2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列课后作

§10.7离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做__________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X ＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量XX 10P p则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其X 01…k …nP C0n p0q n C1n p1q n－1……C n n p n q0则称X服从二项分布，记为________________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为___________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p (2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－k N－MC n N超几何分布袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( ) A．5 B．9 C．10 D．25解：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B.(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )A．0 B.12C.13D.23解：X可能取值为0或1，而P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X ＝0)＝13.故选C.(2015·山西模拟)从1，2，3，4，5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E(ξ)＝( )A．3 B．4.5 C．5 D．6解：由题意知，ξ只能取3，4，5.则P(ξ＝3)＝C22C35＝110，P(ξ＝4)＝C23C35＝310，P(ξ＝5)＝C24C35＝610.故E(ξ)＝110×3＋310×4＋610×5＝4.5.故选B.(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝__________．解：设P(ξ＝1)＝pξ01 2P15p45－p由E (ξ)＝1，可得p ＝35，∴D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.故填25.(2015·上海)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E (ξ1)－E (ξ2)＝____________(元)．解：赌金ξ1ξ1 1 2 3 4 5 P15 15 15 15 15E (ξ1)＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，奖金ξ2ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P4C 253C 252C 25 1C 25E (ξ2)＝1.4×C 25＋2.8×C 25＋4.2×C 25＋5.6×C 25＝2.8， E (ξ1)－E (ξ2)＝0.2.故填0.2.类型一 随机变量的概念与性质(1)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义． ①一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； ②投掷两枚骰子，所得点数之和为X ，所得点数的最大值为Y . 解：①X 的可能取值为0，1，2.X ＝0表示所取的3个球是3个黑球；X ＝1表示所取的3个球是1个白球，2个黑球； X ＝2表示所取的3个球是2个白球，1个黑球．②X 的可能取值为2，3，…，12，Y 的可能取值为1，2，3，…，6.若以(i ，j )表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则X ＝2表示(1，1)； X ＝3表示(1，2)，(2，1)； X ＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…X ＝12表示(6，6)．Y ＝1表示(1，1)；Y ＝2表示(1，2)，(2，1)，(2，2)；Y ＝3表示(1，3)，(2，3)，(3，3)，(3，1)，(3，2)；…Y ＝6表示(1，6)，(2，6)，(3，6)，…，(6，6)，(6，5)，…，(6，1)．(2)随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝C k （k ＋1）(1≤k ≤10，k ∈N )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为________．解：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋…＋P (X ＝10)＝1， 即C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＋…＋C10×11＝1，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝1，C ＝1110.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝1110⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋16＝1115.故填1115. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量ξ满足P(ξ＝i)＝C·⎝ ⎛⎭⎪⎫23i，i ＝1，2，3，则C ＝____________．解：C ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，C ＝2738，故填2738.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 1 2 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 故X X12 3 4 5 P 13 29 427 8811681 (3)因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200，300，400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为X 200 300 400P110 310610E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)．故随机变量X X1 2 3 4 P 114 37 37114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2015·重庆) 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上可知，X X0 12 P 715715 115故E (X )＝0×715＋1×15＋2×15＝5.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算．(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质 i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：“X＝4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或两颗都是2点”．故选D .2．(2015·西安模拟)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a2k ，k ＝1，2，…6，则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.631C.421D.15解：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋126＝1，得a ＝6463，∴P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＝421.故选C . 3．(2015·哈尔滨模拟)离散型随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1，2，3，4)，又E (X )＝3，则3a ＋b ＝( )A.103B.310C ．5D.15解：依题意知：E (X )＝(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝30a ＋10b ＝3，故3a ＋b ＝310.故选B .4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2m A 3n的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，∴P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D . 5．从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X ，则P (X ＝2)＝( )A.128B.928C.114D.914解：X ＝2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故P (X ＝2)＝A 23C 23C 13C 39＝914.故选D .6．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ＝1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P (ξ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当ξ＝2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310；当ξ＝3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中取，故有P (ξ＝3)＝C 22C 25＝110.故选C .7．(2014·江西)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解：基本事件总数为C 410，其中恰好取到一件次品的取法为C 13C 37.故所求概率为C 13C 37C 410＝12.故填12.8．(2015·泉州模拟)在一个口袋中装有除颜色外完全相同的黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为________．解：η可能取值为0，1，2.且P (η＝0)＝14，P (η＝1)＝12，P (η＝2)＝14，故填9.(2015·福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×3＝2.10．(2015·山东)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1，因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－23－114＝1142，所以X 的分布列为X 0 －1 1 P23 114 1142则EX ＝0×23＋(－1)×14＋1×42＝21.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100T (分钟)25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET ；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)T (分钟)25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而ET ＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P (A )＝1－P (A )＝0.91.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8C 23对相交棱．∴ P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴ P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611. ∴随机变量ξ∴其数学期望E (ξ)。

第三节随机事件的概率、古典概型与几何概型［考纲传真］ 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别。

2。

了解两个互斥事件的概率加法公式.3。

理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。

5.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6。

了解几何概型的意义．1．频率与概率的关系在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率f n(A）＝错误!会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A）,称为事件A的概率，简称为A的概率．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B)相等事件若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交（积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）A∩B(或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U（U为全集）3（1）任何事件A的概率都在[0,1］内，即0≤P(A)≤1,不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1。

(2)如果事件A，B互斥，则P（A∪B)＝P(A)＋P(B）．(3)事件A与它的对立事件错误!的概率满足P(A）＋P（错误!)＝1.4．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式[常用结论]如果事件A1，A2,…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1∪A2∪…∪A n）＝P（A1)＋P（A2)＋…＋P(A n）．[基础自测]1．(思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（ )（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）(3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ）(4）概率为0的事件一定为不可能事件．( )［答案］（1)√（2）√(3)√（4)×2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455A．0。