2018版高中数学苏教版必修五学案：2.1 数列(一)

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2， 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2， 即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________． 【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99， 显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94， 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。

数列〔1〕海州高级中学李旭萃教学目标：1 了解数列的概念和分类，理解数列的实质即一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学重点：1．理解数列的概念；2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学难点：1．理解数列的实质：一种特殊的函数；2．能根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学方法：采用启发式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，引用生活中的实力让学生主动参与数学实践活动中来，并以独立思考和相互交流的形式，在老师的引导下总结数列的概念。

教学过程：一、问题情境1．情境：青蛙的儿歌导入新课剧场座位：，，，，，．．．〔1〕彗星出现的年份：，，，，，．．．〔2〕细胞分裂的个数：，，，，，．．．〔3〕各年树木的枝干数： 1，，，，，，．．．〔4〕我国参加9次奥运会获金牌数，，，，，，51,28,26 〔5〕2．问题：这些问题有什么共同特点？二、学生活动问题，教师引导学生体会例子中出现的几组数据的顺序都是不可调换的，是学生理解顺序变化对这列数字的影响．从而生成数列的概念。

三、建构数学1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．称为数列的第项〔或称为首项〕，称为第项，．．．，称为第项．比照数列和集合的概念，比拟两者的区别：〔1〕数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；〔2〕数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．给出数列的概念后让学生用数列去表示：“一尺之棰〞每日剩下的局部：1，，，，，．．．3．有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．通项公式．一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5、数列是特殊的函数．在数列中，对于每一个正整数〔或｛1，2，…,｝〕，都有一个数与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N〔或它的有限子集｛1，2，…,｝〕为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果〔，…〕有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…．〔强调有序性〕提出数列是一种特殊的函数后，给出两组数列的通项公式，画出其图像，说明数列的图像是一些离散的点。

第一课时§2.1 数列【教学目标】一、知识与技能理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.三、情感、态度与价值观【教学重点】1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.【教学过程】一、复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.二、新课讲解在学习函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.（1）数列定义：按照一定次序排成的一列数.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？（2）数列的通项公式：{a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1） 解析法（2） 列表法（3） 图象法4、数列的分类 （1） 按项数分（2） 按项与项的大小分（3）三、例题讲解例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n ·n有限项：无限项：递增数列：a n+1>a n递减数列：a n+1<a n摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定无界数列例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1， 3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33⑷ 5，55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a小结：（1）出现正负号交错项，可用1)1()1(+--n n 和来调节；（2）形如{}n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等形式的数列求通项，先分别求出{}n a 、{}n b 通项，再结合例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项，若不存在，请说明理由四、课时小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.五、作业： 课课练、补充练习。

第二章 数列2．1 数列的概念与简单表示法（第1课时）8 **学习目标**1．理解数列的概念，了解数列的分类；2．理解数列是自变量为正整数的一类函数，了解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式）；3．能根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。

**要点精讲**1．按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

数列：123,,a a a ，…，n a ，…，简记为{}n a 。

2．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

3．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。

4．数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{1,2,…,}n 为定义域的函数()n a f n =。

如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

如三角形数依次构成的数列的通项公式1(1)2n a n n =+；正方形数依次构成的数列的通项公式2n a n =。

**范例分析**例1．（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。

（2）数列2,5,7,8和数列5,2,7,8是同一数列吗？（3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ ①学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，…，55。

②“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列：1111,,,,24816... ③某人2004年1～12月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500， (1500)④1-的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂……构成的数列：1-，1，1-，1，…。

第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

数列（第一课时）南京市宁海中学汤池武【教学目标】1、能从实际问题中抽象、归纳出数列的概念；2、体会并理解数列的本质是函数并理解通项公式的概念；3、会利用函数的相关知识研究数列问题，加深理解数列的本质；4、培养学生抽象、归纳、转化的能力。

【教学重点】1理解数列概念；2体会数列的本质。

【教学难点】数列的本质【教学过程】一、问题情境实际问题数学语言表示：问题一——三角形数；问题二——《庄子天下篇》；问题三——剧场的座位；问题四——简谐振动位移的记录；问题五——王同学的四次考试成绩。

二、数学构建以上这些问题有什么共同的特点？——引入新知——数列——得到新知概念理解：1、数列定义中的关键词有哪些？你能不能再举出一些数列的例子。

2、你是如何理解数列定义中的一定次序的？3、针对分析你有什么发现？——得到数列的本质——是一个函数。

三、学生活动利用函数知识来研究前面的几个数列。

——学生展示要研究一个函数那么首先我们要研究函数的哪些问题？数列的通项公式：四、例题分析例一 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：五、检测训练{}4+11.n n n n a a n a a =+1. 已知数列的通项公式是,求及{}2412.(1)5(2)(3)n n a a n n =-- 2.已知数列的通项公式是　求这个数列的第项；　65是这个数列的第几项；　该数列是否存在最大项或最小项，若存在，求是第几项.{}222112.n n a a n n =--已知数列的通项公式是该数列的最小项是哪一项？(1)2,4,6,8 ；1111(2),,,12233445--⨯⨯⨯⨯.六、知识方法展望。

第二章数列数列（一）【学习目标】1了解数列的概念；2了解数列的分类，了解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；3理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式【学习过程】活动一概念引入（一）情境1：某种树木第1年长出幼枝、第2年幼枝长成粗干、第三年粗干可长成幼枝各年树木的枝干数依次为情境2：某剧场幼有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多1个，各排的座位数依次为；情境3：哈雷慧星回归周期为76年，从1682年开始连续6年的年份依次为；情境4：请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，问它每次对折后的厚度依次是；和每层纸的面积依次是；情境5：从1984年到今年，我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为情境6：古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的三角形数数依次为；正方形数依次为问题1：以上问题中的数有什么共同特点？活动二概念形成1数列的定义：问题2：你能自己举出数列的例子吗？2数列的分类：问题3:你能用将上述情境中的数列进行分类吗3. 数列的记法：问题4:数列与集合的区别：问题5：数列中的每一项与其序号之间是怎样的关系？4数列的本质：问题5：你认为数列可以用哪些方法表示？为什么？5数列的表示：活动三 概念应用例1 已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）1+=n n a n ； （2）()n nn a 21-=例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）3，6，9，12； （2）541,431,321211⨯-⨯⨯-⨯，活动四 课堂小结。

§2.1 第1课时 数列(1)【课前自主学习】（学案） 一、 回顾知识：1． 函数的概念（定义）；2． 二次函数、指数函数、对数函数的图象。

二、 预习知识： 1、 数列的定义；2、 数列的通项公式；3、 数列的表示。

三、 预习检测：课本P31 练习1、2、3、6四、 师生研讨：例1． 已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（１）1n na n =+；（２）2(1)2n n a -=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（１）1，3，7，15，31； （２）1-，1，1-，1，1-； （３）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （４）13，45，97，169，．．．，； （５）0，2，0，2．归纳：写出数列的通项公式（１）关键是寻找n a 与n 的对应关系()n a f n =； （２）符号用(1)n -或1(1)n +-来调节；（３）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系； （４）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的； （５）对于形如a ，b ，a ，b ，．．．，的数列，其通项公式均可写成1(1)22n n a b a ba ++-=+-． 五、当堂检测：课本P32 1、2、3六、 课后自我检测作业：课本P32 第1,3题中任选2小题，第4题七、 课后自主练习：新新练案 P15 1-12题【课堂主体参与】（教案） 【学习目标】（1）了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列； （2）理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式． 【重点、难点】（1）理解数列是一种特殊的函数；（2）会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式． 【学情分析】学生对函数的概念还不是很了解，而且在日常生活中，会遇见如存款利息、购房贷款、资产折旧等一些计算问题，通过学习数列知识，可以进一步理解函数的概念，以及体会数学的应用价值。

2.1数列 第 9 课时一、学习目标 1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。

2．探索并掌握数列的几种简单表示法。

二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。

利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。

１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

（２）可重复性：数列中的数可以重复。

（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。

３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。

三、课前预习１． 叫做数列， 叫做这个数列的项。

２． 叫做这个数列的通项公式。

３． 叫做有穷数列， 叫做无穷数列。

４．数列的表示方法有： 、 、 。

四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1n n a n =+； （２）2(1)2n na -=． 例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15； （2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-； （4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……； （6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习 练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于 ．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；。