高二数学导数在研究函数中的应用苏教版知识精讲

导数在研究函数中的应用应用一 ——研究函数的单调性1．判断函数的单调性对于函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数．注意事项：若函数()f x 在某区间上的个别点处有()0f x '=，在其余点处恒有()0f x '>（或()0f x '<），即函数()f x 在该区间上虽然有()0f x '≥（或()0f x '≤），但函数()f x 在这个区间上仍是严格增函数（或严格减函数）．例如函数3()f x x =的导数2()3f x x '=在0x =处有()0f x '=，当0x ≠时，()0f x '>，而函数3()f x x =显然在区间（－∞，＋∞）上是严格增函数，但()0f x '=．因此，在区间内()0f x '>是()f x 在此区间上为严格增函数的充分不必要条件．2．确定函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导函数()f x '；（3）在定义域范围内解不等式()0f x '>，求得的相应区间是函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，求得的相应区间是函数()f x 的单调减区间．注意事项：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．当增（减）区间由若干个不连续区间组成时，应分别作答，不能用“U ”连接．应用二 ——求函数的极值1．对极值概念的理解（1）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．它只与某点附近的函数值有关，是仅对某一点的左、右两侧邻域而言的．（2）若函数()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内不是单调函数．（3）函数()f x 在()a b ，上有极值，它的极值点的分布是有规律的，即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点；同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地说，当函数()f x 在()a b ，上连续变化且有有限个极值点时，函数()f x 在()a b ，内的极大值点、极小值点是交替出现的．2．求函数()f x 的极值的步骤（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的导数()f x '，令()0f x '=，求方程()0f x '=的所有实数根；（3）考察()f x '在各实数根左、右的值的符号：①如果在x0两侧()f x '符号相同，则0x 不是()f x 的极值点；②如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0()f x 是极大值；③如果()f x 在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值．注意事项：1．我们在求函数()y f x =的极值时，要求函数()y f x =在点0x 及其附近有定义；否则，如果函数()f x 在点0x 及其附近没有定义，那么函数()f x 在点0x 处及其附近就不存在函数值，因而也就无法比较函数值的大小，也就更谈不上求极值了．2．函数在极值点的导数值为０，但导数值为０的点不一定是极值点．一般地，函数()y f x =在一点的导数值为０是函数()y f x =在这点取极值的必要不充分条件，其充分条件是函数()y f x =在这一点的导数值为0且这点两侧的导函数值异号．3．函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数()f x x =，在0x =处，左侧（0x <），()10f x '=-<；右侧（0x >），()10f x '=>．当0x =时，(0)0f =是f （x ）的极小值，但(0)f '不存在．应用三 ——求函数的最值1．对最值概念的理解函数的最大（小）值是一个整体性概念，是对整个定义域而言的．最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值，最小值必须是定义域上所有函数值中的最小值．2．函数的最值与极值的区别与联系（1）函数的极值表示函数()y f x =在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义域上的整体情况．函数在定义域上的极值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值与极小值之间没有必然的联系，函数的极小值不一定比它的极大值小；但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义域上所有函数值中最大的，最小值必须是整个定义域上所有函数值中最小的．（2）函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得．（3）函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值．3．求函数()f x 在闭区间[]a b ，上的最大值与最小值的步骤（１）求出函数()y f x =在()a b ，上的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．特别地，若函数()f x 在[]a b ，上单调递增，则()f a 为函数的最小值，()f b 为函数的最大值；若函数()f x 在[]a b ，上单调递减，则()f a 为函数的最大值， ()f b 为函数的最小值．导数应用中的两个“误区”误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”满足0()0f x '=的点0x x =是其为极大（小）值点的必要不充分条件，如果把导数值为０的点等同于极值点，往往容易导致失误．例1 函数23()(1)2f x x =-+的极值点是（ ）．（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1x =或1-或0 （D ）0x =误解：642()331f x x x x =-++，则由53()61260f x x x x '=-+=得极值点为1x =，1x =-和0x =，故正确答案为（C ）． 剖析：事实上，这三点都是导数值为０的点，但是不是极值点呢？由5322()61266(1)(1)f x x x x x x x '=-+=+-知，当(1)x ∈-∞-，时，()0f x '<；当(10)x ∈-，时，()0f x '<；当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>．()f x 在（-∞，-1）、（-1，0）上单调递减，在（0，1）、（1，+∞）上单调递增．因此只有0x =为极小值点，1x =-和1x =都不是极值点．故应选（D ）．例2 已知函数4322()2432x b a f x x x ax +=+-+在点1x =处取极值，且函数4321()432x b a g x x x ax -=+--在区间(623)a a --，上是减函数，求实数a 的取值范围． 误解：32()(2)2f x x bx a x a '=++++，由(1)0f '=，得1b a =-，∴32()(1)g x x bx a x a '=+--- 32(1)(1)x a x a x a =+----2()(1)x a x x =-++．当x a <时，()0g x '<，()g x 在()a -∞，递减，∴(623)()a a a --⊆-∞，，，∴623a a a -<-≤，故所求a 的范围为33a -<≤．剖析：以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到(1)0f '=，即1x =是()f x 的导数值为０的点．当1b a =-时，32()(1)(2)2(1)(2)()f x x a x a x a x x x a '=+--++=-+-，如果1a =，那么1x =就只是导数值为０的点而非极值点．因此a 的取值范围应为33a -<≤且1a ≠．误区之二：判断单调性时忽略特殊情形当()f x '在某区间D 上恒大于0时，函数()f x 在D 上为增函数．若反过来，结论如何呢？ 例3 已知函数322()(41)(1527)23x f x m x m m x =--+--+在实数集R 上是增函数，求实数m 的取值范围．误解：22()2(41)1527f x x m x m m '=--+--，依题意，()f x '在R 上恒大于0，所以24(68)0m m ∆=-+<，得24m <<．剖析：当()0f x '>时，()f x 是增函数，但反之并不尽然．如3()f x x =是增函数，2()3f x x '=并不恒大于0（0x =时，(0)0f '=）．因此本题应该有()f x '在R 上恒大于０或个别值等于0，所以24(68)0m m ∆=-+≤，得24m ≤≤．导数解决优化问题1．优化问题生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具．2．解实际应用问题的程序读题 ⇒ 建模 ⇒ 求解 ⇒ 反馈（文字语言） （数学语言） （数学应用） （检验作答）（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，将其转化成函数关系式，确定自变量的定义域；（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义．3．实际问题的最值中为什么没有考虑端点的函数值有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值．例 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？分析：解本题的关键是利用“利润＝收入－成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定函数定义域，然后利用导数求最值．解：设每月生产x 吨时的利润为21()24200(50000200)5f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 3124000500005x x =-+-，（0x ≥） 由23()2400005f x x '=-+=， 解得1200x =，2200x =-（舍）．∵()f x 在[)0+∞，内只有一个点200x =使()0f x '=，又(0)0f <，()f x →-∞（当x →+∞）；在点200x =处，(200)0f >，故它就是最大值点， 且最大值为31(200)20024002005000031500005f =-⨯+⨯-=（元）．所以该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为3150000元．。

高二数学导数的运算知识精讲 苏教版一. 本周教学内容：导数的运算二. 本周教学目标：1、能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解。

2、能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。

三. 本周知识要点： （一）常见函数的导数对于基本初等函数，有下面的求导公式：（1）0'=C ； （5）'()ln (0,1)x xa a a a a =>≠ （2）1)'(-=n nnxx ；（6）'11(log )log (0,1)ln a a x x a a x x a==>≠ （3）x x cos )'(sin =；（7）'()x xe e =（4）x x sin )'(cos -= （8）'1(ln )x x=（二）函数的和差积商的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即 '')'(v u v u ±=±法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+ [()]'()Cu x Cu x '=两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数的和、差、积不一定不可导．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（三）简单复合函数的导数1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2、求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-的复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得12x 183)2x 3(23u 2u y 'x 'u -=⋅-=⋅=， 从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y'x 时，就可以转化为求y u '和u'x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3、复合函数的导数：设函数u ＝ϕ(x)在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x)，函数y ＝f(u)在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f'(u)，则复合函数y ＝f （ϕ(x)）在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f'x （ϕ(x)）＝f ′(u)ϕ'(x).例1. 求 （1）（x 3）' （2）（21x）' （3）')x 解：（1）（x 3）'＝3x 3－1＝3x 2；（2）（21x）'＝（x －2）'＝－2x －2－1＝－2x －3（3）x21x 21x 21)x ()x (2112121==='='--例2. 求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xcos )x (sin y ='='∴236cosy 6x =='=ππ ∴所求切线的斜率23k =∴所求切线的方程为 )6x (2321y π-=-，即036y 12x 36=-+-π答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．例3． （1）求y ＝x 3+sinx 的导数.（2）求y ＝x 4－x 2－x+3的导数.（3）求453223-+-=x x x y 的导数．（4）求2(23)(32)y x x =+-的导数．（5）y ＝3x 2+xcosx ，求导数y ′解：（1）y'＝（x 3+sinx ）'＝（x 3）'+（sinx ）'＝3x 2+cosx（2）y'＝（x 4－x 2－x+3）'＝（x 4）'－（x 2）'－x'+3'＝4x 3－2x －1，（3）2'66y x x =-+（4）)'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y 3)32()23(42⋅+++=x x x 98182+-=x x（5）y'＝（3x 2+xcosx ）'＝（3x 2）'+（xcosx ）'＝3·2x+x'cosx+x （cosx ）'＝6x+cosx －xsinx例4. 求y ＝xsin x 2的导数。

《导数在研究函数中的应用（一）》的教案教材 《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修1-1.课题 3.3导数在研究函数中的应用（一）. 教学目标(一)知识与技能目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. （二）过程与方法目标1.通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法；2.培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，掌握数形结合、分类讨论思想. （三）情感态度与价值观目标1.通过教学过程让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；2.培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育. 教学重点、难点重点：掌握利用导数判断函数单调性的方法. 难点：理解利用导数判断函数单调性的原理. 教学过程设计（一）课题导入师：同学们，上一节课我们已经学习了导数，请一位同学来回顾一下我们是怎样定义导数的.生：导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，当x ∆无限趋近于0时，有0000()()limlim x x f x x f x yA x x∆→∆→+∆-∆==∆∆（常数）， 则称()f x 在点0x x =处可导，称A 为函数()f x 在点0x x =处的导数，记作0()f x '.师：我们都知道导数是函数变化率，它刻画了函数变化的趋势，也就是上升或下降的陡峭程度，同学们还记不记得函数的单调性，它是这样定义的：如果函数()f x 对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有1212()()(()())f x f x f x f x <>，那么()f x 在这个区间上是增（减）函数，函数的单调性同样是对函数变化的一种刻画，那么我们来发散一下思维想一想导数与函数的单调性是不是有什么联系呢？这节课我们就一起来探究导数在研究函数中的应用之一：利用导数判断函数的单调性.（二）讲授新课师：我们先以增函数为例来看一下，如果函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数，那么对任意1x ,2x ∈),(b a ，当1x <2x 时，)()(21x f x f <，即21x x -与)()(21x f x f -同号，从而有0)()(2121>--x x x f x f ，即0>∆∆xy.通过回顾，我们发现研究导数时也出现了yx∆∆，我们猜想一下导数大于0与函数单调递增是密切相关的. 生：那导数大于0与函数单调递增到底有着什么样的关系呢？师：我们先来看一下熟悉的函数342+-=x x y 的图像，通过观察可以发现：在区间),2(+∞内，切线的斜率为正，函数)(x f y =的值随着x 的增大而增大，也就是说0>'y 时，函数)(x f y =在区间),2(+∞内为增函数；而在区间)2,(-∞内，切线的斜率为负，函数)(x f y =的值随着x 的增大而减小，也就是说0<'y 时，函数)(x f y =在区间)2,(-∞内为减函数.师:这是一个特殊函数的情况，我们同学能不能根据这个特殊函数归纳出一般情况下导数与函数的单调性有着什么样的关系？生：设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0>'y ，那么)(x f y =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0<'y ，那么)(x f y =为这个区间内的减函数.上述结论可以用下图直观理解.师：现在我们知道了导数大于0可以推出函数在此区间内为增函数，导数小于0可以推出函数在此区间内为减函数，这并不是一个等价条件，我们希望能将导数与函数的单调性写成等价条件，如下：可导函数()f x 在(,)x a b ∈内是增函数（减函数）⇔()0(()0)f x f x ''≥≤且()f x '在(,)a b 内的任意区间内不恒等于0.等价条件为什么是这样的请同学们课后思考并细细体会，下面我们一起来看几道例题.例 1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解 22-='x y .令022>-x ，解得1>x .因此，当),1(+∞∈x 时，函数422+-=x x y 为增函数.同理可得，当)1,(-∞∈x 时，函数422+-=x x y 为减函数.说明：老师讲解，让学生自己画图来对比一下，确定解法是否正确.xx例2 (请两位同学上黑板板演)确定函数762)(23+-=x x x f 在哪些区间上是增函数. 解 x x x f 126)(2-='.令0)(>'x f ，解得0<x 或2>x .因此，在区间)0,(-∞上，0)(>'x f ，)(x f 是增函数；在区间),2(+∞上，0)(>'x f ，)(x f 也是增函数.说明：学生板演，老师用几何画板画出精确的图让学生观察. 例3 确定函数x x f sin )(=，∈x （,02π）的单调减区间. 解 x x f cos )(='.令0)(<'x f ，即0cos <x ，又∈x （,02π），所以∈x （21π，23π）.故区间（21π，23π）是函数x x f sin )(=，∈x （,02π）的单调减区间.说明：老师讲解，并给出图形直观显示. （三）加强训练1.讨论函数)(x f 的单调性：（1）b kx x f +=)(（2）xkx f =)(分析：①注意数形结合思想，讨论k 的情形(0;0;0)k k k >=<； ②注意写单调区间时不能将区间并在一起写. 2.用导数证明x e x f x -=)(在区间(,0]-∞上是减函数. 证明 ()1x f x e '=-.因为(,0]x ∈-∞，所以01x e <≤，进而()10x f x e '=-≤，但()1x f x e '=-在(,0]-∞不恒等于0，故x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数.说明：这道题与书上的练习略有区别，可以让学生对比一下导数与函数单调性的充分性与充要性，从而深刻体会导数与函数单调性的充要性. 3.求函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间. 分析：（1）学生观察题目，发现与上例不同之处？如何解决？ （2）学生解题得出结果；（3）反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。

第1页 共1页 3.3导数在研究函数中的应用
第一课时 单调性
教学思想：
通过图形去认识和感受导数与函数单调性的关系，利用数形结合的数
学思想，帮助学生真正理解导数思想的本质，同时也可简化理论上的
严格推导。

教学目标：
知识结构：通过实例借助几何直观，探索函数单调性与导数的关系
技能目标：通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较
体会导数方法在研究函数性质过程中的一般性与有效性。

情感目标：感受和体会数学自身发展的一般规律
教学方法：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。

教学内容
例1 确定函数2()43f x x x =-+在哪个区间内是增函数，哪个区间是减函数。

例2 确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间内是增函数
变式1：求32()267f x x x =-+（x>-1）的单调增区间
变式2：求32()37(0)f x x ax a =-+≠的单调减区间
例3 证明：()2sin f x x x =-在R 上为单调增函数
课后作业：P78,习题1、2。

导数在研究函数中的应用--单调性教学目的：知识与技能：掌握利用导数判断函数单调性的方法过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 情感、态度与价值观：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程：内容分析： . 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 。

一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．5.对数函数的导数： x x 1)'(ln = e x x a a log 1)'(log =6.指数函数的导数：x x e e =)'( a a a x x ln )'(=二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数2 在区间时，数；函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1. ∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例3证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵f ′(x )=( x 1)′=(－1)·x －2=－21x，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴f ′(x )＜0， ∴f (x )=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间.解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x ) 令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜52. ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，52) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52且x ≠1. ∵1x =为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)例5当x＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x . 分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x .∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明.证明：令f (x )=e 2x －1－2x . ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1) ∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x －1)＞0, 即f ′(x )＞0 ∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数. ∵f (0)=e 0－1－0=0.∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0. ∴1+2x ＜e 2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.例6已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、巩固练习：1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间. 解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=-- ∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0. ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、教学反思 ： f (x )在某区间内可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数。

导数在解函数问题中的应用导数在研究函数问题中，其工具性的作用特别重要。

函数的单调性、最值、极值都可以通过函数的导 数来分析。

另外还要注意转化为函数来处理，转化与化归的思想在函数问题中应用非常广泛。

下面整理一 些问题供大家参考。

1.设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′（x ）|≤a 恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-=' （列表）令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b.（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①（7分）∵0<a <1，∴a +1>2a .∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于⎩⎨⎧≤-≤-aa aa 4412.154.12,44≤≤⎩⎨⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<<a ∴.154<≤a2.设 f (x ) = px －q x －2 ln x ，且 f (e ) = qe －pe －2（e 为自然对数的底数） (I) 求 p 与 q 的关系；(II) 若 f (x ) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III) 设 g (x ) = 2ex ，若在 [1,e ] 上至少存在一点x 0，使得 f (x 0) > g (x 0) 成立, 求实数 p 的取值范围. 解：(I) 由题意得 f (e ) = pe －q e －2ln e = qe －pe －2 (p －q ) (e + 1e ) = 0而 e + 1e ≠0 ∴p = q(II) 由 (I) 知 f (x ) = px －px －2ln x f ’(x ) = p + p x 2 －2x = px 2－2x + px 2令 h (x ) = px 2－2x + p ，要使 f (x ) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 h (x ) 在 (0,+∞) 内满足：h (x )≥0 或 h (x )≤0 恒成立.① 当 p = 0时， h (x ) = －2x ，∵ x > 0，∴ h (x ) < 0，∴ f ’(x ) = －2xx 2 < 0， ∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.② 当 p > 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = 1p ∈(0,+∞)，∴ h (x )min = p －1p只需 p －1p ≥0，即 p ≥1 时 h (x )≥0，f ’(x )≥0∴ f (x ) 在 (0,+∞) 内为单调递增，故 p ≥1适合题意.③ 当 p < 0时，h (x ) = px 2－2x + p ，其图象为开口向下的抛物线， 对称轴为 x = 1p ∉ (0,+∞)只需 h (0)≤0，即 p ≤0时 h (x )≤0在 (0,+∞) 恒成立. 故 p < 0适合题意. 综上可得，p ≥1或 p ≤0 另解：(II)由 (I) 知 f (x ) = px －px －2ln xf ’(x ) = p + p x 2 －2x = p (1 + 1x 2 )－2x要使 f (x ) 在其定义域 (0,+∞) 内为单调函数，只需 f ’(x ) 在 (0,+∞) 内满足：f ’(x )≥0 或 f ’(x )≤0 恒成立. 由 f ’(x )≥0 ⇔ p (1 + 1x 2 )－2x ≥0 ⇔ p ≥2x + 1x ⇔ p ≥(2x + 1x )max ，x > 0∵2x + 1x≤22x · 1x= 1，且 x = 1 时等号成立，故 (2x + 1x )max = 1 ∴ p ≥1由 f ’(x )≤0 ⇔ p (1 + 1x 2 )－2x ≤0 ⇔ p ≤ 2x x 2 + 1 ⇔ p ≤(2xx 2 + 1 )min ，x > 0 而 2x x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时，2xx 2 + 1 → 0，故 p ≤0综上可得，p ≥1或 p ≤0(III) ∵ g (x ) = 2ex 在 [1,e ] 上是减函数 ∴ x = e 时，g (x )min = 2，x = 1 时，g (x )max = 2e 即 g (x ) ∈ [2,2e ] ………… 10分① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x ) 在 [1,e ] 递减 ⇒ f (x )max = f (1) = 0 < 2，不合题意。