袁泉：点的运动路径(圆)

第五章 点的运动 习题全解[习题5-1] 一点按2123+-=t t x 的规律沿直线动动(其中t 要s 计,x 以m 计).试求:(1)最初s 3内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初s 3内经过的路程;(4)s t 3=时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初s 3内的位移.m x 220120)0(3=+⨯-= m x 723123)3(3-=+⨯-=)(927)0()3(m x x x -=--=-=∆ (动点的位移为9m,位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: 01232=-==t dtdxv , 亦即:当s t 2=时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: )(1422122)2(3m x -=+⨯-= (3)求最初s 3内经过的路程.)(23716|)14(7||214|)3~2()2~0()3~0(m S S S =+=---+--=+= (4)求s t 3=时的速度和加速度1232-==t dt dx v )/(151233)3(2s m dt dx v =-⨯== t dtdv a 6== )/(1836)3(2s m a =⨯=(5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.若v 与a 同号,则动点作加速运动; 若v 与a 异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:0)2)(2(18)4(18)6)(123(22>+-=-=-=t t t t t t t va0)2)(2(>+-t t t20<<t .即当s t 20<<时,动点作加速动动.Oxy图题25-异号时有:0)2)(2(<+-t t t2>t即当s t 2>时,动点作减速运动.[习题5-2] 已知图示机构中,l AB OA ==,a AC DM CM ===,求出t ωϕ=时,点M 的动动方程和轨迹方程。

初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。

【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。

地球物理大圆路径和小圆路径
地球物理是研究地球内部结构和物质运动规律的科学。

在地球物理中，大圆路径和小圆路径是两个重要的概念。

大圆路径指的是两个点之间的最短路径，这条路径将地球表面划分为两个半球。

在地理学中，我们常常使用大圆路径来计算两个地点之间的距离。

例如，当我们计算两个城市之间的飞行距离时，通常会使用大圆路径。

大圆路径具有最短的航线，因为它是连接两个点的最短弧线。

小圆路径则是连接两个点的曲线，它不一定是最短路径。

在地球物理学中，小圆路径常常用于描述地震波的传播路径。

地震波从震源向四面八方传播，形成一系列的圆形波前。

这些圆形波前就是小圆路径，它们随着时间的推移不断扩散。

大圆路径和小圆路径在地球物理学中有着重要的应用。

它们可以帮助我们理解地球内部的物质运动和地震波的传播规律。

通过研究大圆路径和小圆路径，我们可以揭示地球的奥秘，了解地球的构造和演化过程。

大圆路径和小圆路径是地球物理学中的两个重要概念。

它们帮助我们理解地球内部的结构和物质运动规律。

通过研究大圆路径和小圆路径，我们可以更好地认识和保护我们美丽的地球。

八年级数学——中点的运动路径
注意分析：(①初始位置②中途位置③终止为止) 1、如图所示：线段AB=4，当B从B(0,0)运动到B(4,0),同时
A从A(0,4)运动到A(0,0),线段AB的中点M运动的路径的长是.
2、如图所示：E为x负半轴上一点，
等腰直角△BDC（B(0,2)）的直角端点
D从D(0,0)运动到D(2,0)时，线段EC
的中点M运动的路径的长是.
3、如图所示：等腰直角△ABC的
直角边AC=BC=4，D在AC上，
作等腰直角△BDE，M是AE的
中点，D从C运动到A时，则
M的运动路径的长是
4、如图所示：等边△ADE的端点D
从B点运动到C点时，CE的中点
M运动的路径的长是
5、如图所示：矩形ABCD中,AB=6，
AD=8，CN=2，DH⊥AM于H，
点M从B运动到N，①DM的中点
F运动的路径的长是.
②DH的中点E运动的路径的长是.
6、如图所示：等腰直Rt△ABC中，
AB=AC=4，当等腰直Rt△AMD
的直角端点M从B运动到C时，
AD的中点N运动的路径的长
是.。

上海中考数学第25题分析（下）——与圆有关的压轴题前言：我们古代数学家刘徽、祖冲之为了研究圆（周长和面积），费尽毕生精力，不管是割圆术还是牟合方盖，不管极限思想还是圆周率的精确，都是古人智慧的结晶，也许正因为古人的智慧铺垫，才有了如今我们学习圆的轻松和方便，今天我们一起来探究下圆的压轴！一、圆的知识梳理及拓展延伸——重要！！！1、圆的定义（轨迹法）：平面上的动点到定点的距离等于定长，这样的轨迹称之为圆（定点为圆心，定长为半径）。

2、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5、切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

6、切线的性质：①经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

③圆的切线垂直于经过切点的半径。

7、直径所对的圆心角为直角。

8、两圆相交，则连心线平分公共弦——注意事连心线，不是圆心之间的线段！ 9、①圆的周长及面积公式：r C π2=，2r S π=； ②扇形的周长及面积公式：r n C π2360=，2360r n S π=； 10、圆的割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

11、圆和圆的位置关系：相交、相离（外离+内含）、相切（外切+内切）。

12、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；②圆内接四边形的对角互补；③圆内接四边形的外角等于内对角。

题外话：圆的性质是所有章节最多的一个，还有弦切角+圆心角+圆周角的关系、圆幂定理及逆定理、托勒密定理及其逆定理等等，但可恨的是上海中考这个拿学业水平考当选拨的考试，它根本就不考那么多！二、25题与圆有关的压轴题题型归纳圆的综合在一模试卷中出现的不多，二模中是重点题型。

中考压轴专题：轨迹圆问题
考点考查背景：
•在强调综合能力全面发展的前提下，中学数学会越来越注重数学逻辑分析，此类问题通常需要学生能够在辨别基本模型的前提下，分析轨迹问题基本成立条件，结合基本模型的形成原理以及题目要求，综合运用最值以及轨迹长问题的解决方法完成对题目的辨别/分析/解决，从而达到最终目的；
考点辨别解析：
•定义法-平面内某一动点到定点的距离定值；
•定弦直角-动点处线段夹角90°恒成立，根据直径所对圆周角是直角，可知点的运动轨迹是以线段为直径的半圆；
•定弦定角-动点处线段夹角定值（非直角）恒成立，根据同弦所对圆周角是定值，反向推定可知点的运动轨迹是以线段为弦的半圆；
考点方法突破：
此类题型的分析推定方向界定在以下两个方向
•动点处线段长度定值-定义法轨迹圆问题；
•动点处角度定值-定弦直角/定弦定角；
考点结果导向分析：
•最值类问题-定点到动点线段长度最值；
•轨迹长问题-动点轨迹长度；。

运动路径的概念运动路径是指物体在运动过程中所经过的轨迹或路线。

无论是线性运动还是曲线运动，物体总是沿着某个轨迹移动。

运动路径不仅与物体自身的运动特点有关，还与外界环境的限制和作用力有关。

在物理学中，运动路径是研究物体运动的一个重要概念。

根据物体的运动方式和运动轨迹的形状，可以将运动路径分为直线运动和曲线运动两种。

直线运动是指物体在运动过程中沿着一条直线运动的情况。

直线运动是最简单的一种运动方式，常见的例子有物体自由下落、匀速直线运动等。

对于直线运动，物体的位置随时间的变化呈线性关系，可以用直线方程来描述。

运动路径是一条直线，在直线上任意两点之间的距离是固定的。

曲线运动是指物体在运动过程中沿着一条曲线运动的情况。

曲线运动较为复杂，物体的位置随时间的变化不再呈线性关系。

物体在曲线运动过程中，其位置、速度和加速度等物理量都会随时间变化而发生改变。

曲线运动的运动路径可以是圆弧、抛物线、椭圆等形状，取决于物体所受到的作用力和运动轨迹。

运动路径的形状和特点是由物体所受到的作用力决定的。

在自由下落的情况下，物体受到的作用力是重力，运动路径是垂直向下的直线。

在弹簧振子的摆动过程中，物体受到弹簧的弹力和重力的作用力，运动路径是来回摆动的曲线。

在行星围绕太阳运动的过程中，行星受到太阳的引力作用，运动路径是椭圆。

除了受到外力的影响，物体的运动路径还受到外界环境的限制。

在平面运动中，物体受到支撑力、摩擦力等作用，运动路径会受到这些力的影响而有所改变。

例如，游泳选手在水中游动时，受到水的阻力作用，运动路径会受到水流的影响而呈现出曲线。

运动路径的变化还可能受到其他因素的影响，如摆球、抛体等运动过程。

摆球运动是指物体通过绳子或其他支撑物进行来回摆动的运动。

摆球运动的运动路径是曲线，摆球摆动的形状取决于摆球的长度、重力加速度和摆动的幅度。

抛体运动是指物体在受到初速度和重力作用下进行抛射运动的过程。

抛体运动的运动路径是抛物线，其形状取决于初速度、抛射角度和重力加速度。

点的运动轨迹在日常生活中，我们经常看到各种不同的点在空间中运动，它们的运动轨迹各不相同，引起了我们的好奇心。

本文将以点的运动轨迹为题，介绍几种常见的运动轨迹。

一、直线运动直线运动是最简单的一种运动轨迹，也是我们最常见的一种运动形式。

当一个点沿着一条直线运动时，它的轨迹就是一条直线。

比如我们在马路上看到的汽车行驶的轨迹，就是一条直线。

此外，我们还可以通过绘制两点之间的连线来模拟点的直线运动轨迹。

二、圆周运动圆周运动是另一种常见的运动轨迹。

当一个点围绕着一个固定的中心点做匀速圆周运动时，它的轨迹就是一个圆。

比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的圆。

此外，我们还可以通过绘制一系列等距离的点来模拟点的圆周运动轨迹。

三、抛物线运动抛物线运动是一种曲线运动，它的轨迹形状像一个抛物线。

当一个点在重力的作用下，以一个初始速度在水平方向上做抛体运动时，它的轨迹就是一个抛物线。

比如我们在体育课上投掷实验中看到的抛物线运动，就是一个典型的例子。

此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的抛物线运动轨迹。

四、椭圆运动椭圆运动是一种更加复杂的曲线运动，它的轨迹形状像一个椭圆。

当一个点围绕着两个焦点之间的直线做匀速运动时，它的轨迹就是一个椭圆。

比如地球绕太阳运动的轨迹就是一个近似的椭圆。

此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的椭圆运动轨迹。

五、螺旋运动螺旋运动是一种非常有趣的运动形式，它的轨迹形状像一个螺旋。

当一个点同时绕着一个中心点做圆周运动，并且沿着轴向移动时，它的轨迹就是一个螺旋。

比如我们在螺旋桨上看到的螺旋运动，就是一个典型的例子。

此外，我们还可以通过绘制一系列位置随时间变化的点来模拟点的螺旋运动轨迹。

六、随机运动除了以上几种规则的运动轨迹外，我们还可以遇到一些无规则的运动轨迹，这种运动被称为随机运动。

当一个点在空间中没有任何规律地运动时，它的轨迹就是一个随机的路径。

比如我们看到的飞蛾在夜晚灯光下的飞行轨迹，就是一个典型的随机运动。

圆的轨迹问题，有迹可循，突破难点有绝招动点轨迹问题、最值问题历来是中考的难点和热点。

学生需要在考场短时间思考出动点的运动轨迹确实不是一件容易的事情，如果平时不能有对图形本质的理解和把握，很难在考试中解决此类问题。

在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，一个是圆弧，一个是线段。

它们分别对应不同的知识点。

圆弧上的点到定点的距离等于定长，线段上的点到直线的距离也等于定长。

但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。

而需要我们结合题目中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理方法又是什么呢？首先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平面内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。

我们在理解这个定义时，可从下列几个方面考虑：(1)符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。

(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。

初中阶段会接触到的曲轨迹一般是圆或者圆弧，比如旋转问题中；当然动点也可能在双曲线或者抛物线上运动，这都属于曲轨迹；类型1 圆的问题中隐含圆的轨迹问题1．如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3√3 D．r＝3√2【解析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣1/2（∠HOP+∠OPH）＝135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠DO′O＝90°，O′O ＝3√2．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣√3 B．√3﹣1 C．2 D．√3+1【解析】利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，3．如图，在△ABC中，AC＝4√3，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为．【解析】：如图，连接CE．∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，4．（2020•武汉模拟）如图，⊙O的半径为1，点D为优弧AB上一动点，AC⊥AB交直线BD于C，且∠B＝30°，当△ACD的面积最大时，∠BAD的度数为．【解析】连接OA、OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠B＝60°，则△OAD为等边三角形，所以AD＝OA＝1，而∠C＝60°，利用圆周角定理可判断点C在AD为弦，圆周角为60°的弧上运动，根据三角形面积公式，当C在弧AD的中点时△ADC的面积最大，此时∠CAD＝60°，从而得到∠BAD＝30°．类型2 非圆问题中隐含圆的轨迹问题5．（2019秋•罗湖区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F 分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为．【解析】：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G。

轨迹是圆的动点路径问题（初三）
刘震
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2017(000)012
【摘要】圆的几何定义：在同一平面内,线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一端点所经过的封闭曲线叫做圆.这个固定的端点叫做圆心,线段长叫做圆的半径.圆的轨迹定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.这个定点称为圆心,定长称为圆的半径.
【总页数】2页(P19-20)
【作者】刘震
【作者单位】浙江省衢州市柯城区华墅初级中学,324014
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用拐点圆求动点轨迹的曲率中心
2.对于“动点轨迹是圆”相关问题的教学探索
3.圆都去哪儿呢?——动点轨迹中的圆的存在性问题
4.动点路径迷人眼抓住主动现原形
——中考主从动点路径问题的解题策略5.备课,只是备“课”吗?——以一堂公开课《动点的轨迹,是圆吗》为例
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第一节 常见相似三角形比例中项模型如果说全等三角形是初中几何的入门图形，是几何部分的地基，那么相似三角形便扮演着几何大楼的砖瓦，起着举足轻重的作用。

相似三角形的证明，证明之后的比例关系应用成为相似三角形的重要考点，几何部分的线段计算往往离不开相似三角形的比例关系，利用相似比建立关系式是破解线段计算的良策。

这个专题我们将围绕相似三角形，介绍相似三角形当中的比例关系，揭开旋转相似模型的特点，最后为大家带来“瓜豆原理”进一步去探索旋转相似中的点线关系，破解中考压轴题中的动点轨迹难题．【例1】如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =． （1）求ACB ∠的度数；（2）若4AC =，10AB =，求AD 的长．【例2】如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． （1）DE 是O 的切线吗？请说明理由； （2）求证：2AC CD BE =．【例3】已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ，交BD 于点F ，联结BE ，2ED EA EC =．（1）求证：EBA C ∠=∠；（2）如果BD CD =，求证：2AB AD AC =．【例4】如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，AB AD =，2AB AE AC =． （1）求证：ABE ACB ∠=∠；（2）当8CE =，13BD =，4DE =时，求线段AE 的长．【例5】如图，在ADE ∆中，C 是AD 边上一点，AEC ∠的平分线交AD 于点B ，且DB DE =．求证：2DE DC DA =．【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ∆，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 ．【同步训练】1．如图，在矩形ABCD 中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且90BGC ∠=︒，延长BG 交CD 于点E ，延长CG 交AD 于点F ，当4CD =，1DE =时，则DF 的长为()A ．2B ．32CD ．952．如图，在ABC ∆中，AD 和BE 是高，45ABE ∠=︒，点F 是AB 的中点，AD 与FE ，BE 分别交于点G ，H ，CBE BAD ∠=∠．有下列结论：①FD FE =；②2AH CD =；③22BC AD AE =；④212AD AG AC =．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论： ①APE AME ∆≅∆； ②PM PN AC +=； ③222PE PF PO +=； ④POF BNF ∆∆∽；⑤点O 在M 、N 两点的连线上． 其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②③④⑤D ．③④⑤4．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．5．已知：如图，AB 是O 的直径，点E 为O 上一点，点D 是AE 上一点，连接AE 并延长至点C ，使CBE BDE ∠=∠，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若BD 平分ABE ∠，求证：2AD DF DB =．6．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE FD =，AF 的延长线交BC 的延长线于点H ，AE 的延长线交DC 的延长线于点G ．（1）求证：AFD GAD ∆∆∽；（2）如果2DF CF CD =，求证：BE CH =．7．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE AB =，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．（1）求证：BG GF =；（2）如果2AC AB =，点F 是DE 的中点，求证：2AH GH BH =．第二节 旋转相似模型在平面内，首先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为(,)O k θ，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角．这是2007年南京中考23题给出的“旋转相似变换”的概念．实际上，旋转相似就是位似与旋转的结合，由于四边形连接对角线后的旋转位似与三角形的类似，下面我们就三角形的几种模型为例加以说明．【例1】已知：如图，已知ABC ∆与ADE ∆均为等腰三角形，BA BC =，DA DE =．如果点D 在BC 边上，且EDC BAD ∠=∠．点O 为AC 与DE 的交点．（1）求证：ABC ADE ∆∆∽； （2）求证：DA OC OD CE =．【例2】如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，其中90ABC AED ∠=∠=︒，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M ．对于下列结论：①CAM DEM ∆∆∽；②CD =；③MP MD MA ME =；④22CB CP CM =．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．①③④【例3】如图，已知ABC ∆和AED ∆均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AB 相交于点F ，如果12AC =，4CD =，那么BF 的长度为 ．【例4】如图，ABC ∆中，45BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到△11AB C ，当点1C 、1B 、C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交AC 于点D ，下面结论：①△1AC C 为等腰三角形；②△1AB D BCD ∆∽；③135α=︒；④1CA CB =；⑤1AB B C =中，正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【同步训练】1．如图，等腰直角三角形ABC ，90BAC ∠=︒，D 、E 是BC 上的两点，且BD CE =，过D 、E 作DM 、EN 分别垂直AB 、AC ，垂足为M 、N ，交于点F ，连接AD 、AE ．其中①四边形AMFN 是正方形；②ABE ACD ∆≅∆；③222CE BD DE +=；④当45DAE ∠=︒时，2AD DE CD =．正确结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，Rt AOB Rt DOC ∆∆∽，90AOB COD ∠=∠=︒，M 为OA 的中点，5OA =，12OB =，将COD ∆绕O 点旋转，连接AD ，CB 交于P 点，连接MP ，则MP 的最大值为( )A ．10B ．11C ．12D ．12．53．AOC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示，4OA =，将AOC ∆绕O 点，逆时针旋转90︒得到△11A OC ，11A C ，交y 轴于(0,2)B ，若△1C OB ∽△11C A O ，则点1C 的坐标 ．4．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角ABC ∆和等腰直角ADE ∆，90ABC AED ∠=∠=︒，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M ．求证：（1）~BAE CAD ∆∆；（2）若BC =，32PC =，求PM 长．5．（1）如图1中，ABC ∆为正三角形，点E 为AB 边上任一点，以CE 为边作正DEC ∆，连结AD ．求BEAD的值． （2）如图2中，ABC ∆为等腰直角三角形，90A ∠=︒，点E 为腰AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰直角CDE ∆，连结AD ．求BEAD的值； （3）如图3中，ABC ∆为任意等腰三角形，点E 为腰AB 上任意一点，以CE 为底边作等腰DEC ∆，使DEC ABC ∆∆∽，并且BC =．连结AD ，直接写出BEAD的值．6．如图①，以ABC ∆的两边AB ，AC 分别向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，BE 与DC 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）证明：60DPB ∠=︒；（2）求边BE的长；（3）如图②，若点Q、R分别是等边ABD∆和等边ACE∆的中心，连接AQ、AR、QR，求QR的长．7．几何探究：【问题发现】（1）如图1所示，ABC∆是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是∆和ADE=（选填“相等”或“不相等”)；（请直接写出答案）BD CE【类比探究】（2）如图2所示，ABC∆是有公共顶点的含有30︒角的直角三角形，（1）中的结∆和ADE论还成立吗？请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3所示，ADE∆和ABC∆是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将ADE∆绕点A自由旋转，若BC=B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．第三节 瓜豆原理古语有云：“种瓜得瓜，种豆得豆”。

2021第10题专题——隐圆（一）知识导航1.质点运动特征：运动有相对，主动从动；运动有始末，动静互化；运动有轨迹，或直或曲；运动有不变，动中觅静；运动有数量，常量变量2.轨迹为圆弧的基本形式：定点定长型——到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆；定弦定角型——对已知线段的张角为定值的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于定角的两段弓形弧。

3.确定质点运动路径的常用方法：（1）画图定路径，三点判轨迹；（2）特征定路径，觅静是关键（3）坐标定路径，几何代数化4.辅助圆：适当发现并添出几何图形中的辅助圆，就为圆丰富的性质的运用创造了条件，让复杂难解的几何问题变得简洁明了。

求线段长或最值是隐圆问题的基本模式。

大量线段相等【例1】（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度（2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，则BD的长为_________直角对直径【例2】（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是___________．（3）如图，正方形ABCD中，点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，连接DF，作CE⊥DF于E，连接BE，则BE长度的取值范围是__________【例3】（1）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD 为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是________.（2）如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________.定弦定角类【例4】（1）△ABC 中，∠A＝90°，BC＝1，I 为△ABC 的内心，则△IBC的外接圆的半径为_________.（2）△ABC 中，∠A＝120°，BC＝1，I 为△ABC 的内心，则△IBC 的外接圆的半径为_________.（3）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝2，BD、CE 交于点F，则△BCF 外接圆半径为_________.【例5】（1）如图，点A 是直线y=--x 上的一个动点，点B 是x 轴上的动点，若AB=2，则△AOB 面积最大值为（）A.2 B.12+ C.12- D.22（2）如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点C，则△ABC 的面积的最大值是（）A．3612+B．336+C．3312+D．346+【例6】（1）如图，在动点C 与定线段AB 组成的△ABC 中，AB＝6，AD⊥BC 于点D，BE⊥AC 于点E，连DE．当点C 在运动过程中，始终有22=AB DE ，则C 到AB 的距离的最大值是_________（2）已知∠MON=300，矩形ABCD 的顶点A、D 分别是OM、ON 上的动点，且AD=2，AB=3，则线段OB 长度的最大值为___________【例7】（1）如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE＝弧CP，则AD 的最小值为（）A．1B．2C．2D．2441-（2）如图，边长为3的等边△ABC，D、E 分别为边BC、AC 上的点，且BD＝CE，AD、BE 交于P 点，则CP 的最小值为_________（3）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P 为射线DA 上的一动点，过B，D，P 三点的圆交PC 于点Q，则DQ 的最小值为_____________【例8】（1）（2015武汉元调）如图，在⊙O 中，弦AD等于半径，B 为优弧 AD 上一动点，等腰△ABC 的底边BC 经过点D，若⊙O 的半径等于1，则OC 的长不可能为（）A．23-B．31-C．2D．31+（2）（2014武汉元调）如图，扇形AOD 中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ⊥OD 于Q，点I 为△OPQ 的内心，过O，I 和D 三点的圆的半径为r .则当点P 在弧AD 上运动时，r的值满足（）A．30<<r B．3=r C．233<<r D．23=r【例9】（2017武汉元调）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0），B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A，B和O的对应点分别为点O，C和D．（1）画出△OCD，并直接写出点C和点D的坐标;（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC＝45°．①若点M在x轴上，则点M的坐标为；②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标；（3）若点N满足∠ANC＞45°，请确定点N的位置（不要求说明理由）．备用图配套训练1.△ABC 中，∠A＝60°，BC＝1，I 为△ABC 的内心，则△IBC 的外接圆的半径为______.2.如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD＝5，且AD∥BC，对角线BD＝8，则CD 的长为________3.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE，则CE 的最小值为（）A．213-B．213+C．5D．9164.如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD，则CD 的最小值为__________5.如图，点D 在线段BC 上运动(点D 不与点B、C 重合)，△ABD 和△EDC 为BC 同侧等边三角形，AC 和BE 相交于点F，BC＝3，则△BFC 外接圆半径为_______.6.如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D，则AD 的最小值为（）A．1B．2C．2D．324-7.如图，⊙O 的半径为1，弦AB＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC⊥AP 交直线PB 于点C，则△ABC 的最大面积是（）A．21B．22C．23D．438.已知∠MON=450，矩形ABDC的顶点A、C分别是OM、ON上的动点，且AC=2，AB=1，则线段OB长度的最大值为___________9.如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以3为半径，过B，C两点作⊙O，则线段OA的最大值为_____________10.如图，△ABC为等边三角形，面积为，点P为△ABC内的一动点，且满足∠PAB＝∠PCA，则线段BP的最小值为_____________11.如图，已知以BC为直径的⊙O，A为 BC中点，P为 AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________。