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第3讲_光线传输矩阵

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传输矩阵计算电场分布

传输矩阵计算电场分布

传输矩阵计算电场分布
要计算电场分布，可以使用传输矩阵方法。

传输矩阵是一种用于描述光束在光学系统中传输过程的数学工具，它可以应用于电磁波的传输。

传输矩阵描述了光束经过一个光学元件（如透镜、衍射光栅等）后的变换关系。

对于电场分布来说，传输矩阵可以将初始的电场分布与光学元件之间的相互作用联系起来。

传输矩阵通常用一个2x2矩阵表示，记作M。

对于一个光学元件，其传输矩阵可以通过其折射率、厚度、曲率等参数进行计算。

如果有多个光学元件组成一个系统，可以将各个元件的传输矩阵相乘得到整个系统的传输矩阵。

对于一个初始的电场分布矢量E_in，通过与传输矩阵相乘，可以得到出射电场分布矢量E_out = M * E_in。

这样就可以计算出电场在光学系统中的传输和变换过程。

需要注意的是，传输矩阵方法是基于一些假设和近似条件的，例如，它适用于高频或平面波近似下的电磁波传输。

此外，在应用传输矩阵计算电场分布时，还需要考虑光学元件的非线性效应、衍射等其他影响因素。

综上所述，通过使用传输矩阵方法，可以计算电场在光学系统中的传输和变换过程，以获得电场分布信息。

1。

传输线矩阵解.

传输线矩阵解.

输线方程 一次特征参数
L，C
通解 二次特征参数
W LC ,
L Z0 C
边界条件 确定A１ ，A2
工作参数
, Z,
传输线一般解法
一、传输线段的矩阵解
在上面讨论中已给我们一个重要启示：传输线的 各种应用都可以归结为一段长度？为l的传输线段， 不管是短路、开路或任意负载。
传输线段起到变换的作用，而矩阵理论恰恰是表 征这种变换的最好数学工具。因此，产生了传输线 段的矩阵解思想。
C
U (l)
I
(l )



j
cos 1 sin Z0
jZ0 sin
cos
U (0)
I
(0)

(5-8)
方程(5-8)称为传输线段矩阵。可以说，只需记住这一
矩阵，即可给出大部分传输线公式。我们再一次注意
到推导矩阵(5-8)过程中没有利用任何边界条件。正因
(5-3)
L

dI dz

sJ(s)
I (0)
一、传输线段的矩阵解
I(l)
I(0)
U (l)
U (0)
zl
0
图5-1 传输线段坐标
代入式(5-2)，有
sV (s) jLI(s) U(0) jCV (s) sJ(s) I(0)
(5-4)
一、传输线段的矩阵解
jZ0
Xl

Z0
1

Xl Z0
tan tan

令，tanl

Xl Z0
即可导出
Z(z) jZ0 tan( l )
(5-12)

激光束传输与变换 第三讲

激光束传输与变换 第三讲

2
z const .
(1.4.29)
2 R( z )
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
对于一个点波源(0,0,a)所发出的球 面波,其相位因子为
exp( ikR) exp{ik [( z a) ]
2 2 1/ 2
}
(1.4.30)
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
式中p和q是光束的两个复参数，它们都是 z的函数。p表示复相移，q表示复曲率半 径。
1. 波动方程的基模解
将(1.4.4)式代入方程（1.4.3），可获得
z p i ln 1 q0
(1.4.10) (1.4.11) (1.4.12)
q z q0
q0 i

2 2
x


2 2
y
i 2k
z
0
(1.4.3)
1. Hermit－Gauss光束
• 利用
• 可获得
F
2
dq
i 1 1 1, , i 2 dz dz q q R dp
(1.5.2)
x
2

F
2
y
2
ik F ik F F 1 1 4 2 4 2 i 2k 0 x y 2 R x 2 R y z
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
波面的曲率中心到束腰的距离是
R( z ) z z0 z
2
(1.4.33)
因此,Gauss光束等相位面的曲率中心并 不是一个固定点,它随着光束的传播而移 动.
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点

(整理)传输矩阵法.

(整理)传输矩阵法.

传输矩阵法一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。

如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。

传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。

(a)(b)图1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。

M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。

图2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：1 2 3 4 …… j …… N（1）其中， （2）j δ为相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2. 传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。

从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。

传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。

二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。

而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。

第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵

第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵

能级
图
封离式CO2激 光器结构示意 图
12
3.1 典型激光器介绍
13
3.1 典型激光器介绍
▪ Ar+离子激光器
➢ Ar＋激光器一般由放电管、谐振腔、轴向磁场和回气管等几部分组 成。如下图所示为石墨放电管的分段结构 。
分段石墨结构Ar+激光器示意图
14
3.1 典型激光器介绍
15
3.1 典型激光器介绍
3、不同介质介面（平面）

ro ri 0

ro


0
1 2
ri

1

ro ro



0
0
1 2


ri ri

Байду номын сангаас
由近轴近似，折射定律可以写成
1 sin ri 2 sin ro 1 ri 2 ro
辐射不是基于原子分子或离子的束缚电子能级间的跃磁韧致辐射带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用会作加速运动从而产生辐射当速度接近光速的电子作圆周运动时将会辐射出光子由于这种辐射1947年在同步加速器上被发现的因而被命名为同步辐射synchrotronradiation切伦科夫辐射当电子在介质中运动时如果它们的速度比光在介质中的相速度大电子也会产生光辐射其波长随着电子速度而变化虽然光很弱但却是单色性很好的辐射光
➢ 谱线范围宽 ---目前有数百种气体和蒸气可以产生激光，已经观测到 的激光谱线近万余条，谱线覆盖范围从亚毫米波到真空紫外波段， 甚至 X射线、射线波段。
➢ 光束质量优---工作物质均匀一致保证了气体激光束的优良光束质量， 在光束的相干性、单色性方面优于固体、半导体激光器，如He-Ne 激光的单色性很高，Δλ很容易达到10-9～10-11nm，其发散角只有l～ 2毫弧度。

矩阵光学简介

矩阵光学简介

0⎤ ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
M矩阵中只含有光学系统的参数，称为光学系统的特 性矩阵。
a K ' = Ma1
矩阵光学简介
n ' u '− nu =
n '− n h r
近轴光线的列向量表示
含光轴的平面内，任一近轴光 线可用该光线在参考面上的投 射高度h，以及它与光轴的夹 角u（即孔径角）来表示。为 了表明该光线所在的媒质折射 率n，将n与u的乘积作为一个 参数，称为光学方向余弦。 光线可用列向量a表示： a = ⎢
⎡ 1 ⎡ hK ' ⎤ ⎢ = ⎢ n ' u '⎥ ⎢ nK '− nK ⎣ K K ⎦ ⎢ r K ⎣
⎡ 1 M = ⎢ nK '− nK ⎢ ⎢ ⎣ rK
0⎤ ⎡ d K −1 ⎤ d1 ⎤ ⎡ 1 ⎡ ⎥ ⎢1 − n ' ⎥ ...... ⎢1 − n ' ⎥ ⎢ n '− n K −1 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 1 1⎥ ⎢ 1 ⎦ 1 ⎦ ⎥⎣ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥⎢ ⎦ ⎣ ⎣ r1
⎡ 1 ⎡ h' ⎤ ⎢ ⎢ n ' u '⎥ = ⎢ n '− n ⎣ ⎦ ⎣ r
h = h'
n ' u '− nu =
0⎤ ⎥⎡ h ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣ nu ⎦ ⎦
⎡ 1 ⎡ h' ⎤ ⎢ ⎢ n ' u '⎥ = ⎢ n '− n ⎣ ⎦ ⎣ r
0⎤ ⎥⎡ h ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣ nu ⎦ ⎦
近轴光线的转面关系式， 2×2方阵只含有近轴球面的参 量，称其为近轴光线的转面矩阵，用T简记之。
d ⎤ ⎡ 1 − 1⎥ n1 ' T=⎢ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣0 ⎦

传输线矩阵解


四、应用举例
［解］采用矩阵来求解
1 A 1 R 1 0 0 1 j 1 R j 1 0 2 1 j 1 0 R 1 1 2 R1 R2 1 1 R2 1 1 1 1 R1 R2 R1 1 1 R1
(5-11)
即全驻波任意状态，有
令，tan l
Xl Z0
即可导出
Z ( z) jZ0 tan( l )
(5-12)
这也体现了等效相位的思想。
一、传输线段的矩阵解
3. 式(5-8)是输入端用负载端表示。如果逆过来：负 载端用输入端表示，又有
cos U (l ) I (l ) j 1 sin Z0 jZ0 sin cos
则可知
U1 U 3 I [ AⅠ ][ AⅡ ] I 1 3
(5-15)
二、传输矩阵的普遍理论
推广到N个网络级联，则总的［A］矩阵等于各 ［A］矩阵依次乘积即
U1 I 1
I 1 U 1 N e t

U N [ Ai ] i1 I N 64 4.28442 1| | 7.35561 1| |
四、应用举例
［例2］如图电路表示双管电调pin管衰减器。求输入 驻波比为1时，R1和R2两只管子电阻的约束条件。
Zin=1
R1
Z0=1
R2
Zl=1
l/4
图 5-5
双管PIN电调衰减器
标准状态 短路或小电阻 Rl＜ Z 0
等效长度 z 附加相位 e
j 1 l 2
任意状态
Matrix Process Analysis
一、传输线段的矩阵解

几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换

>0 < 0 <0
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins

第3讲_光线传输矩阵


一个曲率半径为R的球面反射 一个曲率半径为 的球面反射 镜对光线的作用相当于一个焦 距f=R/2的薄透镜 的薄透镜
3.2 复杂光学系统光线传输矩阵
• 例：求解通过长度为d的均匀介质后， 求解通过长度为d的均匀介质后， 再透过一个薄透镜的光线传输情况。 再透过一个薄透镜的光线传输情况。
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
rt = ri + dri ' r ' = r ' i t
ro = rt ro ' = − rt + rt ' f
ro = ri + dri ' r ' = − ri + (− d + 1)r ' 1 i o f f
d 1 = 1 d − + 1 − f f
A = n D sin ϕ − sin( n − 1)ϕ C
B sin ϕ
n
Bn n D
从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间 从推导过程可以看出， 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关， 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为 由前述可知一个半径为R F=R/2的透镜 F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个 的透镜, 焦距分别为R /2和 /2，距离为L 焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透 镜波导， 镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反 射镜系统的稳定条件： 射镜系统的稳定条件：

第三章 高斯光束的光学变换


, ,
, ,
1 , 0 ,
Ln1 1 , n2 M7 n1 0 , n3 特例：当 n1 n3 1, n2 n时
1 , 0 1 , L x2 x2 0 , n2 0 , 1 2 2 n3 0 1 , 0 1 , L x1 n2 0 , n1 0 , 1 n3 n2 1 Ln1 1 , L 1 , 0 n2 x1 x1 n2 n1 0 , n1 1 n3 n2 2 0 , n3
1, x2 即 n2 n1 2 n R , 2
1, 即M 5 n2 n1 , n2 R
0 n1 n2
0 n1 n2
x1 1
（3 8）
（六）光线通过不同介质的平面折射 作为球面的特例，令式（3-8）中R→∝
（4）由公式：
（3 15 ）
求通过透镜变换后的高斯光束的W0和束腰位置d2。 （5）令 z dc d2 ，由步骤（1）
求dc处高斯束的参数WC和RC
第二种方法：高斯光束的q参数变换法
图3-12
方法一 步骤：
1．求输入高斯光束束腰的q参数： q(0) q0 i W02 /
则 2 ( 1 ) 2 1 x1 以 代入上式得： 2x R 2 1 1 R
x2 x1 则有 2 x1 2 R 1
1, x2 2 , 2 R
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• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
– 程函(eikonal)方程：
– 光线的传播方向，就是程函 r 变化最快的方向 – 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方 程），其中 s 为光线上某点到另外一点的长度，而 r 是该点的位置矢量 ：
2 r x y z
1 d r rS 1 d N ' 1 1 r ' r S 1 f1 f1 N
4.1 透镜波导光线稳定条件
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
1 0 1 d 1 0 1 d r rS 1 1 S A B rS 1 ' ' ' 1 1 r 0 1 0 1 r C D r S 1 f1 S S f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
• 将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式
1 rs ' (rs 1 Ars ) B
• 可得到递推关系
1 rs ' B (rs 1 Ars ) 1 rs 1 ' (rs 2 ArS 1) B r ' Cr Dr ' S S 1 S
' o
ro’ ri’ ri ro
R
（1）R>0,凹反射镜 （2）R<0,凸反射镜 （3）R趋于无穷,平面镜
一个曲率半径为R的球面反射 镜对光线的作用相当于一个焦 距f=R/2的薄透镜
3.2 复杂光学系统光线传输矩阵
• 例：求解通过长度为d的均匀介质后， 再透过一个薄透镜的光线传输情况。
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
L L 0 1 1 1 R1 R 2
F2
F1=R1/2
F2=R2/2
F1
4.2 类透镜介质
• 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的 相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同 滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相 当于一个平面的相位变换器。 x2 y 2 2 2 2 A AB AO BO f x y f f 1 f 2 B f
从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为 F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个 焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透 镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反 射镜系统的稳定条件： R1 R2 L L 0 1 1 1 2 f 1 2 f 2 L L L
1 ro ' 2 1 ro R 2
0 ri 1 ' ri 2
R
1
2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
5.球面反射镜
ro ri
2 r ri ri ' R 1 0 r r o i ' 2 ' ro R 1 ri
rs 2 2brs 1 rs 0 1 d d d2 b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 2 2brs 1 rs 0 2 1 d d d b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面） 1 sin ri' 2 sin ro' ' ' 1ri 2ro ri’ ro ri
1 ' ' ro ri 2
ro’ ri ro
1 0 ro ri 1 ' ' ro 0 ri 2
4.2 类透镜介质
• 2.类透镜介质
– – 其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作 状态以及外界泵浦能量有关的常数。
k2 2 2 ( x y ) 的介质称为类透镜介质。 折射率满足 ( x, y ) 0 1 2k 0
– 在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工 作物质内部沿径向产生温度分布：
d A 1 f2 d ) f2 1 1 d C [ (1 )] f1 f 2 f2 d d d D [ (1 )(1 )] f1 f1 f2 B d (2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 1 Ars Brs' ' rs 1 ' Crs Drs
ri 0; ri ' 0
ro 0; ro ' 0
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri
r ri
' o '
'
ro' ri' ri d
Z1 Z2
ro
ro 1 d ri ' ' ro 0 1 ri
1 2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri ri ' R ' ri ro ' R
2 ' 1
'
ro’ ri’ ri ro
2 1 1 ' r ri ri 2 R 2
' o
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 在腔内经过N次往返之后的光线参数为：
rn n r0 T n 0
其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：
n A B 1 A sin sin(n 1) n T C sin C D sin 其中： arccos A D / 2 n n B sin A B n D sin sin(n 1) C Dn
d 2f 3
1 A B 1 C D f
0 1 d 1 0 1
习题
• 试推导厚透镜光线传输矩阵
激光原理与技术·原理部分
第4讲
光线稳定条件 类透镜介质中的光线方程与波动方程
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周 期性排列而成，称为双周期透镜波导。
1 x2 y 2 x2 y 2 f (1 ) f 2 f2 2f
r C f O
– 离轴距离为r的相位提前量为 2 x2 y 2 x2 y 2 r2 k k 0 2f 2f 2f – 经过透镜后的光场
Eout
x2 y 2 Ein exp(ik ) 2f
rt ri dri ' r ' r ' i t
ro rt ro ' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' 1 f f
d 1 d 1 1 f f
S M N f1 S+1
d
f1 f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
从S面到N面的光线传播情况
rM ' rM 1 d rs ' 1 d r 0 1 rs rN s 1 d ' ' 1 0 1 r r r rN N f2 M f 2 s ' 1 ' rN f 1 rM 2 同理，从N面到S面的光线传播情况
r 4, 4 r 5, 5
M1
r 2 , 2 M2
r 3, 3
r1, 1
1 0 1 L 1 0 1 L r1 r5 2 2 2d 0 1 0 1 1 1 1 A 1 5 R1 R2 R2
d d 0 (1 )(1 ) 1 2 f1 2 f2
• 由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透 镜波导，即f1=f2=f； • 相同周期透镜波导的稳定条件为：
0d 4f
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 光线在球面反射镜之间的传播 • 根据光线传播矩阵可以写出第2次 反射后的光线状态为：
T (r ) T 0
折射率随温度发生变化：
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的
D 2 ( x y 2) 4K
n D 2 ( x, y ) 0(T 0) ( x y 2) T 4 K
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。