3个3，2个8，1个2，1个6，1个7，所以众数为3，故C 项错误；因为，这组数据的75百分位数是7，故D 项错误.80.756⨯=故选：AB.10．在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，ABC 2AB =a b2AB a = ，则（ ）2AC a b =-AB ．C ．D ．1a b ⋅=- 1a b -=()a b AB-⊥ ACD【分析】先由，结合等腰直角三角形，可求出对应的模BC AC AB b =-=-ABC ,a b 及其夹角，即可判断A ，由可判断B ；由,cos a b a b a b⋅=⋅⋅C ；由是否等于0可a -= ()222a b AB a ab-⋅=-⋅ 判断D【详解】由题意，等腰直角三角形，ABC 2,AB AC BC ===，，又2,AC AB BC a b BC AC AB b =+=-∴=-=- b CB ∴= ,2ABa =πcos cos 4,a b ∴==对A A 对；对B ，，故B 错；,1cos a b a b a b ⋅=⋅⋅=对C ，，故C 对；1a -== 对D ，，故D 对；()()2220,a b AB a a b a b AB -⋅=-⋅=∴-⊥ 故选：ACD 11．在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分1111ABCD AB C D -11ABBA 11ADD A ABCD）A ．B 1AB=C ．直线与D ．二面角的正切值为2AC 1BC 1B ACB --BC 【分析】设，由题意可得1,,AB a AD b AA c ===11⨯==⨯==AB AA ac AD AA bc，解得可判断A ；求出体积可判断B ；连接，⨯==AB AD ab ,,a b c 11、、AC AD CD 所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，利用余弦定理11//BC AD AC 1BC AC 1AD 求出可判断C ；连接，做交与，可得1cos ∠D AC 11、、AC CB AB BO AC ⊥AC O 为二面角的平面角，计算出可判断D.1B OB ∠1B AC B --1tan ∠B OB 【详解】设，由题意可得1,,AB a AD b AA c ===11⨯==⨯==AB AAac AD AA bc ，解得⨯==AB ADab 1,a b c ===所以，故A 错误；AB =长方体的体积为B 正确；abc =连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与11、、AC ADCD 11//BCAD AC 1BC AC 的夹角，因为1AD 112,=====AD CD AC 所以，所以直线与的夹角的余2221111cos 2+-∠===⨯AD AC CD D AC AD AC AC 1BC C 正确；连接，做交与，因为平面，平面11、、AC CB AB BO AC ⊥AC O 1BB ⊥ABCD AC ⊂，所以，又，所以平面，平面，ABCD 1BB AC ⊥1BB BO B = AC ⊥1BOB 1B O ⊂1B BO 所以，所以为二面角的平面角，因为，1OB AC ⊥1B OB ∠1B AC B --=⨯⨯BC BO AC AB所以，故D 错误.=⨯=B B C A BO AC 11tan ==∠B B B BO B O 故选：BC.12．在平面四边形中，，，，则（ ）ABCD 1AB =3BC =2CD DA ==A ．当时，，，，四点共圆π3C =A B C DB ．当，，，四点共圆时，A B C D AC =C ．当时，四边形的面积为32π3B D +=ABCDD ．四边形面积的最大值为ABCD ACD【分析】对AB ，由余弦定理可得，222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，结合四点共圆四边222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅⇔形对角互补，代入数据求解方程组，即可判断；对CD ，由①，以及11sin sin 22S AB BC B AD CD DS =⋅+⋅②，①②两式代入数据，两22222cos 2cos AB BC AB BC B AD CD AD CD D +-⋅=+-⋅边同时平方，再左右对应相减，即可整理得到S 与的关系式，进一步讨论()cos B D +即可判断【详解】对A ，由余弦定理得，，代入数据可得222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，又，综上可解得，21312cos 54cos BD C A =-=-π3C =27BD =，故，故平面四边形对角互补，，，，1cos cos 2A C =-=-πA C +=ABCD A B C 四点共圆，故A 对；D 对B ，由余弦定理得，，代入数据可得222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅， 又，，，四点共圆，故平面四边形对2106cos 88cos AC B D =-=-A B C D ABCD角互补，，综上可解得，故B 错；cos cos B D =-264,7AC AC =∴=对C 、D ，四边形的面积，代入数据可得ABCD 11sin sin 22S AB BC B AD CD D=⋅+⋅()()222213sin 4sin ,43sin 4sin 9sin 24sin sin 16sin 2S B D S B D B B D D =+∴=+=++①，，106cos 88cos ,3cos 4cos 1B D B D -=-∴-= ②，()2223cos 4cos 9cos 24cos cos 16cos 1B D B B D D ∴-=-+=①②两式左右相减，整理可得()()()()222229sin cos 24cos cos sin sin 16sin cos 2524cos 14B B B D B D D D B D S +--++=-+=+，，当时，()266cos 12S B D ∴=-+≤()0,2πB D +∈2π3B D +=，又当时，四边形面积取得最大值，为3S ==πB D +=ABCD ，故C 、D 对；故选：ACD 三、填空题13．已知是锐角，，则的值是_________．α3sin 5α=πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】由于是锐角，，α3sin 5α=所以，4cos 5α==所以πππ34cos cos cos sin sin 44455ααα⎛⎫⎫-=+=+=⎪⎪⎝⎭⎭14．已知复数，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则z 2z z A _________．z =1i -+i 1-【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.i z a b =+,a b 【详解】解：设复数，所以，i za b =+=222a b +=又，且的虚部为-2，则，2222(i)2i z a b a b ab =+=-+2z 1ab =-因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，z A (,)A a b 0,0a b <>故，解得，故.22210,0a b ab a b ⎧+=⎪=-⎨⎪⎩1,1a b =-=1i z =-+故答案为.1i-+15．曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在OA OB P 的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若Q OA OB αP Q cm x ，，，则的值是_________．3cm OA =7cm AP =120α︒=x 5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在中，APO △由余弦定理可知，249923cos 5OP OP AOP OP cm =+-´××ÐÞ=另外，由图可知，在点与点重合时，A B 10,OQ AP OA cm =+=,1055PQ OQ OP cm \=-=-=故5四、双空题16．在三棱锥中，平面，，，，则三棱P ABC -PA ⊥ABC 3PA BC ==4AB =5AC =锥的体积为_________，三棱锥的内切球的表面积为_________．P ABC -P ABC - 6169π169π【分析】根据已知条件可得，利用三棱锥的体积公式结算即可；利用线面垂AB BC ⊥直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的BC ⊥PAB r 半径，利用球的表面积公式结算即可.【详解】解：因为，，，在中，,3PA BC ==4AB =5AC =ABC 222AC AB BC =+所以，又平面，所以AB BC ⊥PA ⊥ABC ，111133463232P ABC V PA AB BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=因为平面，平面,所以，，，PA ⊥ABC ,,AB AC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA AC ⊥PA AB ⊥故5PB ==又，，所以平面，AB BC ⊥PA AB A = BC ⊥PAB 又平面，所以，PB ⊂PAB BC PB ⊥所以均为直角三角形，,,,PAB PAC PBC ABC 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，P ABC -O r 则,O ABC O PAB O PAC O PBC P ABC V V V V V -----+++=即，()111(34343535)6332P ABC ABC PAB PAC PBC V r S S S S r -=⨯+++=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=解得，故三棱锥的内切球的表面积.23r =P ABC -222164439r πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故6；.169π五、解答题17．已知向量，满足，，．求：ab 1a =b = )1a b -=- (1)；a b + (2)与的夹角．a b + a b - (1)2a b += (2)2π3【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得；（2）根据向量数量积的定义进行计算即可得到结果.【详解】(1)由，得，)1a b -=- 2a b -= 故，代入，，2224a b a b +-⋅= 1a = b = 0a b ⋅= 由，得22224a b a b a b +=++⋅= 2a b += (2)由()()221cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a b a b +⋅--+-===-+-+- 故与的夹角为.a b + a b - 2π318．从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．(1)求组成的两位数是偶数的概率；(2)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．(1)25(2)不独立；理由见解析【分析】（1）设事件A ：“组成的两位数是偶数”，求出样本空间，包含的样本点，ΩA 由古典概型概率计算公式可得答案；（2）设事件B ：“组成的两位数是3的倍数”，求出事件B 包含的样本点、包含的AB 样本点，可得、，从而判断出的关系．()P B ()P AB ()()()、P AB P A P B 【详解】(1)设事件A ：“组成的两位数是偶数”，则样本空间，{12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54}Ω=，{}12,14,24,32,34,42,52,54=A 故，82()205P A ==即组成的两位数是偶数的概率是.25(2)设事件B ：“组成的两位数是3的倍数”，则，，{}12,15,21,24,42,45,51,54=B {}12,24,42,54=AB 故，，82()205P B ==41()205==P AB 故，()()()≠P AB P A P B 即“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形．P ABCD -ABCD(1)若点是的中点，证明：平面；E PD //PB ACE (2)若，，且平面平面，求直线与平面2PA PD AD ===120BAD ∠=︒PAD ⊥ABCD PB 所成角的正切值．ABCD (1)证明见解析【分析】(1) 连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，由条件证明，再由线面平行//PB EM 判定定理证明平面；(2) 取AD 的中点O ，由面面垂直性质定理证明⊥//PB ACE PO平面ABCD ，根据直线与平面夹角的定义确定直线与平面的夹角，再求其正PB ABCD 切值.【详解】(1)连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为底面ABCD 是菱形，故点M 是BD 的中点，又因为点E 是PD 的中点，故∥PB EM又因为平面，平面，PB ⊄AEC EM ⊂AEC 所以，平面；PB ∥AEC (2)取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，因为，且O 为AD 的中点，2PA PD AD ===故⊥AD ，PO 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ，平面 PO ⊂PAD故⊥平面ABCDPO 则直线PB 与平面ABCD 所成角为PBO∠在中，，PAD△PO 在中，BAOBO ==在中，Rt PBOtan PBO ∠==故直线PB与平面ABCD 20．已知向量，向量．3cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ sin ,3sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (1)若是第四象限角，且，求的值；2x//a b tan x (2)若函数，不等式（其中）()f x a b =⋅+ 5π0,6x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()m f x n ≤≤,R m n ∈恒成立，求的最大值．m n -(1)tan x =(2)92-【分析】（1）根据列方程，化简求得，进而求得.//a b tan 2x tan x （2）化简的表达式，根据三角函数的值域的求法求得在区间的最大()f x ()f x 5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦值和最小值，【详解】(1)因为，故,//a b 3cos 2x ⋅（）3sin 2x -=（）2x ⋅sin 2x （）又因为是第四象限角，故2x tan 2x =-由，22tan2tan 1t an 2xx x ==-得tan x=(2)()f x a b =⋅3cos sin 3sin 2222x x x x =⋅+⋅-（）（）3sin 1cos 2x x =+⋅-3sin 2x x =,π3sin )3x =+（又，当时，，5π[0,]6x ∈π6x =max ()3f x =当，，从而求得的最大值.5π6x =min 3()2f x =-m n -故，，则的最大值为.32m ≤-3n ≥m n -92-21．在中，，是边上一点，且．ABC π3B =AC =M AB 2CM =(1)若的面积；AM =AMC (2)是否存在？若存在，求的长；若不存在，说明理由．π2BMC BAC ∠+∠=BM (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得，从而求得三角形cos MAC ∠sin MAC ∠的面积.AMC （2）利用三角形的知识作出判断.【详解】(1)在中，，AMC AM =2CM =AC =由余弦定理得，222cos 2AM AC CM MAC AM CM +-∠=⋅=则sin MAC ∠==1sin 2AMC S AM AC MAC =⋅⋅∠△12==(2)不存在，理由如下：若，π2BMC MAC ∠+∠=则为锐角，,BMC MAC ∠∠则为钝角，则，AMC ∠MAC AMC ∠<∠所以，CM AC <这与已知矛盾，CM AC >所以不存在.π2BMC MAC ∠+∠=22．如图，在正方体中：1111ABCD A B C D -（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）(1)证明：平面；1BD ⊥1ACB (2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平2AB =P CD αP 1BD α⊥面截正方体所得截面的面积的最大值．α1111ABCD A B C D -(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的BD 11B D 1AC BB ⊥判定定理可得平面，则有，同理可证，再根据线面垂AC ⊥11BB D D 1BD AC ⊥11BD AB ⊥直的判定定理即可得证；（2）过点P 作，交AD 于点Q ，过点Q 作，交于S ，过点作PQ AC ∥1QS A D ∥1AA S ，交于R ，证明Q ，S ，P ，R 四点共面，再证明平面，即可1SR AB ∥11A B 1BD ⊥PQSR 得平面即为所求的平面，设平面平面，说明平面截正PQSR αPQSR11B C CB TO =α方体所得截面为平面六边形，设1111ABCD A B C D -OPQSRT 02),CP x x =<<（再根据截面六边形面积等于等腰梯形的面积加上等腰梯形2,DP x =-OPQSRT SQPR 的面积，从而可得出答案.OTRP 【详解】(1)证明：连接，，BD 11B D 在正方体中，，1111ABCD A B C D -AC BD ⊥由平面，，得，1BB ⊥ABCD AC ABCD ⊂平面1AC BB ⊥又因为，故平面，1BD BB B ⋂=AC ⊥11BB D D 又因为平面，1BD ⊂11BB D D 故，1BD AC ⊥同理，11BD AB ⊥又因为，1AB AC A = 所以⊥平面；1BD 1ACB(2)解：过点P 作，交AD 于点Q ，PQ AC ∥过点Q 作，交于S ，1QS A D ∥1AA 过点作，交于R ，S 1SR AB ∥11A B 则，，故，1DP A R =1DP A R ∥1A D PR ∥又，故，则Q ，S ，P ，R 四点共面，1QS A D ∥QS PR ∥由，，11QS A D B C ∥∥1SR AB ∥由（1）可知，，11BD B C ⊥11BD AB ⊥故，，，故平面，1BD QS ⊥1BD SR ⊥QS SR S = 1BD ⊥PQSR 平面即为所求的平面，PQSR α因为平面平面，平面平面，11A D DA ∥11B C CB PQSR 11A D DA SQ =设平面平面，则，PQSR11B C CB TO =SQ OT ∥又因为，可得，11QS A DB C ∥∥1OT B C ∥同理可得：，1OP C D ∥故平面截正方体所得截面为平面六边形，α1111ABCD A B C D -OPQSRT 设02),CP x x =<<（2,DP x =-则，，)PQ SR OT x ===-OP RT QS ====PR等腰梯形的面积，SQPR 214)S x =-等腰梯形的面积，OTRP 224)S x x =-截面六边形面积，OPQSRT 21222)S S S x x =+=-++当，，1x =max S =故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为α1111ABCD A B C D -。

江苏省连云港市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·上饶期中) 若m，n是实数，且m＞n，则下列结论成立的是（）A . lg（m﹣n）＞0B . （）m＜（）nC . ＜1D . m2＞n22. （2分） (2017高三上·天水开学考) 设向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m + 与﹣2 平行，则实数m等于（）A . ﹣2B . 2C .D . ﹣3. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 直角三角形B . 等腰或直角三角形C . 等腰三角形D . 不能确定4. （2分）(2017·南海模拟) 圆柱被一个平面截去一部分后与长方体组成一个几何体，该几何体的正视图和俯视图如图所示，已知该几何体的表面积为58+12π，则圆柱的半径r=（）A . 1B . 2C .D . 35. （2分）(2017·淄博模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 8（π+4）B . 8（π+8）C . 16（π+4）D . 16（π+8）6. （2分）与cos50°cos20°+sin50°sin20°相等的是（）A . cos30°B . sin30°C . cos70°D . sin70°7. （2分） (2017高二下·高青开学考) 已知等比数列{an}的公比q=2，则的值为（）A .B .C .D . 18. （2分） (2017高二上·中山月考) 在中，角，，的对边分别为，，，且，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·穆棱期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .10. （2分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A . 6B . 7C . 8D . 911. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A . 4B . 2C . 2D .12. （2分） (2018高二下·抚顺期末) “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029…………119 7 5 38064 8060………………2016 12 816124……………………3628 20………………………A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·徐州模拟) 已知函数，函数，则不等式的解集为________．14. （1分） (2017高一上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．15. （1分） (2016高一下·海珠期末) 已知等比数列{an}的公比为正数，且a1=2，4a2•a8=a42 ，则a3=________．16. （1分） (2016高三上·天津期中) 若 =3，tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·平罗期中) 已知向量 =（2sinx，cosx）， =（﹣sinx，2sinx），函数f（x）= • ．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[0， ]的最值及所对应的x值．18. （10分） (2017高一上·长春期末) 已知函数f（x）=2 ﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值．19. （5分）(2016·四川模拟) 如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．20. （10分） (2016高二上·宜春期中) 等差数列{an}中，已知an＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．21. （10分） (2016高二下·南阳开学考) 在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，一套简易房所用材料费为p，试用x，y表示p；（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？22. （15分） (2016高二上·辽宁期中) 已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）（1）求证：数列{ }是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算1i1i +−的结果是（ ）A. 1−B. 1C. -iD. i【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算以及复数的乘法化简，即可得出答案.【详解】()()()21i 1i2i i 1i1i 1i 2++===−−+. 故选：D.2. 已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则甲排在乙前面值班的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】【分析】根据题意，写出所有值班的排法及甲排在乙前面值班的排法，进而根据公式求出答案即可. 【详解】因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情况有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）， （丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6种，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种， 故甲排在乙前面值班的概率为3162=. 故选：C.3. 设a ，b 是单位向量，若a b ⊥，则()a b b +⋅ 的值为（ ）．A. 1B. 0C. 1−D.【答案】A 【解析】【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将()a b b +⋅展开，计算结果.【详解】因为a ，b 是单位向量，且a b ⊥，所以0a b ⋅= ，21b b b ⋅== ，所以()011a b b a b b b +⋅=⋅+⋅=+=故选：A.4. 为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 直方图中x 的值为0.035B. 估计全校学生的平均成绩不低于80分C. 估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D. 在被抽取的学生中，成绩在区间)60,70的学生数为10 【答案】B 【解析】【分析】根据各频率和为1可求0.03x =，故可判断A 的正误，根据公式可求均值，故可判断B 的正误，根据前4组的频率之和可求60百分位数，故可判断C 的正误，根据区间[)60,70对应的频率可求对应的人数，故可判断D 的正误.【详解】由频率分布直方图可得()100.0050.0100.0150.041x ++++=， 故0.03x =，故A 错误.由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：()10550.005650.01750.015850.03950.048480×+×+×+×+×=>，故B 正确.前4组的频率为()100.0050.0100.0150.030.6+++=，故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于80，故C 错误.区间[)60,70对应的频率为100.010.1×=，故对应的人数为2000.120×=，故D 错误. 故选：B.5. 若sin tancos 5sin αααα=−，则cos 4α=（ ） A. 2129−B. 19−C.19D.2129【答案】D 【解析】【分析】根据已知切化弦化简，结合二倍角公式可推得2tan 25α=，然后变为正余弦的齐次式化简运算，即可得出答案.【详解】由sin tancos 5sin αααα=−可得，sin sin cos 5sin cos ααααα⋅=−， 整理可得，22cos sin 5sin cos αααα−=， 所以有5cos 2sin 22αα=，所以2tan 25α=，所以，222222cos 2sin 2cos 4cos 2sin 2cos 2sin 2ααααααα−=−=+2222211tan 22151tan 229215αα− − ==++. 故选：D.6. 在长方体1111ABCD A B C D −中，已知AB AD ==11AA =，则1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ） A.13B.14C.15D.16【答案】B 【解析】【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，11//A D BC 且11//A D BC ， 所以四边形11A D CB 为平行四边形，11//A B D C ，在所以1A B 和1AD 所成角等于1D C 与1AD 所成的角，在11Rt A AD 中，11AA =，11A D AD ==，则1AD =2=，同理A C=1C D =2=，在1ACD △中，由余弦定理得，22211111cos 2AD CD AC CD A AD CD +−∠=⋅14， 所以1A B 和1AD 所成角的余弦值为14. 故选：B.7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，方差为1.2 D. 平均数为2，方差为1.6【答案】D 【解析】【分析】举特例，结合中位数、众数、平均数以及方差公式，即可得出答案.【详解】对于A 项，若试验结果为1，2，2，5，5，则满足题意，故A 项可以出现点数5； 对于B 项，若试验结果为2，2，3，4，5，则满足题意，故B 项可以出现点数5； 对于C 项，若试验结果为2，2，3，3，5，则平均数为2233535++++=，方差为()()()()()2222212323333353 1.25 −+−+−+−+−=满足题意，故C 项可以出现点数5； 对于D 项，若试验结果中有5，则方差大于等于()2152 1.8 1.65×−=>，故D 项不可以出现点数5.故选：D.8. 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及正四面体的三个侧面都相切，则球2O 的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案.【详解】如图，正四面体V ABC −，设点O 是底面ABC 的中心，点D 是BC 的中点，连接,VO VD .则由已知可得，VO ⊥平面ABC ，球心12,O O 在线段VO 上，球12,O O 切平面VBC 的切点在线段VD 上，分别设为12,D D .则易知11VD O VOD ∽，2211VD O VD O ∽，设球12,O O 的半径分别为12,r r .因为AD，根据重心定理可知，13OD AD ==VD =，VO ==，1111OO O D r ==，1212O O r r =+，222O D r =. 由11VD O VOD ∽可得，1111O D VO VO OO OD VD VD−==，=，解得，1r =，所以1VO =由2211VD O VD O ∽可得，2221121111O D VO VO O O O D VO VO −==，=2r =，所以，球2O 的体积为33244ππ33r =×. 故选：A.【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为1P ，2P ，3P ，则（ ）A. 123P P P ==B. 123P P P +=C. 1231P P P ++=D. 31222P P P == 【答案】BCD 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，求出1P ，2P ，3P 的值，即可得出答案. 【详解】抛掷两枚硬币，可能出现的等可能得结果为4个， 其中包括“两个正面”的结果为1个，所以114P =； 包括“两个反面”的结果为1个，所以214P =； 包括“一正一反”的结果为2个，所以312P =.所以，A 项错误；B 、C 、D 正确. 故选：BCD.10. 已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（ ）A. ||16a b +=B. ()2a b a +⋅=C. 向量+a b与a的夹角为30 D. 向量+a b在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,02,a b +=++= ，所以4a b +=，故A 错误；()1202a a b ⋅+=×+×=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b a a b⋅+<+>==+， (),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=×=，故D 正确． 故选：BD11. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为1CC 中点，N 为四边形11A D DA 内一点（含边界），若1B N 平面BMD ，则下列结论正确的是（ ） A. 11NB DC ⊥ B. 三棱锥1B NBM −的体积为43C. 线段1B N D. 11tan A NB ∠的取值范围为【答案】BCD 【解析】【分析】根据正方体的性质得出平面111B D N 平面BMD ，则根据已知得出点N 在线段11D N 上（含端点），对于选项A ：当N 为1D 时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出1NB 与1DC 的夹角为1BDC ∠，根据已知得出1BDC 的三边，即可得出1BDC ∠为3π，即可判断；对于选项B ：三棱锥1B NBM −若以N 为顶点，1B BM 为底面时，根据正方体性质得出此时三棱锥的高为2，底面积为2，即可得出体积判断；对于选项C ：点N 在线段11D N 上（含端点），则111B N D N ⊥时，线段1B N 最小，根据等面积法求出答案即可判断；对于选项D ：根据正方体性质结合已知可得111A B A N ⊥，则11111tan A A NB B A N=∠，即可根据1A N 的范围得出11tan A NB ∠的范围判断.【详解】取1AA 、1DD 中点分别为1N 、E ，连接11D N 、11B N 、AE 、11B D ，1A N ，如下图：1111ABCD A B C D − 为正方体，AE BM ∴ ，11B D BD ∥，11D N AE ，11D N BM ∴ ，1111D N B D ⊂ 、平面111B D N ，BD BM ⊂、平面BMD ，且11111D N B D D ∩=，BD BM B = ， ∴平面111B D N 平面BMD ，N 为四边形11A D DA 内一点（含边界），且1B N 平面BMD ， ∴点N 在线段11D N 上（含端点），对于选项A ：当N 为1D 时，1NB BD ，则1NB 与1DC 的夹角为1BDC ∠，此时11BD BC DC ===， 则13BDC π∠=， 则1NB 与1DC 不垂直，故A 错误；对于选项B ：N 为四边形11A D DA 内一点（含边界）， N ∴到平面1B BM 的距离为2，∴三棱锥1B NBM −的体积为11114222323N B BM B NBM V V −−==××××=，故B 正确； 对于选项C ： 点N 在线段11D N 上（含端点）， ∴当111B N D N ⊥时，线段1B N 最小，1111B N D N == ，11B D =111B N D ∴ 在边11B D ，则11112B N D S =×则当111B N D N ⊥时，即1111min112B N D S B N D N == ，故C 正确； 对于选项D ：1111ABCD A B C D − 为正方体，11A B ∴⊥平面11A D DA ， 1A N ⊂ 平面11A D DA ， 111A B A N ∴⊥，11A B N ∴ 为直角三角形，且直角为11B A N ∠，1111112tan A B A N A NA NB ∴==∠，点N 在线段11D N 上（含端点），则当1A N 最大时，即点N 为点1D 时，此时12A N =，此时11tan A NB ∠最小，为12212A N ==， 当1A N 最小时，即111A N D N ⊥，此时1111112A N D S A N D N ==，此时11tan A NB ∠最大，为12A N =，则11tan A NB ∠的取值范围为 ，故D 正确；故选：BCD.12. 设点O 是ABC 的外心，且CO CA CB λµ=+（λ，R µ∈），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若1λµ+=，则π2C = B. 若//OA OB，则221λµ+= C. 若ABC 是正三角形，则23λµ+=D. 若1λµ+>，()4,1AB −= ，()2,8CO =，则四边形AOBC 的面积是17【答案】ACD 【解析】【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.【详解】对选项A ：因为1λµ+=，则A ，O ，B 三点共线，且点O 是ABC 的外心， 所以OA OB OC ==，所以O 为AB 中点，所以ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，故A 正确；对选项B ：因为//OA OB，则A ，O ，B 三点共线，易知ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，且O 为AB 的中点，则12λμ==，2212λµ+=，故B 错；对选项C ：因为ABC 是正三角形，则O 也是ABC 的重心，故()21113233CO CA CB CA CB =×+=+ ，则23λµ+=，故C 对；对选项D ：因为1λµ+>，故O 在ABC 外，又42180CO AB ⋅=−×+×=， 所以CO AB ⊥，又CO =，AB ==，则1172AOBC S CO AB =×=，故D 对. 故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设123i z =+，2i z m =+()m ∈R ，若12z z ⋅为实数，则m 的值为______. 【答案】23− 【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，()()1223i i z z m ⋅=++()2332i m m =−++. 因为12z z ⋅为实数，所以320m +=，解得23m =−. 故答案为：23−. 14. 在ABC 中，tan 2A =，tan 3B =，则tan C 值为______. 【答案】1 【解析】【分析】根据诱导公式以及两角和的正切公式，化简即可得出答案.【详解】()()tan tan πtan C A B A B =−−=−+tan tan 2311tan tan 123A B A B ++=−=−=−−×. 故答案为：1.的15. 如图，用X ，Y ，Z 三种不同元件连接成系统S ，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件X 正常工作且Y ，Z 中至少有一个正常工作时，系统S 正常工作.已知元件X ，Y ，Z 正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S 正常工作的概率为______.【答案】0.45##920【解析】【分析】根据独立事件以及对立事件的概率公式求出元件Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为0.75，然后即可根据独立事件概率的乘法公式，得出答案.【详解】由已知可得，Y ，Z 都不能正常工作的概率为()()10.510.50.25−×−=， 所以，元件Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为10.250.75−=.所以，元件X 正常工作且Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为0.60.750.45×=， 即系统S 正常工作的概率为0.45. 故答案为：0.45.16. 已知矩形ABCD ，1AB =，BC =，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D −−的大小为120°，则B ，D ______.【解析】【分析】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥由题意可求得1,1,2AECF EF === 由二面角B AC D −−的大小为120°，得到3·cos120,8EB FD EB FD °==− 再利用BD BE EF FD=++ 可求得结果.【详解】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥1,2,AB BC AC =∴=111···,222AB BC AC BE AC DF ==BE DF ∴== 则1,1,2AECF EF === 二面角B AC D −−的大小为120°,3·cos120,8EB FD EB FD °∴==−BD BE EF FD =++ ,22222()2?2?2?BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++++3331314444=+++=,则BD = ,即,B D. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()sin sin sin b B a A b c C −=−. （1）求A ；（2）若4a =，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）π3A = （2）12 【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出1cos 2A =，然后根据A 的范围，即可得出答案；（2）方法一：根据余弦定理得出2216b c bc +−=，根据基本不等式可得出()221632b c b c ++−≤，整理即可得出8b c +≤，得出答案；方法二：根据正弦定理得出b B =，c C =.设周长为l ，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出π48sin 6l C=++.然后根据C 的范围，即可得出答案. 【小问1详解】在ABC 中，由已知结合正弦定理角化边可得()22b a bc c −=−，整理可得222b c a bc +−=，所以2221cos 22b c a A bc +−==. 又()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】方法一：由（1）知22161cos 22b c A bc +−==，所以2216b c bc +−=，所以()2216332b c b c bc + +−≤，当且仅当4b c ==时等号成立，所以，()221632b c b c ++−≤，整理可得()264b c +≤， 所以8b c +≤，故ABC 的周长a b c ++的最大值为12.方法二：由（1）知4πsin sin sin 3b c B C ===，所以b B =，c C =， 记ABC 的周长为l，则4l a b c B C =++=， 由πA B C ++=，π3A =，得2π3B C =−，所以2π14sin sin 48cos 32l a b c C C C C=++=−+=++π48sin 6C =++ . 又20,3C π∈， 所以当π3C =时，max 12l =. 18. 甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为13，乙译出密码的概率为14，丙译出密码的概率为15，求： （1）其中恰有一人破译出密码的概率； （2）密码被破译的概率. 【答案】（1）1330（2）35【解析】【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案；（2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案. 【小问1详解】记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A 、B 、C ，则()13P A =，()14P B =，()15P C =，()12133P A =−=，()13144P B =−=，()14155P C =−=， 记“恰有一人破译出密码”为事件D ，由已知可得，()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++134********34534534530=××+××+××=. 【小问2详解】记“密码被破译出”为事件E ，因为()23423455P ABC =××=，所以()()315A P E P BC =−=.19. 如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得75ADC ∠=°，60BDC ∠=°，60ACD ∠=°，90BCD ∠=°，100m CD =.设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 两点之间的距离.（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】在ADC △中，根据正弦定理求出AC ，在BDC 中，根据正切求出BC ，在ABC 中，由余弦定理得出答案.【详解】在ADC △中，75ADC ∠=°，60ACD ∠=°，则45DAC ∠=°， 又100m DC =，由正弦定理，得)sin 100sin 75501sin sin 45DC ADC ACDAC ∠°===+∠°.在BDC 中，60BDC ∠=°，90BCD ∠=°，则tan 100tan 60BC DC BDC =∠=°=ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+−⋅∠)()()2250125019060°° ++−××−25000−.所以AB =答：A ，B两点之间的距离为.20. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为6的正方形，平面ABFE 与平面CDEF 的交线为EF .在（1）证明：//EF AB ；（2）若平面FBC ⊥平面ABCD ，FBC 中BC 边上的高4FH =，3EF =，求该几何体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）60 【解析】【分析】（1）根据已知结合线面平行的判定定理推得//AB 平面CDEF .然后即可根据线面平行的性质定理得出证明；（2）根据面面平行的性质可证明FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面FBC .即可得出FH ，EF 分别为四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的高，求出四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的体积，求和即可得出答案.【小问1详解】因为ABCD 是正方形，所以//AB CD . 又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF .又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =， 所以//EF AB . 【小问2详解】连接BE ，CE ，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ，FH BC ⊥，所以FH ⊥平面ABCD . 同理可得AB ⊥平面FBC .又//EF AB ，所以EF ⊥平面FBC .因此，FH ，EF 分别为四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的高，从而EF ABCDE ABCD E FBC V V V −−−=+111332AB CD FH BC FH EF =×××+××××21116464360332=××+××××=.21. 已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+−+的最大值为1. （1）求常数m 的值； （2）若0125x f =，0π0,3x∈ ，求0cos2x 的值. 【答案】（1）1m =−（2 【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得()π2sin 26x m f x=++，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出0π3sin 65x +=，0π4cos 65x +=，然后根据二倍角公式得出00ππsin2,cos 266x x++的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问1详解】()cos2f x x x m =+x x m =++π2sin 26x m++，当Z 2ππ2,62πk k x =+∈+，即π2π,6x k k Z =+∈时，()max 21f x m =+=， 所以1m =−. 【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x=+−. 由0125x f =得，0π12sin 21265x ×+−= ，所以0π3sin 65x+= . 又0π0,3x∈，所以0πππ,662x+∈ ，所以0π4cos 65x +=， 所以000πππ24sin22sin cos 66625x x x+=++=， 200ππ7cos212sin 6625x x+=−+=，所以0000ππ1ππcos2cos 2cos263266x x x x=+−=+++172422525=×+ 22. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，CD ⊥平面PAD ，M 是PD 的中点.（1）证明：AM PC ⊥；（2）若直线PC 与平面ABCD，求侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）45° 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得出CD AM ⊥.然后根据线面垂直的判定定理可得出AM ⊥平面PCD ，进而得出证明；（2）取AD 的中点E ，连接PE ，EC ，根据已知可推得PCE ∠是直线PC 与平面ABCD所成的角，tan PCE ∠2EC =，DC =.设平面PAD 与侧面PBC 交线为l ，根据线面平行的性质定理得出AD //l ，然后根据定义法得出EPF ∠是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角.在Rt PEF △中，即可得出答案..【小问1详解】因为CD ⊥平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥. 又因为PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥. 又CD PD D = ，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD . 因为PC ⊂平面PCD ， 所以AM PC ⊥. 【小问2详解】取AD 的中点E ，连接PE ，EC ，因为E 是AD 的中点，PA PD =，所以PE AD ⊥.又CD PE ⊥，AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，所以PCE ∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角，则tan PCE ∠因为PAD 是边长为2的等边三角形，所以PE =，所以tan PE PCE EC ∠== 所以2EC =. 又1DE =所以DC 设平面PAD 与侧面PBC 交线为l ，因为//BC AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .又因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD l =，,所以//BC l ，所以AD //l .取BC 的中点F ，连接EF ，PF ，则//EF AB ，AD EF ⊥.又因为AD PE ⊥，PE EF E ∩=，PE ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ， 所以AD ⊥平面PEF .因为PF ⊂平面PEF ，所以AD PF ⊥，所以l PF ⊥.又因为l PE ⊥，PE ⊂平面PAD ，PF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD l =， 所以EPF ∠是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角.在Rt PEF △中，PE =，EF DC ==，所以tan 1EFEPF PE∠==， 所以侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的大小为45°.。

第4题图 江苏省连云港市赣榆县智贤中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题2（无答案）苏教版一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在题目中的横线上）1．求值：错误!未找到引用源。

= ．2．已知角错误!未找到引用源。

的终边经过点错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

．3．一个样本错误!未找到引用源。

的方差是 ．4．如图所示是一飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 5．某商场想通过检查发票及销售记录的2℅来快速估计每月的销售总额，现采用系统抽样，从某本50张的发票存根中随机抽取1张，如15号，然后按顺序往后抽，依次为15，65，115…，则第五个号是 ．6．函数错误!未找到引用源。

的值域是 ．7．如图的算法伪代码运行后，输出的S 为 ．8．在一次选拔运动员中，测得7名选手的身高(单位：cm) 茎叶图为：⎪⎪⎪ 1817⎪⎪⎪ 0 10 3 x 8 9，记录的平均身高 为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 ．9．已知函数错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

R （其中错误!未找到引用源。

）的图象的一部分如图所示，则错误!未找到引用源。

= ． 10．函数错误!未找到引用源。

的单调递减区间是 ．11．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在第11题图SWhile End I I I S I While I int Pr 23251+←-⨯←≤←第7题图第9题 7321-2O x y19．（本小题满分16分）如图，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是两个小区的所在地，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

（第4题）江苏省连云港市赣榆区2016-2017学年高一数学下学期期末复习综合训练4（无答案）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 计算：cos15︒= ▲2.在三角形ABC 中，已知222a b c +=，则角C 的值是 ▲3.点P （1,1）在圆222240x y ax ay a +-++-=的内部，则实数a 的取值范围是 ▲ 4. 若将函数sin()3y x π=-图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式为 ▲5.的值为 ▲6.等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则MA MB ⋅=u u u r u u u r ▲ .7.在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为12，(0,)x π∈,则输入的x 的值为 ▲ ． 8. 运行如图的算法，则输出的结果是 ▲ ．9. 如图，在24⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,a b r r， 则向量a b +r r ，a b -r r 的夹角余弦值是 ▲ ．10. 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 11. 如图，在三角形OAB 中，C 是AB 上一点，且CB=2AC，设,,OA a OB b ==u u u r r u u u r r 试用,a b r r表示OC u u u r =▲第6题（第9题）12. 已知圆22()1x a y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，求正实数a 的取值范围是▲ ．13.已知平面凸四边形ABCD 的边长分别为2AB =，6BC =，4CD DA ==，则四边形ABCD 的面积的最大值是 ▲14.已知(3,0)B 是以点A(2,2)为圆心的圆内一点，P 是直线250x y -+=上任意一点，直线PB 截圆A 所得弦的中点是Q ，则BQ BP u u u r u u u rg 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知33sin ,(,)52x x ππ=-∈ （1）计算5tan()4x π-（2）化简22sin sin 2cos 2x xx-16. （本小题满分14分）已知函数(sin(),1),(cos(),1)88a x b x ππ=+=+r r ，()12(3)f x a a b =-r r r g ，x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()(0,)8f x x ππ+=∈，求x 的值。

江苏省连云港市赣榆区2016-2017学年高一数学下学期期末复习综合训练6（无答案）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．sin300的值等于 ▲ ．2. 在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状是 ▲ ．3. 已知向量(1,3)a =,(3,1)b =，则,a b 夹角的大小为 ▲ .4. 根据如图所示的程序，可知输出T 的值为 ▲5. 已知6α=-，则角α的终边在第 ▲ 象限．6. 设向量(2,6)a =-，(1,)b x =-，若//a b ，则||b = ▲ ．7.已知圆2214204x y x by b ++++-=与y 相切，则实数b 的值是 ▲ ．8. Read 0i ←，S 0← While 14i < sin()6S S i π←+⨯1i i ←+End While Print S上述伪代码运行的结果是 ▲ ． 9. 计算：1sin10= ▲ ．10. 已知sinx y ==，且,x y 均为锐角，求x y +的值等于 ▲ ．11. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)图象与2y =交点之间的最短距离为π，对于任意x R ∈，总有2|()|()3f x f π≥，则f (x )的解析式是 ▲ ．12. 若,(0,),2παβ∈cos()2βα-=1sin(),22αβ-=-则cos()αβ+的值等于 ▲ ．13. 动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是)23,21(，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是 ▲ ．14. 已知点P 是圆O ：224x y +=上的动点，AB 是圆C ：22(3)(4)1x y -+-=的任意一条直径，则PA PB 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量||4,||3,,a b a b ==的夹角θ是120。