2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：3 Word版含解析

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：21Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·贵阳一中适应性考试)已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B.[答案] B2．(20xx·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α[解析] 过直线a上一点，作b的平行线c，则直线a，c确定一个平面，易证垂直于该平面的直线同时垂直于直线a和b，由于这样的直线有无数条，故A错误；由空间两直线夹角的定义易证，若l∥a且l⊥b，则b⊥a，故B错；过直线a上一点作b的平行线n，记a，n确定的平面为a，显然b∥α，即存在性成立，假设存在平面α，β，使得a⊂α，a⊂β，且b∥α，b∥β，则α∩β＝a，所以b∥a，与题意矛盾，故唯一性成立，故C正确；假设存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则b⊥a，与题意矛盾，故D错误 .[答案] C3．(20x x·宁波统考)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[解析] 因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.[答案] D4．已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为( )①若a⊥α，b⊥β，l⊥γ，a∥b∥l，则α∥β∥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若a⊂α，b⊂β，α∩β＝a，l⊥a，l⊥b，则l⊥β；④若a，b为异面直线，a⊥α，b⊥β，l⊥a，l⊥b，l⊄α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l.A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④[解析] 对于①，a，b，l就相当于平面α，β，γ的法线，因为a∥b∥l，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a∥b，由线面垂直的判定定理可知，直线l不一定垂直于β，只有当a与b相交时，l⊥β，所以③不正确；对于④，由a⊥α，l⊥a，且l⊄α，得l∥α.又b⊥β，l⊥b，l⊄β，所以l∥β.由直线a，b为异面直线，且a⊥α，b⊥β，得α与β相交，否则a∥b，与a，b异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l，所以④正确．[答案] A5．(20xx·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.1 3[解析] 因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.[答案] A6．(20xx·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．选B.[答案] B二、填空题7．(20xx·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.[解析] 根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD 的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.[答案] 28．(20xx·云南省11校高三调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确命题的序号是________．[解析] 对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n；由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1；又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.[答案] ②④9．(20xx·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为，则点M到平面ABC的距离为________．[解析] 在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝，∴△AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设AD 的延长线交BC于E，则AD＝，DE＝，CE＝.根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝，连接AE，则AE2＝CA2＋CE2－2CA·CEcos∠ECA＝，于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE＝E，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM 的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝，AE＝，所以由VA －BCM＝VM－ABC，可得××＝×××1×h，∴h＝.[答案] 1 2三、解答题10．(20xx·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.11．(20xx·南昌摸底)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1.(1)证明：BC⊥AB1；(2)若OC＝OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．[解] (1)证明：由题意，tan∠ABD＝＝，tan∠AB1B＝＝，由图可知0<∠ABD，∠AB1B<，所以∠ABD＝∠AB1B，所以∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋∠BAB1＝，所以AB1⊥BD，又CO⊥侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO.又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD，又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC⊥AB1.(2)如图，以O 为原点，分别以OD ，OB1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A ，B ，C ，B1，D ，又因为＝2，所以C1.所以＝，＝，DC1→＝.设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则根据可得⎝ ⎛ －63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0.令x ＝1，则y ＝，z ＝－， 所以n ＝(1，，－)是平面ABC 的一个法向量，设直线C1D 与平面ABC 所成角为α，则sin α＝＝.12．(20xx·贵州省××市高三监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE ；(2)若正四棱锥P －ABCD 的高为1，求二面角C －AF －P 的余弦值．[解] (1)证明：∵直三棱柱ADE －BCF 中，AB⊥平面ADE ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABFE.(2)∵AD∥BC，AD⊥平面ABFE ，∴BC⊥平面ABFE ，且AB⊥BF，建立以B 为坐标原点，BA ，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．∵正四棱锥P －ABCD 的高为1，AE ＝AD ＝2，∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)， ∴＝(－2,2,0)，＝(0,2，－2)，＝(1,1，－1)，设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF 的一个法向量，则n1⊥，n1⊥，∴即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x1＋2＝0，2－2z1＝0，解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF 的一个法向量，则n2⊥，n2⊥，∴即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x2＋2＝0，x2＋1－z2＝0，解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)．∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝，又二面角C －AF －P 是锐角，∴二面角C －AF －P 的余弦值是.。

追踪加强训练 (二)一、选择题1．(2017·沈阳质检方程π＝x的解的个数是 ())sin x4A ．5 B．6 C．7 D．8x [ 分析 ]在同一平面直角坐标系中画出y1＝sin πx和 y2＝4的图象，如右图：x察看图象可知y1＝sin πx和 y2＝4的图象在第一象限有 3 个交点，依据对称性可知，在第三象限也有3 个交点，再加上原点，共 7 个交x点，因此方程 sin πx＝4有 7 个解，应选 C.[答案]C2．(2017 ·郑州模拟 )若实数 x，y 知足等式 x2＋y2＝1，那么x－y2的最大值为 ()133A. 2B. 3C. 2D. 3y[ 分析 ] 设 k ＝x －2，如下图，13k PB＝tan ∠OPB ＝22－12＝3，3k PA ＝－ tan ∠ OPA ＝－ 3 ，3且 k PA ≤k ≤k PB ，∴ k max ＝ 3 ，应选 B.[答案]B3．(2017 ·宝鸡质检 )若方程 x ＋k ＝ 1－x 2有且只有一个解，则 k的取值范围是 ()A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝ 2或 k ∈[ －1,1)[ 分析 ] 令 y 1＝x ＋k ，y 2＝ 1－x 2，则 x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而 y1＝x＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解? 直线与上述半圆只有一个公共点? k＝2或－ 1≤k<1，应选 D.[答案]D4．(2016 ·广州检测 )已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()11A. 0，2B. 2，1C．(1,2)D．(2，＋∞ )[分析]先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如下图，当直线g(x)＝kx与直线AB 平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx 过A 点时斜率1为2，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为12，1，应选B.[答案]B5．(2017 ·西安二模 )若方程 x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0 的两根分别b为椭圆、双曲线的离心率，则a的取值范围是()A．(－2，－ 1)B．(－∞，－ 2)∪(－1，＋∞ )1C. －2，－21D ．(－∞，－ 2)∪ －2，＋∞[ 分析 ] 由题意可知，方程的一个根位于 (0,1)之间，另一个根大于 1.设 f(x)＝x 2＋(1＋a)x ＋1＋a ＋b ，则f 0 >0， 1＋a ＋b>0，f 1 <0，即2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中暗影部分所示．ba 能够看作可行域内的点(a ，b)与原点 O(0,0)连线的斜率，由2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得 A(－2,1)，过点 A 、O 作 l 1，过点 O 作平行b1于直线 2a ＋b ＋3＝0 的直线 l 2，易知 kl 2<a <kl 1，又 kl 1＝－ 2，kl 2＝－ 2，b 1∴－ 2<a <－2.应选 C.[答案]C6．(2017 ·南宁一模 )在平面直角坐标系中， O 为原点， A(－1,0)，→ → → →B(0， 3)，C(3,0)，动点 D 知足 |CD|＝1，则 |OA ＋OB ＋OD|的取值范围是()A ．[4,6]B．[19－1， 19＋1]C．[2 3，2 7]D．[7－1， 7＋1]→[ 分析 ]设D(x，y)，则由|CD|＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.→→→又∵ OA＋ OB＋OD＝(x－1，y＋3)，→→→∴|OA＋OB＋OD|＝x－1 2＋ y＋ 3 2.→→→∴|OA＋OB＋OD|的几何意义是点 P(1，－ 3)与圆 (x－3)2＋y2＝1→→ →上点之间的距离 (如图 )，由|PC|＝ 7知，|OA＋OB＋OD |的最大值是 1＋7，最小值是 7－1，应选 D.[答案]D二、填空题7．(2017 ·青岛二模 )已知奇函数 f(x)的定义域是 { x|x≠0，x∈R} ，且在 (0，＋∞)上单一递加，若 f(1)＝0，则知足 x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 ________．[分析 ]作出切合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0 的 x 的取值范围是 (－1,0)∪(0,1)．[答案](－1,0)∪ (0,1)1x＋3，x≥2，8．(2017 ·合肥质检 )已知函数 f(x)＝24log2x，0<x<2.若函数 g(x)＝f(x)－k 有两个不一样的零点，则实数 k 的取值范围是________．[ 分析 ]画出函数f(x)的图象如图．要使函数 g(x)＝f(x)－k 有两个不一样零点，只要 y＝f(x)与 y＝k 的3图象有两个不一样的交点，由图象易知k∈4，1 .3[答案]4，19． (2017 ·山西四校模拟 )设等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若S4≥10，S5≤15，则 a4的最大值为 ________．4×3[分析]4a1＋2d≥10，即2a1＋3d≥5，由题意可得5×4又5a1＋a1＋2d≤3.2d≤15，a4＝a1＋3d，故本题可转变为线性规划问题．画出可行域如下图．作出直线 a1＋3d＝0，经平移可知当直线 a4＝a1＋3d 过可行域内点 A(1,1)时，截距最大，此时 a4取最大值 4.[答案] 4三、解答题10．(2017 ·海口模拟 )设对于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0 在区间(0,2 π)内有相异的两个实数α、β.(1)务实数 a 的取值范围；(2)求α＋β的值．[ 解](1)原方程可化为 sin θ＋π＝－a，32π作出函数 y＝sin x＋3 (x∈(0,2 π的))图象．由图知，方程在 (0,2 π)内有相异实根α，β 的充要条件是a－1<－2<1，a 3－2≠2，即－ 2<a<－ 3或－ 3<a<2.(2) 由图知：当－，即－ a∈ －1， 3时，直线 y ＝－a与3<a<22 22三角函数 y ＝sin x ＋ π7π3 的图象交于 C 、D 两点，它们中点的横坐标为 6 ，α＋ β 7π因此 2 ＝ 6 ，7π因此 α＋β＝ 3 .当－ 2<a<－a 3，即－ 2∈32 ，1时，直线 a y ＝－ 2与三角函数yπ＝sin x ＋3 的图象有两交点A 、B ，α＋ β ππ由对称性知， 2 ＝6，因此 α＋β＝3，π 7π综上所述， α＋β＝ 3或3.．(2017·福州质检 ) 已知圆C 的方程为(x －2) 2＋y 2＝4，圆 M 的11方程为 (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆 M 上随意一点 P→ →作圆 C 的两条切线 PE 、PF ，切点分别为 E 、F ，求 PE ·PF 的最小值．[ 解] 由题意，可知圆心 M 的坐标为 (2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心 M 的轨迹方程为 (x －2)2＋y 2＝25，→ →如图，经剖析可知，只有当 P 在线段 MC 上时，才能够使 PE ·PF 最小，此时 PC ＝4，又 Rt △PEC 中， EC ＝2，则 PE ＝2 3，∠ EPC＝ 30°，∴ PF ＝ PE ＝ 2 3 ，∠ EPF ＝ 2 ∠ EPC ＝ 2×30°＝ 60°，故→ →(PE ·PF)min ＝(2 3)2×cos60°＝6.12.右边的 形无穷向内延 ， 最外面的正方形的 是2，从外 到内，第 n 个正方形与其内切 之 的深色 形面 S∈ * ) ． n (n N(1) 明： n＝2S n＋1∈ * ) ；S(n N(2) 明： 1＋S 2＋⋯＋ S n－ π.S<8 2[ 明](1) 第 n(n ∈N * )个正方形的 a n ， 其内切 半径a n，第 n ＋1 个正方形的2a n ，其内切 半径2a n ，因此2242a n 2 2 πS n ＝a n －π 2 ＝a n 1－ 4(n ∈N *)，221 π 1S n ＋1＝ 2a n 2－π 4 a n 2＝a n 2 2－8 ＝2S n (n ∈N * )．因此 S n ＝2S n ＋ 1(n ∈N * )．由可知， ＝22×－ π π1(2)＝ 4－π，S ＝2－ ，⋯，S ＝(4－π)(1) S 1 1 42 2 n 2n － 1，111因此T ＝S ＋S ＋⋯＋S ＝(4－π)×1＋＋ 2＋⋯＋n－1＝－n12n222(41 n11－2π)×＝(8－2π)－n1121－2<8－2π.。

2019-2020年高三总复习质量检测（三）数学（理）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）· 球的表面积公式 S ＝球的体积公式 V ＝其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，集合，则（A ） （B ） （C ） （D ）（2）若实数满足条件01001x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥，≥，≤≤， 则的最小值为（A ） （B ） （C ） （D ）（3）运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 （A ） （B ） （C ） （D ）（4）某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（A ） （B ） （C ） （D ）（5）下列结论错误的是（A）若“”为假命题，则均为假命题（B）“”是“”的充分不必要条件（C）命题：“”的否定是“”（D）命题：“若，则”的逆否命题为“若，则”（6）设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率为（A）（B）（C）（D）（7）双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则该双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（A）当时，有3个零点，当时，有个零点（B）当时，有4个零点，当时，有个零点（C）无论为何值，均有个零点（D）无论为何值，均有个零点河北区xx－xx高三年级总复习质量检测（三）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2019-2020年高三第二次综合练习数学理试题含答案一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则= （）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN 过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．。

追踪加强训练 (十)一、选择题1．(2017 ·东北三校联考 )已知 a>b，则以下不等式中恒建立的是()A ．lna>lnb1 1B.a<bC．a2>ab D．a2＋b2>2ab[ 分析 ] 只有在 a>b>0 时，A 才存心义， A 错；B 选项需要 a，b同正或同负， B 错； C 只有 a>0 时正确；由于 a≠b，因此 D 正确．[答案]Dx2－4x＋6，x≥0，2．(2017 ·大连一模 )设函数f(x)＝则不等式x＋6，x<0，f(x)>f(1)的解集是 ()A ．(－3,1)∪(3，＋∞ ) C．(－1,1)∪(3，＋∞ )B．(－3,1)∪(2，＋∞ ) D．(－∞，－ 3)∪(1,3)[ 分析 ] 由题意得， f(1)＝3，因此 f(x)>f(1)＝3，即 f(x)>3，假如 x<0，则 x＋6>3，可得－ 3<x<0；假如 x≥0，则 x2－4x＋6>3，可得 x>3 或 0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．应选 A.[答案]A3．(2017 ·长春第二次质检 )若对于 x 的不等式 ax－b>0 的解集是ax2＋bx(－∞，－ 2)，则对于 x 的不等式x－1>0 的解集为()A ．(－2,0)∪(1，＋∞ ) B．(－∞， 0)∪(1,2)C ．(－∞，－ 2)∪(0,1)D ．(－∞， 1)∪(2，＋∞ )[分析]对于 x 的不等式 ax －b>0 的解集是 (－∞，－2)，∴a<0，bax 2＋bxax 2－2axx 2－2xa ＝－ 2，∴b ＝－ 2a ，∴－＝－1 .∵a<0，∴－1 <0，解得x 1 x xx<0 或 1<x<2.应选 B.[答案]B4 ． (2017 ·江 西 师 大 附 中 摸底 ) 若 关 于 x ， y 的 不等 式 组x ≤0，x ＋y ≥0， 表示的平面地区是等腰直角三角形地区， 则其表示的kx －y ＋1≥0地区面积为 ()1 1 1 1A. 2或4B.2或811C ．1 或2D ．1 或4[分析]由不等式组表示的平面地区是等腰直角三角形地区，得＝ 或 1 ，当 ＝ 0 时，表示地区的面积为 1；当 k ＝1 时，表示地区 k 0 k 2的面积为 1，应选 A.4[答案] A． ·甘肃会宁一中月考 ) 对一确实数 ，不等式 x 2＋a|x|＋1≥0 5 (2017x 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(－∞，－ 2)B ．[－2，＋∞ )C ．[－2,2]D ．[0，＋∞ )[ 分析 ] 当 ＝ 0 时，不等式 2 ＋a|x|＋1≥0 恒建立，a ∈R ；当 x ≠0 x x21的最大时，则有 a ≥ －1－|x| ＝－ ＋ 1 ，故 a 大于或等于－ ＋|x| |x| |x||x| |x|值．由基本不等式可得1|x|＋|x|≥2，∴－1|x|＋|x|≤－2，即－1|x|＋|x|的最大值为－ 2，故实数 a 的取值范围是 [－2，＋∞)，应选 B.[答案]Bx≥0，6．(2017 ·浙江卷 )若 x，y 知足拘束条件 x＋y－3≥0，则 z＝x x－2y≤0，＋2y 的取值范围是 ()A ．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞ ) D．[4，＋∞ )[ 分析 ]不等式组形成的可行域如下图．1平移直线 y＝－2x，当直线过点 A(2,1)时，z 有最小值 4.明显 z 没有最大值．应选 D.[答案]D7 ． (2017 ·东北三省四市二联 ) 已知实数x ， y满足x－2y＋1≥0，x<2，＝－－，则的取值范围是()z|2x 2y1|zx＋y－1≥0，5A. 3，5B．[0,5]5C．[0,5) D. 3，5[分析]x，y拘束条件限制的可行域为如图暗影地区，令u＝2x－2y－1，则y＝x－u＋12，先画出直线y＝x，再平移直线y＝ x，当经过点A(2，－1)，B 1 23，3时，代入5u 中，可知－ 3≤u<5，∴z＝|u|∈[0,5)，应选 C.[答案]C8 ． (2017 ·山东滨州模拟 ) 已知变量x ， y 满足拘束条件x≥2，3x－y≥1，若 z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值为 2，则 ab 的最大y≥x＋1，值为()111A ．1 B.2 C.4 D.6[分析]作出不等式组知足的可行域如下图，目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)，故当 x，y 均取最小值时， z 取到最小值．即当 x＝2，y＝3 时， z＝ax＋by 获得最小值 2，即 2a＋3b＝2，2a＋3b 211因此 2a·3b≤4＝1，当且仅当 2a＝3b＝1，即 a＝2，b＝3时等1号建立，因此 (6ab)max＝1，即 (ab)max＝6.[答案]D9．(2017 ·四川资阳诊疗 )已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，则 a＋2b 的最小值为 ()A ．5＋2 2 B．8 2 C．5 D．9b[ 分析 ]∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴ a＝b－2>0，解得b>2.b2则 a ＋ 2b ＝b－2＋ 2b ＝ 1 ＋b－2＋ 2(b－ 2)＋ 4≥5＋22·2 b －2 ＝9，当且仅当 b ＝3，a ＝3 时等号建立，其最小值b －2为 9.[答案]Dx 2－4x ＋3，x ≤0，10．(2017·北京东城区质检)已知 f(x)＝－x 2－2x ＋3，x>0，不等式 f(x ＋a)>f(2a － x)在[a ，a ＋1]上恒建立，则实数 a 的取值范围是()A ．(－∞，－ 2)B ．(－∞， 0)C ．(0,2)D ．(－2,0)[ 分析 ] 二次函数 y ＝x 2－4x ＋3 的对称轴是 x ＝2，∴该函数在 (－ ∞，0]上单一递减，∴ x 2－4x ＋3≥3.相同可知函数 y ＝－ x 2－2x ＋3 在(0，＋ ∞)上单一递减，∴－ x 2－2x ＋3<3，∴ f(x)在 R 上单一递减，∴由 f(x ＋a)>f(2a －x)得 x ＋a<2a －x ，即 2x<a ，∴ 2x<a 在[a ，a ＋1]上恒建立，∴ 2(a ＋1)<a ，∴ a<－2，∴实数 a 的取值范围是 (－ ∞，－ 2)．[答案] A． ·厦门一模 )若正实数 ， y 知足 ＋ ＋1＋ 1＝5，则 x ＋ 11 (2017 x x y x yy 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．41 1x＋y[分析]将 x＋ y＋x＋y＝5化为5＝x＋y＋xy .由于 x>0，y>0，x＋y44因此 5≥x＋y＋x＋y2＝x＋y＋x＋y，令 t＝x＋y>0，则 t＋t≤5，即2t2－5t＋4≤0，解得 1≤t≤4，即 1≤x＋y≤4，当且仅当 x＝y＝2 或 x 1＝y＝2时等号建立．因此x＋y 的最大值是 4.应选 D.[答案]D12． (2017 ·长春模拟 ) 对于x 的方程x2＋ (a＋ 1)x＋ a＋ b＋1＝b0(a≠0，a，b∈R)的两个实根分别为x1，x2，若 0<x1<1<x2<2，则a的取值范围是 ()A. －2，－4B. －3，－4 525C. －5，－2 D. －5，－1 4342[分析]设 f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，则方程 f(x)＝0 的两个实f 0＝a＋b＋1>0，根分别为 x1，x2，且知足 0<x1<1<x2<2 等价于 f 1＝2a＋b＋ 3<0，f 2＝3a＋b＋ 7>0，作出点 (a，b)知足的可行域如图中暗影部分所示，此中 A(－2,1)，B(－，C(－，b的几何意义是可行域内随意一点(a，b)与原点 O 连3,2)4,5)a线的斜率，又 k＝－1，k＝－2， kOC＝－5，故b的取值范围是OA2OB34a 51.应选 D.－4，－2[答案]D二、填空题13．(2016 ·安康二模 )把一段长 16 米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为________．[ 分析 ] 设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x>0，则围成的x16－x 2x 2－ 24＋4S ＝ 16 x＝8，当且仅当两个正方形面积之和为4 ＋4≥ 2x 16－x4＝4，即 x ＝8 时，等号建立．故两个正方形面积之和的最小值为 8.[答案]814．(2016 ·全国卷Ⅰ )某高科技公司生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品A 需要甲资料 1.5 kg ，乙资料 1 kg ，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲资料 0.5 kg ，乙资料 0.3 kg ，用3 个工时．生产一件产品 A 的收益为 2100 元，生产一件产品 B 的收益为 900 元．该公司现有甲资料 150 kg ，乙资料 90 kg ，则在不超出600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的收益之和的最大值为________元．[分析] 由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，收益 z1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，＝＋ 900y ，线性拘束条件为 5x ＋3y ≤600，作出不等式2100xx ≥0， y ≥0，组表示的平面地区如图中暗影部分所示，又由 x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为 (60,100)，因此 z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．[ 答案 ] 21600015 ． (2017 ·河 北 衡 水 中 学 调 研 ) 已 知 实 数x ， y 满 足x －2y ＋1≥0， 则 z ＝2x ＋y ＋ 2的取值范围是 ________．|x|－y －1≤0，x[分析]2020届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：10Word版含解析.doc2x＋y＋2y＋2作出不等式组表示的平面地区如下图，z＝x＝2＋x 表示的几何意义为地区内的点到点P(0，－ 2)的斜率 k 加上 2.由于A(3,2)，C(－1,0)，因此 k AP＝4，k CP＝－ 2，因此由图知 k≥4或 k≤－33，因此＋≥10或 k＋2≤0，即 z≥10或 z≤0，故 z 的取值范围是2k 23310(－∞，0]∪3，＋∞.10[答案](－∞，0]∪3，＋∞16．(2017 ·郑州高三检测 )若正数 x，y 知足 x2＋3xy－1＝0，则 x ＋y的最小值是 ________．[分析]对于 x2＋3xy－1＝0 可得 y＝11－x ，∴ x＋y＝2x＋1 3x33x≥22222时等号建立 )，故 x＋y 的最小值是22 9＝3 (当且仅当 x＝2 3. [答案]223。

追踪加强训练 (十九 )1．(2017 ·沈阳 )已知数列 { a n} 是公差不0 的等差数列，首a1＝1，且 a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)数列 { b n} 足 b n＝a n＋，求数列{ b n}的前n和T n.[ 解] (1)数列 { a n} 的公差 d，由已知得， a22＝a1a4，即 (1＋d)2＝1＋3d，解得 d＝ 0 或 d＝1.又 d≠0，∴ d＝1，可得 a n＝n.(2)由(1)得 b n＝n＋2n，∴ T n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋⋯＋(n＋2n)＝ (1＋2＋ 3＋⋯＋n)＋(2＋22＋23＋⋯＋ 2n)＝n n＋1＋2n＋ 1－2.2S1＝a2－2，a1＝1，[解](1)由意得，a1＋a2＝2a3－6，解得 a2＝3，a1＋a2＋a3＝9，a3＝5，当 n≥2 ， S n－1＝ (n－1)a n－(n－1)n，因此 a n＝na n＋1－n(n＋1)－ (n－1)a n＋(n－1)n，即 a n＋1－a n＝2.又 a2－a1＝2，因此数列 { a n} 是首 1，公差 2 的等差数列，进而 a n＝2n－1.T n＝1×21＋3×22＋5×23＋⋯＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，2T n＝1×22＋3×23＋5×24＋⋯＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.两式相减得－T n＝1×21＋2×22＋2×23＋⋯＋2×2n－(2n－1)×2n＋1＝－ 2＋2×(21＋22＋23＋⋯＋2n)－(2n－1)×2n＋12× 1－2n＝－2＋2×－(2n－1)×2n＋1n＋ 2 n＋1 n＋1＝－ 2＋2 －4－(2n－1)×2 ＝－ 6－(2n－3)×2 .3．数列 { a n} 的前 n 和 S n，且首 a1≠3，a n＋1＝S n＋3n(n∈N*)．(1)求： { S n－3n} 是等比数列；(2)若{ a n}增数列，求a1的取范．[ 解] (1)明：∵ a n＋1＝S n＋3n，(n∈N*)∴S n＋1＝2S n＋3n，∴S n＋1－3n＋1＝2(S n－3n)，∵ a1≠3.S n＋1－3n＋1＝2，∴S n－3n∴数列 { S n－3n} 是公比 2，首 a1－3 的等比数列．(2)由(1)得 S n－3n＝(a1－3)×2n－1，∴ S n＝(a1－3)×2n－1＋3n，∴当 n≥2 ， a n＝S n－S n－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∵ { a n}增数列，∴n≥2 ，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴n≥2，2 n －212× 3 n －2－3 >0，2 ＋a 1可得 n ≥2 ， a >3－12× 3 n－2，12又当 n ＝2 ， 3－12× 32n－2有最大 － 9，∴ a 1>－9，又 a 2＝a 1＋3 足 a 2>a 1，∴ a 1 的取 范 是 (－9，＋ ∞)．4．(2017 ·昆明模 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，a 1＝1，当 n ≥2， a n ＝2a n S n －2S 2n .(1)求数列 { a n } 的通 公式；(2)能否存在正数 k ，使 (1＋S 1)(1＋S 2)⋯(1＋S n )≥k2n ＋1 全部正整数 n 都建立？若存在， 求 k 的取 范 ；若不存在， 明原因．[ 解] (1)∵当 n ≥ 2 ， a n ＝S n －S n － 1，a n ＝2a n n －2S n 2，S∴ S n －S n － 1＝2(S n －S n － 1)S n －2S 2n .∴ S n －1－S n ＝2S n S n －1.∴1－ 1＝2.S n S n －1111＝1，公差 2∴数列 S n是首 S 1＝a 1 的等差数列，1即 S n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.1∴S n＝2n －1.11当 n ≥2 ， a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2 n －1 －1－2＝2n －1 2n －3.1，n＝1，∴数列 { a n} 的通公式 a n＝－22n－1 2n－3，n≥2.(2) b n＝1＋S11＋S2⋯ 1＋S n，2n＋1b n＋1＝ 1＋S1 1＋S2⋯ 1＋S n 1＋S n＋1.2n＋311由 (1)知 S n＝2n－1，S n＋1＝2n＋1，b n＋11＋ S n＋1 2n＋12n＋ 2∴b n＝2n＋3＝2n＋1 2n＋34n2＋8n＋4＝4n2＋8n＋3>1.又 b n>0，∴数列 { b n} 是增数列．由 (1＋S1)(1＋S2)⋯(1＋S n)≥k 2n＋ 1，得 b n≥k.2 2 3∴k≤b1＝3＝3 .∴存在正数 k，使 (1＋S1)(1＋S2)⋯(1＋S n)≥k 2n＋1全部正整数 n都建立，且 k 的取范 0，233.。

数学(理科)试题2019-2020年高三下学期强化训练第二次模拟考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则( )A. B. C. D.2.若复数，则（ ）A. B. C. D.3.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ）A. B.C. D.4.下列命题正确的是（ ）A. 函数在区间内单调递增；B. 函数的图象关于直线成轴对称图形C. 函数的最小正周期为D.函数的图象是关于点成中心对称的图形5. 已知条件；条件直线与圆相切，则是的（ ）A.充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D.必要不充分条件6.已知向量()()cos ,2,sin ,1a b αα=-=，且，则等于（ ）A. B. C. 3 D.7.已知两条直线()()12:34350,:2680l m x y m l x m y +++-=++-=，且，则直线的一个方向向量是（ ）A. B. C. D.8.已知满足约束条件1,1,1,x y x y x a -≥⎧⎪+≥⎨⎪<≤⎩目标函数的最大值为10，则实数的值是（ ）A. 4B.C. 2D. 89.设等比数列的前项和为，若成等差数列，则数列的公比的值等于（ ）A. 或B. 或C.D.110.在边长为4的等边三角形的内部任取一点P ，使得的概率为（ ）A. B. C. D.11.若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.定义R 上的函数满足，当时，()231212,01,22,12,x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数，若对任意，存在，不等式成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2224题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若()62212012121x x a a x a x a x ++=+++，则 .14.一个无上盖容器的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为.15.如上右图，是一个程序框图，则输出的结果为 .16.已知双曲线的左右焦点分别为，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为，则的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在三角形ABC 中，已知222sin sin sin sin sin ,A A B B C ++=其中角A,B,C 的对边分别是（1）求角C 的大小；（2）求的取值范围.18.(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：（1）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到如下数据：根据表中数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，在不近视的学生中按照成绩是否在50名分层抽样抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，AE 底面CDE ，已知AE=DE=2，F 为线段DE 的中点.（1）求证：BE//平面ACF;（2）求平面BCF 与平面BEF 夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点F 的距离等于5.（1）求抛物线C 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点()()()()112233123,,,,,0A x y B x y C x y x x x <≤<在抛物线上，可设直线BC 的斜率为，求正方形ABCD 面积的最小值.20.(本小题满分12分)已知函数()()2ln , 2.f x x x g x x ax ==-+- （1）求在上的最小值；（2）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在中，AB=BC ，以AB 为直径的交AC 于点D,过点D 作，垂足为E ，连结EA 交于点F. 求证：（1）DE 是的切线；（2）23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线()2:s i n 2c o s 0C a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数），与C 分别交于M,N 两点.（1）写出C 的平面直角坐标方程和的普通方程；（2）若成等比数列，求的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲设函数（1）求的最小值，并求出取最小值时的取值范围；（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.。

追踪加强训练 (三)一、选择题1若 f(a)<1，则． ·武汉二模 ) 设函数 f(x) ＝ 2 x－7，x<0，1 (2017x ，x ≥0，实数 a 的取值范围是 ()A ．(－∞，－ 3)B ．(1，＋∞ )C ．(－3,1)D ．(－∞，－ 3)∪(1，＋∞ )[分析]1 a1 a解法一：当 a<0 时，不等式 f(a)<1 为 2 －7<1，即 2 <8， 1 1 －3 1即 2 a < 2 ，因为 0<2<1，所以 a>－3，此时－ 3<a<0；当 a ≥0 时，不等式 f(a)<1 为 a<1，所以 0≤a<1.故 a 的取值范围是 (－3,1)，应选C.解法二：取 a ＝ 0, f(0)＝0<1，切合题意，清除 A ，B ，D.[答案] C． ·大同二模 已知函数 f(x) ＝2＋ mx ＋1的定义域是实数 2 (2017 ) mx集 R ，则实数 m 的取值范围是 ()A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[ 分析 ] 因为函数 f(x)＝ mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集 R ，所以m ≥0，当 m ＝0 时，函数 f(x)＝1，其定义域是实数集 R ；当 m>0 时，则＝ m 2－4m ≤0，解得 0<m ≤4.综上所述，实数 m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案]B3．(2017 ·太原模拟 )4 名大学生到三家公司应聘，每名大学生至多被一家公司录取，则每家公司起码录取 1 名大学生的状况有 ( )A ．24 种B ．36 种C ．48 种D ．60 种[ 分析 ] 每家公司起码录取一名大学生的状况有两类：一类是每家公司都录取一名，有 C 34A 33＝24(种)；一类是此中一家公司录取了 2名，有 C 24A 33＝36(种)，所以一共有 24＋36＝60(种)，应选 D.[答案]D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条π渐近线的倾斜角为3，则该双曲线的离心率为 ()2 3A ．2或 3B ．2或 32 3C. 3D ．2x2y2[分析]当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为b b π 3，故双曲线y ＝± ，所以 ＝tan ＝axa3c b2＋ ＝ ；的离心率 e ＝ ＝1＋2＝aa1 3 2当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 y 2 x 2a 2 －b 2 ＝，，渐近线方程为 a a πb 3 ，1(a>0 b>0) ＝± ，所以 ＝tan ＝ 3，则 ＝ 3ybxb3acb23 22 3所以双曲线的离心率 e ＝a ＝1＋a 2＝1＋ 3 ＝3 .应选 B.[答案]B5．(2016 ·浙江卷 )已知 a ，b>0 且 a ≠1，b ≠1，若 log a b>1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b)>0C ．(b －1)(b －a)<0D ．(b －1)(b －a)>0[分析]∵a ，b>0 且 a ≠1，b ≠1，∴当 a>1，即 a －1>0 时，不等式 log a b>1 可化为 alog a b>a1，即 b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.当 0<a<1，即 a－1<0 时，不等式 log a b>1 可化为 alog a b<a1，即0<b<a<1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，选 D.[答案]D6．如图，过正方体 ABCD－A1B1C1D1随意两条棱的中点作直线，此中与平面 CB1D1平行的直线有 ()A．18 条B．20 条C．21 条D．22条[分析 ]设各边的中点如下图，此中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共 5 条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共 5 条；与直线 CB1平行的有 F1M，FL ，HK，NH1，GE1，共5 条．分别取CB1，B1D1，CD 1的中点如图，连结CO，D1P，B1T，与直线 CO 平行的有 GH1，FE1，共 2 条；与直线 D1P 平行的有 H1L，NF，共 2 条；与直线 B1T 平行的有 E1N，GL，共 2 条．故与平面 CB1D1平行的直线共有 5＋5＋5＋2＋2＋2＝21 条．[答案]C二、填空题7．(2017 ·郑州模拟 )过点 P(3,4)与圆 x2－2x＋y2－3＝0 相切的直线方程为 ______________．[ 分析 ]圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3 合适；当直线的斜率存在时，不如设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0.|k－0＋4－3k|3由k2＋1＝2，得 k＝4.3此时直线方程为y－4＝4(x－3)，即 3x－4y＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x＝3 或 3x－4y＋7＝0.[答案]x＝3 或 3x－4y＋7＝08．正三棱柱的侧面睁开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为 ________．[分析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积＝×3×1×4V22＝43；4 2 3 1 8 3 当长、宽分别为 4和 6时，体积 V ＝ 3× 3 ×2×6＝ 3 .8 3综上所述，所求体积为43或3.8 3[答案] 4 3或 39．(2017 ·深圳模拟 )若函数 f(x)＝mx 2－x ＋ln x 存在单一递减区间，则实数 m 的取值范围是 ________．1 2mx 2－x ＋1[ 分析 ] f ′(x)＝2mx －1＋x ＝x，即 2mx 2－x ＋1<0 在(0，＋ ∞)上有解．当 m ≤0 时明显建立；当 m>0 时，因为函数 y ＝2mx 2－x ＋1 的图象的对称轴 x ＝4m 1>0，1故需且只要>0，即 1－8m>0，故 0<m<8.11综上所述， m<8，故实数 m 的取值范围为－∞，8 .1[答案 ]－∞，8三、解答题10．已知等差数列 { a n } 知足： a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列．(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，能否存在正整数 n ，使得 S n >60n＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明原因．[ 解] (1)设数列 { a n } 的公差为 d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有 (2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4.当 d ＝0 时， a n ＝2；当 d＝4 时， a n＝2＋(n－1) ·4＝4n－2，进而得数列 { a n} 的通项公式为 a n＝2 或 a n＝4n－2.(2)当 a n＝2 时， S n＝ 2n.明显 2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得 S n>60n＋800 建立．当 a n＝4n－2 时， S n＝n[2＋ 4n－2 ]＝ 2n2.2令 2n2>60n＋800，即n2－30n－ 400>0，解得 n>40 或 n<－10(舍去 )，此时存在正整数 n，使得 S n>60n＋800 建立， n 的最小值为 41.综上，当 a n＝2 时，不存在知足题意的n；当 a n＝4n－2 时，存在知足题意的n，其最小值为 41.11．在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明： A＝2B；a2(2)若△ ABC 的面积 S＝4，求角 A 的大小．[ 解] (1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故 2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋ cosAsinB，于是 sinB＝sin(A－B)．又 A，B∈(0，π)，故－π<A－B<π，所以，B＝π－(A－B)或 B＝A－B，所以 A＝π(舍去 )或 A＝2B，所以 A＝2B.a21a2(2)由 S＝4得2absinC＝ 4 ，故有1sinBsinC＝2sin2B＝sinBcosB，因为 sinB≠0，所以 sinC＝cosB.π又 B，C∈(0，π)，所以 C＝2±B.ππ当 B＋C＝2时， A＝2；ππ当 C－B＝2时， A＝4.ππ综上， A＝2或 A＝4.a12．(2017 ·唐山模拟 )已知函数 f(x)＝x＋lnx－2，a∈R.3(1)若曲线 y＝f(x)在点 P(2，m)处的切线平行于直线y＝－2x＋1，求函数 f(x)的单一区间；(2)能否存在实数 a，使函数 f(x)在(0，e2] 上有最小值 2？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明原因．a[ 解](1)∵f(x)＝x＋lnx－2(x>0)，－a 1∴f′ (x)＝x2＋x(x>0)，又曲线 y＝f(x)在点 P(2，m)处的切线平行于直线3y＝－2x＋1，113∴ f′(2)＝－4a＋2＝－2? a＝8.－81－8∴ f′(x)＝x2＋x＝x2(x>0)，令 f′(x)>0，得 x>8，f(x)在(8，＋∞)上单一递加；令 f′(x)<0，得 0<x<8, f(x)在(0,8)上单一递减．∴ f(x)的单一递加区间为 (8，＋∞)，单一递减区间为 (0,8)．－a 1 x－a(2)由(1)知 f′(x)＝x2＋x＝x2 (x>0)．(ⅰ)当 a≤0 时， f′(x)>0 恒建立，即 f(x)在(0，e2]上单一递加，无最小值，不知足题意．(ⅱ)当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a，所以当 f′(x)>0 时， x>a，当 f′(x)<0 时， 0<x<a，此时函数 f(x)在(a，＋∞)上单一递加，在 (0，a)上单一递减．a 若 a>e2，则函数 f(x)在(0，e2]上的最小值 f(x)min＝f(e2)＝2＋lne2ea a＝，得＝22－2＝2，由22e，知足 a>e ，切合题意；e e2aa22若 a≤e ，则函数f(x)在(0，e ]上的最小值f(x)min＝f(a)＝a＋lna －2＝lna－1，由 lna－1＝2，得 a＝e3，不知足 a≤e2，不切合题意，舍去．综上可知，存在实数a＝2e2，使函数 f(x)在(0，e2]上有最小值 2.。

追踪加强训练 (二十 )一、选择题1．(2017 ·湖南六校联考 )一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 ()πππA ．π B. 2 C.3 D.6[分析]由题图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为 11 1π的半圆锥，故所求体积V＝2×3π×12× 1＝6，应选 D.[答案]D2． (2017 ·广东七校联考 (二))《九章算术》商功章有题：一圆柱1形谷仓，高 1 丈 3 尺 33寸，容纳米 2000 斛，(注： 1 丈＝ 10 尺，1 尺＝10 寸， 1 斛≈ 1.62 立方尺，圆周率取 3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈 3尺B．5丈4尺C．9丈 2尺D．48丈6尺[分析]由题意，圆柱形谷仓的高h＝＋＋1× 3＋1＝4010 31033(尺)，体积 V≈2000×1.62＝3240(立方尺 )．设圆柱的底面半径为R 尺，由体积公式得πR2×403≈3240，得3R2×403≈3240，解得R2≈81，故R≈9，因此底面圆周长C＝2πR≈2×3×9＝54(尺)，即 5 丈 4 尺，故选 B.[答案]B3．(2017 ·山东莱芜模拟 )某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是 3，则正视图中的x 的值是 ()93A ．2 B.2 C.2D．3[ 分析 ]依据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如下图．1 1＋2V＝3×2×2x＝3? x＝3.应选D.[答案]D4．某几何体的三视图如下图，则该几何体中，最大侧面的面积为()1256A. 2B. 2C. 2D. 2[分析]由三视图知，该几何体的直观图如下图．平面AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A－BCDE 的高为 1.四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，则 S△AED ＝1×1×1＝1， S△ABC＝ S△ABE＝1×1× 2＝2，S△2222ACD＝1×1×5＝5，应选 C.22[答案]C5．(2017 ·石家庄质检 )某几何体的三视图如下图(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为()A ．2 B．3 C．4 D．61 [ 分析 ]由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S＝2×(11＋2)×2＝3，高为 2，因此该几何体的体积V＝3×3×2＝2，应选 A.[答案]A6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何8体的正视图 (等腰直角三角形 )和侧视图，且该几何体的体积为3，则该几何体的俯视图能够是()[ 分析 ]由题意可得该几何体可能为四棱锥，如下图，其高为12，其底面为正方形，面积为2×2＝4，由于该几何体的体积为38×4×2＝3，知足条件，因此俯视图能够为一个直角三角形．选D.[答案]D7．(2017 ·西安模拟 )正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为 ()A. 81π B ．16π427πC ．9π D. 4[分析] 易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，则 (4－22 294π×9 281 R) ＋(2) ＝R ，解得 R ＝ ，因此球的表面积为4 ＝4π，应选4A.[答案]A8．(2017 ·福州二模 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为 ()A ．16＋222B．16＋22C．12＋222D．12＋22[ 分析 ] 由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF，放在长方体中如下图，则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形，两个边长分别为13，13，2 2的等腰三角形及一个边长为 2 的正方形组成，故几何体的表面积为14×2×2×3＋2×22＋4＝16＋2 22.[答案]A9． (2017 ·四川泸州四诊 )某几何体的正视图和侧视图如图(1) 所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如下图，此中O′A′＝O′B′＝ 2，O′C′＝3，则该几何体的表面积为()A ．36＋12 3 B．24＋8 3C．24＋12 3 D．36＋8 3[ 分析 ] 由题图 (2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为2 3的等腰三角形，即该三角形为等边三角形．在如下图的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 3，6，由三视图复原几何体，该几何体即为图中的三棱锥 P－ ABC，且△ ABC 为等边三角形， S△PAB＝S11＝2×4×6＝12，S△ABC＝2×4×23＝43，△PAC 是腰长为52，△PBC底边长为 4 的等腰三角形，S△PAC＝83，故该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.应选C.[答案]C10．空间四边形ABCD 的四个极点都在同一球面上，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF⊥AB，EF⊥CD.若 AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于 ()A.652B.652C.65D. 65 1682[分析]如图，连结 BF，AF，DE，CE，由于 AE＝BE，EF⊥AB，因此 AF＝BF.同理可得 EC＝ED.又空间四边形 ABCD 的四个极点都在同一球面上，因此球心 O 必在 EF 上，连结 OA，OC.设该球的半径为 R，OE＝x，则 R2＝AE2＋OE2＝16＋x2①R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x)2②65由①②解得 R＝2，应选 C.[答案]C11．(2017 ·广州五校联考 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为 ()A.10＋2 2 πB.13π2＋16C.11＋ 2 πD.11＋22 π2＋12＋1[ 分析 ]由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合2311＋ 2 π体，故其表面积为2π＋1＋2π×2＋2π＝2＋1，选 C.[答案]C12．(2017 ·湖北八校二次联考 )一个三棱锥三视图如下图，则该三棱锥的外接球的表面积为()A ．25π B.29πC．116π D．29π4[ 分析 ] 由三视图可得该三棱锥是如图的 ABCD，极点是一个棱长分别为 3,2,4 的长方体的极点，因此其外接球的直径 2R＝32＋22＋42＝29，因此该球的表面积为4πR2＝29π，应选 D.[答案]D二、填空题13．(2017 ·沈阳质检 )三棱锥 P－ ABC 中， D，E 分别为 PB，PC的中点，记三棱锥 D－ABE 的体积为 V1，P－ABC 的体积为 V2，则V1 V2的值为 ________．[ 分析 ]如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C 到平面 PAB 的距离为 h2，则 S2＝2S1，h2＝2h1， V1＝1S1h1，V2 3＝1S2h2，因此V1＝S1h1＝1. 3V2 S2h2 41[答案]414．(2017 ·西安质检 )多面体的三视图如下图，则该多面体的体积为 ________cm3.[ 分析 ] 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如下图，在三棱锥 D－ ABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边AB 的中点为 E，则底边 AB 及底边上的高 CE 均为 4，侧棱 AD⊥平面 ABC，且 AD ＝ 4，因此三棱锥D－ ABC 的体积 V＝1△· ＝1×1 3SABC AD32323×4×4×4＝3 (cm )．32[答案]315．(2017 ·合肥模拟 )在三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，PA ＝2，AB＝2，AC＝ 1，∠ BAC＝60°，则该三棱锥的外接球的表面积为________．[ 分析 ]由于AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，利用余弦定理得BC ＝3，因此 AC2＋ BC2＝AB2，因此 AC⊥BC.又由于 PA⊥平面 ABC，因此三棱锥 P－ABC 是长为 1，宽为 3，高为 2 的长方体的一部分 (如图所示 )，因此三棱锥P－ABC 外接球的半径为12× 12＋ 3 2＋22＝2，因此其外接球的表面积为4π×( 2)2＝8π.[ 答案 ]8 π16．(2017 ·厦门一模 )如下图的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ________．[ 分析 ] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为 1，因此表面积为 S ＝S 长方体表 －S 半圆柱底 －S 圆柱轴截面 ＋S 半圆柱侧 ＝2×4×1＋ 2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26. [答案] 26。

追踪加强训练 (三十三 )1．(2017 ·四川乐山一模 )已知函数 f(x)＝ |2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式 f(x)>0 的解集；(2)若存在 x 0∈R ，使得 f(x 0)＋2a 2<4a ，务实数 a 的取值范围．[ 解] (1)函数 f(x)＝|2x －1|－|x ＋2|＝－x ＋3，x<－2，－－，－≤≤1，令＝ ，求得1或 ＝ ， 3x 12 x2f(x) ＝－0 x3 x 31x － 3，x>2故不等式 f(x)>0 的解集为1x|x<－3或x>3 .(2)若存在 x 0∈R ，使得 f(x 0)＋2a 2<4a ，即 f(x 0)<4a －2a 2 有解，11由 (1)可得 f(x)的最小值为 f 2 ＝－ 3×2－15 51 5 ＝－ 2，故－ 2<4a －2a 2，求得－ 2<a<2. 1 5因此 a 的取值范围为 －2，2 .2．设函数 f(x)＝|x －a|＋x.(1)当 a ＝2 时，求函数 f(x)的值域；(2)若 g(x)＝|x ＋1|，求不等式 g(x)－2>x －f(x)恒建即刻 a 的取值范围．[ 解] (1)由题意得，当 a ＝2 时，2x－2，x≥2，f(x)＝2，x<2.∵f(x)在[2，＋∞)上单一递加，且 f(2)＝2，∴ f(x)的值域为 [2，＋∞)．(2)由 g(x)＝|x＋1|，不等式 g(x)－2>x－f(x)恒建立，得 |x＋1|＋|x－a|>2 恒建立，即 (|x＋1|＋|x－a|)min>2.而 |x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，∴ |1＋a|>2，解得 a>1 或 a<－3，故 a 的取值范围为 (－∞，－ 3)∪(1，＋∞ )．3．(2017 ·江西南昌一模 )已知函数 f(x)＝ |2x－a|＋|x－1|.(1)若不等式 f(x)≤2－|x－1|有解，务实数 a 的取值范围；(2)当 a<2 时，函数 f(x)的最小值为 3，务实数 a 的值．[解] (1)由题意f(x)≤－－，即为 x－a＋|x－1|≤1.而由绝对2|x 1|2值的几何意义知－a＋－≥a－1，x2|x1|2由不等式 f(x)≤2－ |x－1|有解，a∴2－1 ≤1，即 0≤a≤4.∴实数 a 的取值范围是 [0,4]．函数＝ － ＋－ 的零点为a和 1，当 a<2 时知a，(2)f(x)|2x a||x 1|22<1a－3x ＋a ＋1，x<2∴ f(x)＝x － ＋ ，a≤x ≤1a 1 23x －a －1，x>1aa由图可知 f(x)在 －∞，2 上单一递减，在2，＋ ∞ 上单一递加，a a∴ f(x)min ＝f 2 ＝－ 2＋1＝3，得 a ＝－ 4<2(合题意 )，即 a ＝－ 4.1 14．(2017 ·江西赣州一模 )设 a 、b 为正实数，且 a ＋b ＝22.(1)求 a 2＋b 2 的最小值；(2)若(a －b)2≥4(ab)3，求 ab 的值．1 1 1 1[ 解] (1)由 2 2＝a ＋b ≥ 2 ab 得ab ≥2，2当 a ＝b ＝ 2 时取等号．故 a 2＋b2≥2ab ≥1，当 a ＝b ＝ 22时取等号．因此 a 2＋b 2的最小值是 1.1 1(2)由a ＋b ＝2 2可得 a ＋b ＝2 2ab ，∵ (a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝ 8a 2b 2－4ab ≥4(ab)3，∴ (ab)2－2ab ＋1≤0，即 (ab －1)2≤0，∴ ab －1＝0，即 ab ＝1.。