313空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算教学目标重点: 应用空间向量的数量积解决立体几何问题.难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题. 知识点：空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质及运算律.能力点：本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积及性质的基础上探究空间向量数量积运算的定义、性质、运算律. 通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；同时探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.自主探究点：在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.考试点：借助空间向量的数量积定义、性质及运算律解决相关的立体几何问题.易错易混点：对于运算∙=∙a b a c 及(∙∙=∙∙(a b)c a b c)与⊥a b 成立的条件，及异面直线夹角与向量夹角的关系学生容易迷惑.拓展点：通过本节课的学习,让学生感受空间向量数量积在解决立体几何中的作用.教具准备 多媒体课件和实物投影. 课堂模式 学案导学 一、引入新课1.平面向量的数量积定义: 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量cos |a ||b |θ叫做a 与b 的数量积（或内积）,记作：∙a b ，即：|||cos θ∙=a b a |b ,其中θ是a 与b 的夹角, 范围是0θπ≤≤.注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. ||cos θ∙=a b a b ，(0θπ≤≤)所以其值的符号由cos θ决定,进而由θ的大小决定;即02πθ≤<,0∙>a b ;2πθ=,0∙=a b ;2πθπ<≤,0∙<a b .规定:零向量与任意向量的数量积为0.2.平面向量的数量积的几何意义: 数量积∙a b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos θb 的乘积.3.平面向量的数量积的主要性质: 设a 与b (对于零向量问题结论很直观),则①0⊥⇔∙=a b a b . (思考:若没有a 与b 为非零向量这一条件,结论会是什么呢?) ②当a 与b 同向时(cos 1θ=),则||||∙=a b a b ; 当a 与b 反向时(cos 1θ=-),则||||∙=-a b a b ;特别地,22||∙==a a a a或||=a (此法对于求向量的模非常实用) ③由于1cos 1θ-≤≤,||||||∙≤a b a b .④由||||cos θ∙=a b a b ,则cos ||||θ∙=a ba b (对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角).4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量,,a b c 和实数λ,则:①∙=∙a b b a ; ②()()()λλλ∙=∙=∙a b a b a b ;③()+∙=∙+∙a b c a b b c . 特别说明: ①数量积不满足结合律()()∙∙≠∙∙a b c a b c②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式222()2+=+∙+a b a a b b ,22()().+∙-=-a b a b a b思考:平面向量数量在解决平面解析几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题发挥着很重要的作用,而在立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题平面向量的数量积显着无能为力,这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们就需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.【设计意图】开篇点题让学生明确本节课的教学内容,同时学生带着老师的问题去学习目标性更强.二、探究新知：在空间任意的两个向量总是共面的,如图3.111-,对于两个非零向量,a b ,总可以在空间中任取一点O ,使OA =a ,OB =b ,则AOB ∠叫做向量,a b 的夹角,记作,a b .规定: (1)0,≤≤a b π,两个向量的夹角是唯一确定的,且,=a b b,a .(2)如果,a b 2π=,那么称向量,a b 垂直,记作⊥a b . 1.空间向量数量积的定义:已知两个非零向量,a b ,,则cos |a ||b |,a b ,叫作,a b 的数量积(inner product),记作∙a b .即∙a b =cos |a ||b |,a b 规定:零向量与任意向量的数量积为0.思考1:类比平面向量,你能说出∙a b 的几何意义吗?2. 空间向量的数量积的几何意义: 数量积∙a b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos θb 的乘积.思考2: 类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗?3.空间向量的数量积的主要性质: 设a 与b (对于零向量问题结论很直观),则baabAB OabaA BOb 图3.111-①0⊥⇔∙=a b a b . (思考:若没有a 与b 为非零向量这一条件,结论会是什么呢?) ②当a 与b 同向时(cos 1θ=),则||||∙=a b a b ; 当a 与b 反向时(cos 1θ=-),则||||∙=-a b a b ;特别地,22||∙==a a a a 或||=a (此法对于求向量的模非常实用) ③由于1cos 1θ-≤≤,||||||∙≤a b a b . ④由||||cos θ∙=a b a b ,则cos ||||θ∙=a ba b (对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角).思考3: 类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗? 4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量,,a b c 和实数λ,则:①交换律:∙=∙a b b a ; ②()()()λλλ∙=∙=∙a b a b a b ;③分配律:()+∙=∙+∙a b c a b b c . 特别说明: ①数量积不满足结合律()()∙∙≠∙∙a b c a b c②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式222()2+=+∙+a b a a b b ,22()().+∙-=-a b a b a b【设计意图】通过思考类比平面向量数量积的有关概念和性质，可以让学生更好的理解和应用空间向量数量积的概念和性质.三、理解新知：1.明确数量积的值是一个实数,其值可正、可负、可为零,两向量的夹角起关键作用.2.若⊥a b ,则0∙=a b ;那么,当0∙=a b 时⊥a b 一定成立吗?分析: 0∙=a b 成立，a 与b 不一定垂直,有可能其中一个向量是零向量也满足此条件. 3.∙=∙a b a c 一定成立吗,若成立则=b c 能一定成立吗?分析:由数量积的定义显然∙=∙a b a c 不一定成立;若成立可能a =0或,⊥⊥a b a c . 而 ∙=∙a b a c 成立,=b c 也不一定成立.(这和实数运算不一样,不能直接约分) 4.()()∙∙=∙∙a b c a b c 不一定成立,体现数量积不满足结合律.5.异面直线夹角的范围是(0,]2π，向量夹角的范围是[0,]π，即异面直线夹角的余弦值与向量夹角的余弦值的关系为cos θ=|cos |a,b【设计意图】通过以上5点可以进一步理解数量积运算的特殊情况,进一步明确本节的易错点和难点.四、运用新知题型一:利用数量积求夹角例1.已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点,且1SA SB SC ===,,M N 分别是,AB SC 的中点,设SA =a ,SB =b ,SC =c . (1)试用a,b,c 表示,SM BN ; (2) 求SM BN ∙(3)求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.分析: 要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值, 即求cos ||||SM BN SM BN ∙=θ,所以(1) (2)为求解(3)做准备;同时注意异面直线SM 与BN 所成角的余弦值与cos θ的大小关系. 教师板书例题的求解过程:解：(1)由题意得, |a |=|b |=|c |=1,且a,b,c 三个向量两两夹角均为3π,所以∙∙∙a b =b c =c a =12. 即:1()2SM SA SB =+=12a 12+b .12BN BC CN SC SB SC =+=--12=c -b (2) 由(1)知SM BN ∙=(12a 12+b )∙(12c -b )111()222=∙∙∙2a c -ab +bc -b1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-.(3)因为12cos ,3||||322SM BN SM BN SM BN -∙===-.所以, 异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23. 注意:本题中两向量夹角的余弦值为23-,两异面直线所成角的余弦值应为23,这是因为两种夹角的范围不同而导致,这一点学生容易出错教师应重点强调.【设计意图】通过本例题一是可以复习前面学的用已知向量表示未知向量,二是让学生熟练用空间向量数量积求异面直线夹角的方法.方法小结:利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的解题步骤:(1)取向量:根据题意在所求的两异面直线上取两个向量a,b 为其方向向量. (2)转化角:把异面直线所成角的问题转化成方向向量的夹角问题. (3)求余弦:利用数量积公式求两个方向向量夹角的余弦值cos a,b . (4)定结果:因为异面直线所成角为锐角或直角,故cos θ=|cos|a,b .变式训练1:如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,若1AB =,求1AB 与1C B 所成角的大小( )BAMNNS()60A ()90B ()105C ()75D分析:结合利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的解题步骤: 首先,设1,BB a AB ==由11AB AB BB =+;11BC BB BC =+.则1111()()AB BC AB BB BB BC ∙=+∙+21112222cos120001()0002AB BC AB BB BB BB BCa a a a =∙+∙++∙=⨯+++=⨯-+++=-+= 所以11AB BC ⊥,即:1AB 与1C B 所成角的大小为90.答案:B【设计意图】通过此变式训练是让学生进一步明确异面直线夹角和向量的夹角的关系,选好基向量注重理论联系实际.题型二:利用数量积求线段长度例2.如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,14,3,5,90,AB AD AA BAD ===∠=1160BAA DAA ∠=∠=,求1AC .分析: 要求1AC ,即求1AC 的模, 因此结合题中的条件用1,,,AB AD AA表示1AC ,即111AC AC AA AB AD AA =+=++,所以求出2211||()AC AB AD AA =++即可.教师板书例题的求解过程:因为111AC AC AA AB AD AA =+=++,所以221111222111222||()()()2()4352(0107.5)85AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=++∙++=+++∙+∙+∙=+++++=所以185AC =即1AC【设计意图】例2主要向学生讲述怎么借助已知条件把线段的长转化为求向量的模,这是对数量积的定义及性质进行了拓展,在难度和运算量上都有了提升.在解决此问题时应注意22||=a a 和[0,]θπ∈. 方法小结:由于线段与角是构成几何图形的基本元素,故求线段的长度是一种常见题型,其主要方法有: (1)几何法:如解三角形求线段的长度是一种常见题型,本题也可构造以1AC 为边的三角形求解求. (2)向量法:即将求线段长度转化为求向量的模,一般先将未知向量用已知向量(模、夹角都知道)表示,通过BA C1A1B1CBCDA 1A 1B 1C 1D已知向量的运算求解.(3)代数法:即坐标法,利用距离公式求解. 变式训练2:已知二面角l αβ--的大小为3π,,AB CD αβ⊂⊂,且,AB l CD l ⊥⊥,垂足分别为,B D .若2AB BD CD ===,求线段AC 的长. 分析:由,AB l CD l ⊥⊥,所以,即2,33AB DC πππ=-=. 又由AC AB BD DC =++,所以22()AC AB BD DC =++2222222()2222222cos 222cos222cos 232120408AB BD DC AB BD AB DC BD DC πππ=+++∙+∙+∙=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+-+= 所以||22AC =即线段AC 的长为【设计意图】本题主要想让学生注意二面角的平面角与向量的夹角的关系,这是一个难点,教师应充分考虑学生的基础进行引导讲解.题型三:利用数量积证明垂直关系 例3.如图,m n 是平面α内的两条相交直线.如果,,l m l n ⊥⊥分析:要证l α⊥,就要证明l 垂直于α内的任意一条直线g (如果我们能在g 和,m n 中建立一种关系,并由,,l m l n ⊥⊥.得到l g ⊥,就能解决此问题.教师板书例题的求解过程:在α内任作一条直线g ,分别在,,,l m n g 上取非零向量l,m,n,g 因为,m n 相交,所以向量m,n 不平行,由向量共面的充要条件知,存在唯一实数对(,)x y ,使g =x m y +n ,所以∙l g =x ∙l m y +∙l n .因为∙l m =0,∙l n =0,所以∙l g =0.⊥l g ,即l g ⊥这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线,所以l α⊥.【设计意图】结合课本例题,选择作为例3,让学生进一步感受空间向量在解决立体几何中的作用. 变式训练2:已知空间四边形ABCD 中, ,AB CD AC BD ⊥⊥,求证AD BC ⊥. 分析:因为,AB CD AC BD ⊥⊥, 所以AB CD ∙0=,0AC BD ∙=.α β lBADCACD所以2()()AD BC AB BD AC AB AB AC AB BD AC BD AB∙=+∙-=∙-+∙-∙2()0AB AC AB BD AB AB AC AB BD AB DC =∙--∙=∙--=∙=所以,AD BC ⊥,从而AD BC ⊥.【设计意图】用向量解几何题的一般方法：把线段转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算来计算或证明.五、课堂小结1．知识：① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式.② 运用公式解决立体几何中夹角、距离(模)、垂直等的有关问题. 2．思想：① 比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；② 探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.③通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识.【设计意图】让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题：1.已知|a |=13，|b |=19，|a +b |=24，求|a -b |.2.在正方体1111ABCD A B C D -中,求1BC 与AC 夹角的大小.3.如右图在正三棱柱111ABC A B C -中,. (1)设侧棱长为1,求证:11AB BC ⊥; (2)设11,AB BC 的夹角为3π，求侧棱长. 必做题答案：1.3π; 2.22 ; 3. (2)2 选做题：1.在平行四边形ABCD 中, 1AB AC ==,90ACD ∠=,沿着它的对角线AC ,将ACD ∆折起,使,AB CD 成60的角,求此时BD 的长.2. 设,,,A B C D 为空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AD AC AB AD ∙=∙=∙=,BA C1A1B1CACDA BACD试判断ΔABC 的形状.3.如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱1AA b =,11120BAA DAA ∠=∠=.求(1) 1AC 的长(2)异面直线1BD 与AC 所成的角的余弦值. 选做题答案：1.2, 2. 锐角三角形3. (1) 1AC =2)【设计意图】通过设计不同层次的作业既能让学生掌握基础知识,又能使学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.七、教后反思1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生去利用平面向量的数量积的定义、性质，类比、归纳得到数量积的概念，在此基础上进一步探究数量积的性质和运算律，使学生逐步加深对概念的理解.在教学中要明确要求学生用向量的方法解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学已经能掌握数量积的概念、性质和运算律.2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但学生习惯用非向量的方法解决立体几何中证明垂直问题以及求两条直线的夹角和两点间的距离问题,教师在教学中根据题目的实际情况进行选择,进一步体现这两种方法的有效性.八、 板书设计BCDA 1A 1B 1C 1D。

3．1.3空间向量的数量积运算四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b) 交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. 2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．数量积的运算[例1]OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)OAu u r·OBu u u r；(2)EFu u u r·BCu u u r；(3)(OAu u r＋OBu u u r)·(CAu u r＋CBu u r)．[思路点拨]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析](1)正四面体的棱长为1，则|OAu u r|＝|OBu u u r|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OAu u r·OBu u u r＝|OAu u r||OBu u u r|cos〈OAu u r，OBu u u r〉＝|OAu u r||OBu u u r|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝12.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊12AC，于是E EFu u u r·BCu u u r＝|EFu u u r||BCu u u r|cos〈EFu u u r，BCu u u r〉＝12|CAu u r|·|BCu u u r|cos〈ACu u u r，BCu u u r〉＝12×1×1×cos 〈CA u u r ，CB u u r 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r －OC u u u r ＋OB u u u r －OC u u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r ＋OB u u u r －2OC u u u r ) ＝OA u u r 2＋OA u u r ·OB u u u r －2OA u u r ·OC u u u r ＋OB u u u r ·OA u u r ＋OB u u u r 2－2OB u u u r ·OC u u u r ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[一点通] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA u u r ·AC u u u rB ．2AD u u u r ·BD u u u rC ．2FG u u u r ·CA u u rD ．2EF u u u r ·CB u u r解析：2BA u u r ·AC u u u r ＝－2 AB u u u r ·AC u u u r ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD u u u r ·BD u u u r ＝2DA u u u r ·DB u u u r＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG u u u r ·CA u u r ＝AC u u u r ·CA u u r ＝－a 2，2EF u u u r ·CB u u r ＝BD u u u r ·CB u u r ＝－BD u u u r ·BC u u u r ＝－12a 2. 答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC u u u r ·1ED u u u r ； (2) BF u u u r ·1AB u u ur .解：如图所示，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC u u u r ·1ED u u u r ＝BC u u u r ·(1EA u u u r ＋11A D u u u u r )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF u u u r ·1AB u u u r ＝(1BA u u u r ＋1A F u u u r )·(AB u u u r ＋1AA u u u r )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.用数量积求夹角[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA u u u r ·AC u u u r ，再由夹角公式求cos 〈1BA u u u r ，AC u u ur 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA u u u r ＝BA u u r ＋1AA u u u r ＝BA u u r ＋1BB u u u r ，AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u r，且BA u u r ·BC uuu r ＝1BB u u u r ·BA u u r ＝1BB u u u r ·BC u u u r ＝0， ∴1BA u u u r ·AC u u u r ＝－2BA u u u r ＝－1. 又|AC u u u r |＝2，|1BA u u u r|＝1＋2＝3，∴cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉＝1BA u u u r ·AC u u ur |1BA u u u r ||AC u u u r |＝－16＝－66， 则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [一点通] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：3．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设〈AB u u u r ，CD u u u r 〉＝θ，∵AB u u u r ·CD u u u r ＝(AC u u u r ＋CD u u u r ＋DB u u u r )·CD u u ur ＝|CD u u u r |2＝1，∴cos θ＝AB u u u r ·CD u u u r |AB u uu r ||CD u u u r |＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝60°. 答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE uuu r 与BFuuu r 所成角的余弦值．解：如图，设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE u u u r ＝12(a ＋b )，BF u u u r ＝12c －b ，|OE u u u r |＝|BF u u u r |＝32， ∴OE u u u r ·BF u u u r ＝12(a ＋b )·(12c －b ) ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12. ∴cos 〈OE u u u r ，BF u u u r 〉＝OE u u u r ·BFu u u r|OE u u u r |·|BF u u u r |＝－23. ∵异面直线所成的角为直角或锐角， ∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.利用数量积求两点间的距离[例3] 11111，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1u u u u r 和BD 1u u u r 用已知向量AB u u u r ，AD u u u r ，AA 1u u u r表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u ur ， ∴|AC 1u u u u r |2＝AC 1u u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u ur )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋2(AB u u u r ·AD u u u r ＋AB u u u r ·AA 1u u u r ＋AD u u u r ·AA 1u u ur )＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1u u u u r|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1u u u r |2＝BD 1u u u r 2＝(AD u u u r ＋AA 1u u u r －AB u u u r)2 ＝AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋AB u u u r 2＋2(AD u u u r ·AA 1u u u r －AB u u u r ·AA 1u u u r －AD u u u r ·AB u u u r )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|1BD u u u r|＝2，即对角线BD 1的长为 2.[一点通] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC u u u r ＝PA u u r ＋AB u u u r ＋BC u u ur ， ∴PC u u u r 2＝PA u u r 2＋AB u u u r 2＋BC u u u r 2＋2AB u u u r ·BC u u u r ＋2PA u u r ·AB u u u r ＋2PA u u r ·BC u u ur ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴|PC u u u r|＝12.答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC u u u r ·CD u u u r＝0， 同理，AC u u u r ·BA u u r ＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°或120°.又BD u u u r ＝BA u u r ＋AC u u u r ＋CD u u u r ，∴BD u u u r ·BD u u u r ＝|BA u u r |2＋|AC u u u r |2＋|CD u u u r |2＋2BA u u r ·AC u u ur ＋2BA u u r ·CD u u ur ＋2AC u u u r ·CD u u u r ＝3＋2×1×1×cos 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝⎩⎨⎧4 (〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°)，2 (〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝120°)，∴|BD u u u r |＝2或2， 即B ，D 间距离为2或 2.利用数量积证明垂直问题[例4] [思路点拨] 先将已知条件转化为AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r ＝0，再证明AD u u u r ·BC u u ur ＝0. [精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r＝0. ∴AD u u u r ·BC u u u r ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r ) ＝AB u u u r ·AC u u u r ＋BD u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·(AC u u u r －AB u u u r －BD u u u r )＝AB u u u r ·DC u u ur ＝0. ∴AD u u u r ⊥BC u u ur ，从而AD ⊥BC .[一点通] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．7．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0； 反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC . 证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG u u u r ＝12(OM u u u r ＋ON u u u r )＝12[12OA u ur ＋12(OB u u u r ＋OC u u u r )] ＝14(a ＋b ＋c )， BC u u u r＝c －b ， ∴OG u u u r ·BC u u u r ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG u u u r ⊥BC u u u r，即OG ⊥BC .1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13 C ．4D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， ∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉 ＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22. ∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC u u u r ·BD u u u r ＝(AC u u u r －AB u u u r )·(AD u u u r －AB u u u r )＝AC u u u r ·AD u u u r －AC u u u r ·AB u u u r －AB uu u r ·AD uuu r ＋AB u u u r 2＝AB u u u r2>0.同理，可证CB u u r ·CD u u u r >0，DB u u u r ·DC u u ur >0. ∴三角形的三个内角均为锐角．答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r)2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋1AA u u u r 2＋2AB u u u r ·AD u u u r ＋2AB u u u r ·1AA u u u r ＋2AD u u u r ·1AA u u ur＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，∴|1AC u u u r|＝85.答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB u u u r ＝AB u u u r ＋1BB u u ur ，1BC u u u r ＝1BB u u u r ＋BC u u ur .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB u u u r ·AB u u u r＝0，1BB u u u r ·BC u u u r ＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB u u u r ·BC u u u r 〉＝π－〈BA u u r ·BC u u u r 〉＝π－π3＝2π3. ∵1AB u u u r ·1BC u u u r ＝(AB u u u r ＋1BB u u ur )·(1BB u u u r ＋BC u u u r ) ＝AB u u u r ·1BB u u u r ＋AB u u u r ·BC u u ur ＋1BB u u u r 2＋1BB u u u r ·BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB u u u r ·1BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u u r 〉＋1BB u u u r 2＝1BB u u u r2－1. 又|1AB u u u r |＝AB u u u r2＋1BB u u u r 2＝2＋1BB u u u r 2＝|1BC u u u r |，∴cos 〈1AB u u u r ，1BC u u u r 〉＝1BB u u u r2－12＋1BB u u u r 2＝12， ∴|1BB u u u r|＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值；(2)求FH 的长．解：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AA 'u u u r＝c ，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF u u u r ＝ED u u u r ＋DF u u u r －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G u u u r ＝'C C u u u r ＋CG u u u r ＝－c －14a ，∴EF u u u r ·'C G u u u r ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38， |EF u u u r |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G u u u r |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF u u u r |＝32，|'C G u u u r |＝174，cos 〈EF u u u r ，'C G u u u r 〉＝EF u u u r ·'C G u u u r|EF u u u r ||'C G u u u r |＝5117，所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH u u u r ＝FB u u r ＋BC u u ur ＋'CC u u u r ＋'C H u u u u r＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G u u ur ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.。