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三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
用均值不等式证明不等式【摘 要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。
要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。
【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧均值不等式设 n a a a 、、、 21 是 n 个 正数 ，则不等式)()()()(a Q a A a G a H ≤≤≤称为均值不等式[1]．其中na a a na H 111)(21+++=，nn a a a a a a G 121)(=，na a a n A n+++=21)(，na a a n Q n22221)(+++=分别称为 n a a a 、、、 21 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例1 设1a 、2a 、…、n a 均为正，记)()(2121nn na a a na a a n n -+++=ψ试证：)1()(-≥n n ψψ，并求等号成立的条件．证明 由所设条件，得)1()(--n n ψψ=)1)(1()(11211212121-----++---+++n n n nn na a a n a a a n a a a na a a n=11211212121)1()(-=--++++--+++n n n n n n a a a n a a a a a a n a a a=n n n n n a a a n a a a n a 12111121)())(1( --+--，将)()(a A a G ≤应用于n 个正数：n a ，个）（11112111121)(-----++n n n n n a a a a a a ，有 11112112(1)()()n n n n n a n a a a a a a n--+-≥ ，即11112112(1)()()n n n n n a n a a a n a a a --+-≥ ．所以)1()(-≥n n ψψ，当且仅当11121)(--=n n n a a a a ，即1121n n n a a a a --= 时等号成立．此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信息找n a a a 、、、 21 的一类题． 例2 设0=++z y x ，求证：32222333)()(6z y x z y x ++≤++． 证明 当0===z y x 时不等式显然成立．除此情况外，z y x 、、中至少有一正一负．不妨设0<xy ，因为)(y x z +-=，所以22222333233354)](3[6])([6)(6zy x y x xy y x y x z y x I =+-=+-+=++=．若由此直接用)3()()(=≤n a A a G ，只能得到较粗糙的不等式32223222222)(2)3(5454z y x zy x z y x I ++=++≤=，如果改用下面的方法，用)()(a A a G ≤，便得32322222)22(3222162221654xy z z xy xy zxy xy zy x I +=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅==， 再注意到xy z xy y x y x 22)(2222+=-+=+，因而222222z y x xy z ++=+，于是即得欲证的不等式．此题解题的关键在于构造n a a a 、、、 21通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3 设0>x ，证明：64122222xxx⋅≥+．(第16届全苏数学竞赛试题[2])证明 此不等式的外形有点像均值不等式． 由)()(a A a G ≤，得24124124122222222xx xxxx+⋅=⋅⋅≥+，又612141121412)(2x x x xx =≥+，即得要证的不等式．结语有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。
均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、 常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。
解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y1212211)1(=-+≥-++++=a a a x ax a 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号成立，1min =∴y2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
利用均值不等式证明不等式不等式是数学中常见的一种重要关系，均值不等式是常用的一种证明不等式的方法。
本文将通过利用均值不等式证明一些常见的不等式。
1. Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是说对于任意的实数或复数序列a1，a2，...，an和b1，b2，...，bn，有如下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+anb2)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)证明：首先，令A=a1^2+a2^2+...+an^2，B=b1^2+b2^2+...+bn^2，C=a1b1+a2b2+...+anb2根据均值不等式，有(A/n)(B/n) ≥ (C/n)^2，即AB ≥ C^2、因此，(a1b1+a2b2+...+anb2)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
2.三角不等式三角不等式是说对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b。
证明：首先，令A=，a，B=，b，C=，a+b。
根据均值不等式，有(A+B)/2≥C/2，即A+B≥C。
因此，a+b，≤，a，+，b。
3.平均不等式平均不等式是说对于任意正数a1，a2，...，an，有如下不等式成立：(1/n)*(a1+a2+...+an) ≥ (a1a2...an)^(1/n)证明：首先，令A=a1+a2+...+an，B=(a1a2...an)^n，C=n^(n-1)。
根据均值不等式，有(A/n)(B/n) ≥ C/n，即AB ≥ C。
因此，(1/n)*(a1+a2+...+an) ≥ (a1a2...an)^(1/n)。
通过利用均值不等式，我们可以证明上述三个常见的不等式。
均值不等式是数学中一个重要的工具，在证明不等式时十分有用。
常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。
由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。
对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。
由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。
即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。
简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。
均值不等式的证明(精选多篇)常常利用均值不等式及证明证明这四种平均数知足hn?gn?an?qn?、ana一、a二、?r?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常常利用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab(4)对实数a,b，有a?a-b??b?a-b?a2?b2?2ab?0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2?b2?c2?ab?bc?aca?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方式很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?bn注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0 (用数学归纳法)。
当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak用归纳假设下面介绍个好理解的方式琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数所以，在圆顶用射影定理证明（半径不小于半弦）第二篇：均值不等式证明均值不等式证明一、已知x,y为正实数，且x+y=1求证xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2当且仅当xy=1/xy时取等也就是xy=1时画出xy+1/xy图像得01时，单调增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方式为何不是用均值不等式证的法二：证xy+1/xy≥17/4即证4(xy)²-17xy+4≥0即证(4xy-1)(xy-4)≥0即证xy≥4，xy≤1/4而x,y∈r+，x+y=1显然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得证法三：∵同理0xy+1/xy-17/4=(4x²y²-4-17xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4试问如何叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0三、一、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)二、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数知足hn≤gn≤an≤qn的式子即为均值不等式。
琴生不等式高中证明方法篇一：琴生不等式是数学中的一个重要不等式，它可以用来表示函数的极大值或极小值。
在高中阶段，琴生不等式的证明是一个重要的知识点，下面我们将介绍几种常用的证明方法。
方法一：利用均值不等式证明琴生不等式首先，我们需要了解均值不等式的概念：对于任意实数序列{a1, a2, ..., an},有∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))其中，f(x) 和 g(x) 是任意两个函数，a1, a2, ..., an 是实数。
利用均值不等式，我们可以证明琴生不等式。
设 f(x) = x^2,g(x) = 1/x,则∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))化简得∫[f(x)]n dx ≥ (an)^2/[n(n-1)]因此，当 n = 2 时，琴生不等式成立。
方法二：利用琴生不等式的特例证明琴生不等式琴生不等式可以表示为：对于任意实数序列{a1, a2, ..., an},有∫[f(x)]n dx ≥ f(a1) + f(a2) + ... + f(an) - n(n-1)a1a2...an(g(a1) + g(a2) + ... + g(an))其中，g(x) = 1/x 当 x > 0 时，g(x) = 0 当 x <= 0 时。
我们可以利用琴生不等式的特例来证明琴生不等式。
设 f(x) = x^2,g(x) = 1/x,则∫[f(x)]n dx = 1/x^2[1 + 1/x + 1/x^2 + ... + 1/x^(2n-2)]当 x > 0 时，g(x) = 1/x,则 1/x^2[1 + 1/x + 1/x^2 + ... + 1/x^(2n-2)] >= 1/(n-1)x^(2n-2)因此，当 n = 2 时，琴生不等式成立。
伯努利不等式用均值不等式证明给你说说“均值不等式”是个啥玩意儿。
说白了，它就是：如果你有一堆数，算算这些数的平均值，结果肯定比所有数中最小的那个大，也比最大的那个小。
简单的说，就像你有一堆糖果，最多的那颗糖肯定比平均每颗糖重，而最少的那颗糖肯定比平均每颗轻。
这不就是在生活中经常听到的“有得必有失”吗？不过，这个“不等式”虽然看似简单，却是数学中的一颗“宝石”，它的力量可不小。
现在，要想用“均值不等式”来证明伯努利不等式，咱们得来点“套路”，但你别怕，我不打算绕你。
咱们先从这个式子出发：((1+x)^n) 要证明它是一个“增大”的函数，也就是说，随着 (x) 增加，整个式子会越来越大，OK？既然要证明它的增大，我就得从它的一些属性入手，不能光“凭空想象”。
咱们先想象一下，咱们有一个函数：(f(x) =(1+x)^n)，对不对？根据均值不等式的魔法，只要咱们对这个函数做点变形，顺利套进去，那就差不多能搞定了。
想象一下，你把这个式子拆开，把它转化成这样一个大集合：(1 + x), (1 + 2x), (1 + 3x), ..., (1 + nx)，好啦，这时候你就可以看出，均值不等式已经可以发挥作用了。
大家都知道“平均值”肯定是在某种程度上“看透”了所有数的。
嗯，就是这么个道理。
好了，咱们开始变魔术！按照均值不等式，大家的心里应该都明白一个道理，哪怕这些数有高有低，但它们的平均值是个“公道”的数字。
于是，咱们就能得到这样一个“不等式”：(1+x)^n geq 1 + nx，这就是伯努利不等式的雏形。
怎么样？是不是有点意思？说白了，就是伯努利不等式告诉你，指数型增长真是个“老大难”，它比线性增长要厉害得多。
看起来，伯努利不等式就像是数学界的一颗小星星，但它的影响力可是大得惊人！它能帮咱们解决很多复杂问题，比如在经济学中，它告诉我们，投资收益的“复利”效果比单利效果要好得多；再比如在概率论里，它也能用来证明一些复杂的极限问题。
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
均值不等式及其应用均值不等式是初中数学中一种很重要的概念，被广泛应用在各个领域中，特别是在概率论、数论、统计学和实际问题中，都有着广泛的应用。
在本文中，我们将会介绍均值不等式的概念以及其在实际问题中的应用。
一、均值不等式的概念均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算数平均数总是大于等于它们的几何平均数。
它的数学表达式为：若a1,a2,…,an≥0，则有:(a1+a2+…+an)/n≥(a1 * a2 * … * an)^(1/n)其中，a1,a2,…,an均为非负实数，/代表除法，*代表乘法，n代表a1,a2,…,an的个数。
这个不等式有时候也被称为算术平均值和几何平均值的不等关系。
二、均值不等式的应用1.求最大值和最小值在某些问题中，通过均值不等式，可以得到最大值或最小值。
例如，求函数f(x)=1/x在[1,2]上的最大值。
首先，我们可以对f(x)求导得到f’(x)=-1/x^2，然后将其置于均值不等式中，得到：1/2=(1+1/4)/2≥(1/x+1/y)/2化简后得到：xy≥4，因此，f(x)=1/x的最大值为f(2)=1/2。
2.证明不等式均值不等式可以用来证明某些不等式，特别是在不等式的证明中，一般都采用归纳法、绝对值法、平方和法、插叙法、套路变形法等方法来完成。
例如，我们来证明对于任意的正整数n，都有1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)≥ln(n+2)-1。
证明：首先，将1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1写成一个和式，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1＝1/2+（1/3-1/2）+（1/4-1/3）+…+（1/n-1/n-1）+1/n+1＝（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+（1/n-1/n+1）+1/n+1＝1/2-1/(n+1)接着，将该式和ln(n+2)-ln2相加，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n+1/(n+1)+ln(n+2)-ln2＝1/2-1/(n+1)+ln(n+2)把该式与等式(1)做比较，我们发现不等式成立。
高中数学均值不等式证明过程在高中数学中，均值不等式是一种重要的数学定理。
它是用来比较几个数的平均值的大小关系的定理。
下面我将通过证明过程来介绍这个定理。
我们来看均值不等式的基本形式。
对于任意给定的正实数a1，a2，…，an，它们的算术平均数A和几何平均数G满足以下不等式：A ≥ G其中，算术平均数定义为这些数的和除以它们的个数，几何平均数定义为这些数的乘积的n次方根。
现在我们来证明这个不等式。
假设n=2，也就是只有两个数a1和a2。
根据算术平均数和几何平均数的定义，我们有：A = (a1 + a2) / 2G = √(a1 * a2)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：(a1 + a2)^2 / 4 ≥ a1 * a2化简后得到：a1^2 + 2a1a2 + a2^2 ≥ 4a1a2继续化简得到：a1^2 - 2a1a2 + a2^2 ≥ 0这是一个平方差的形式，可以写成：(a1 - a2)^2 ≥ 0由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。
因此，当n=2时，均值不等式成立。
接下来，我们来证明当n=k时，均值不等式也成立。
假设对于任意的k个正实数a1，a2，…，ak，均值不等式成立。
即：(a1 + a2 + … + ak) / k ≥ √(a1 * a2 * … * ak)现在，我们考虑n=k+1的情况。
即有k+1个正实数a1，a2，…，ak，ak+1。
我们可以将a1，a2，…，ak的和记作S，即S=a1 + a2 + … + ak。
对于这k+1个数，它们的算术平均数记作A，几何平均数记作G。
根据定义，我们有：A = (S + ak+1) / (k + 1)G = √(a1 * a2 * … * ak * ak+1)为了证明A ≥ G，我们可以将不等式两边平方，得到：A^2 ≥ G^2展开计算后得到：[(S + ak+1) / (k + 1)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1化简后得到：[(S + ak+1)^2] / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1再继续化简得到：(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1接下来，我们将右边的乘积展开，得到：a1 * a2 * … * ak * ak+1 = (a1 * a2 * … * ak) * ak+1然后，我们利用假设，将左边的不等式中的(S^2 + 2Sak+1 + ak+1^2) / (k + 1)^2替换成(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2，得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ (a1 * a2 * … * ak) * ak+1继续化简得到：(S / k) * (S / k) + 2(S / k) * (ak+1 / k) + (ak+1 / k)^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1这是一个平方和的形式，可以写成：[(S / k) + (ak+1 / k)]^2 ≥ a1 * a2 * … * ak * ak+1由于平方的结果永远是非负的，所以不等式成立。
均值不等式教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值； 教学难点： 利用均值不等式的证明。
1. 算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一： 均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。
答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二： 均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285C ．5D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)．a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S 解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元 答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11 答案：D7. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________． 答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．2 3 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x 的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x ≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋2 6综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98. (1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0， ∴10－51<n <10＋51， 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n )≤40－2×14＝12，当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)． ②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
1，利用均值不等式证明不等式（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记12111n nn H a a a =++⋅⋅⋅+n G =12nn a a a A n ++⋅⋅⋅=n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。
有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=。
先证n A n =当n=k+1n a ≤≤1111=i k i k a A +==+ +∑∑111111(1)(11).1ki i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++⎛⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-+-==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 11111.1k k k k k k kk kA G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。
原不等式成立。
.n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈kk 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：++++1+11++==.iii i ii aaa A G ===≥≥=∑∑∑k 1k k 1k k 1k 12222kk2k 1222222+,k N ∀∈k 即，对当n=2时，结论成立。
假设1t ttA G t ++证法三：0.k b =>令：111)k k k k k k b b b ----++≥11kkk k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]nn nk nnk k k nk k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当:上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：（1）()13a a b b+≥-，(0)a b >>（2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z >证明（1）()1a a b b +-()()1a b b a b b =-++-3≥=当且仅当()10a b b a b b -==>-，即2,1a b ==取等号。
<=z例2：若,,a b c R +∈且1a b c ++=证明：左边16343≤==例3：已知12,,n a a a ⋅⋅⋅是正数，满足121n a a a ⋅⋅⋅⋅= 求证：()()()122223nn a a a ++⋅⋅⋅+≥（89年联赛试题）证明：11211a a +=++≥22a +≥2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：11111231n n n ++⋅⋅⋅+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有1111231n n n ++⋅⋅⋅++++ ()()()()()()22221211123121n n n n n n ++≥==++++⋅⋅⋅++显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
例5111n m -⋅⋅⋅⋅⋅个1≤∵例61212n ∴()()()()()()121111112111n a a a n -++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅-+12n a a a =⋅⋅⋅于是11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅++11112n++⋅⋅⋅+ =11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+12111na a a +++⋅⋅⋅+112123111n na a a a a a a -++=+++⋅⋅⋅+n ≥≥而1112n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭12123n n -⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭所以12123n n-++⋅⋅⋅+≤11223n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=≥=证明 左边=(1)(1)(1)3()()()a b c b c a c a b +++++-+++ ()()()()()()3()()()a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=++-+++3≥3=322233ab bc caabc⋅⋅≥-3233=⨯-=.注:本题多次利用了均值不等式本题也可以由2()a bc c caa b c a b ab bc+=++++∑∑∑,再处理.例9：已知,,,+∈R c b a 求证：.43)()()(3322322322≥+++++b a c a c b c b a分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：3)()(22))((22)(22)(333323322c b c b a ac b c b a ac b a ac b a ++++≥++⋅=+=+cb a a ++•=343 ① 同理可得cb a ba cb ++•≥+332243)( ② cb ac b a c ++•≥+332243)( ③将①、②、③三个零件不等式相加，得332232232243)()()(≥+++++b a c a c b c b a 注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。
例10：如图△ABC 及其内接△DEF 分原三角形所得△AEF 、△BDF 、△CDE 中，至少有一个三角形的面积不大于原△ABC 面积的（这里所指△ABC 的内接三角形DEF ，是顶点D 、E 、F 分别在△ABC 三条边上的三角形）证明：如图，设△ABC 三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，且AE=e ，AF=f ，BD=m ，BF=n ，DC=p ，EC=q ，逆用公式，并注意到,于是有， ，， 更注意到若S △CDE 、S △AEF 、S △BDF 皆大于S △ABC 的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=⋅⋅⋅，1p ≥，1111npi im ==+∑， 求证：()121n pn m m m n ⋅⋅⋅≥-证明：令11i pi x m =+，则1pi i i x m x -=，且11ni i x ==∑ ∴12111i i i n x x x x x x -+-=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()11111n i i n n x x x x --+≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴()()()121212111n pp p nnx x x m m mx x x --⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ()()1111121211nn n n n nnnn x x x n -----⋅⋅⋅≥=-∴()121npn m m m n ⋅⋅⋅≥-说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,,a b c R +∈，求证：n n n p q r q r p r p qa b c a b c a b c a b c ++≥++，其中,,,n N p q r ∈都 是非负整数，且p q r n ++=分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：2,1,0p q r ===，即先证明()3332221a b c a b b c c a++≥++，该不等式关于,,a b c 轮换对称，不妨设a b c ≥≥，则左－右()()()322a a b b b c c c a =-+-+-()()()222a a b b b c c c b b a =-+-+-+-33333a a a ab a a b +=≤22,33b c c a c a ++≤以上三个式相加即得p q rnnnnnnp pa a b c a a b b c c =≤个q个r个q rpnnnnnnn qa a b c a a b b c c =≤q 个r个p个rp qnnnnnnra a b b c c ≤r 个p个q个以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角,,αβγ满足222cos cos cos 1αβγ++=，求证：tan tan tan αβγ≥分析与解：由已知222cos cos cos 1αβγ++=，立即联想到长方体得对角线公式： 2222a b c l ++=，令cos ,cos ,cos a b cl l lαβγ===，l = 以,,a b c 为棱构造长方体，则易知：tan aaα=≥，同理：tan b bβ=≥，tan γ=≥ 22tan tan tan 2bccaababcαβγ∴≥= 上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结论不等式中观察到什么呢？由3tan tan tan αβγ≥=，即是三个不等式相乘的结果，就可以再变化为：3sin sin sin cos cos cos αβγαβγ≥，这样也无需构造长方体模型，而采用下面的证法：由222cos cos cos 1αβγ++=，知α 例14： 证明 令（1）t ≤∴()g t ≥（2）t >()g t ∴≥≥2222t t≥ 6.= 点评 注意到(1)6f -=，故先作代换1t x =+，使()f x 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t =时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。
例15：设,,,a b c d 为正实数，且满足ab bc cd da +++=1求证：3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++13证明：由均值不等式得：311812a b c d b c d ++++≥++2a=从而3121812a a b c d b c d ++≥--++ 同理3121812b b a c d a c d ++≥--++ 3121812c c a b d a b d ++≥--++所以,例abc c b a c c b b a a )(2111333222222++≥-+-+-⇔ +-+++-++⇔2222222222)()(b b c b a a a c b aabc c b a c c c b a )(2)(33322222++≥-++ 222222222c b a b c a a c b +++++⇔abc c b a )(2333++≥ ①++++⇔)()(22222222c a c a c b c b ).(2)(3332222c b a abc b a b a ++≥+由均值不等式得c ab a b c b a b c b 42424242422=⋅≥+， 44242424222abc c a c b c a c b =⋅≥+，c a 24(22c b 例:17： 次化。
