2019-2020学年通化市梅河口五中高一(下)6月月考数学试卷及答案解析

21=a 2019-2020学年高一数学下学期第二次（6月）月考试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，下列命题中，正确的是（ ）A.若b a >，d c >，则bd ac >B.若bc ac >，则b a >C. .若b a >，d c >，则d b c a ->-D.若22c b c a <，则b a < 2.在数列{}n a 中，122,211=-=+nn a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51D ．52 3．不等式x x x 2522>-- 的解集是 A. }15{-≤≥x x x 或 B. }15{-<>x x x 或 C. }51{≤≤-x x D. }51{<<-x x4．数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是（ ）A.)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+=n n a n D.2)1(-=n n a n 5，已知正数m,n 的等差中项是2，则mn 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 4 D. 86.等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ）A.28B.48C.36D.52 7，在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ）A.4B.5C.6D.78.已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33 B. 3 C. 1 D. -1 9.在等比数列}{n a 中，1020144117,5,6a a a a a a 则=+=⋅等于（ ）A ．32B ．23C ．23或32D ．－32或－2310．已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若函数y x α=过点 2,3P m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α的值为 A. 3 B. 2 C. 12D. 1- 11. 设数列}{n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，}{n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则=+++1021b b b a a a ( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．205812.已知数列{n a }满足：1a =21，n n a a =+1+()()112n n ++()*N n ∈，则数列{n a }的通项公式为（ ）A.11+=n a nB.21212++-+=n n n a nC.12n n a n +=+D.1n n a n =+. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.数列{}n a 的前ｎ项的和132++=n n S n，则此数列的通项公式n a =_______. 14.已知不等式220ax bx ++<的解集是(1,2)，则b a +的值为___________．,15．若函数1()(2)2f x x x x =+>-，在x a =处取最小值，则a = ． 16．已知在数列{}n a 中，n n a n n a 21+=+，且，则=n a三、解答题（本大题满分70分）17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18．（本小题满分12分）(1)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值；(2)已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值． 19．（本小题满分12分）已知在等比数列}{n a 中，128,252==a a ．（1）求通项公式n a ；（2）若,log 2n n a b =数列}{n b 的前n S n n n 求且项和为,360,S =的值20．（本小题满分12分）已知}{n a 是等差数列，满足12,,341==a a ，数列}{n b 满足20,441==b b ，且}{n n a b -为等比数列．(1)求数列}{}{n n b a 和的通项公式； (2)求数列}{n b 的前n 项和．21．（本题满分12分）2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、 养路费 及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用， 第二年为0.2万元，从第 三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费） 为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?22,（本小题满分12分）数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W ．。

2019-2020年高一下学期期末考试五校联考数学试题答案 数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．D 10．B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11． 12．60° 13． 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．解：（1）31()4cos sin()4cos (sin cos )622f x x x a x x x a π=⋅++=⋅++ 223sin cos 2cos 113sin 2cos21x x x a x x a =+-++=+++……………… 4分当=1时，取得最大值， 又的最大值为2，，即 ………………6分的最小正周期为 ……………8分（2）由（1）得222,.262k x k k Z πππππ∴-+≤+≤+∈ ………………10分得222,.36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ .36k x k ππππ∴-+≤≤+的单调增区间为 ………………12分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴．--------2分∵平面，平面，∴平面．------------------------5分（Ⅱ）连接，∵正方形的边长为2，，∴，，，则，∴． --------------------------------7分又∵在长方体中，，，且，∴平面，又平面，∴，又， -------------------------------9分∴平面，即为三棱锥的高．--------------------------------12分 ∵11112222222AB C S AC OB ∆=⋅⋅=⨯= ∴11111142222333D AB C AB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯=--------------------------------14分 17．（本小题满分12分）解：设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品设备A 类产品 (件)(≥50)B 类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元) 甲设备5 10 200 乙设备6 20 300则满足的关系为565010201400,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩即:61052140,0x y x y x y ⎧+≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩,……………………………6分 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线6105214x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. ……………12分18.（本小题满分14分）解：（1）将（1 ，a 1），（2 ，a 2）代入y = kx + b 中得： ……4分……………………………… 6分（2）， ……………………… 9分是公比为4的等比数列， ……………………… 11分又 ……………………… 14分19．（本小题满分14分）解：（1）圆C 的半径为， ……………………… 2分所以圆C 的方程为 …………………………………4分（2）圆心到直线l 的距离为， …………………………………6分所以P 到直线l ：的距离的最小值为： ………………… 8分（3）设直线l 的方程为：，因为l 与x ，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，则，且，又l 与圆C 相切，则C 点到直线l 的距离等于圆的半径2，即：， ①， 而 ② …… 11分 将①代入②得2(44)112()4()42ABC k S k k k k k-+==-+≥-=--，当且仅当k=﹣1时取等号，所以当k=﹣1时，△ABC 的面积最小，此时，直线l 的方程为： ……………… 14分20．（本小题满分14分）解：（1） 函数是奇函数, ., 得. . 若 则函数的定义域不可能是R , 又, 故. 当≤时，≤;当时, ≤.当且仅当, 即时, 取得最大值.依题意可知, 得. ………………………… 6分（2）由（1）得，令，即.化简得. 或 .若是方程的根, 则, 此时方程的另一根为1, 不符合题意.函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程(※)在区间上有且仅有一个非零的实根.（1）当时, 得方程(※)的根为, 不符合题意. ………8分（2）当时, 则 ①当时, 得.若, 则方程(※)的根为()1211,1212x m =-==∈---,符合题意; 若, 则方程(※)的根为()1211,1212x m =-==-∉--+,不符合题意. . ……………10分② 当时, 令,由 得.. 若, 得, 此时方程的根是, , 不符合题意. ……… 13分综上所述, 所求实数的取值范围是. ………………14分.。

2019-2020年高一6月月考数学含答案本试卷共2页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在ABC ∆中，若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 2.1tan 751tan 75+︒-︒等于A. 33-3. 已知两个非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则下面结论正确的是 A. //a b B. a b ⊥ C ．a b = D. a b a b +=-4. 已知角α的终边上一点(8,15)P m m -（0m <），则cos α的值是 A.817 B. 817- C. 817或817- D. 根据m 确定 5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．726. 圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线y x =-的最小距离为A ．1B ．．17．已知向量,a b 满足6)()2(-=-⋅+b a b a，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3πD ．6π8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15 9．函数3sin(2)3y x π=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是A ．关于点(,0)6π-对称 B ．关于点(,0)3π对 C ．关于直线712x π=对称 D ．关于直线512x π=对称 10．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是A ．cos()2y x π=+B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+ D. sin(2)2y x π=+11．如果函数()sin()3f x x a π=++在区间5[,]36ππ-a 的值为ACD 12．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为7cm ，把一枚半径为2cm 的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A.27 B. 47 C ．37 D. 57第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用钢笔或圆珠笔答在答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答题纸的横线上．13．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的 数量为 .14．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_____b =15．如右下图是一个算法的程序框图，最后输出的S = . 16已知1010)sin(-=+απ，20πα<<，552)2sin(-=-βπ，23πβπ<<，则βα+ 的值是 三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知函数cos 2()sin()4x f x x π=-．（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求定义域；（Ⅱ）若4()3f α=，求sin 2α的值． 18．（本小题满分12分）设向量→1e ,→2e 的夹角为060且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e BC ，)(321→→→-=e e CD .（Ⅰ）证明：A 、B 、D 三点共线；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→→+212e e 与向量→→+21e k e 垂直.19.（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中空气质量等级标准见右表：某环保部门为了解近期甲、乙两居民区的空气质量状况，在过去30天中分别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为样本，样本数据如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数， 甲 乙并由此判断哪个小区的空气质量较好一些；（Ⅱ）若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率．20、（本小题满分12分）已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，]2,2[ππ-∈x ， (1)求证：()a b -⊥()a b +； (2)13a b +=，求cos x 的值。

-吉林省通化市梅河口五中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（4×12=48）1．（4分）下列事件中，不是随机事件的有几个（）（1）水能自己变成油；（2）明天下雨；（3）小明打靶打中了10环；（4）常温常压下，冰会融化；（5）13年1月份有31天．A．2个B．3个C．4个D．5个考点：随机事件．专题：概率与统计．分析：利用不可能事件、确定性事件、随机事件的意义即可判断出．解答：解：（1）水能自己变成油是不可能事件；（2）明天下雨，可能下雨，也可能不下雨，因此是随机事件；（3）小明打靶打中了10环是随机事件，因为可能中10环，也可能不中；（4）常温常压下，冰会融化是确定性事件；（5）13年1月份有31天是确定性事件．综上可知：不是随机事件的有3个．故选B．点评：正确理解不可能事件、确定性事件、随机事件的意义是解题的关键．2．（4分）某校高一年级500名学生中，血型O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型和色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应抽取的AB型的人数是（）A．4B．10 C．16 D．7考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出每个个体被抽到的概率，再用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即可得到该层应抽取的个体数．解答：解：∵每个个体被抽到的概率等于=，AB型的有50人，∴应抽取的AB型的人数是50×=4，故选A．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．3．（4分）（•惠州二模）方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：常规题型；计算题．分析：欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．解答：解：由于方程x2+x+n=0（n∈（0，1））有实根，∴△≥0，即1﹣4n≥0，⇒n≤，又n∈（0，1），∴有实根的概率为：P=，故选C．点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、二次方程等基础知识，考查计算能力．属于基础题．4．（4分）下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个同学要第二个离开教室，共有4种结果，满足条件的事件是第二位走的是男同学，共有2种结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是4个同学要第二个离开教室，共有4种结果，满足条件的事件是第二位走的是男同学，共有2种结果，∴根据等可能事件的概率得到P=，故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，实际上本题只要按照有4个人，那么每一个人在第二位中的概率是相等的，又有2男2女，根据等可能事件的概率得到结果．5．（4分）把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）考点：设计程序框图解决实际问题．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的89化为五进制，即可得到结论．解答：解：先将“二进制”数1011001（2）化为十进制数为26+24+23+20=89（10）然后将十进制的89化为五进制：89÷5=17余4，17÷5=3余2，3÷5=0余3所以，结果是324（5）故选C．点评：本题考查的知识点是二进制、十进制与五进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．6．（4分）如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是（）A．y=x+1.9 B．y=1.04x+1.9 C．y=0.95x+1.04 D．y=1.05x﹣0.9考点：线性回归方程．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．解答：解：∵==2.5，==4.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，4.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=1.04x+1.9成立，故选B．点评：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．7．（4分）把一个正方体各个面都涂上漆，之后分为125个大小相等的小正方体，放入一个不透明的袋子中搅拌均匀，随机从中抽取一个正方体，它是一个各个面都没有涂漆的正方体的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：正确找出六个面都没有涂漆的小正方体，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：如图所示，把一个正方体各个面都涂上漆，之后分为125个大小相等的小正方体，可知只有3×3×3=27个小正方体各个面都没有涂漆，因此随机从袋中抽取一个正方体，它是一个各个面都没有涂漆的正方体的概率P=．故选D．点评：正确找出六个面都没有涂漆的小正方体，熟练掌握古典概型的概率计算公式是解题的关键．8．（4分）任取一个二位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的三位正整数N共有90个，其中，使对数log2N是一个正整数的二位正整数N有3个，由此求得对数log2N是一个正整数的概率．解答：解：所有的三位正整数N共有90个，其中，使对数log2N是一个正整数的二位正整数N有16、32、64，共3个，故对数log2N 是一个正整数的概率是=，故选A．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．9．（4分）（•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：阅读型．分析：利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．解答：解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．点评：本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．10．（4分）（•安徽）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：压轴题．分析：由题意知本题是一个古典概型，本题所包含的总事件数正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，根据古典概型公式得到结果．解答：解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率P==，故选C．点评：对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本事件数，进而利用概率公式求概率．11．（4分）以下程序执行后，变量a，b的值分别为（）A．20 15 B．35 35 C．50 15 D．﹣5﹣5考点：伪代码．专题：图表型．分析：将伪代码翻译成运算步骤，并结合根据赋值语句用新值代替旧值的原理，不难得到本题的答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得以下5个步骤第1步，将15赋给a，20赋给b；第2步，将a+b的值赋给a，可得此时的a值为35；第3步，将a﹣b的值赋给b，得此时的b值为15；第4步，将a+b的值赋给b，得此时的a值为50；第5步，输出a，b的值因此最后输出的a=20，b=15．故选A．点评：本题给出伪代码，求输出的a、b之值，着重考查了赋值语句的理解、伪代码的含义等知识，属于基础题．12．（4分）（•宁夏）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．二、填空题（4×5=20）13．（5分）现要从2男2女这4名同学中选择2名去参加活动，每名同学被选到的概率是相等的，则事件“选择的同学是一男一女”的对立事件是“选择的同学是2个男生，或者是2个女生”．．考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：根据对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是必然事件，从而求得事件“选择的同学是一男一女”的对立事件．解答：解：现要从2男2女这4名同学中选择2名去参加活动，所有的基本事件有3个：“选择的同学是一男一女”、“选择的同学是2个男生”、“选择的同学是2个女生”．由于对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是必然事件，故事件“选择的同学是一男一女”的对立事件是：“选择的同学是2个男生，或者是2个女生”，故答案为“选择的同学是2个男生，或者是2个女生”．点评：本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系，属于基本概念型题．14．（5分）用辗转相除法求得5280和12155的最大公约数是55 ．开始．考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．解答：解：用辗转相除法求5280和12155的最大公约数，∵12155=2×5280+15955280=3×1595+4951595=3×495+110495=4×110+55110=2×555280和12155的最大公约数为55．故答案为：55．点评：本题考查的知识点是辗转相除法，其中熟练掌握辗转相除法和更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤是解答本题的关键．15．（5分）（•南通一模）已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为0.2 ．考点：互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：利用互斥事件的概率公式求出“命中9环以上（含9环）”，“命中8环”，“命中7环”三个事件的和事件的概率；利用对立事件的概率公式求出命中环以下（含6环）”的概率．解答：解：设“命中9环以上（含9环）”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“，命中6环以下（含6环）”为事件D则D与（A+B+C）对立，则P（A）=0.5；P（B）=0.2；P（C）=0.1 ∵A，B，C三事件互斥∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.8∴P（D）=1﹣0，.8=0.2故答案为：0.2点评：本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式．16．（5分）用秦九韶算法计算：当x=5时，f（x）=2x7﹣9x6+5x5﹣49x4﹣5x3+2x2+x+1的值为56 ．考点：秦九韶算法．专题：计算题．分析：把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当xx=3时的函数值．解答：解：f（x）=（（2x﹣9）x+5）x﹣49）x﹣5）x+2）x+1）x+1，V0=2，V1=2×5﹣9=1，V2=1×5+5=10，V3=10×5﹣49=1，V4=1×5﹣5=0，V5=0×5+2=2，V6=2×5+1=11，V7=11×5+1=56，∴f（5）=56．即当x=5时，函数值是56．故答案为：56．点评：本题看出用秦九韶算法来解决当自变量取不同值时，对应的函数值，本题也可以用来求某一个一次式的值，本题是一个基础题．三、解答题（将解题步骤计算结果写在答题纸上，共52分）17．（10分）今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100 户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：（月均用水量的单位：吨）用水量分布频数频率[0.5，2.5）12[2.5，4.5][4.5，6.5）40[6.5，8.5）0.18[8.5，10.5） 6合计100 1（1）请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；（2）估计样本的中位数是多少？（3）已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？考点：频率分布直方图；频率分布表；频率分布折线图、密度曲线；众数、中位数、平均数．专题：图表型．分析：（1）利用频率等于频数除以样本容量求出各组的频率，即得到频率分布直方图，求出频率除以组距，以其为纵坐标，画出频率分布直方图．（2）利用中位数的左右的面积为0.5，得到数据的中位数．（3）利用平均数等于各组的面积乘以各组中点的坐标得到数据的平均数．解答：解：（1）用水量分布频数频率[0.5，2.5）12 0.12[2.5，4.5] 24 0.24[4.5，6.5）40 0.40[6.5，8.5）18 0.18[8.5，10.5） 6 0.06合计100 1（2）中位数为（3）平均月用水量估计为（1.5×12+3.5×24+5.5×40+7.5×18+9.5×6）÷100=5.14所以5.14×1200=6168所以上级支援该乡的月调水量是6168吨．．点评：本题考查频率分步直方图和互斥事件的概率应用，本题是一个基础题，题目的运算量较小，解题的关键是读图．18．（10分）从甲、乙两种玉米苗中各抽8株，分别测得它们的株高如下：甲：15 17 18 25 26 19 30 10乙：16 16 18 24 27 20 29 18（1）用茎叶图整理两组数据；（2）计算平均数，分析那种玉米的苗长得高；（3）计算方差，分析那种玉米的苗长得齐．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（1）将数的十位作为一个主干（茎），将个位数作为分枝（叶），列在主干的左或右面，画出茎叶图，（2）要看哪种玉米长得高，则要看它们的平均数哪种大，平均数大的就长得高，对两组数字求平均值，进行比较．（3）哪种玉米的苗长得齐则要看哪种玉米的株高波动的小，即要求两组数据的方差，方差小的玉米长得齐．解答：解：（1）茎叶图为：（2）=（15+17+18+25+26+19+30+10）=20，=（16+16+18+24+27+20+29+18）=21．∴＜，即乙种玉米的苗长得高．（3）S甲2=[（15﹣20）2+（17﹣20）2+…+（10﹣20）2]=37.5，S乙2=[（16﹣21）2+（16﹣21）2+…+（18﹣21）2]=22.25．∴s甲2＞s乙2，即乙种玉米的苗长得整齐．点评：本题考查读茎叶图，考查求一组数据的平均数，考查求一组数据的方差．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．在本题中，因为S甲2＞S乙2，所以乙种玉米的苗长得齐．19．（10分）小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的．（1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率；（2）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0＜x＜1，0＜y＜1}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0＜x＜1，0＜y＜1，|x﹣y|＜}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．（2）掷一枚骰子，掷2次，两次的结果数之间没有关系，易得总结果数是36，点数之和为5的倍数的基本事件数用列举法列举出来即可．解答：解：（1）设两人到达约会地点的时刻分别为x，y，依题意，必须满足|x ﹣y|≤才能相遇．我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G内，即甲、乙两人的到达时刻（x，y）满足|x ﹣y|≤，所以两人相遇的概率为区域G与区域Ⅰ的面积之比：P===．也就是说，两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为．（2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为a，第二枚投掷得到向上一面的点数为b，则a与b 的和共有36种情况．ab1 2 3 4 5 61（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）所以两次取出的数字之和a+b是5的倍数的情况有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），（4，6），（6，4），（5，5），共7种，其概率为P=．点评：本题第一小问是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．本题第二小问考查古典概率模型及其概率计算公式，求解关键是正确列举出事件A所包含的基本事件事，以及古典概率模型的计算公式．20．（10分）已知|x|≤3，|y|≤3，点P的坐标为（x，y）（1）当x∈Z，y∈Z时，求点P在区域x2+y2≤9内的概率；（1）当x∈R，y∈R时，求点P在区域x2+y2≤9内的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：（1）先一一列举出平面区域W={（x，y）|﹣3≤x≤3，﹣3≤y≤3，x∈Z，y∈Z}中的整点的个数，再看看在x2+y2≤9的有多少个点，最后利用概率公式计算即得．（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|﹣3≤x≤3，﹣3≤y≤3}，满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|﹣3≤x≤3，﹣3≤y≤3，x2+y2≤9}，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解：（1）满足x，y∈Z，且在正方形的内部（含边界）的点有49个，满足x，y∈Z，且x2+y2≤9的点有27个，∴所求的概率P1=．（2）点P所在的区域为正方形的内部（含边界），满足x2+y2≤9的点的区域为以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（含边界）．∴所求的概率P2==．点评：本题主要考查了古典概型和几何概型，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m÷n．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．21．（12分）（•广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；应用题．分析：（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．（3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布．解答：解：（1）甲厂抽取的比例=，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．（3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C52=10种ξ的所有可能取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴ξ的分布列为：故Eξ=．点评：本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．。

2019-2020学年通化市梅河口五中高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.−215°是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A. 正方体的棱长和体积B. 单位圆中角的度数和所对弧长C. 单产为常数时，土地面积和总产量D. 日照时间与水稻的亩产量3.从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球的概率是()A. 0.35B. 0.65C. 0.1D. 不能确定4.如图所示的程序的输出结果为170，则判断框中应填()A. i>7？B. i≥7？C. i≥9？D. i>9？5.有60件产品，编号为1至60，现从中抽取5件进行检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号可能是()A. 5，10，15，20，25B. 5，12，31，39，57C. 5，15，25，35，45D. 5，17，29，41，536.一个样本数据：1，1，2，3，3，3，3，4，5，5的平均数和众数分别是()A. 3、5B. 4、5C. 3、3D. 3、不存在7.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<√2的概率为()A. π8B. π8+14C. π4D. π4+148.已知扇形的圆心角为135°，半径为20cm，则扇形的面积为()cm2．A. 140πB. 150πC. 160πD. 170π9.用辗转相除法求111与1850的最大公约数是()A. 3B. 11C. 37D. 11110.根据如下样本数据：x34567y 4.0 2.5−0.50.5−2.0得到的回归方程为y^=b^x+a^，若â=7.9，则x每增加一个单位，y就()A. 增加1.4个单位B. 减少1.4个单位C. 增加1.2个单位D. 减少1.2个单位二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.15°用弧度制表示是______ ．12.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+3x5+7x4+4x3+7x2+8x+1在x=0.4时的值时，需要做_______次乘法和________次加法．13.已知角α的终边与单位圆相交于P(−√32,12)，则tanα=______．14.将二进制数101101(2)化为六进制数，结果为____________。

2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R．集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．log23C．3D．24．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．5．已知f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+……+2k（k∈N*），则（）A．f（k+1）﹣f（k）＝2k+2B．f（k+1）﹣f（k）＝3k+3C．f（k+1）﹣f（k）＝4k+2D．f（k+1）﹣f（k）＝4k+36．已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4＝﹣a72＝﹣64，则＝（）A．B．C．D．7．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（）A．B．C．D．28．若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（π，π），则sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（）A．﹣B．C．﹣D．9．已知三棱锥A﹣BCD中，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A．B．24πC．D．6π10．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．11．已知函数y＝f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（sin A）＞f（sin B）B．f（sin A）＞f（cos B）C．f（cos C）＞f（sin B）D．f（sin C）＞f（cos B）12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）二、填空题13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为14．已知实数x，y满足不等式组且z＝2x﹣y的最大值为a，则＝．15．已知点A（﹣2，0）、B（0，4），点P在圆C（x﹣3）2+（y﹣4）2＝5上，则使∠APB ＝90°的点P的个数为．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的取值范围是．三、解答题17．已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．18．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求△ABC的面积．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF ⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞）的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PF⊥x轴，|PF|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且|OM|＝，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+x﹣a（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）若a＝5，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（2）记g（a）＝f（x1）﹣f（x2），求a的取值范围，使得0＜g（a）≤﹣4ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ∈[0，2π）），曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R．集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】集合韦恩图，判断出阴影部分中的元素在A中但不在B中即在A与B的补集的交集中．解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（∁R B）∩A＝{0，1}．故选：A．2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．解：∵复数z＝＝＝1+i，∴复数的共轭复数是1﹣i，就是复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选：B．3．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．log23C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝3，i＝1满足条件i≤3，执行循环体，S＝3+，i＝2满足条件i≤3，执行循环体，S＝3++，i＝3满足条件i≤3，执行循环体，S＝3+++＝3+1＝4，i＝4此时，不满足条件i≤3，退出循环，可得：S＝＝2．故程序框图输出S的值为2．故选：D．4．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得离心率即a，c的关系，椭圆面积可得a，b的关系，再由a，b，c 的关系求出椭圆的方程．解：由题意可得＝，＝ab，即ab＝12，a2＝b2+c2，解得：a2＝16，b2＝9，所以椭圆的方程为：+＝1，故选：D．5．已知f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+……+2k（k∈N*），则（）A．f（k+1）﹣f（k）＝2k+2B．f（k+1）﹣f（k）＝3k+3C．f（k+1）﹣f（k）＝4k+2D．f（k+1）﹣f（k）＝4k+3【分析】写出f（k+1）﹣f（k）的表达式求解即可．解：f（k）＝k+（k+1）+（k+2）+…+2k（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）＝（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（2k﹣1）+（2k）+（2k+1）+2（k+1）﹣[k+（k+1）+（k+2）+…+2k]＝3（k+1）故选：B．6．已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4＝﹣a72＝﹣64，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出a3＝﹣4，a7＝﹣8，从而a5＝﹣＝﹣4，进而＝tan（﹣）＝tan（﹣3）＝tan，由此能求出结果．解：∵数列{a n}为等比数列，且，∴a3＝﹣4，a7＝﹣8，∴a5＝﹣＝﹣4，∴＝tan（﹣）＝tan（﹣3）＝tan＝．故选：B．7．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（）A．B．C．D．2【分析】求出直线AF的方程，求出点A和P的坐标，利用抛物线的定义即可求|PF|的值．解：∵抛物线方程为y2＝4x，∴焦点F（1，0），准线l方程为x＝﹣1，∵直线AF的斜率为：﹣，直线AF的方程为y＝﹣（x﹣1），当x＝﹣1时，y＝，由可得A点坐标为（﹣1，）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为（，），∴|PF|＝|PA|＝﹣（﹣1）＝．故选：B．8．若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（π，π），则sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求2sinθcosθ＝﹣，结合角θ的范围，可求sinθ+cosθ＜0，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵sinθ﹣cosθ＝，两边平方可得1﹣2sinθcosθ＝，∴可得2sinθcosθ＝﹣，∵θ∈（π，π），∴sinθ∈（0，），cosθ∈（﹣1，﹣），∴sinθ+cosθ＜0，∴sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝sinθ+cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：A．9．已知三棱锥A﹣BCD中，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A．B．24πC．D．6π【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成（如图）、设长方体的棱长分别为a，b，c，则a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，则该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．＝．故选：C．10．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由已知结合向量共线定理可得＝1，然后利用基本不等式可求．解：因为P为线段AB上的一点，且，根据共线定理可知，，因为CA＝3，CB＝4，所以＝1，则＝（）（）＝＝，当且仅当且＝1时取等号，故选：C．11．已知函数y＝f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（sin A）＞f（sin B）B．f（sin A）＞f（cos B）C．f（cos C）＞f（sin B）D．f（sin C）＞f（cos B）【分析】由于f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增，可得f（x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．解：对于A，由于不能确定sin A、sin B的大小，故不能确定f（sin A）与f（sin B）的大小，可得A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴A+B＞，得A＞﹣B注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得sin A＞sin（﹣B），即sin A＞cos B∵f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增∴f（x）在（0，1）上是减函数由sin A＞cos B，可得f（sin A）＜f（cos B），故B不正确对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴B+C＞，得C＞﹣B注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得cos C＜cos（﹣B），即cos C＜sin B∵f（x）在（0，1）上是减函数由cos C＜sin B，可得f（cos C）＞f（sin B），得C正确；对于D，由对B的证明可得f（sin C）＜f（cos B），故D不正确故选：C．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）＝1，即可得出．解：设，∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．所以函数h（x）是R上的减函数，∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），∴函数关于x＝2对称，∴f（0）＝f（4）＝1，原不等式等价为h（x）＜1，∴不等式f（x）＜e x等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），．∵h（x）在R上单调递减，∴x＞0．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为4【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．解：双曲线，由此得a＝3，b＝，c＝2，椭圆中，则a2＝b2+c2＝4+12＝16．则a的值为4．故答案为：4．14．已知实数x，y满足不等式组且z＝2x﹣y的最大值为a，则＝6．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解得a的值，然后求解定积分．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点B时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，得B（4，2）即a＝z max＝2×4﹣2＝6，则＝＝6lnx＝6．故答案为：6．15．已知点A（﹣2，0）、B（0，4），点P在圆C（x﹣3）2+（y﹣4）2＝5上，则使∠APB ＝90°的点P的个数为1．【分析】设P（x，y），要使∠APB＝90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．解：设P（x，y），要使∠APB＝90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为＝AB＝，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[﹣，+]，即[，3]，所以使∠APB＝90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点．故答案为：1．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的取值范围是（7，8）．【分析】做出f（x）的图象，根据图象得出x1，x2，x3，x4的数量关系及范围，得出答案．解：∵函数f（x）＝，作出f（x）的图象如下图所示：根据二次函数的对称性知x3+x4＝6，且2＜x3＜3，3＜x4＜4，∵|log2x1|＝|log2x2|＝a，∴x1x2＝1，∴＝6+＝6+＝5+；∵2＜x3＜3，∴∈（，）；∴∈（7，8）．∴的取值是（7，8）．故答案为：（7，8）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：（共60分）17．已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．18．已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求△ABC的面积．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x﹣），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin（2A﹣）＝1，结合范围2A﹣∈（﹣，），可求A 的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，∴sin（2A﹣）＝1，∵A∈（0，π），2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣＝，解得A＝，∵C＝，c＝2，∴由正弦定理，可得a＝＝＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得6＝b2+4﹣2×，解得b＝1+，（负值舍去），∴S△ABC＝ab sin C＝（1+）×＝．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF ⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，由题意求得AB＝2，再由余弦定理求得AC2＝3，满足AB2＝AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC ⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ＝0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD＝CD＝BC＝1，又∵，∴AB＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3．∴AB2＝AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴＝（﹣，1，0），＝（λ，﹣1，1），设＝（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x＝1，则＝（1，，），∵＝（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞＝＝．∵，∴当λ＝0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞）的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PF⊥x轴，|PF|＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且|OM|＝，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）设P坐标点，代入椭圆方程，就可求出a，c即可写出椭圆标准方程．（2）分两种情况①直线l的斜率不存在，②斜率存在时，分别写出△AOB面积的表达式，再分析最值．解：（1）由题知，点，则有，又a2＝b2+c2＝2+c2，解得a2＝8，c2＝6，故椭圆C的方程为．（2）当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB，由可得，此时．当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝kx+t，与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0．∴，，从而，已知，可得．∵＝＝．设O到直线AB的距离为d，则，．将t2＝代入化简得．令1+16k2＝p，则＝＝，当且仅当p＝3时取等号，此时△AOB的面积最大，最大值为2．21．已知函数f（x）＝lnx+x﹣a（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）若a＝5，求曲线y＝f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（2）记g（a）＝f（x1）﹣f（x2），求a的取值范围，使得0＜g（a）≤﹣4ln2．【分析】（1）．当a＝5时，f（x）＝lnx+x﹣5，根据导数的几何意义即可求出切线方程，（2）．构造函数，利用导数，求出函数h（t）单调性，以及h（4）值即可得出a的取值范围解：（1）当a＝5时，f（x）＝lnx+x﹣5，，f（4）＝ln4﹣6，f′（4）＝0．所以，点（4，f（4））处的切线方程是y＝ln4﹣6．（2），由已知得，，，且a＞4．令，得，且t＞1．∵．f（x2）＝lnx2﹣x2﹣2．∴．令．则∴h（t）在（1，+∞）上单调递增．∵h（4）＝，∴1＜t≤4．又∵在（1，4）上单调递增，∴4＜a≤5．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ∈[0，2π）），曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围．（1）利用sin2θ+cos2θ＝1消去θ得C1：x2+＝1；消去参数t可得C2：+y+2【分析】＝0（2）用椭圆的参数方程设P（cosθ，3sinθ），然后用点到直线的距离公式求出P到C2的距离，再利用三角函数的性质求出最值和范围．解：（1）由得cosθ＝x，sinθ＝，∴cos2θ+sin2θ＝x2+＝1，即C1：x2+＝1，由消去t得y＝（x+2），即x+y+2＝0，即C2：+y+2＝0；（2）设P（cosθ，3sinθ），则P到C2的距离d＝＝，∵θ∈[0，2π），当sin（θ+）＝1时，即θ＝时，d max＝2，当sin（θ+）时，即θ＝时，d min＝0∴曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围是[0，2]．一、选择题23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种情况讨论f（x）＜0即可；（2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；当a＜1时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，∴a的取值范围为：[1，+∞）。

2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是正确的）1.设,0a b c ><，则下列结论中正确的是（ ） A.c ca b< B.11ac bc> C. a c b c < D. 22ac bc >【答案】D 【解析】【详解】110,,0,a b c a b >><<∴c c a b>，A 错误 当1,1,a b ==-时11ac bc>；B 错误； 当1,2a b =-=-时,a c b c > ；C 错误；2,0,a b c >>∴22ac bc >成立；所以选D.2.在ABC V 中，60A ︒=，3a =，则sin sin sin a b cA B C++=++（ ）A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理可得2sin aR A= 的值，再利用正弦定理化间要求的式子，从而得到结果．【详解】解：由条件利用正弦定理可得32sin sin 60a R A ===︒∴2(sin sin sin )2sin sin sin sin sin sin a b c R A B C R A B C A B C++++===++++故选：D ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．3.已知11a =，()()*12n n n a a a n N +=-∈，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A. 32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得132n n a a +=，即可得到{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：因为()()*12n n n a a a n N+=-∈所以132n n a a +=，即132n n a a +=，又11a =，所以{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，所以132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算，属于基础题.4.在等差数列{}2210,,1280n a a a x x +-=中若是方程的两个根，那么6a 的值为（ ）A. -12B. -6C. 12D. 6【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，所以21012,a a +=- 由等差数列的性质，得，6a =2101()62a a +=-，故选B ． 考点：等差数列的性质，韦达定理的应用．点评：简单题，在等差数列中，若,m n p q +=+则m n p q a a a a +=+． 5.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A.12B.12C. 12D.12或12【答案】C 【解析】分析；解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果. 详解；根据题意有213122a a a +=⋅；即210q q --=；因为数列各项都是正数，所以12q +=；而34451a a a a q +===+；故选C. 点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q；代入即可得结果. 6.在ABC V 中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC V 的形状是（ ）． A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】分析：把已知等式中乘积项移到右边，由两角和的正弦公式化简后再由诱导公式化简，注意三角形内角和可得正确结论．详解：∵sin sin cos cos sin A A C A C -=；∴()sin sin cos cos sin sin sin A A C A C A C B =+=+=； ∴A B =；πA B +=舍去），是等腰三角形． 故选B ；点睛：由已知条件；可先将切化弦；再结合正弦定理；将该恒等式的边都化为角；然后进行三角函数式的恒等变形；找出角之间的关系；或将角都化成边；然后进行代数恒等变形；可一题多解；多角度思考问题；从而达到对知识的熟练掌握．7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 2019D. 2020【答案】B 【解析】【分析】 由题意可得公差d方程，解方程可得．【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由20202019120202019S S -=可得： 1120202019201920182020201922120202019a d a d ⨯⨯++-=， 化简可得()112019100912a d a d +-+=，解得2d =， 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．8.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10C. 8D. 32log 5+【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ；故选B.9.在ABC ∆中，0120,A ∠=若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ） A. 15 B. 14 C. 10 D. 8【答案】B 【解析】试题分析：在ABC ∆中，0120,A ∠=则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不防设4,8b a c a =-=-,()8a >． 由余弦定理得()()()()22248248cos120a a a a a =-+----︒, 即218560a a -+=,]所以4()14a a ==舍去或 考点：1余弦定理;2等差数列．的10.观察数列1，2，2，4，4，4，8，8，8，8…的特点，按此规律，则第100项为（ ） A. 132 B. 142C. 152D. 162【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，找到相对应的规律，即可求出【详解】解：1，2，2，4，4，4，8，8，8，⋯可以为02，12，12，22，22，22，32，32，32，32，42，42，42，42，42，52，52，52，52，52，52，⋯，有1个112-，2个212-，3个312-，4个412-，L L 而()1313112313912+++++==L ，()14141123141052+++++==L 故第100项为3141122-=， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，关键是寻找规律，属于中档题.11.如图，为了测量A C 、两点间的距离，选取同一平面上B D 、两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5,8,3,5AB BC CD DA ====，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为（ ）km ．A. 7B. 8C. 9D. 6【答案】A 【解析】试题分析：22258cos 258AC B +-=⨯⨯，22235cos 235AC D +-=⨯⨯，因为B ∠与D ∠互补，所以cos cos 0B D +=，所以22258258AC +-⨯⨯222350235AC +-+=⨯⨯，解得7AC =．故选A ．考点：余弦定理．12.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ）A. 20B. 17C. 19D. 21【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质和求和公式可得10110,0a a ><又可得:而20101110()0S a a =+<,进而可得n S 取得最小正值时19n =.考点：等差数列的性质第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()22log 23y x x =+-的定义域为_________ 【答案】()(),31,-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于0，得出不等式，解得可得出函数的定义域，注意函数的定义域需用集合或区间表示.【详解】要使对数函数有意义，则需真数大于0，即需使2230,x x +->解得3x <-或1x >，所以函数定义域为()(),31,-∞-⋃+∞， 故填：()(),31,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查求对数函数的定义域，要求对数的真数大于0，注意函数的定义域需用集合或区间表示，属于基础题.14.若ABC ∆的面积222S =，则C ∠= 【答案】6π 【解析】试题分析：2221sin tan2S ab C C ===∴=Q , 30C ∴=o .考点：三角形的面积公式及余弦定理的变形.点评：由三角形的面积公式in 12s S ab C =,再根据2222cos a b c ab C +-=,直接可求出tanC 的值，从而得到C.15.在数列{}n a 中，13a =，143n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =_________. 【答案】41n - 【解析】 【分析】方法1：设()14n n a k a k ++=+，得出1k =，可得出数列{}1n a +为等比数列，求出该数列的首项和公比，可求出数列{}1n a +的通项公式，从而求出n a ；方法2：由143n n a a +=+得出()1432n n a a n -=+≥，两式相减得()114n n n n a a a a +--=-，可得知数列{}1n n a a +-是等比数列，求出数列{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求出n a .【详解】方法1：令()14n n a k a k ++=+，即143,n n a a k +=+与143n n a a +=+，比较得1k =， 又114a +=，故数列{}1n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以11444n n n a -+=⨯=，所以41nn a =-；方法2：因为143n n a a +=+，所以()1432n n a a n -=+≥， 所以()()1142n n n n a a a a n +--=-≥，所以{}1n n a a +-是等比数列，首项21111433312a a a a a -=+-=+=，公比4q =，所以11124n n n a a -+-=⨯，即143124n n n a a -+-=⨯，即41nn a =-，故答案41n -.【点睛】本题考查利用待定系数法或累加法求数列通项，解题时要注意这几种方法对数列递推式结构的要求，同时合理选择方法构造等差或等比数列来求解，属于中等题.16.对于ABC ∆，有如下命题：；若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形；；sin cos A B =，则ABC ∆为直角三角形；；若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC ∆为钝角三角形，其中正确命题的序号是__________________. 【答案】； 【解析】 【分析】利用三角函数的性质可得；；都是错误的，利用正弦定理和余弦定理可判断出；是正确的. 【详解】对于；，因为sin 2sin 2A B =，所以222A B k π=+或222A B k ππ+=+，k Z ∈， 因为(),,0,A B A B π+∈，故A B =或者2A B π+=，故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，故；错.对于；，因为sin cos A B =，所以sin sin 2A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以22A B k ππ=-+或22A B k πππ+-=+，k Z ∈，因为(),,0,A B A B π+∈，故2A B π=-或者2A B π-=，故ABC ∆可为钝角三角形，故；错.因为222sin sin cos 1A B C ++<，故222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理得222a b c +<，由余弦定理有222cos 02a b c C ab+-=<，故C 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形，故；正确. 综上，填；.【点睛】本题考查三角函数的性质、正弦定理和余弦定理定理的应用，属于基础题.三、解答题：（共5小题，第17题满分10分，第18-22题每题满分12分，共60分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.在ABC V 中，已知3b =，c =，30B ︒=，解此三角形． 【答案】60,90,6C A a ︒︒===；120,30,3C A a ︒︒=== 【解析】 【分析】根据正弦定理解出sin sin c B C b ==g ，从而得到角60C =︒或120︒．再利用三角形内角和定理算出角A 的大小，结合分类讨论可得ABC ∆是直角三角形或以C 为顶角的等腰三角形，进而算出边a 的大小，得到答案．【详解】解：Q 在ABC ∆中，3b =，c =30B =︒，∴根据正弦定理sin sin b c B C=，可得sin sin c B C b ==g ． 结合C 为三角形的内角，且b c <，可得60C =︒或120︒． ①当60C =︒时，18090A B C =︒--=︒，ABC ∆∴是以A为直角顶点的直角三角形，可得6a ；②当120C =︒时，18030A B C =︒--=︒，ABC ∆∴中A B =，可得3a b ==．综上所述，可得90A =︒、60C =︒、6a =或30A =︒、120C =︒、3a =．【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，求其它的边和角．着重考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和正弦定理等知识，属于中档题．18.已知{}n a 是递增的等差数列，12a =，2248a a a =+（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S【答案】（1）64n a n =- （2）()4(641)3163nn S n n -=-+【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ()0d >，依题意得到方程，解得即可求出通项公式；【详解】解：（1）设等差数列的公差为d ()0d >，因为12a =，2248a a a =+所以()222327d d d +=+++，解得6d =或0d =（舍去） 所以()1164n a a n d n =+-=- （2）因为2n an n b a =+，所以64642n n b n -=-+所以2814642282142642n n S n -=+++++++-+L()()2814642814642222n n -=++++-+++++L L()()266212264212nn n ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=+-()4(641)3163n n n -=-+【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，分组求和，属于中档题. 19.已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2cos cos a b cB A C-=-（1）求ab的值（2）若c =3C π=，求ABC V 的面积．【答案】（1）2ab= （2）ABC S =V 【解析】 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）首先利用（1）的结论和余弦定理求出a 和b 的值进一步求出三角形的面积． 【详解】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2cos cos a b cB A C-=-．则：2sin sin sin cos 2cos cos A B CB A C-=-，整理得：2sin()sin()A C B C +=+， 即2sin sin B A =， 由正弦定理得：sin 2sin a A b B==；（2）由（1）得：2a b =，c 3C π=，由余弦定理得： 2222cos c a b ab C =+-，解得：b =所以：a =则：1sin 2ABC S ab C ==△ 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题． 20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且对任意的正整数n ，都有323n n a S =+成立（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【答案】（1）3n n a = （2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{}n a 为等比数列，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得n b n =，再根据裂项相消法求和即可得到答案．【详解】解：（1）在323n n a S =+中令1n =得13a =，因为对任意正整数n ，都有323n n a S =+成立，所以11323n n a S ++=+，两式相减得11332n n n a a a ++-=，所以13n n a a +=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列，所以13?33n n n a -==， （2）由（1）知3n n a =，又3log n n b a =，所以3log 3n n b n ==， 所以()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111111223341n n =-+-+-++-+L 111n =-+ 1n n =+ 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项相消法求和，属于中档题． 21.如图，在ABC V ，BC 边上的中线AD 为3，且cos B =，1cos 4ADC ∠=-．（1）求sin BAD ∠的值；（2）求AC 边的长【答案】（1）sin 4BAD ∠=（2）4AC = 【解析】【分析】（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．【详解】解：（1）因cos B =，所以sin B =． 又1cos 4ADC ∠=-，所以sin ADC ∠=， 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠1sin cos cos sin ()4ADC B ADC B =∠-∠-．即sin BAD ∠= （2）ABD △中，由sin sin AD BD B BAD =∠= 解得2BD =．故2DC =，从而在ADC ∆中，由2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠g g22132232()164=+-⨯⨯⨯-=， 得4AC =．【点睛】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设()()1ln n n n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前n 项和【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()()()12311ln 1299n n n n ++-+--⋅- 【解析】试题分析：（1）对于等差数列{}n a 由152,30a S ==，可求得2d =，则{}n a 的通项公式，对于{}n b ，由当1n =时，111211b T ==-=，当2n ≥时，1n n n b T T -=-可求其通项公式；（2）由（1）及()()()()1ln =11ln n n n n n n n n n n c a b S a b S =-+-+-，可设数列(){}1nn n a b -的前n 项和为n A ，数列(){}1ln n n S -的前n 项和为n B ，分别用错位相减法和裂项相消法求和即可试题解析：（1）51545101030,2,22n S a d d d a n ⨯=+=+=∴=∴= 对数列{}n b ：当1n =时，111211b T ==-=当2n ≥时，111222n n n n n n b T T ---=-=-=，当1n =时也满足上式12n n b -∴=（2）()()()()1ln =11ln n n nn n n n n n n c a b S a b S =-+-+-， ()()()()221,ln ln 1ln ln 12n n n n S n n S n n n n +==+∴=+=++Q 而()()()111222n n n n n n a b n n --=-⋅⋅=⋅-设数列(){}1n n n a b -的前n 项和为n A ，数列(){}1ln n n S -的前n 项和为n B()()()()1231222322n n A n =⋅-+⋅-+⋅-++⋅-L （1）()()()()234121222322n n A n +-=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-L （2）(1)-(2)得 ()()()()()()()()()()123112123122222212n n n n n A n n ++---=⋅-+-+-++--⋅-=-⋅---L()1231233n n ++=--⋅- ()1231299n n n A ++∴=--⋅- 当n 为偶数时，()()()()()ln1ln 2ln 2ln3ln3ln 4ln ln 1=ln 1n B n n n ⎡⎤=-+++-++++++⎣⎦L 当n 为奇数时，()()()()()ln1ln 2ln 2ln3ln3ln 4ln ln 1ln 1n B n n n ⎡⎤=-+++-++-++=-+⎣⎦L 由以上可知()()1ln 1nn B n =-+所以，数列{}n c 的前n 项和 ()()()12311ln 1299n n n n n A B n +++=-+--⋅- 考点：数列通项公式的求法，错位相减法和裂项相消法。

吉林省通化市2019-2020学年高一下期末经典数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在锐角三角形ABC 中， a ， b ， c 分别为内角A ， B ， C的对边，已知a =()226tan bc A +-=， 22cos 2A B+)1cosC =，则ABC ∆的面积为（ ） AB．4C．4- D．32+ 【答案】D 【解析】由a =()222b c a +-=，故222cos 22b c a A bc +-==，△ABC 为锐角三角形，则3A π=， 由题意结合三角函数的性质有：cos cos sin 222A B C Cπ+-==，则：)22sin1cos 2CC ⨯=，即：)1cos 21cos ,cos 224CC C C π-⨯=∴==， 则()712B A B ππ--+=，由正弦定理有：sin 2sin a Cc A===，故1173sin 2sin 22122ABCSac B π==⨯=. 本题选择D 选项.点睛：在解决三角形问题中，求解角度值一般应用余弦定理，因为余弦定理在()0,π内具有单调性，求解面积常用面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2．M 是ABC ∆边AB 上的中点，记a BC =，b BA =，则向量MC =( )A ．1-a-b 2 B ．1-a b 2+C ．1a-b 2D ．1a b 2+【答案】C由题意得12BM b =， ∴12MC BC BM a b =-=-．选C ． 3．中国数学家刘微在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（ ）A 33B 3C 33D 33【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的半径,表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积,即可由几何概型概率计算公式得解. 【详解】 设圆的半径为r则圆的面积为2S r π=圆圆内接正六边形的面积为23=64S r ⨯六 由几何概型概率可知,在圆内任取一点,则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为2236334S p S r π⨯===六圆故选:C 【点睛】本题考查了圆的面积及圆内接正六边形的面积求法,几何概型概率的计算公式,属于基础题.4．若向量a ＝13,2⎛ ⎝⎭，|b |＝3a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π【解析】【分析】根据向量的数量积运算，向量的夹角公式可以求得. 【详解】由已知可得：22a b a-=，得3a b=，设向量a与b的夹角为θ，则3 cos.2a ba bθ==⨯所以向量a与b的夹角为6π故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算和夹角公式，属于基础题.5．下列命题中不正确的是（）A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，可能a在平面β内或与β相交，a不一定平行于平面β，题中说法错误；B. 由面面平行的定义可知：若平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，题中说法正确；C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.本题选择A选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 6．已知数列1，x ，y ，9是等差数列，数列1，a ，b ，c ，9是等比数列，则bx y=+（） A ．910B ．310C ．310-D ．310±【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列性质可分别求得10x y +=，3b =，代入即可得到结果. 【详解】由1,,,9x y 成等差数列得：1910x y +=+=由1,,,,9a b c 成等比数列得：2199b =⨯=，又b 与1,9同号 3b ∴=310b x y ∴=+ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，易错点是忽略等比数列奇数项符号相同的特点，从而造成增根.7．己知函数()2*21,12x x n n f x n N x x x -+-⎛⎫=∈≠ ⎪++⎝⎭的最小值为n a ，最大值为n b ，若()()11n n n c a b =--，则数列{}n c 是（ ） A ．公差不为0的等差数列 B ．公比不为1的等比数列 C ．常数数列 D ．以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】设221x x ny x x -+=++,则222(1)(1)(1)0x x y x x n y x y x y n ++=-+⇒-+++-=,因为12n x -≠,故1y ≠,故二次函数2(1)4(1)()0y y y n ∆=+---≥,整理得 23(46)410y n y n -++-≤,故n a 与n b 为方程23(46)410y n y n -++-=的两根,所以()()46414111()1333n n n n n n n n n c a b a b a b +-=--=-++=-+=-为常数. 故选C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可. 8．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下面说法正确的是( )A ．m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B ．m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C ．m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D ．m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭【答案】D 【解析】 【分析】满足每个选项的条件时能否找到反例推翻结论即可。