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第3讲有理数加减乘除及混合运算1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。
2.有理数减法法则即减去一个数，等于加这个数的相反数。
有理数的减法可以转化为加法来进行。
如果你记不住上面的加减法规则，请参照以下：傻瓜加减法则1、遇见小数减大数，负号表示“差多少”（其实就是符号不同的两数相加的情况）2、遇见减去负数时，负负得正变加号（其实就是小学的去括号变号问题）3.有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0．4.几个有理数相乘时积的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．注意：第一个因数是负数时，可省略括号．5.有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）0除以任何一个不为0的数，都得0．【例题1】选择正确答案（1）若a＋b=a b+，则a 、b 的关系是（ ）A 、a 、b 绝对值相等B 、a 、b 异号C 、a 、b 的和是非负数D 、a 、b 同号或其中至少一个为0 （2）若一个有理数减去它的相反数是一个负数，则（ ） A 、这个有理数一定是负数 B 、这个有理数一定是正数C 、这个有理数可以为正数、负数D 、这个有理数为零（3）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示。
则下列结论错误的是（ ） A 、b ＋c<0 B 、-a ＋b ＋c<0 C 、a b+>a c+ D 、a b+<a c+（4）已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A 、a>b B 、a<b C 、不能确定 D 、a=b（5）一个数在数轴上对应点与其相反数在数轴上对应点的距离为12单位长，则这个数是( ) A 、12或-12 B 、14或-14 C 、12或-14 D 、-12或14【例题2】计算：(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-【例题3】计算：.)702.11()6514(537(6155(5213(---++++-+)532()]57()323(6.8[324-+-++-+【例题4】如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？【练习1】|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例题5】完成下列填空1、两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。
有理数的加减乘除是数学中非常基础的运算，它们在解决实际问题和其他数学运算中起着重要的作用。
它们的混合运算在解决复杂问题时尤为重要。
下面将介绍有理数的加减乘除的混合运算技巧。
一、有理数的加法运算1.1 正数加正数：两个正数相加的结果仍然是正数，例如3+5=8。
1.2 负数加负数：两个负数相加的结果仍然是负数，例如-4+(-6)=-10。
1.3 正数加负数：两个数符不其绝对值相减，结果的符号取较大绝对值的符号，例如5+(-3)=2。
二、有理数的减法运算2.1 减去一个数相当于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。
2.2 减法运算可以看作加法运算，例如5-3=5+(-3)=2。
2.3 减法运算中，正数减去一个较大的负数，结果为正数，例如7-(-4)=7+4=11。
三、有理数的乘法运算3.1 同号相乘：两个数符相它们的积为正数，例如3×4=12。
3.2 异号相乘：两个数符不它们的积为负数，例如-5×6=-30。
3.3 有理数乘法的结合律和交换律：对有理数a、b、c来说，a×(b×c)=(a×b)×c，a×b=b×a。
四、有理数的除法运算4.1 有理数的除法运算可以看作是乘法运算的倒数，即a÷b=a×(1/b)。
4.2 除法运算中，同号相除结果为正数，异号相除结果为负数。
4.3 有理数除法的分配率：对有理数a、b、c来说，a÷(b÷c)=(a×c)÷b。
五、有理数的混合运算5.1 有理数的混合运算要遵循先乘除后加减的原则，进行括号内的运算。
5.2 混合运算中，可以通过加减号的顺序调整运算的优先级，例如先进行加法运算，再进行减法运算。
5.3 在进行混合运算时，可以通过绝对值大小或符号来判断计算的顺序，避免混合运算时出现混淆。
六、总结有理数的加减乘除的混合运算需要熟练掌握各种运算规则，尤其是混合运算的顺序和优先级。
有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。
（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。
积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。
（4）乘法交换律_________________________________________。
乘法结合律_________________________________________。
乘法对加法的分配律_________________________________。
【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。
有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算二. 知识要点：1、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号先算括号里面的．2、有理数运算规律：（1）在有理数运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算．一个式子里三级运算都含有时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算；同一级运算，按照从左到右的先后顺序进行运算；（2）有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行；（3）运算中应灵活运用运算律简化运算．三. 重点、难点、考点：1、重点：有理数的混合运算。
2、难点：有理数的混合运算顺序及符号的规律。
3、考点：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
考点分析：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算是历年中考必考的内容，本部分内容有时单独命题，有时与后面的其他知识综合命题，命题形式以解答题为主，有时也出填空题和选择题．【典例精析】例⒈计算：⑴×（1／3－1／2）×÷5／4⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）解：⑴×（1／3－1／2）×÷5／4＝×（－1／6）××4／5 先算括号里面的＝－2／25 再算乘除⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）＝－10＋8÷4―（―4）×（－3）先算乘方＝－10＋2－12 再算乘除＝－20 最后算加减指导：解此题的关键是要严格按照混合运算的顺序进行运算．例2.计算：⑴－1 4―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1/8—0.52︱⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5⑶－3 2 ×1.22 ÷0.32 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷（－1 ）2003解：⑴－14―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1／8－0.5 2 ︱＝－1―（―1／6）×3×（－2＋27）－︱1／8－1／4 ︱先算乘方＝－1―（―1／6）×3×25－1／8 再算括号里的＝－1＋25／2－1／8 最后算加减＝11.375⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5＝［35／3－3／8×（－64）－1／16×（－64）＋3／4×（－64）］÷5＝［35／3＋24＋4－48 ］×1／5＝［35／3－20］×1／5＝35／3×1／5－20×1／5＝7／3－4＝－5／3⑶－3 2 ×1.2 2 ÷0.3 2 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷（－1）2003＝－9×36／25×100／9＋1／9×（－27）÷（－1）＝－144＋3＝－141指导：有理数混合运算中应注意以下问题：⑴要注意运算顺序；⑵要灵活运用运算律进行简便计算，不要搞错符号，特别是乘方符号；⑶要灵活进行分数、小数的互化⑷互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为0等特殊运算先行结合．本例中⑴小题按“＋”“－”号分为三段，再分别计算每一段；⑵小题可灵活运用乘法的分配律；⑶小题中把小数化成分数后计算较为简便．例3.（2006，浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝2 2－02 12＝42－22 20＝62 －42 因此4，12，20都是神秘数．（1）28和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？解：（1）因为28＝4×7＝82－62 ，2012＝4×503＝5042－5022，所以是神秘数。
第12课时有理数的乘法【学习目标】1、通过行程问题说明有理数乘法法则的合理性，感知到数学知识来源于生活。
2、理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则，并初步理解有理数乘法法则的合理性；3、熟练进行有理数乘法运算，掌握多个有理数相乘的积的符号法则。
【学习重点】依据有理数的乘法法则，熟练进行有理数的乘法运算；【学习过程】一、学习准备：1、复习有理数加法法则；①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得；④一个数同0相加，仍得这个数.2、复习有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的.3、计算：（－3）＋（－3）= （－2）＋（－2）＋（－2）=二、解读教材：1、探索有理数乘法的规律从以下情景体会和理解加法与乘法间的联系：一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度爬行，经过x分种后，它现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?①正数×正数：情景一，向东爬行2分钟，距离为3+3=6，即3×2=6；②负数×正数：情景二，向西爬行2分钟，距离为（-3）+（-3）=-6，即（-3）×2=-6；对比情景一和二的结果，可知：两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.从而可得：③正数×负数：3×（-2）=-6. 在此基础上，3再取相反数，又可得：④负数×负数：（-3）×（-2）=6. （简记为：负负得正）2、有理乘法的法则总结以上各种情形，得到“有理数乘法的法则”：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.对“有理数乘法法则”的解读：（1）乘法的符号法则：同号得正，异号得负。
因为正数×正数，结果为正比较显然，所以“同号得正”主要是提醒同学们记住“负负为正”。
而“异号得负”包括两种情况：正×负，或负×正，结果都是负数。
即时练习1 :说出下列两数积的符号。
（口答）（1）5×（-3） （2）（-4）×21 （3）（-71）×（-9） （4）0.5×0.7 （5）│-5│×（-2） （6） -│-2│×2（2）乘法法则的运用：是指计算方法的问题。
和有理数加法、减法的运算一样，必须先确定结果的符号，再计算。
所以，有理数乘法的计算方法为：依据符号法则，先定积的符号，再把绝对值相乘。
例1、计算： 对比练习：（1）（-4）⨯5 7⨯（-5）解：（1）-4⨯5 解：=-（4⨯5）（提示：异号得负，绝对值相乘）=-20（2）（-5）⨯（-7） （-6）⨯（-9）解：原式=+（5⨯7）（提示：同号得正，绝对值相乘） 解：=35特别提醒：当题目较长，求解时不必再抄原题，而用“原式=……”的书写格式。
即时练习2：1、口算： (－6)×(－7)= (－5)×12= 5×(－0.4)=2、笔算：（1）21×(－74) (2) (－65)×(－103) (3) －154×5 （4）(－0.3)×(－710)3、有理数的倒数例2，计算：（1）（-83）⨯（-38） （2）（-3）⨯（-31） 解：原式=+（83⨯38） 解： =1 归纳：乘积为1的两个有理数互为倒数。
0没有倒数。
显然，互为倒数的两个数，其符号也相同。
即时练习3：写出下列各数的倒数。
－4， －32， －1， －0.5， 311三、教材拓展——几个有理相乘例3，计算：（1）（-4）⨯5⨯（-0.25） （2） （－0.5）⨯（-7）⨯ (-4)解：原= -（4⨯5）⨯（-0.25） 解：原=（0.5⨯7）⨯（-4） = +（4⨯5⨯0.25） =－（0.5⨯7⨯4） =5 =－14归纳，乘法的符号法则：几个因数相乘，负因数的个数为偶数个时，积为正数；负因数的个数为奇数个时，积为负数。
即：偶正奇负。
特别地：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
即时练习4：计算：（1）(4)(7)(25)-⨯-⨯- （2）()()014.31.85⨯⨯-⨯-（3）(0.5)(8)3-⨯(-1)⨯⨯-4 （4）)41()54(65)3(-⨯-⨯⨯-四、反思拓展：1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，绝对值 。
2、乘积为 的两个有理数互为倒数； 没有倒数， 的倒数是本身3、几个因数相乘：负因数的个数为偶数个时，积为 数，负因数的个数为奇数个时，积为 数，有一个因数是0时，积为 。
本课时达标检测一、必做题1．计算：(1)(-16)×15； (2)(-9)×(-14)； (3)(-36)×(-1)；(4)100×(-0.001)； (5)-4.8×(-1.25)； (6)-4.5×(-0.32)．（7）1(5)()3(2)22-⨯-⨯⨯-⨯ （8）(5)(8.1) 3.140-⨯-⨯⨯二、选做题2．计算：(1) （-53）⨯（-65）⨯ (-2) （2）)3()2(3)6(-⨯-⨯⨯-三、能力提升3、探究：(12)-⨯(2-3)⨯(3-4)⨯⋯⨯(2010-2011)的结果4．填空(用“＞”或“＜”号连接)：（1）如果 a ＞0，b ＞0，则 ab ________0； (2) 如果 a ＞0，b ＜0，则 ab ________0（3）如果 a ＜0，b ＞0，则 ab ________0； (4)如果 a ＜0，b ＜0，那么ab _______0；(5)如果a ＞0时，那么a ____________2a ； (6)如果a ＜0时，那么a __________2a ．5.某公司2010年第一季度平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7万元，第四季度共亏损2.9万元，这个公司2010年总的盈亏情况如何？第13课时 有理数乘法交换律和结合律【学习目标】1、经历探索有理数乘法交换律和结合律的过程。
2、理解并掌握有理数乘法的运算律：乘法交换律、乘法结合律。
3、能运用乘法运算律简化计算，进一步提高运算能力。
【学习重点】 乘法运算律的灵活运用。
【学习过程】一、学习准备1、复习有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，绝对值 。
2、计算：（1）（－3）×4 （2） 12()()23-⨯- （3）（－2011）×02、倒数是－3的数是 ， 0.5的倒数是 ，213-的倒数是 。
二、解读教材1、探索有理数乘法交换律计算：（－7）×8= 8×（－7）= ，`比较结果：（－7）×8 8×（－7）；由此可见，乘法交换律对有理数成立，即 a ×b= b ×a..乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
即：ab ＝ba .2、探索有理数乘法结合律计算： [（－4）×（－6）]×5= ； （－4）×[（－6）×5]= 比较结果： [（－4）×（－6）]×5 （－4）×[（－6）×5]由此可见，乘法结合律对有理数也成立，即（a ×b ）×c= .乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.（ab ）c ＝a （bc ）解析：有理数乘法交换律和结合律，常常结合起来运用，根据“凑整、约分”等原则，通常先“交换因数”，再“结合”进行运算。
例1，计算：(-10) ×31×0.1×6解：原式= [(-10) ×0.1] ×)631(⨯ （先交换位置）= (-1) ×2 （分别结合：凑整、约分）= - 2即时练习1：(1) )25()7()4(-⨯-⨯- (2)0.2×(－7)×(－5);3、典型例题讲解 例2，计算：)41(35)54()6(-⨯⨯-⨯- 解：原式=4135546⨯⨯⨯- （根据“偶正奇负”原则，先确定积的符号为负） =)4154()356(⨯⨯⨯- （交换因数，与其他因数结合，能凑整或约分） =5110⨯- （分别计算结合后的结果） =－2 （计算。
可多次重复运用交换律和结合律）归纳方法：原式中有几个因数相乘，且有多个负因数。
这时，我们可以根据几个因数相乘的符号法则——“偶正奇负”（偶和奇是指负因数的个数），先确定积的符号，把因数从负号中解脱出来。
去掉了负号和括号后，运算式将变得更加简洁。
然后，再运用乘法交换律和结合律进行计算。
例3，311)8(163)5.0(⨯-⨯⨯- 解：原式=34)8(163)21(⨯-⨯⨯- （把小数化成分数，把带分数化成假分数） =34816321⨯⨯⨯ （确定“积”的符号，去掉因数的负号和括号） =34163821⨯⨯⨯ （交换因数位置，便于凑整或约分，可以不加括号） =414⨯=1 （进行约分计算） 即时练习2： (1) )321(8)53(-⨯⨯- （2）53)4.2(65⨯-⨯（3）(5)25(2)125-⨯⨯-⨯⨯8⨯(-4) （4）1( 2.5)0.3(4)(3)3-⨯⨯-⨯-三、反思小结1、请用字母：乘法的交换律：；乘法的结合律：2、计算时，一般将小数化为；将带分数化为；3、多个有理数相乘，先按符号法则确定积．的符号，去掉了因数中的和，使运算式子看起来更简洁。
本课时达标检测一、 必做题1、计算：(1)(－6)×(－7) (2)(－5)×12；(3)0.5×(－0.4) (4)－4.8×(－1.25)；(5))74(21-⨯ （6）)103(65-⨯-(7)251542⨯- （8）)710()3.0(-⨯-2、计算：(1)100×(－1)×(－0.1) (2))6(3)7()3(-⨯--⨯-(3)845)201(⨯⨯-（4）(－8)×163×(－1) ×21二、 选做题3、计算(1) （－5）×（－2.5）×（－2）×4 （2）)4(51)5()5(-⨯⨯---(2) )1(0)1()1()1()1(01-⨯⨯---⨯---⨯+ （4）21)1(6)7()1(⨯-⨯+-⨯-三、 能力提升4、计算：)5()6(25.0)18()32(-⨯-⨯--⨯-5、在一个学习俱乐部中，有一种特殊的运算：A*B=（A ＋2）×2－B 。
