北京市2019年中考数学冲刺复习 专题训练 相似第5讲位似和黄金分割

图形的相似一、预备知识1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a mb n =．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则b 2=ac（b称为a、c的比例中项）．练习.已知四条线段a=0.5m，b=25cm，c=0.2m，d=10cm，试判断四条线段是否成比例？已知线段a、b、c、d，满足a cb d=，求证：a c ab d b+=+.二、图形的相似1．相似形的概念：我们把形状相同的图形叫做相似形．2．相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．3．说明：（1）任何（边数相等的）正多边形都相似．（2）全等与相似的关系：全等就是相似比为1的相似（3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A’B’C’中，如果∠A =∠A’， ∠B =∠B’， ∠C =∠C’，''''''AB BC CA k A B B C C A ===即对应角相等，对应边的比相等，我们就说 △ABC 与△A’B’C’相似，记作△ABC ∽ △A’B’C’．△ABC 与△A’B’C’的 相似比为k ．三、例题分析例1．下列图形中，必是相似形的是（ ）．A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形C ．都有一个角是30°的两个菱形D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形例2．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到地两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？例3．分别根据下列条件，说出各组相似三角形的对应边的比例式和相等的对应角．（1）△ABC与△ADE相似，其中DE//BC ．如果AD=4，BD=2，DE=3你能求出哪条线段的长?（2）△ABO与△A’B’O相似，其中OB:OB’=OA:OA’ ．如果A′B′=2，A′O=1.5，AB=5你能求出哪条线段的长?三角形相似是我们研究的重点，如何判定三角形相似更加简捷？相似三角形的判定（1）旧知回顾关于中位线如图，直线l 1//l 2//l 3，任意两条直线m 、n 分别与直线l 1、l 2、l 3相交 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，AB BC 与DE EF相等吗？ 猜想：相等如图，直线l 1//l 2//l 3，任意两条直线m 、n 分别与直线l 1、l 2、l 3相交 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，证明：连接AE 、CE 、BD 、BF ．ABE DEB BCE EFBS S AB DE BC S EF S ∆∆∆∆==则， ABE DEB BCE EFB S S S S ∆∆∆∆==而，AB DE BC EF=因此一、平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．2．定理在三角形中的应用有两种常见的情况：平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等．二、相似三角形的判定1．预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．以右图为例：易知两个三角形的对应角都相等，AD AE AB AC=且以右图为例：易知两个三角形的对应角都相等，AD AE AB AC=且作EF//AB 交BC 于F ，可得四边形DBFE 是平行四边形，则∆ADE 和∆ABC 符合相似的定义注意两个定理的区别与联系两个定理的条件相同，但所得结论有区别：如图，△ABC 中，DE//BC ．由平行线分线段成比例定理，由相似预备定理，AD AE DE AB AC BC==类似全等三角形的判定？ 首先，相似关系也有传递性，即若 111222A B C A B C ∆∆∽222333A B C A B C ∆∆∽则 111333A B C A B C ∆∆∽其次，判定定理？SSS ，SAS ，ASA ，AAS ．2．判定定理（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么 这两个三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似．证明思路？定义？预备定理？构造全等！是否还可以得到HL 呢？即满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似． 如图，在Rt △ABC 和 Rt △DEF 中，∠C =∠F =90°，AB:DE=BC:EF ．求证： △ABC ∽△DEF ．练习：1．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有对．2．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB交AC于E，AB=12，AC=8，求DE的长．3．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是．①DE//BC②∠AED=∠B③AD:AC=AE:AB④DE:BC=AD:AC4．如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？总结一下本节课所学判定方法较多，需要同学们认真整理思绪，通过习题进一步加深记忆，掌握各种判定方法，达到灵活运用的目的．相似三角形的判定（2）一、知识回顾判定两个三角形相似的方法？1．定义．2．平行截出相似（预备定理）．3．三个判定定理（1）三边（2）两边和夹角（3）两角二、知识巩固例1．如图，在□ABCD中，EF//AB，DE:EA=2:3，EF=6，DB=10，求CD和BF的长．例2．如图，P是□ABCD的边BC延长线上任意一点，AP分别交BD和CD 于点M和N．求证：AM2=MN•MP．例3．如图，已知AB BC ACAD DE AE==.断∠BAD和∠CAE的大小关系，并说明理由．例4．如图，已知AC和BD相交于点E，CE•AE=BE•DE，△ABE与△DCE是否相似？【变式应用】如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．例5．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的高．求证：（1）（1）△ABC∽△ACD∽△CBD（2）CD2=AD•BD；AC2=AD•AB；BC2=BD•AB．（3）AC•BC=AB•CD．（4）若AC=4，BC=3，求AB、CD、AD和BD的长．例6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD与△C BA是否相似？例7．如图，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB 于F，求证：AE：ED=2AF：FB．三、方法总结1.基本图形结构2.图形之间的联系3．证明方法小结（1）根据已知，选择最佳判定方法；（2）若证等积式，先化比例式．相似三角形的性质和应用一、相似形的性质 1． 相似三角形的性质 两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立 重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．2．相似多边形的性质：相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求PC的长．例3．锐角△ABC中，BC＝6，S=12，两动点M、N分别在边AB、AC△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：位似与黄金分割1．位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换是一种特殊的相似变换．如图，两个多边形是位似图形．对于位似图形，有外位似和内位似之分，外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外；内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上．几种特殊位置的位似2．位似图形的性质（1）位似图形是相似图形．（2）位似图形的每组对应点所在的直线都交于一点．（3）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．（4）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行．例1．利用位似图形的方法把四边形ABCD放大2倍．例2．如图，△ABC和△DEF是位似图形，其中点A与点D是对应点，点B与点E是对应点．试找出位似中心O．例3．如图，△ABC在方格纸中．（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A’B’C’．3．位似变换的坐标规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．4．位似变换作图问题举例例4．在已知三角形内求作内接正方形．二、黄金分割1．有关黄金分割的历史早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（约公元前400—前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题．发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯．一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密．他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系．回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段．怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0.618 ：1的比例截断最优美．后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名．2．计算黄金分割比如图，C是线段AB上一点，且满足AC:BC=BC:AB，求这个比值的大小．3．黄金三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的平分线．我们把像△ABC这样的三角形称为“黄金三角形”．三、总结这节课，我们主要介绍了相似（变换）在数学中的应用，包括位似变换和“黄金分割”．相似专题复习一、相似三角形的综合应用例1.已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？例2．如图，正方形ABCD和等腰Rt△ECF，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．（1）求证：△BCF≌△DCE．（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶CG的值．例3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BM=MC，CP⊥AM于P，交AB 于D，求证：∠ABM=∠BPM．例4．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O 的切线， AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．（1）求证：CE=CF；若CD∶BC=3 ： 5 ，求DF∶CF的值．二、“一线三等角”问题举例如图，在△ABC中，点F在BC上，且∠B=∠DFE=∠C，则△DBF∽△FCE．例5．在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．例6．如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边BC 、AD、AB、CD上，则B E的长为．例7．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．总结：准确识别出基本图形结构;掌握常规问题的证明方法；熟练的基本功有助于解决综合问题第一讲：图形的旋转一、旋转的有关概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做__________，转动的角叫做__________，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的__________．(如图)注意：⑴研究旋转问题应把握三个元素：__________与__________、__________．⑵每一组对应点所构成的旋转角__________．例1如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：（1）旋转中心是谁?（2）旋转方向如何?（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？（4）图中哪个角是旋转角？（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？（6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？二、旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是__________的；(进而得到相等的线段、相等的角)②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离__________；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于__________；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)例题2：(1)如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE的位置．①试说出旋转中心、旋转方向及旋转角度.②∠DAE等于多少度？③△DAE是什么三角形？④如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？(2)如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，已知AD=3,BD=4,CD=5,则∠ADB为多少度？例题3 如图，已知点O和点P ，请按要求作图：（1）画出点P绕点O顺时针旋转45°后的对应点P1；（2）画出点P绕点O顺时针旋转60°后的对应点P2；（3）画出点P绕点O逆时针旋转45°后的对应点P3 .例4 线段的旋转图形如图，已知线段AB ，请按要求作图：（1）画出线段AB绕点A顺时针旋转30°后的图形；（2）画出线段AB绕点B顺时针旋转30°后的图形；（3）画出线段AB绕AB中点M顺时针旋转30°后的图形；（4）如图，画出线段AB绕AB外一点O顺时针旋转30°后的图形 .例5 如图，画出ABC ∆绕点O 顺时针旋转100︒所得到的图形．【练习】如图，作出ABC ∆绕旋转中心A ，逆时针旋转75︒，得到的图形．例6 如图，已知ABC ∆绕某一点逆时针转动一个角度．得到旋转后的'''A B C ∆，其中A 、B 、C 的对应点分别是'A 、'B 、'C ．试确定旋转中心O ．三、旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备三个重要条件： ⑴__________；⑵旋转方向 （3）__________． 具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．例7：请在下列网格图中画出所给图形绕点O 顺时针依次旋转90︒、180︒、270︒后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法)例8：正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留π)例9 在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题． ⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆； ⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？例10：如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，其半径分别交AB 、AD 于点M N 、，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a321B MC D N O A【变式1】如图，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板圆心角为多少度时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ？当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ？AC BABE C D【变式2】将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值口？这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明)，若不是定值，请说明理由．第二讲：中心对称与中心对称图形一、中心对称1.中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转____，如果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做_________，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图⑵)注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180 )的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_________，而且被对称中心所_________．关于中心对称的两个图形是_________．关于中心对称的两个图形，对应线段_________(或在同一直线上)且相等．3.中心对称的判定：如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．例1 （1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点′；（2）如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.练习：1. 如图，已知等边△ABC和点O，画△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．2. 画一个与已知四边形ABCD成中心对称的图形．（1）以顶点A为对称中心；（2）以BC边的中点为对称中心．3. 如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，求出它们的对称中心O．思考：如图，是一个6×6的棋盘，两人各持若干张1×2的卡片轮流在棋盘上盖卡片，每人每次用一张卡片盖住相邻的两个空格，谁找不出相邻的两个空格放卡片就算谁输，你用什么办法战胜对手呢？二、中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)三、中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：例2 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.例3. （1）图中的“笑脸”是图⑴逆时针旋转90 形成的是( )（2）下列图形不是中心对称图形的是( )A．①③B．②④ C．②③ D．①④练习：(1)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )(2)在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有( )AH I N EA ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个（3）在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )①中心对称 ②旋转 ③轴对称 ④平移 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④（4）下列图形中，不能通过旋转得到的是( )例4 矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____A练习：如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．例5．如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹．练习：如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．四、关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称． 例6．已知：三点A (－1，1)，B (－3，2)，C (－4，－1)．(1)作出与△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出各顶点的坐标；(2)作出与△ABC 关于P (1，－2)点对称的△A 2B 2C 2，并写出各顶点的坐标．图① 图②例7．已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式．思考：1． (1)到目前为止，已研究的图形变换有哪几种?这些变换的共同性质有哪些?(2)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可由△OBC旋转得到的三角形有a个，可由△OBC平移得到的三角形有b个，可由△OBC轴对称得到的三角形有c个，试求(a＋b＋c)a＋b－c的值．2．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗?为什么?小结：中心对称图形、旋转对称图形第三讲：《旋转》全章复习与巩固引例：1、如图，C 为BD 上一点，分别以BC 和CD 为边向同侧作等边ABC ECD ∆∆、，AD 和BE 相交于点M ．①探究线段BE和AD的数量关系和位置关系．在图中你还发现了什么结论？∆绕点C在平面内顺时针转动到如图所示的位置②当ECD时，线段BE和AD有何关系？在转动的过程中，特别是在一些特殊的位置，你还会发现什么结论？有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢？③如图，当转动到A、D、E在一条直线上时，若BE=15cm，AE=6cm，求CD的长度及∠AEB的度数。

北京市海淀区普通中学2019届初三数学中考复习 相似多边形 专项复习训练1．下列图形不相似的是( )A ．所有的圆B ．所有的正方形C ．所有的等边三角形D ．所有的菱形 2．下列说法中，错误的是( )A ．正六边形都相似B ．等腰直角三角形都相似C ．矩形都相似D ．正方形都相似 3．如图，下列各组图形是相似形的是( )A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②④ 4．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按如图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对5．如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( )A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL6．如图，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是( )A.x y ＝1B.x y ＝a bC.x y ＝ba D ．以上答案都不对 7. 两个相似多边形的周长之比为3，面积之比为m ，则3m等于( )A ．3 B.13 C.19D ．无法确定8. 两个相似多边形的最长边分别为10 cm 和25 cm ，它们的周长之差为60 cm ，则这两个多边形的周长分别为 ．9. 在一个矩形中剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长与宽之比为 . 10. 在如图所示的两个相似的四边形中，求x ，y ，∠α的值．11. 公园里有块草坪，其平面图如图所示，∠A ＝90°，其比例尺为1∶2000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10，在EF 上取一点M ，分别以EM ，MF 为一边作矩形EMNH ，矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD.令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？13. 某村有两个形状相似的鱼塘，承包金分别为9000元和15000元，王老汉准备承包其中一个，在没有任何测量工具的情况下，不知道承包哪个合算(单位面积的承包金越低越合算)．他让孙子小华给他计算一下，于是小华想了一个办法，以同样的速度绕鱼塘转一周，分别用了10分钟和15分钟，你知道小华会给爷爷提出什么建议吗？说明理由．14．如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝a ，BC ＝2a ，点F 在AD 上，四边形AEFG∽四边形ABCD ，且AE ＝23a.(1)求AG 的长；(2)求证：△ABE∽△ADG；(3)如果S 矩形ABCD ＝630 cm 2，求S 矩形AEFG .答案：1---7 DCBAB BB 8. 40cm 100cm9.1＋5210. 解：x ＝20，y ＝12，α＝80°11. 解：640 m 14400 m 212. 解：当x ＝52时，S 最大＝25213. 解：两鱼塘的周长之比为10∶15＝2∶3，故其面积比为4∶9，而两鱼塘的承包金为9000元与15000元，故大鱼塘单位面积的承包金低，承包大鱼塘较为合算 14. 解：(1)四边形AEFG∽四边形ABCD ，∵ABCD 是矩形，∴四边形AEFG 是矩形，∴AE AB ＝AGAD ，∵AE ＝23a ，AB ＝a ，AD ＝2a ，∴AG ＝43a(2)∵∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，又∵AB AD ＝AEAG， ∴△ABE ∽△ADG (3)S 矩形AEFG ＝280(cm 2)2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac ；②a(b ﹣c)＝ab ﹣ac ；③(b ﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，直线y ＝kx+b 交坐标轴于A 、B 两点，则不等式kx+4＜0的解集是（ ）A.x ＜﹣3B.x ＞﹣3C.x ＜﹣6D.x ＞﹣63．下列运算正确的是（ ） A.624a a a -=B.235(a )a =C.235a a a ⋅=D.623a a a ÷=4．如图，在反比例函数y ＝-2x的图象上有一动点A ，连结AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝kx的图象上运动，若tan ∠CAB ＝3，则k 的值为（ ）A ．23B ．6C ．8D ．185．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h6．如图，AB∥CD，直线L交AB于点E，交CD于点F，若∠2=75°，则∠1等于（）A.105°B.115°C.125°D.75°7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m8．下列运算正确的是( )＝﹣5 B.(x3)2＝x5C.x6÷x3＝x2D.(﹣14)-2＝169．如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为90°，120°．让转盘自由转动，停止后，指针落在蓝色区域的概率是（）A．14B．13C．512D．无法确定10．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为x，则可列方程为（）A．300（1+x）2＝507 B．300（1﹣x）2＝507C．300（1+2x）＝507 D．300（1+x2）＝50711．不等式组5243xx+>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．112．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC二、填空题13．问题背景：如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________14．使代数式3xx +有意义的x 的取值范围是_______ . 15．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：则2019在第________行．16．如果2(2+（a ，b 为有理数），那么a+b 等于_____． 17．如图，点A （1，a ）是反比例函数y ＝﹣3x 的图象上一点，直线y ＝﹣12x+12与反比例函数y ＝﹣3x的图象在第四象限的交点为点B ，动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，则点P 的坐标是_____．18．若矩形两条对角线的夹角是60°，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为____． 三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 向右平移2个单位后与双曲线y ＝ax（x ＞0）有唯一公共点A ，交另一双曲线y ＝kx（x ＞0）于B ． （1）求直线AB 的解析式和a 的值； （2）若x 轴平分△AOB 的面积，求k 的值．21．计算：2163()(-+⨯--．22．（1）计算：1020181|21)3tan 30(1)2-︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭（2）解不等式组：11210x x x --⎧->⎪⎨⎪->⎩（3）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两不等实数根，求1211x x +的值 23．观察下列等式：①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：（1）直接写出：第⑤个等式为 ；（2）猜想：第n 个等式为 （用含n 的代数式表示），并证明．24．已知二次函数y ＝x 2－2(m ＋1)x ＋2m ＋1（m 为常数），函数图像的顶点为C ． （1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C 的坐标；（2）该函数的图像与x 轴分别交于点A 、B ，若以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，求m 的值． 25．如图，AP 平分∠BAC ，∠ADP 和∠AEP 互补． (1)作P 到角两边AB ，AC 的垂线段PM ，PN ． (2)求证：PD ＝PE ．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．14．x≠-3 15． 16．10 17．（4，0） 18三、解答题 19．1 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果， 故形成的数对（x ，y ）共有100个．满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）． 故“x+y 是10的倍数”的概率为 1100.1100P ==． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算． 20．（1）y ＝x ﹣2，a ＝﹣1；（2）k ＝3． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质求出一次函数的解析式，根据无交点求出a 的值，（2）解方程组12y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可求出A 的坐标是（1，﹣1），由x 轴平分△AOB 的面积，可知B 的纵坐标是1，代入一次函数解析式可求出B 的坐标是（3，1），即可求出答案． 【详解】（1）直线y ＝x 向右平移2个单位后的解析式是y ＝x ﹣2， 即直线AB 的解析式为y ＝x ﹣2， 得：x ﹣2＝ax，则x 2﹣2x ﹣a ＝0， △＝4+4a ＝0， 解得：a ＝﹣1，（2）由（1）可得方程组12y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得：11x y =⎧⎨=-⎩，A 的坐标是（1，﹣1）， ∵x 轴平分△AOB 的面积， ∴B 的纵坐标是1，在y ＝x ﹣2中，令y ＝1，解得：x ＝3， 则B 的坐标是（3，1）， 代入y ＝kx可得：k ＝3． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，平移的性质，三角形的面积的应用，及待定系数法求反比例函数解析式，题目是一道比较好的题目，难度适中． 21．【解析】 【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式＝9(6-,96=-3=-【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键． 22．（1）2-；（2）1＜x ＜3；（3）﹣3． 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算（2）根据不等式组的解法解答，注意去分母（3）先根据一元二次方程的根与系数之间的关系求未知数，再化简求值. 【详解】解：（1）120181|21)3tan 30(1)2-︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭21312321122=--⨯+-=---=-（2）112x x ---> 11|210x x x --⎧->⎪⎨⎪->⎩ 解不等式112xx --->，得：x ＜3， 解不等式x ﹣1＞0，得： 1,310x x x ><->故不等式组的解集为1＜x ＜3；（3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣1，则121212113x x x x x x ++==- ． 【点睛】此题重点考察学生对实数的运算，不等式组的解，一元二次方程根与系数之间的关系的理解，掌握实数的运算法则，不等式组和一元二次方程的解法是解题的关键. 23．（1）36﹣35＝2×35；（2）3n+1﹣3n＝2×3n． 【解析】 【分析】由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式，以及第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n 、n ． 【详解】解：（1）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式36﹣35＝2×35；故答案为：36﹣35＝2×35；（2）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第n 个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n 、n ， 即3n+1﹣3n ＝2×3n ．证明：左边＝3n+1﹣3n ＝3×3n ﹣3n ＝3n ×（3﹣1）＝2×3n ＝右边，所以结论得证． 故答案为：3n+1﹣3n ＝2×3n ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题．24．（1）11,24⎛⎫-⎪⎝⎭，（2）m的值为1或－1【解析】【分析】（1）把（0，0）代入y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1可求出m的值，可得二次函数解析式，配方即可得出C点坐标；（2）令y=0，可用m表示出x1和x2，即可表示出AB的距离，根据二次函数解析式可用含m的代数式表示顶点C的坐标，根据以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形可得关于m的方程，解方程求出m的值即可.【详解】（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的图像经过点（0，0）∴2m＋1＝0，∴m＝－12，当m＝－12时，y＝x2－x＝(x－12)2－14，∴顶点C的坐标(12，－14).（2）解：当y＝0时x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0∴x1＝2m＋1，x2＝1，∴AB＝2m，∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)2－m2，∴顶点C的坐标(m＋1，－m2)，∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，∴2m2＝2m，当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1，当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1，当m＝0时，AB＝0（舍）答：m的值为1或－1.【点睛】本题考查二次函数的图象及二次函数与一元二次方程，根据二次函数的解析式表示出顶点C的坐标和AB 的长是解题关键.25．(1)画图见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意作图即可；(2)由PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，可得PM＝PN，再求出∠DPM＝∠EPN，证明△PMD≌△PNE，即可求解.【详解】解：(1)线段PM，PN如图所示．(2)∵PM⊥AB，PN⊥AC，PA平分∠BAC，∴PM＝PN∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠MPN+∠MAN＝180°，∵∠ADP+∠AEP＝180°，∴∠DAE+∠DPE＝180°，∴∠MPN＝∠DPE，∴∠DPM＝∠EPN，∴△PMD≌△PNE(ASA)，∴PD＝PE．【点睛】本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC 中，高AD 和BE 所在的直线交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC 等于( ) A.45°B.120°C.45°或135°D.45°或120°2．马大哈做题很快，但经常不仔细，所以往往错误率非常高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（ ） A ．a 8÷a 4＝a 2B ．a 3•a 4＝a 12C ．a 5+a 5＝a 10D ．2x 3•x 2＝2x 53．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )A ．3.8B ．2.4C ．1.9D ．1.24．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ，若点P 的坐标为（3a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A.3a ＝﹣b ﹣1B.3a ＝b+1C.3a+b ﹣1＝0D.3a ＝2b5．如图，曲线2C 是双曲线15:(0)C y x x=>绕原点O 逆时针旋转45︒得到的图形，P 是曲线2C 上任意一点，过点P 作直线PQ l ⊥于点Q ，且直线l 的解析式是y x =，则POQ △的面积等于（ ）A B ．52C ．72D ．56．如图，小明想测量斜坡CD 旁一棵垂直于地面AE 的树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60︒，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30︒，已知斜坡CD 的长度为20m ，斜坡顶点D 到地面的垂直高度10DE m =，则树AB 的高度是（ ）mA ．B ．C ．30D ．407．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（ ）A ．4B ．C ．3D ．28．如图，60AOB ∠=，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于,C D 两点，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段6OM =，则M 点到OB 的距离为（ ）A.3C.6D.9．如图,AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．3x =11．在平面直角坐标系xOy 中，作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是22(1)1y x =+-，则抛物线A 所对应的的函数解析式是( )A.22(3)2y x =-+- B.22(3)2y x =-++ C.22(1)2y x =---D.22(1)2y x =--+12．将两个等腰Rt △ADE 、Rt △ABC 如图放置在一起，其中∠DAE ＝∠ABC ＝90°．点E 在AB 上，AC 与DE 交于点H ，连接BH 、CE ，且∠BCE ＝15°，下列结论：①AC 垂直平分DE ；②△CDE 为等边三角形；③tan ∠BCD ＝AB BE；④EBC EHC3SS=；正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题13．在矩形ABCD 中，8AD =，14AB =，E 为DC 上一个点，把ADE ∆沿AE 折叠，使点D 落在点'D 处，若以点C 、B 、'D 为等腰三角形时，则DE 的长为_____________ .14．商店里某套衣服原本售价为400元每套，经过连续两次降价后，现价为每套256元，假设两次降价的百分率都为x ，根据题意可列方程为____．15．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA 1,OA 2,…,OA 25这些线段中有___条线段的长度为正整数.16．已知反比例函数y ＝的图象经过点（2，﹣1），则k ＝_____．17．小明做这样一道题：“计算：|（－4）＋■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于9，那么“■”表示的数是_____________18．一元二次方程23210x x -+=的根的判别式∆_______0.（填“>”，“=”或“<”）三、解答题19．某公司将农副产品运往市场销售，记汽车行驶时间为t(h)，平均速度为v(km/h)(汽车行驶速度不超过100km/h)，v随t的变化而变化．t与v的一组对应值如表：(1)写出一个符合表格中数据，v(km/h)关于t(h)的函数解析式；(2)汽车上午7：30出发，能否在上午10：00之前到达市场？请说明理由．20．计算：21 12sin452-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．23．传统文化与我们生活息息相关，中华传统文化包括古文古诗、词语、乐曲、赋、民族音乐、民族戏剧、曲艺、国画、书法、对联、灯谜、射覆、酒令、歇后语等．在中华优秀传统文化进校园活动中，某校为学生请“戏曲进校园”和民族音乐”做节目演出，其中一场“戏曲进校园”的价格比一场“民族音乐”节目演出的价格贵600元，用20000元购买“戏曲进校园”的场数是用8800元购买“民族音乐节目演出场数的2倍，求一场“民族音乐”节目演出的价格．24．为弘扬和传承红色文化，某校欲在暑假期间组织学生到A、B、C、D四个基地开展研学活动，每个学生可从A、B、C、D四个基地中选择一处报名参加．小莹调查了自己所在班级的研学报名情况，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中A、D两部分的圆心角度数之比为3：2．请根据图中信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）求去往A地和D地的人数，并补全条形统计图；（3）小莹和小亮分别从四个基地中随机选一处前往，用树状图或列表法求两人前往不同基地的概率．25．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,动点D从点A出发,沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点E同时从点B出发,以每秒2个单位的速度沿射线BC方向运动,当点D停止时,点E也随之停止,连结DE,当C．D．E三点不在同一直线上时,以ED、EC我邻边作▱ECFD,设点D运动的时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示CE的长度。

3.3相似三角形的练习题与黄金分割例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：=一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证：△DBE ∽△ABCBA FB AC FDA B C D E F G 1234A B C D例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ·AC=BC ·FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ·ME ；（2）MD ME AD AE 22AB C DE M 12ABC D E FK A B C D E F例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

黄金分割一、1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．． 二、1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ． 2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=－1．其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=ABC ．BM=ABD ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC∶BC = ( )A ． (－1)∶2 B． （ +1）∶2 C．（3－）∶2 D．（3+）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．B ．C ．D ． 618.0215≈-=AB AC dc b a =5215-215-5555215-53-25-253-8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN = ．求证：点A 是MN 的黄金分割点．9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB ＜BC)中，≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．253-215-=BC AB。

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

2019备战中考数学基础必练（北师大版）-图形的位似（含解析）一、单选题1.如图，在△ABD中，两个顶点A、B的坐标分别为A（6，6），B（8，2），线段CD是以O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段，则端点D的坐标为（）A. （3，3）B. （4，3）C. （3，1）D. （4，1）2.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（）A. （﹣2，﹣4）B. （﹣4，﹣2）C. （﹣1，﹣4）D. （1，﹣4）3.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是（）A. 2DE=3MNB. 3DE=2MNC. 3∠A=2∠FD. 2∠A=3∠F4.如图两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点PB. 点OC. 点MD. 点N5.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，△ABC经过位似变换得到△DEF ，点O是位似中心且OA=AD ，则△ABC与△DEF的面积比是（）A. 1：8B. 1：6C. 1：4D. 1：27.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是（）A. （1，0）B. （-5，-1）C. （1，0）或（-5，-1）D. （1，0）或（-5，-2）8.在平面直角坐标系中,点是线段AB上一点,以原点O为位似中心把放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为( )A.B.或C.D.或二、填空题9.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为________．10.如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．11.如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．12.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________ 那么这样的两个图形叫做位似图形．13.如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子．现测得，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是________．14.如图，正方形ABCD与正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H （0，4），则位似中心的坐标是________三、解答题15.如图，△OAB以O为位似中心放大1倍到△A′OB′，写出变化前后各顶点的坐标，并指出坐标的变化规律．16.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B点的坐标为：B（﹣1，﹣1）．（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4请在下面网格内画出△A2B2C2．四、综合题17.如图，已知O是坐标原点，B（﹣3，6），C（﹣3，0），以原点O为位似中心，将△OBC 缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1：2）．（1）画出缩小后的图形；（2）写出B点的对应点坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A（-2，1），B（-1，4），C （-3，-2）（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）如果点D（a ，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标.19.如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于________；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故选：D．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出D点坐标．2.【答案】A【考点】位似变换【解析】【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），∴OB：OB'=1：2=OA：OA'∵A（1，2），∴A'（﹣2，﹣4）故答案为：A．【分析】根据题意首先得出这两个三角形的位似比，而且这两个三角形分别位于位似中心的异侧，根据位似的性质A点的对应点A'的坐标只需要在A点的横纵坐标上分别乘以位似比的相反数即可。

2019年北京中考数学习题精选：相似、位似及其应用含答案一、选择题1、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”， 这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的 衡器，体现了杠杆原理. 小楠决定自己也尝试一下， 她找了一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆 的中点O 并将其吊起来，在中点的左侧距离 中点25cm 处挂了一个重1.6N 的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点20cm 时 木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是 (A) 1.28N (B) 1.6N (C) 2N (D) 2.5N 答案：C2、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，△ABC ∽△A ’B ’C和△A ’B ’C ’的高，若AD ＝2，A ’D ’＝3，则△ABC 与△A ’B ’C ’的面积的比为(A) 4：9(B) 9：4 (C) 2：3 (D) 3：2 答案：A3.（2018北京大兴第一学期期末）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于 A ．120m B ．67.5m C ．40m D ．30m答案：A4.（2018北京东城第一学期期末）△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ,OB ,OC 的中点，若△DEF 的面积是2，则△ABC的面积是A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D5.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN=1，则S △ABC 为__________A ．2B ． 3C ．4D ．5答案：C6.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD=2,BD=3,则AC 长为________A B ． C D ．6答案：A7.（2018北京丰台区第一学期期末）如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b =答案：C8、018北京丰台区第一学期期末） “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④答案：B9、（2018北京丰台区第一学期期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是A B C D 答案：A10.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为 A ．1B ．2ABC②①③ ④C ．3D ．4答案：C11.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是A ．32OB CD=B ．32αβ= C ．1232S S =D ．1232C C =答案：D12.（2018北京丰台区二模）如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图. 等腰直角三角板的斜边BD 与地面AF 平行，当小明的视线恰好沿BC 经过旗杆顶部点E 时，测量出此时他所在的位置点A 与旗杆底部点F 的距离为10米. 如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF 的高度为 （A ）10米（B ）11.7米 （C）（D） 1.7)米 答案:B13.（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为A ．2B ．4C ．6D ．8D OA BCFBCDE答案：B14.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如果23a b =，那么a bb-的结果是 A ．12- B ．13- C ．13 D ．12 答案：B15.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE//BC ，AD=2，DB=1，AE=3，则EC 长A. 23 B. 1 C. 32D. 6答案：C16.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，AB=4，AC= 6，将ABC ∆沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是 CACAA B C D 答案：DEDCB A17.（2018北京平谷区第一学期期末）已知12a b =，则a b b +的值是（A ）32 （B ）23 （C ）12 （D ）12-答案：A18.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，AD ∥BE ∥CF ，直线12l ,l 与这三条平行线分别交于点A ,B ,C 和D ,E ,F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长是 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8答案：C19.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是（A （B （C ）14 （D ）12答案：D20.（2018北京石景山区第一学期期末）如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是（A ）43=y x （B ）yx 43= （C ）43y x = （D ）34y x = 答案：D21.（2018北京顺义区初三上学期期末）右图是百度地图中截取的一部分，图中比例尺为1：60000，则卧龙公园到顺义地铁站的实际距离约为 （注：比例尺等于图上距离与实际距离的比）A ．1.5公里B ．1.8公里C ．15公里D ．18公里答案：B22.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知△ABC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，AD =2，DB =3，△ADE 面积是4，则四边形DBCE 的面积是A ．6B ．9C ．21D ．25答案：C23.（2018北京通州区第一学期期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么这棵树的高度为（ ）.A ．m 5B ．m 7C ．m 5.7D ．m 21答案：B24.（2018北京西城区第一学期期末）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB= 答案：D25．（2018北京市东城区初二期末）如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定．．正确的是A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 解：C26.（2018北京西城区二模）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是A．EF CFAB FB=B．EF CFAB CB=C．CE CFCA FB=D．CE CFEA CB=答案：B二、填空题27.（2018北京昌平区二模）为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为______米（注：反射角等于入射角）.答案：6.428．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE 正好对着量具上20份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是_________毫米．答案10329．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，在ABC △中，D E AB ∥，DE 分别与AC ，BC 交于D ，E 两点． 若49DEC ABCS S =△△，3AC =，则DC =__________． 答案：230．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝3，则DEBC的值为 ．答案：1：431.（2018北京海淀区二模）如图，四边形ABCD 与四边形1111A B C D是E DCB A CDE以O 为位似中心的位似图形，满足11=OA A A ，E F ，，1E ，1F 分别是AD BC ，，11A D ，11B C 的中点，则11=E F EF．答案：1232．（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点， DE ∥BC ．若6AD =，2BD =， 3DE =，则BC = ． 答案：433. （2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，AB ∥CD ，AB=21CD ，S △ABO ：S △CDO = ． 答案1:434．（2018北京丰台区一模）在某一时刻，测得身高为1.8m 的小明的影长为3m ，同时测得一建筑物的影长为10m ，那么这个建筑物的高度为 m ． 答案635. （2018北京怀柔区一模）如图,在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点E ，若41=CD AB ，则=ACAE_____.B答案51 36．（2018北京门头沟区初三综合练习）如图，两个三角形相似，2,3,1AD AE EC ===,则BD =______.答案437.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，在平面直角坐标系中，△COD 可以看作是△AOB旋转、位似）得到的，写出一种由△AOB 得到 △COD 的过程： .第12题图B答案：答案不唯一，如：以原点O 为位似中心，位似比为21，在原点O 同侧将△AOB 缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到△COD .38.（2018北京大兴第一学期期末）若△ABC ∽△DEF ，且BC ∶EF=2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________． 答案： 4∶939.（2018北京东城第一学期期末）某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度. 为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）. 经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB,OA 的长分别为0.7m,0.3m ，观测点O 到旗杆的距离OE 为6 m ，则旗杆MN 的高度为 m .答案：1540.（2018北京房山区第一学期检测）如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里. 为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A ，在对岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE=2m ，EC=1m ，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 m.答案：641.（2018北京丰台区第一学期期末）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为cm.10答案：42.（2018年北京海淀区第一学期期末）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．停止线交通信号灯答案：1043.（2018北京怀柔区第一学期期末）若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△D EF 的面积比等于 . 答案：1:944.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）如图，在△ABC 中， DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，且DE ∥BC ，如果23AD DB =，那么DEBC=__________.答案：2545.（2018北京密云区初三（上）期末）12x y =，则x y y + =_________________.答案：3246.（2018北京密云区初三（上）期末）在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）. 如图2，如A B的高度为5cm，果火焰AB的高度是2cm，倒立的像//蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像/B到O的距离是________cm.答案：1047.（2018北京石景山区第一学期期末）如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______．答案：9:448.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=________．答案：149.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是．（只填一个即可）答案：略50.（2018北京通州区第一学期期末）如图，点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则.____________=AC答案：51.（2018北京西城区第一学期期末）如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC =. 答案：4三、解答题52.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC ∽△A'B' C'.证明：在线段A'B'上截取A'D=AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E . 由此得到△A'DE ∽△A'B'C'.∴∠A' DE=∠B'. ∵∠B=∠B'，∴∠A' DE =∠B.∵∠A'=∠A，∴△A' DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据，可以判定所作△A' DE与；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE与；（3）最后，可证得△ABC∽△A'B' C'.答案：17．解：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；………………………………………2分△A'B'C' 相似；…………………………………………………………………4分（2）△ABC全等. ……………………………………………………………………5分53.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD中点，（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长答案：23. （1）证明：在正方形ABCD中，∠D= 90°，CD∥AB，∴∠DEA=∠PAE.. …………………………………………………………1分∵PF⊥AE，∴∠D=∠AFP. …………………………………………………………2分 ∴△PAF ∽△AED . …………………………………………………………3分（2）1或25. (5)分54.（2018北京大兴第一学期期末）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴AC ABAD AE=．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分55.（2018北京东城第一学期期末）如图，在四边形ABCD中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°. （1）求证：△ADE ∽△BEC .（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长.答案：19.（1）证明： ∵AB ⊥BC ，∴∠B =90°． ∵AD ∥BC ， ∴∠A =90°． ∴∠1+∠3=90°．∵∠DEC =90°． ∴∠1+∠2=90°． ∴∠3=∠2．∴△ADE ∽△BEC . --------------------3分 （2）解：由（1）可得，AD AEBE BC=, AD =1，BC =3，AE =2, ∴ 1.5BE =.∴ 3.5AB =. -------------------5分56.（2018北京房山区第一学期检测）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠BDC ． （1）求证：△ABD ∽△DCB ．（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB 的长．答案：57、（2018北京丰台区第一学期期末）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.答案：18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=． ∴EC ＝6．……4分∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分 其他证法相应给分.58、（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．D CAEEA证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC=∵CE=AC，∴CE=∵CD=5，∴AB ACCE CD=. ………………3分∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.∴△ABC∽△C ED. ………………5分59、（2018北京怀柔区第一学期期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB.证明：∵BC＝4，AC＝8，CD=2.…………………………1分∴BC CDAC BC=………………………………………3分又∵∠C=∠C……………………………………4分EB C DA第18题图∴ △BCD ∽△ACB ……………………………………………………………………5分60、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）18. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E ．求证：△ABD ∽△CBE.证明：∵ AB =AC ，BD =CD∴ AD BC ⊥, ……………………………………2分∵ CE ⊥AB∴90ADB BEC ∠=∠=︒……………………………………4分∵B B ∠=∠ABD CBE ∴△∽△ ……………………………………5分61.（2018北京密云区初三（上）期末）如图，BO 是ABC ∆的角平分线，延长BO 至D 使得BC=CD. （1）求证：AOBCOD ∆∆.（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC 长.ODCBA答案：（1）证明：BO是ABC∆的角平分线∴ABO OBC∠=∠…………………………………………..1分BC=CD∴OBC ODC∠=∠∴ABO ODC∠=∠……………………………………..2分又AOB COD∠=∠∴AOB∆∽COD∆……………………………………………………….3分（2）解：AOB∆∽COD∆∴AB OACD OC=…………………………………………..4分又AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD∴OC=2 ……………………………………………….5分62.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求BODO的值．答案：19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD． (1)∴∠A =∠ACD ． ..................................................................................................... 2 ∴△ABO ∽△CDO ． ............................................................................................... 3 ∴BO ABCO CD=． ................................................................................................... 4 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =45°，BC =1， ∴AB =1．在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，∠D =30°，BC =1，∴CD∴BO CO ==． (5)63.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作EO ⊥BD ，交BA 延长线于点E ，交AD 于点F ，若EF=OF ，∠CBD =30°，BD =．求AF 的长．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD = ........................................................................... 1 ∵∠CBD =30°， ∴∠ADB =30°． ∵EO ⊥BD 于O ，∴∠DOF =90°．在Rt △ODF 中，tan30°=OF OD =， ∴OF=3． ............................................................................................................ 2 ∴FD =6．过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴AF EFGF OF=． ∵EF=OF ， ∴AF=GF ． ∵O 是BD 中点，∴G 是AD 中点． ................................................................................................ 3 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62xx x ++=． ........................................................................................ 4 解得x =2．∴AF =2． (5)方法二：延长EF 交BC 于H ．由△ODF ≌△OHB 可知，OH =OF ． (3)∵AD ∥BC ， ∴△EAF ∽△EBH ．BB∴EF AFEH BH=． ∵ EF=OF ， ∴13AF BH =． ....................................................................................................... 4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴ AF =2．64.（2018北京石景山区第一学期期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．FE DCB答案： （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DAF =∠CDE ， ……………………………………………… 1分 ∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠CED =90°，……………………………………………… 2分 ∴△ADF ∽△DCE ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DEAFDC AD =∴326 DC ， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴AB =9．…………………………………………………………5分65.（2018北京顺义区初三上学期期末）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有 ；（写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似．答案：（1）△ADF ，△EBA ，△FGA ；………………………….3分（每个一分） （2）证明：△ADF ∽△ECF∵四边形ABCD 为平行四边形∴BE ∥AD …………………………………………………….4分 ∴∠1=∠E ，∠2=∠D∴△ADF ∽△ECF …………………………………………….5分（其它证明过程酌情给分）66.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知：如图，在△ABC的中，AD是角平分线，E 是AD上一点，且AB：AC = AE ：AD．求证：BE=BD．证明：∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，……………………………………….1分又∵AB AD = AE AC，……………………….2分∴△ABE∽△ACD，………………………………………..…….3分∴∠3=∠4，……………………………………………………….4分∴∠BED=∠BDE，∴BE=BD．………………………………………………………..5分67.（2018北京西城区第一学期期末）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB=6，AE=4，求AC，CD的长．答案：。

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。

黄金分割（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ．2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A ．3.14B ．2.71C ．0.62D ．0.575．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ． C． D ．二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为 ．P AB AP BP >2AB cm =()1-3()AB 20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m ()10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm ABC ∆ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠0.618)ABCD 1AD =AB8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为 （结果精确到．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段长为 ，点在数轴上表示的数为 ；（2）在（1）中计算线段长的依据是 ．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.710cm 0.618)cm 0.1)AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP P OP米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是 ”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：8cm cm ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n x y 11x x+=210x x -+=依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g ABC 2.2)ABCDE AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF黄金分割（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区校级月考）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则短线段的长度是 ABCD ． 【分析】【解答】解：点是的黄金分割点，，， 则短线段故选：．【点评】2．（2017秋•丰台区期末）“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】关键黄金分割的比值是0.618，即可判断．【解答】解：观察图象可知，，，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置②， 故选：．【点评】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是记住黄金分割的比值是0.618．3．（2015秋•石景山区期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台P AB AP BP >2AB cm =()1-3Q P AB AP BP >1AP AB ∴==-21)3BP AB AP =-=--=-D ()0.618AC AB ≈0.618DE CD ≈∴B (0.618)AB的长为，为的一个黄金分割点，则的长为（结果精确到 A ．B ．C ．D ．【分析】根据黄金比值约为0.618进行计算即可．【解答】解：为的一个黄金分割点，， ，故选：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中4．（2016秋•通州区期中）黄金矩形的宽与长的比值更接近于 A．3.14 B ．2.71 C ．0.62D ．0.57【分析】 【解答】黄金矩形的宽与长的比， 四选项中更接近于这一比值的是0.62，故选：．【点评】本题考查了黄金分割的知识，熟记黄金分割比是解题的关键．5．（2015秋•延庆县期末）把长的线段进行黄金分割，则较长线段的长，精确到是 A ．B ．C ．D ．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是． 故选：．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段，较长的线段原线是本题的关键． 二．填空题（共6小题）6．（2019秋•密云区期末）我们把满足下面条件的称为“黄金三角形”：20m C AB ()AC BC <AC 0.1)(m )6.7m 7.6m 10m 12.4m C Q AB 12.4BC AB cm ∴=≈2012.47.6AC cm ∴=-=B ()0.618=≈C 10cm 2.236≈0.01)()3.09cm 3.82cm 6.18cm 7.00cm 10100.618 6.18cm =⨯=C ==ABC ∆①是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点，使得与所在边的对角顶点连线把分成两个不全等的等腰三角形．（1）中，，，可证是“黄金三角形”，此时的度数为 ．（2）中，，为钝角．若为“黄金三角形”，则的度数为 ．【分析】（1）由得到，再根据和三角形内角和得到，然后可求出的度数；（2）如图，利用黄金三角形的定义得到和都为等腰三角形，设，则可表示出，，然后利用三角形内角和得到，解方程得到，然后计算即可．【解答】解：（1），，，而，，；（2）如图，为“黄金三角形”，和都为等腰三角形，设，，，，，，解得，．故答案为，．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即ABC ∆P P P ABC ∆ABC ∆AB AC =:1:2A C ∠∠=ABC ∆A ∠36︒ABC ∆AB AC =A ∠ABC ∆A ∠AB AC =B C ∠=∠:1:2A C ∠∠=22180A A A ∠+∠+∠=︒A ∠ABD ∆ADC ∆B x ∠=C B CAD x ∠=∠=∠=2BDA BAD x ∠=∠=2180x x x x +++=︒36x =︒2x x +AB AC =Q B C ∴∠=∠:1:2A C ∠∠=Q 180A B C ∠+∠+∠=︒22180A A A ∴∠+∠+∠=︒36A ∴∠=︒ABC ∆Q ABD ∴∆ADC ∆B x ∠=AB AC =Q C B x ∴∠=∠=CAD x ∴∠=2BDA BAD x x x ∴∠=∠=+=2180x x x x ∴+++=︒36x =︒2108BAC x x ∴∠=+=︒36︒108︒AB AC ()BC AC BC >AC AB BC，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形．7．（2019秋•，就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为　2　．【分析】判断黄金矩形的依据是：宽与长之比为0.618，根据已知条件即可得出答案．【解答】解：矩形是黄金矩形，且，，，故答案为2．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8．（2019秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割（黄金比为，则较长线段的长为　6.2　（结果精确到．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．即可求解．【解答】解：如图：设较长线段，则，根据黄金分割定义可知：，即，，::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB 0.618)ABCD 1AD =AB Q ABCD 1AD =-∴AD AB ==2AB ∴=10cm 0.618)cm 0.1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB C AB AC x =10BC x =-AC BC AB AC=2AC AB BC =g 210(10)x x ∴=-2101000x x +-=解得，（不符合题意，舍去）答：较长的线段的长约为．故答案为6.2．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．9．（2017春•朝阳区期末）阅读下列材料：如图1，在线段上找一点，若，则称点为线段的黄金分割点，这时比值为名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点表示数0，点表示数2，过点作，且，连接；以为圆心，为半径作弧，交于；再以为圆心，为半径作弧，交于点，则点就是线段的黄金分割点．根据材料回答下列问题：（1）线段　，点在数轴上表示的数为　　；（2）在（1）中计算线段长的依据是　　．【分析】（1）根据勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论；（2）根据勾股定理求得，再由线段的和差求得，于是得到结论．【解答】解：（1），， ，，由作法知，，，点，；11) 6.18 6.2x =-≈≈25x =--6.2cm AB ()C AC BC >::BC AC AC AB =C AB 0.618≈O E E EF OE ⊥12EF OE =OF F EF OF H O OH OE P P OE OP 1P OP OF ===OF OP 2OE =Q 112EF OE ∴==EF OE ⊥Q OF ∴===1FH EF ==1OP OH OF FH ==-=-∴P 1-1-1-（2）在（1）中计算线段长时，首先根据勾股定理求得，再由求得，故答案为：勾股定理．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．（2015秋•怀柔区期末）学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．”文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是　黄金分割　”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的 知识，我要带 等测量工具”．【分析】利用已知结合黄金分割比例和解直角三角形的应用分别填空得出答案．【解答】解：结合：，故明明说：“我的理由是黄金分割”明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度， 我想用学到的解直角三角形（答案不唯一）知识，我要带测角仪、皮尺（答案不唯一）等测量工具”．故答案为：黄金分割；解直角三角形（答案不唯一）；测角仪、皮尺（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了黄金分割以及解直角三角形的应用等知识，正确掌握黄金比例是解题关键．11．（2013秋•大兴区期中）把长为的线段进行黄金分割， 则较长线段的长为 ．OP OF OP OH OF FH ==-OP 41(10.618)15.7()m ⨯-≈8cm 1)cm【分析】根据黄金分割的定义，． 【解答】解： 较长线段的长度． 故答案为．【点评】本题考查了黄金分割： 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项 （即，叫做把线段黄金分割， 点叫做线段的黄金分割点，其中，并且线段的黄金分割点有两个 ． 三．解答题（共4小题）12．（2019春•昌平区校级月考）如图，在中，，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　108　度和 度；（2）若在图2中画2条线段，图中有几个等腰三角形，分别是哪几个？（3）继续按以上操作发现：在中画条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形．【分析】（1）可以根据，的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律【解答】解：（1）如图1所示：，，81)cm cm ==-1)AB AC ()BC AC BC >AC AB BC ::)AB AC AC BC =AB C AB 0.618AC AB AB =≈AB ABC ∆AB AC =36A ∠=︒)ABC ∆ABC ∆n AB AC =36A ∠=︒AB AC =Q 36A ∠=︒当，则，则，则这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；在中画条线段，则图中有个等腰三角形，其中个黄金等腰三角形．故答案为，【点评】该题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．13．（2018•通州区三模）小明同学遇到两个数学问题：问题一，一个数加上这个数的倒数，和为1，试求这个数．问题二，一个数减去这个数的倒数，差为1，试求这个数．（1）在探索问题一时，进行了以下操作：∴AE BE =36A ABE ∠=∠=︒108AEB ∠=︒36EBC ∠=︒∴⋯ABC ∆n 2n n 2n n x y依题意，列出方程， 化简得，于是小明认为这个数不存在，请帮小明证明这个数不存在．（2）在探索问题二时，进行了以下操作：依题意，列出方程， 变形得 于是得到形如这样的数，我们称之为连分数．如果设一条线段的长度设为1，点是这条线段的黄金分割点，设其中较短的线段的长度为，试将表示为连分数的形式．【分析】（1）先求出根的判别式△的值，由△即可证明这个数不存在；（2）设其中较短的线段的长度为，则较长的线段的长度为，根据黄金分割的定义列出方程，再变形即可．【解答】（1）证明：△，因为这个方程无解，所以这个数不存在；（2）解：依据题意，得， 变形 得，展开，得，，两边同时除以，得， ．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是较短线段和全线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．也考查了根的判别式以及学生的阅读理解能力．14．（2016秋•海淀区期中）如图1，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被点黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、11x x+=210x x -+=11y y -=1111111111111111111y y y y =+=+=+=+++++++⋯1111111++++⋯AB M z z 0<z 1z -111z z z -=-224(1)41130b ac =-=--⨯⨯=-<111z z z -=-2(1)z z -=231z z =-0z ≠Q ∴z 13z z=-13133z ∴=---⋯AB C C AB AC CB BC 2BC AB AC =g AB C建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离的近似值取．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为丈，由题意可得，解得，，（舍去）则，答：太和门到太和殿的距离为60丈．【点评】本题考察的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．15．（2010秋•通州区期末）如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而得出，根据相似三角形比例关系即可得出答案．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，2.2)x 2100(100)x x =-150x =-+250x =--5050 2.260x ≈-+⨯=AB AC ()BC AC BC >AC AB BC AB ABCD E AD DAE AD AE =BE DCF 1AB =+CF CBF AEB ∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∆∆∽Q ABCD CBF AEB ∴∠=∠BCF BAE ∠=∠BCF EAB ∴∆∆∽，即， 把，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较综合，难度适中．∴BC AE CF BA =AD CF AE AB=AD AE =1AB ==2CF =。