高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)

课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

北师大版高一数学必修1第二章函数教案生活中变量关系与函数的概念教学目标：通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、探究新知：学生阅读教材内容和区间的概念及写法，完成以下填空和问题．在初中学习过的函数实际上描述了两个变量之间的某种依赖关系：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有与之对应，此时y是x的函数，这两个变量x、y分别称为和。

．通过课本中实例1、2、3我们可以看到并非所有的依赖关系都有函数关系。

只有两个变量满足什么样的依赖关系时，才具有函数关系？．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h与时间t的变化规律是.t与h是否有函数关系？二、抽象概括函数的概念：归纳：从实例1、2、3我们可以看到有函数关系的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x 的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。

显然，值域是集合B的子集。

例题讲解：一次函数y=ax+b的定义域是R，值域也是R；二次函数的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。

反比例函数的定义域是，值域是。

四、课堂训练：．已知函数①求的值；②当a>0时，求的值。

求函数的值域教材练习2五、课堂小结函数的本质含义是定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。

高一数学反函数一．课题：反函数（1） 二．教学目标：1．使学生理解反函数的；2．弄清原函数与反函数之间的三要素的关系，特别是它们的定义域与值域的关系； 3．会求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。

三．教学重点、难点：1．使学生在了解反函数的概念的基础上，理解互为反函数的对应法则的互逆性； 2．弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系；3．通过求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。

四．教学过程： （一）复习引入1．特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。

2．特殊的映射：一一映射()2x f x x →=2()B x g x x →→=对于,f g 这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？那么这两个映射能不能构成B 到A 的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么B 到A 的映射所确定的函数与原函数又有何关系呢？3．引例：在物理上，学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即s vt =与st v=（其中速度v 是常量）在s vt =中，位移s 是时间t 的函数。

在st v=中，时间t 是位移s 的函数。

在这种情况下，我们说函数st v=是函数s vt =的反函数。

在函数2y x =（)R x ∈中，x 是自变量，y 是x 的函数。

从函数2y x =中解出x ，就可以得到式子=x 21y )(R y ∈。

这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子=x 21y ，x 都有唯一的值和它对应。

这就说明了，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数。

这时，我们就说=x 21y )(R y ∈是函数2y x =（)R x ∈的反函数。

由此，我们可给出反函数的定义。

（二）新课讲解1．反函数定义：一般的，函数()()y f x x A =∈中，设它的值域为C 。

我们根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=。

高中数学教学备课教案函数的反函数与函数的应用高中数学教学备课教案函数的反函数与函数的应用导言：函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

本教案将重点介绍函数的反函数及其应用。

通过引入实际问题，学生将会深入了解函数与反函数之间的关系，以及函数在实际生活中的应用。

一、函数的反函数概念与性质1. 函数的反函数定义函数的反函数是指原函数的输入与输出互换的一种关系。

若函数f(x)的定义域为X，值域为Y，且对于任意y∈Y，当且仅当x∈X时，f(x)=y成立，则函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)，其定义域为Y，值域为X。

2. 反函数的图像反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。

3. 反函数的性质反函数是一种一一对应关系，也就是说，函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)满足互逆关系。

二、函数的反函数求解方法1. 已知函数求反函数的方法对于已知函数y=f(x)，可以通过以下步骤求解反函数：a) 将y=f(x)中的x和y互换得到x=f^(-1)(y)；b) 解出x=f^(-1)(y)即为函数f(x)的反函数。

2. 特殊函数的反函数求解对于一些常见的函数，可以通过特定的求解方法得到它们的反函数，如指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些特殊函数。

三、函数的反函数与函数的应用1. 函数的反函数在方程求解中的应用函数的反函数可用于解决一元方程问题。

通过将方程转化为函数形式，再利用反函数的性质，可以简化方程的求解过程。

2. 函数的反函数在图形对称中的应用函数的反函数与原函数的图像关于直线y=x对称，这一性质可用于描述图形的对称性。

通过分析函数及其反函数的图像，并结合实例，可以帮助学生更好地理解函数图形的对称关系。

3. 函数的反函数在实际问题中的应用函数的反函数在实际生活中有着广泛的应用。

以消费者需求与价格关系为例，可以通过函数和反函数来描述价格对需求的影响，进而帮助企业制定合理的价格策略。

四、教学实施方案1. 教学目标a) 了解函数的反函数的概念与性质；b) 能够求解已知函数的反函数；c) 掌握函数的反函数在方程求解、图形对称及实际问题中的应用。

课 题：2.4.3 反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.授课类型：练习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系：)(x f y =与)(1x f y -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数；)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数二、讲解例题：例1 求函数y=x x-+11(x ≥0，x ≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-y x =1+x ，即x =(y-1)/(y+1)--①, ∵x ≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y ≥1,⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]2,⑶∴原函数的反函数是)(1x f -= [(x-1)/(x+1)]2（x<-1或x ≥1）； 说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x ≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例2 设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数. 分析：这里给出了分段函数，即在不同的x 范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x 范围内求其反函数.解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);⑵当x ≥0时，y=2x ，由y=2x (x ≥0)得x=y ,又y=2x (x ≥0)的值域为y ≥0，∴y=2x (x ≥0)的反函数是y=x (x ≥0).⑶由⑴⑵可得)(1x f -=⎩⎨⎧≥<)0()0(x x x x .例3 已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值. 解：⑴由213-+=x x y (x ≠2)解出x=312-+y y ， ∵原函数的值域是y ≠3, ∴213-+=x x y (x ≠2)的反函数是312-+=x x y (x ≠3,x ∈R). ⑵由互为反函数的函数关系知，312-+=x x y 与c x b ax y ++=是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.例4 若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a,b 的值.分析：求a,b ，就要有两个关于a,b 的方程，如何寻求？①A(1,2)在)(x f 图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在)(x f 的反函数的图象上呢？其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则'A (2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=)(x f ，则(b,a)应满足y=)(1x f -，反之亦然.解：由A(1,2)在)(x f =b ax +上，则有2=+b a --①；由A(1,2)在其反函数图象上，可知'A (2,1)也在函数)(x f =b ax +图象上，∴又有12=+b a --②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x f y -=．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式． 解：令t x =+1，则1-=t x ，2)1(-=t x ，代入所给表达式，得=)(t f 2)1(-t +22)1(-t =12-t ， 0≥x ，∴t x =+11≥，即原来函数是)1(1)(2≥-=x x x f ．易求函数)1(1)(2≥-=x x x f 的反函数是 1)(1+==-x x fy )0(≥x ． 注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．三、练习： 1．求函数y=⎩⎨⎧<+≥+)0(1)0(12x x x x 的反函数.解：当x ≥0时，y ≥1，由y=x2+1得x=1-y ( y ≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y 对换得y=)(1x f -=⎩⎨⎧<-≥-)1(1)1(1x x x x .说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2． 已知函数)(x f =1+32-x 有反函数，且点(a,b)在函数)(x f 的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b 的值.解：∵点(a,b)在函数)(x f 的图象上，∴b=1+32-a ---①,又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数)(x f 的图象上，∴有a=1+32-b ---②，联立①②解得a=b=2.四、小结 本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题五、课后作业：1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=)(1x f -=x/2，它的定义域为[0,+∞); ⑵),0[(2+∞∈=x x y 及其反函数)0(21≥=x x y 的图象如右图所示.4.∵y=x/5+b 的反函数为y=5x-5b ，由已知y=ax+3是y=x/5+b 的反函数，∴函数y=x/5+b 与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数)(x f =x|x|+2x 的反函数. (提示：讨论x ≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)答案：)(1x f -=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x x x x 六、板书设计（略）七、课后记：)0活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

课 题：2.4.2 反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y);②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A (?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x 与因变量y 之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①)(23R x x y ∈-=的反函数是(32R x x y ∈+= ②)(3R x x y ∈=的反函数是(3R x x y ∈=1．探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是)(x f y =则当x=a 时，)(x f 有唯一的值b a f =)(.∵)(x f y =有反函数)(1x fy -=， ∴当x=b 时，)(1x f -有唯一的值a b f=-)(1， 即点'M (b,a)在反函数)(1x f y -=的图象上.若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得：PM=22)()(c b c a -+-,P 'M =22)()(c a c b -+-，∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线，∴点M, 'M 关于直线y=x 对称.∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点，∴)(x f y =图象上任意一点关于直线y=x 的对称点都在它的反函数)(1x f y -=的图象上，由)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数可知，函数)(1x f y -=图象上任意一点关于直线y=x 的对称点也都在它的反函数)(x f y =的图象上，∴函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1．求函数)0(2<=x x y 的反函数,关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,∴由y=2x 解出y x -=,∴函数)0(2<=x xy 的反函数是)0(>-=x x y , 作 y=2x (x ∈(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x 的对称曲线，即为函数)0(>-=x x y 的图象（如图）.例2．求函数2385-+=x x y 的值域． 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35} 例3 已知)(x f =211x -(x<-1)，求)31(1--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=211x-，∴2x =y y 1---①，∵x<-1，∴x=-y y 1-;⑵∵x<-1，由①式知yy 1-≥1,∴y<0; ⑶∴)(1x f -= -xx 1-(x<0)；⑷)31(1--f =-2. 分析：由y=)(x f 与y=)(1x f-互为反函数的关系可知：当y=)(x f 中的x=a 时y=b ，则在y=)(1x f -中,当x=b 时y=a ，本题要求)31(1--f ，设其为u ，说明在函数)(x f =y=211x -(x<-1)中，当y=31-时，x=u ，问题转化为知原来函数中的y=31-而求x. 解法2：令211x-=31-，变形得2x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=)(x f 的反函数为y=)(x g ，求y=)(x f -的反函数.解：在函数y=)(x f -中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=)(1y f-, ∴x=-)(1y f -，∴y=)(x f -的反函数为y=-)(1x f-， 又∵)(x g = )(1x f -,∴y=)(x f -的反函数为y=-)(x g .五、小结 本节课学习了以下内容：1.互为反函数的函数图象间关系，2.求一个函数的反函数图象的方法，3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4：2答案与提示：2.y=)(1x f -=22521x -,x ∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴)3(32-≤-=x x y ；⑵y=2x -6x+12(x ≤3);⑶y=2--x (x ≤-2). ⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b ，求a,b 的值.答案：⒈ ⑴y=-32+x (x ≥0); ⑵y=3-3-x (x ≥0); ⑶y=-2x -2(x ≥0). ⒉a=31,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

教案设计高中数学《反函数》一、教材分析1.教学内容本节教材内容涉及反函数的概念，反函数的求法。

函数从本质上讲是函数，原函数与反函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

2.本节教材地位与重要性“反函数”一节课是《高中数学》第一册的重要内容。

这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

3.重点与难点重点：反函数的概念及反函数的求法。

理解反函数概念并求出函数的反函数是高一数学教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。

难点：反函数概念的接受与理解。

学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。

教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。

4.课时安排本节内容将安排1课时时间完成教学。

二、教学目标知识目标：○1理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；○2掌握反函数的求法，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；能力目标：通过观察、分析、抽象、推理得出数学规律，培养学生的数学意识。

通过作图，加强学生对数形结合的数学思想的理解，训练学生自主地获取知识的能力，和在所学知识的基础上进行再创新的能力。

情感目标：使学生树立对立统一的辩证思维的观点。

三、教法与学法分析1.教法分析根据本节课的内容及学生的实际水平，将采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。

引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

函数概念教学设计（一）概念引入师：对于函数概念，同学们并不陌生。

现在，请大家回忆一下，初中数学中的函数是怎么定义的？生：在一个变化的过程中，一个变量随着自变量的改变而改变，即变量X一旦改变，则Y 也随之改变。

师：这是你理解的函数概念，要原原本本的叙述出函数的定义，对你来说可能有些困难。

在课前了解，同学们通过课前预习，并根据以往自己的理解，对函数概念做出了描述，其中不乏真知灼见。

（出示一些学生课前的描述：（1）函数是一种描述因变量随自变量改变的数学概念，到目前为止，主要学习了常值函数、反比例函数、一次函数和二次函数，函数可以用图像表示。

（2）函数分为一次函数和多次函数，每个自变量都有自己对应的因变量。

（3）形如y=ax,y=x+a,y=x^2+a,y=ax^2+bx+c,y=x^a,....,总之有自变量、因变量、且对于一个X有且仅有一个Y的值与其对应的式子。

（4）一个变量用另一个的代数式表示。

......师：同学们普遍认为函数是一个代数式，这样的认识实际上与历史上数学家的认识十分相似。

瑞士著名数学家欧拉在《无穷分析引论》中给出函数定义是：（出示幻灯片）一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。

欧拉这个定义影响深远。

近百年之后，英国数学家德摩根在他的《代数学基础》中还给出如下定义：（出示幻灯片）Any expression which contains X in any way is a function of X.清代数学家李善兰在翻译德摩根的这本书时，将上述定义译为：（出示幻灯片）凡式中含X，为X之函数。

这便是中文“函数”名称的由来。

可见，历史上函数的解析式定义是非常深入人心且广为流传的。

（二）概念生成1.从解析式到变量依赖关系接下来，教师通过实例，凸显函数“解析式”定义局限性，创造学生认知冲突，体会完善函数概念必要性。

师：然而，随着时代的发展，生活需要，人类又会面对新的问题。

第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1 函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．(教师用书独具)●教学建议函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．●教学流程复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量⇒新课讲解，给出函数的概念及其表示方法⇒完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解⇒给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】没有依赖关系．不是函数关系．2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，但不是函数关系．3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？【提示】初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？【提示】因变量y随自变量x的变化而变化．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．1.区间：设a ，b 是两个实数，而且a <b ，规定如下表：这里实数a ，b 都叫作相应区间的端点． 2．无穷大的概念及无穷区间：下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (3)商品的销售额与广告费之间的关系； (4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系h ＝12gt 2，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．(1)下列说法不正确的是( ) A ．依赖关系不一定是函数关系 B ．函数关系是依赖关系C ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 也是变量m 的函数D ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 不一定是变量m 的函数(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x 千克，小麦总产量y 千克，则( ) A ．x ，y 之间有依赖关系 B ．x ，y 之间有函数关系 C ．y 是x 的函数 D ．x 是y 的函数【解析】 (1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A 、B 正确．若变量m 是变量n 的函数．因为满足函数关系的自变量n 对因变量m 可以是多对一，此时若把m 换成自变量，n 换成因变量，显然对于m 的每一个取值，会有多个n 与之对应，所以变量n 不是变量m 的函数．(2)虽然小麦总产量y 与每亩施肥量x 之间存在依赖关系，但小麦总产量y 还受气候、管理等其他因素的影响，所以x ，y 之间无函数关系．【答案】 (1)C (2)A下列对应关系是否为A 到B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝R ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x .【思路探究】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【自主解答】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数；(3)A 中元素负数没有平方根，故在B 中没有对应的元素且x 不一定为整数，故此对应关系不是A 到B 的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A 、B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列说法正确的是( ) A ．f (x )＝1－x ＋x －2是函数B ．A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝±x ，则f 是从集合A 到集合B 的一个函数C ．A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，f ：x →y ＝x 2，则f 是从A 到B 的一个函数 D ．y 2＝x 是函数【解析】 对于A ，由于⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x －2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≥2无解，所以f (x )不是函数．对于B ，对集合A 中的元素4，在B 中有2个元素与之对应，不是函数． 对于D ，当x ＝4时，y ＝±2两个值与之对应，不满足函数定义． 对于C ，A 中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念． 【答案】 C求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2x ＋3；(2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)y ＝1－x 21＋x.【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．【自主解答】 (1)函数f (x )＝2x ＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.所以函数f (x )＝x －1·4－x ＋2的定义域为{x |1≤x ≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x ≠0，解得x ≠－1. 所以函数y ＝1－x21＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于y ＝x 0要求x ≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x.【解】 (1)当x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，3x ＋2有意义，∴函数f (x )＝3x ＋2的定义域是[－23，＋∞)．(3)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1}∩{x |x ≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).求定义域时盲目化简函数解析式致误求函数f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x 的定义域．【错解】 f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x ＝x ＋1－1－x .要使函数有意义，需满足． 1－x ≥0，即x ≤1.故f (x )的定义域为(－∞，1]．【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化． 【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】 要使函数f (x )有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1且x ≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{ y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由函数的定义，M 中任意一个x ，N 中都有唯一y 对应，故(1)(2)(4)正确． 【答案】 C2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3.【解析】 A 、C 、D 的定义域均不同． 【答案】 B3．(2012·四川高考)函数f (x )＝11－2x 的定义域是________．(用区间表示) 【解析】 由题意，需1－2x >0，解得x <12.故f (x )的定义域为(－∞，12)．【答案】 (－∞，12)4．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4， (1)求函数f (x )的定义域；(用区间表示) (2)求f (－1)，f (12)的值．【解】 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.一、选择题 1．已知f (x )＝x －1x ＋1，则f (2)＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】 f (2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝ x 2x 和g (x )＝xx2【解析】 A 中y ＝x －1定义域为R ，而y ＝x 2－1x ＋1定义域为{x |x ≠1}；B 中函数y ＝x 0定义域{x |x ≠0}，而y ＝1定义域为R ； C 中两函数的解析式不同；D 中f (x )与g (x )定义域都为(0，＋∞)，化简后f (x )＝1，g (x )＝1，所以是同一个函数． 【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )图2－2－1【解析】 水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快． 【答案】 B 4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1,2] D ．[1，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 【答案】 A 5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R)的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1] 【解析】 由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1， 即0<y ≤1. 【答案】 B 二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 【解析】 结合区间的定义知， 用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)． 【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.【解析】 由f (a )＝2，得41－a＝2，解得a ＝－1. 【答案】 －1 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x，求：(1)函数f (x )的定义域； (2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，(1)计算f (a )＋f (1a)的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2， 所以f (a )＋f (1a)＝1.(2)法一 因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝ 12 21＋ 122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝ 13 21＋ 13 2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝ 14 21＋ 142＝117， 所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二 由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.(教师用书独具)求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)． 【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．【自主解答】 (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]． (3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1， ∴1<1＋1x ＋1<2，∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2)．求函数值域的常用方法1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y ＝ax ＋bcx ＋d(c ≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．(1)函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6] D ．[－3，＋∞)【解析】 函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．【答案】 C (2)函数y ＝2xx ＋1的值域为________． 【解析】 ∵y ＝2x x ＋1＝2 x ＋1 －2x ＋1＝2－2x ＋1， 又∵2x ＋1≠0，∴y ≠2. ∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ≠2}． 【答案】 {y |y ≠2}知识拓展 函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．如求函数y ＝1x 2＋2的值域时，若令u ＝x 2＋2，则y ＝1u(u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0<y ≤12，所以函数y ＝1x 2＋2的值域为(0，12]．(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，因为y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，我们可以令x ＝t (t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如y ＝cx ＋d ax ＋b 的函数，可将其变形为y ＝k ＋hax ＋b的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．例如：求函数y ＝1－x2x ＋5的值域．由于y ＝1－x 2x ＋5＝－12 2x ＋5 ＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12.所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为{y |y ∈R ，且y ≠－12}．2．2 函数的表示法(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法．(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数． (3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法 ●重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．(教师用书独具)●教学建议教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．●教学流程创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4.【提示】如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？ 【提示】 能．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ∈{1，2，3，4，5}，25＋ x －5 ×4.5，x ∈{6，7，8，9，10}.2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？ 【提示】 不能．在函数的定义域内，如果对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.作出下列函数的图像．(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)．【思路探究】 用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(1) (2) (3)(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y＝|x2＋3x－4|的图像．【解】作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．(1) (2)(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求函数f (x )的解析式．(2)若f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 (1)由于f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f (x )是一次函数，可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，依题意知，f [f (x )]＝4x －1，所以k (kx ＋b )＋b ＝4x －1， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，k ＋1 b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)法一 (换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二 (配凑法)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1，x ≥1.1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式； (2)根据题设求待定系数．2．已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t ＝g (x )，然后求出f (t )的解析式，最后用x 代替t 即可．(2)配凑法：可通过配凑把f [g (x )]的解析式用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(1)已知f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式为________． (2)已知2f (x )＋f (1x)＝x ，求f (x )．【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，由题意得f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1. (2)∵2f (x )＋f (1x)＝x ，以1x 代替x 得2f (1x )＋f (x )＝1x，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f 1x＝x ，2f 1x ＋f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －13x ，∴f (x )＝23x －13x.【答案】 (1)f (x )＝3x －1 (2)f (x )＝23x －13x已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．【思路探究】 由f (x )的解析式令x ＝－1求出f (－1)及f (f (－1))的值，进而求出f (f (f (－1)))的值．【自主解答】 x ＝－1<0，∴f (－1)＝0，f (f －1))＝f (0)＝π， f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； 2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．(1)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥0 ，－2x x <0 ，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 (1)f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝139.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1＝10，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)； 当x <0时，f (x )＝－2x ＝10，解得x ＝－5.综上得x ＝－5或3.【答案】 (1) (2)－5或3忽略变量的实际意义而致误如图2－2－2所示，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x ，所以y ＝12x.故所求的函数表达式为y ＝12x，其图像如图所示．【错因分析】 没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．【防范措施】 从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．【正解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x.因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的图像．1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v 是关于刹车时间t 的函数，其图像可能是()【解析】 刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C ，D ；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B ，故选A.【答案】 A2．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )等于( ) A ．3 B ．3x C ．3x ＋6 D ．6x ＋3 【解析】 由已知，得f [g (x )]＝6x ＋3 ＝3(2x ＋1)＝3g (x )， 所以f (x )＝3x . 【答案】 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x，x <0，则f [f (12)]＝________.【解析】 f (12)＝(12)2－1＝－34，故f [f (12)]＝f (－34)＝1－34＝－43.【答案】 －434．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．【解】 (1)列表法：。

北师大版高中必修1第二章函数课程设计一、前言《高中数学必修1》是我国普通高中数学必修课程中的重要内容之一。

其中，第二章函数是整个数学必修1课程中的首个章节，也是学生在高中阶段接触最广泛的数学内容之一。

因此，本文档将针对北师大版高中必修1第二章函数的课程设计进行总结和分析。

二、课程目标2.1 知识目标•理解函数的概念和符号表示•掌握常见函数的概念、图像和性质•能够正确使用函数概念解决简单的应用问题•熟练掌握复合函数和反函数的概念和性质2.2 能力目标•培养学生的分析问题、解决问题和推理能力•提高学生对数学概念和符号的认知和理解•培养学生的独立学习能力和团队协作精神三、课程安排3.1 第一节课：函数和图像3.1.1 课程目标•学生理解什么是函数、函数的符号表示以及如何画出函数的图像•学生掌握一些常见函数的图像和性质•培养学生的观察能力和描述能力3.1.2 课程内容1.函数的概念和符号表示2.函数的图像1.一次函数2.平方函数3.反比例函数4.正比例函数3.常数函数和绝对值函数4.给定一个式子画出函数图像3.1.3 课程设计本节课的课程设计主要包括以下几个方面：•通过教师课前讲解，让学生对函数的概念有初步的认知和了解。

•通过多媒体和展示板展示各种函数图像，并进行详细解释和说明。

•让学生对图像进行观察和描述，帮助学生更好地理解函数的性质和规律。

•派发练习题，让学生在课堂上或者课后自主完成，巩固所学内容。

3.2 第二节课：常见的初等函数3.2.1 课程目标•学生理解初等函数的概念和性质•掌握初等函数的图像和基本性质•学生能够使用初等函数解决简单的应用问题•培养学生的逻辑思维和运算能力3.2.2 课程内容1.初等函数的概念和分类2.常见初等函数的图像和性质1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数3.2.3 课程设计本节课的课程设计主要包括以下几个方面：•通过讲解初等函数的概念和分类，让学生更好地理解初等函数的性质。

⎧§2.2函数的表示法教学目标：1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。

教学重点：函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。

教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。

请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：1.列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？2.这三种表示法各有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示)列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量用图像把两个变量间一个函数的对应关系可以用间的函数关系表示出来的方的函数关系表示出来的方自变量的解析式表示出来的方法法法不必通过计算就能知道两可以直观地表示函数能叫便利地通过计算等手段优个变量之间的对应关系，比的局部变化规律，进而可研究函数性质点较直观以预测它的整体趋势缺只能表示有限个元素的函有些函数的图像难以一些实际问题难以找到它的点数关系精确作出解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。

下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。

例1、请画出下列函数的图像。

y=x=⎨x,x≥0⎩-x,x≤0(m)/g0<m≤20解：图像为第一和第二象限的角平分线，y如图2-5所示0x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。

高中数学反函数教案一、教学目标1. 理解函数与反函数的概念，能够求解反函数；2. 掌握反函数的性质和求解方法；3. 能够应用反函数解决相关问题。

二、教学重点1. 函数与反函数的概念；2. 反函数的求解方法；3. 反函数的性质。

三、教学内容1. 函数与反函数的概念- 函数的定义和表示：定义域、值域、映射关系；- 反函数的定义：对任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，则称y关于x的函数为f的反函数，记为$f^{-1}$(y)。

2. 反函数的求解方法- 交换x和y的位置，并解出y，得到反函数表达式；- 注意判断反函数的存在性和唯一性。

3. 反函数的性质- 函数与反函数互为反函数；- 函数与反函数的图像关于y=x对称；- 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。

四、教学过程1. 导入：通过实例引入函数与反函数的概念，让学生理解反函数的概念。

2. 讲解：介绍函数与反函数的定义、求解方法和性质，引导学生掌握。

3. 练习：设计反函数的求解问题，让学生灵活运用反函数的概念来解决问题。

4. 总结：归纳反函数的概念和性质，让学生总结学习内容。

五、教学案例已知函数$f(x)=2x+1$，求其反函数。

解：设反函数为$y=f^{-1}(x)$，则有$y=2x+1$，交换x和y的位置可得$x=2y+1$，解出y 得$y=\frac{x-1}{2}$，因此，函数的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。

六、课堂练习1. 已知函数$f(x)=3x-2$，求其反函数；2. 若函数$g(x)$的反函数为$h(x)$，求$f(x)=\frac{1}{g(x)}$的反函数。

七、作业布置1. 完成课堂练习；2. 预习下节课内容，复习反函数的概念和性质。

八、教学反思本节课重点介绍了函数与反函数的概念、求解方法和性质，通过实例讲解和课堂练习，学生基本掌握了反函数的相关知识。

下节课将继续深入探讨反函数的应用和拓展，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。

反函数性质总结教案一、反函数的定义在高中数学中，小学时我们就学习了函数。

函数是一种数学关系，可以对应一个自变量和一个因变量，把自变量的某个值代入函数中，就可以得到相对应的因变量的值。

反函数就是将函数的自变量和因变量两个变量的角色调换，得到一个新的函数。

例如，对于一个函数y = 3x + 2，我们可以把自变量x看作输入，因变量y看作输出，如果我们把输入x代入函数中得到的输出y是一个确定的唯一值。

如果我们反过来，把因变量y作为输入，自变量x作为输出，我们得到的就是一个新的反函数x = (y-2) / 3。

二、反函数的性质1.反函数是一个对称轴在函数和反函数之间，自变量和因变量的角色是相反的，相当于一条直线将自变量和因变量分隔开来。

这条直线称为“y = x”线，因为当自变量的值与因变量的值相等时，这条直线是它们的交点。

由于函数和反函数是通过将这条直线翻转得到的，所以这条直线是反函数的对称轴。

2.反函数和原函数在对称轴处的交点处对称反函数和原函数通过对称轴进行反射得到，因此当一条直线与对称轴相交时，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。

这就是说，对于原函数和反函数，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。

3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称因为原函数和反函数的图象是通过对称轴进行反射得到的，所以互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称。

三、反函数的求法在我们学习反函数的时候，需要掌握如何求反函数。

我们可以通过如下的四步来求一个函数的反函数：1.将函数中的自变量和因变量调换；2.把调换后的式子用y来表示；3.把y与x进行换位，然后解出y；4.把y和x交换位置，得到反函数的表达式。

例如：如果有一个函数 y = 2x - 3，我们要求它的反函数，可以按照以下步骤：1.将自变量x和因变量y调换，得到 x = 2y - 3；2.将式子用y表示，得到 y = (x + 3) / 2；3.将y与x换位，得到 x = (y + 3) / 2，然后解出y，得到 y = 2x - 6；4.将y和x交换位置，得到反函数为 x = 2y - 6。

高中运用反函数的方法教案教案标题：高中数学运用反函数的方法教案目标：1. 了解反函数的概念及其在数学中的应用。

2. 掌握高中数学中常见函数及其反函数的性质和特点。

3. 运用反函数的方法解决实际问题。

教学重点：1. 反函数的概念及其性质。

2. 常见函数及其反函数的性质和特点。

3. 运用反函数的方法解决实际问题。

教学难点：1. 理解反函数的概念及其性质。

2. 运用反函数的方法解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、反函数的相关练习题。

2. 学生准备：学生课本、笔记本。

教学过程：Step 1：导入新知识1. 引入反函数的概念，通过举例子解释什么是反函数。

2. 提问学生：你能给出一个函数及其反函数的例子吗？Step 2：讲解反函数的性质1. 通过教学课件，讲解反函数的性质，包括定义域、值域、图像、性质等。

2. 强调反函数与原函数的关系，以及它们之间的互逆性。

Step 3：探究常见函数及其反函数的性质和特点1. 选择几个常见函数，如线性函数、二次函数、指数函数等，讲解它们的反函数的性质和特点。

2. 引导学生思考：反函数与原函数的图像有何关系？它们之间的性质有何异同？Step 4：运用反函数的方法解决实际问题1. 给出一些实际问题，如速度与时间的关系、投射物的高度与时间的关系等，让学生运用反函数的方法进行求解。

2. 引导学生分析问题，确定函数及其反函数的关系，建立数学模型，解决实际问题。

Step 5：巩固与拓展1. 给学生一些练习题，让他们巩固所学的知识。

2. 鼓励学生自主探究其他函数及其反函数的性质和特点。

Step 6：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调反函数的重要性和应用。

2. 针对学生的学习情况，进行评价和反馈，鼓励他们继续深入学习反函数的知识。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多函数及其反函数的性质和特点。

2. 引导学生运用反函数的方法解决更复杂的实际问题。

教学资源：1. 教学课件：包括反函数的概念、性质和实例。

高一数学教案：反函数性质的应用【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家整理了此文高一数学教案：反函数性质的应用，供大家参考!本文题目：高一数学教案：反函数性质的应用反函数性质的应用只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。

因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。

现在看一下反函数性质的应用。

⒈利用反函数的定义求函数的值域例1：求函数y= 的值域。

分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。

解：由y= 得y(2_+1)=_-1(2y-1)_=-y-1_=∵_是自变量，是存在的，⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用例2：已知f(_)=4 -2 ，求f (0)。

分析：要求f (0)，只需求f(_)=0时自变量_的值。

解：令f(_)=0，得4 -2 =0，2 (2 -2)=0，⒊原函数与反函数的图像关于直线y=_对称的应用例3：求函数y= (_ (-1，+ ))的图像与其反函数图像的交点。

分析：可以先求反函数，再联立方程组求解;也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=_对称求解，这里用后一种方法求解。

只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=_上。

解：由得或⒋原函数与反函数的单调性相同的应用例4：已知f(_)=2 +1的反函数为f (_)，求f (_)0的解集。

分析：因为f(_)=2 +1在R上为增函数，所以f (_)在R上也为增函数。

又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f (_)中的_的范围就是f(_)的范围。

解：由f(_)=2 +11得f (_)中的_1。

又∵f (_)0且f(_)=2 +1在R上为增函数，⒌原函数与反函数的还原性即 _及 =_的应用例5：函数f(_)= (a、b、c是常数)的反函数是 = ，求a、b、c的值。

分析：本题可以利用 =_，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于a、b、c的方程组，即可求解。