专题3-平差数学模型与最小二乘原理(实习用—概论与开始统讲)概论
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授课题目:第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法:理论讲授 教学手段:多媒体课件教学;以电子课件为主,投影及板书相结合为辅,使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数:4学时内容提要:主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念;测量平差的函数模型及两种平差的基本方程:条件方程和误差方程式;其它函数模型:附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差,以及平差的随机模型的概念及形态;平差基本方程的线性化,最小二乘原理。
教学要求:理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念,掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理,会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点:重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法,平差随机模型的意义和形态,以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点:教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路:地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系,测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素,如角度(或方向值)、边长、高差的最佳估值,必须满足地理空间几何图形的基本数学关系,这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础,在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立,进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型,并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式,其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项,从而完成线性化;在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上,讲解最小二乘原理,并举例验证,以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结,使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数:0.5学时本节重点:(1)测量元素-—角度(方向)、长度、高差、几何图的数学关系(2)观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用;(3)观测值、改正数、最优改正数、最优估值,平差的概念本节教学思路:以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例,说明测量观测值、平差值、几何图数学关系,平差模型与平差的概念,为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
测量平差讲义第三章:平差数学模型与最小二乘原理本章阐述平差的基本概念,指出:平差数学模型不同,平差方法就不同,但其解是相同的。
平差问题是由多余观测产生的,各类数学模型共同特点是方程数少于未知数个数,所以没有唯一解,只能求特定条件下的特解。
这实际上是参数估计问题。
平差采用的特定条件是最小二乘准则,以后可证明其解符合最优估值的条件。
§3-1 测量平差概述基本概念:1、几何模型:为求某些点的坐标、高程而建立的由角度、边长、高差等观测值和坐标、高程等已知值构成的水准网、导线网、三角网。
2、必要元素是能够唯一确定一个几何模型所必要的元素。
必要元素的个数用t 来表示,通常称为必要观测数。
对于一个确定的几何模型,必要观测数t 是确定的。
t 只与几何模型有关,与实际观测值无关。
例如三角形前方交会确定一个待定点坐标,必要观测数为2,可测两个角、一边一角或两边,都可唯一确定这个几何模型。
但要注意,t 个元素之间必须不存在函数关系,否则实际个数少于t 。
3、多余观测数:设对一个几何模型观测了n 个几何元素,该模型的必要观测数为t ,则:n<t 时,几何模型不能确定,即某些几何元素不能求出。
n=t 时,虽几何模型可唯一确定,但没有检核条件。
即使有错也不能发现,可靠性为零。
测量工作中一般要求必n>t ,此时称r=n-t 为多余观测数,又称自由度。
4、条件方程:一个几何模型若有多余观测值,则观测值的正确值与几何模型中的已知值之间必然产生相应的函数关系,这样的约束函数关系式在测量平差中称为条件方程。
5、闭合差:以观测值代入条件方程,由于存在观测误差,条件式将不能满足。
测量平差中将代入后所得值称为闭合差。
测量平差任务之一,所谓消除不符值,就是合理的调整观测值,对观测值加改正数,达到消除闭合差的目的。
可见消除不符值就是消除闭合差。
§3-2 测量平差的数学模型用数学关系描述几何模型的几何关系和内在联系,称为数学模型。
测量平差中最小二乘法的数学原理及简例张 宏(武汉测绘院,湖北武汉430010)摘 要:测量平差依据的准则是最小二乘法,利用多元函数积分学中的条件极值理论做为工具,可解释其数学原理。
关键词:平差;最小二乘法;条件极值中图分类号:P22 文献标识码:B 文章编号:1004—5716(2007)02—0083—02 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生,不论采用何种平差模型,平差的最终目的都是求取观测值的最或然值,并评定其精度,由于多余观测的而产生的平差数学模型都不可能直接获得唯一解,例如:单三角测量中,分别观测了三角形的三个内角∠A 、∠B 、∠C ,而条件方程的却只有一个,即^A +^B +^C =180°,此时只有一个方程却有三个待求量,显然,有无穷多组解,而测量平差的目的,就是要在这无穷多组解中附加某种约束,找出一组最为合理的解,这种约束是采用某种准测实现的,其中最广泛采用的准则就是最小二乘原理。
所谓最小二乘原理,就是在满足∑ni =1V 2i =min 的前提下,解出观测值的估值,参照上面的例子,设^A =∠A +V a ,^B =∠B +V b ,^C =∠C +V c (式中^A 、^B 、^C 为观测值的真值,∠A 、∠B 、∠C 为观测值,V a 、V b 、V c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的改正值)那么所求出来的改正值要在满足V a +V b +V c =180-(∠A +∠B +∠C )=w 的条件下,同时又满足∑ni =1V 2i =min ,很明显,这是一个多元函数的条件极值问题,高等数学中求解条件极值的方法称为拉格朗日乘子法,其原理推导复杂,有兴趣的读者可参考相关书籍,这里只讲其应用。
平差问题形式上千变万化,公式烦琐,令人眼花缭乱,但依据最小二乘原理,实质上也只有一句话,将理论闭合差w 分成n 个数V 1,V 2……V n 之和,如何分法才能使V 21+V 22……V 2n =min 。