最新第4讲.竞赛123班.教师版(1)

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最第4讲移多补少【专题导引】如果有两组数量不同的物体，怎样才能使它们同样多呢？通过观察、比较，找出哪组多，多几个，然后把多的一部分平均分成两份，其中一份补给少的那一组，这样两组物体的数量同样多，这样做就是移多补少。

在解决移多补少的问题时，要弄清在怎样的情况下才变得同样多，这里要移走的数量实际就是相差的数量的一半，这样才能顺利地解决问题。

【典型例题】【B1】比一比，哪一行的★多？怎样移才能使两行★的颗数同样多？★★★★★★★★★★解答：第一行★多，把第一行一个★移动到第二行，两行一样多。

【试一试】想一想，怎样移，两行○的个数同样多？○○○○○○○○○○○○解答：第二行2个移动到第一行，两行一样多。

【B2】移一移：（1）从第一行拿1个爱心放到第二行，两行爱心的个数同样多，第二行应摆几个？第一行摆：□□□□第二行摆：□□（2）从第二行拿2个爱心放到第一行，两行的爱心个数同样多，第二行应摆几个？第一行摆：□□□□第二行摆：□□□□□□□□【试一试】移一移：（1）从第一行拿1个○放到第二行，两行个数相等，第二行应该摆几个？第一行摆：○○○○○第二行摆：○○○（2）从第二行拿2个○放到第一行，两行个数相等，第二行应放几个○？第一行摆：○○○○○第二行摆：○○○○○○○○○【B3】妈妈买了两袋牛奶糖，第一袋有10颗，第二袋有4颗，要使两袋颗数相等，应该怎么办？解答：第一袋中拿3颗放入第二袋中，两袋7颗相等。

【试一试】小朋友排队，第一队有12人，第二队有6人，要使两队人数相等，应该怎么办？解答：第一队3个人到第二队去，两队9人相等。

知识总结典型例题1如图，2如图，3如图1如下图，已知2如图1如图，在凹四边形2如图，3如图，知识总结典型例题题型：三角形-外角角分线如图所示，1如图，点两个外角平分线的交点，如果23如图，在D.如图，已知射线41如图，2如图，，三、数学万花筒帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。

任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。

任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。

因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没有选择余地了。

任意锐角三角形内作高任意钝角三角形内作高既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三角形的内角和是都是180°。

这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明方法中的任意三角形有本质的不同。

四、巩固加油站三角形>三角形及多边形>多边形>题型：不规则图形的多角求和题型：三角形内角的应用两个外角平分线的交点，如果D.。

第4讲比比比的意义及各部分的名称前项按比例分配问题比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变(1)先求总份数；(2)再求每部分占总数的几分之几；(3)最后用乘法求出每部分是多少。

比的基本性质后项比号比值知识点一：比的意义、各个部分的名称1.两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示。

2.在两个数的比中，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商叫做比值。

3.比的前项，后项和比值分别相当于除法算式中的：被除数，除数和商；分别相当于分数中的：分子、分母和分数值。

比的后项不能是0。

知识点二：比的基本性质和化简比1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

2.化简比的方法：（1）化简整数比时，前、后项同时除以最大公因数。

（2）化简分数比时，前、后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简。

（3）化简小数比：先把前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再化简。

知识点三：按比分配按比分配的解题方法：方法一：把比看作份数之比。

先求每份是多少，再求几份是多少。

解题步骤：①求出总份数；②求出一份是多少；③求出各部分的数量。

方法二：把比转化成分率。

利用分数乘法解答。

解题步骤：①求出总份数；②求出各部分占总量的几分之几；③求出各部分的数量。

考点一：比的意义、各个部分的名称【例1】在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．【思路分析】如果a：b＝d，则a是比的前项，b是比的后项，d是比值，所以在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．【规范解答】解：在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．故答案为：前项，后项，比值．【名师点评】本题主要考查了比的各部分的名称．1．（2016秋•五河县期末）3÷24＝1：8＝0.125．【思路分析】把0.125化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝1：8；根据分数与除法的关系＝1÷8，再根据商不变的性质被除数数、除数都乘3就是3÷24．【规范解答】解：3÷24＝1：8＝0.125．故答案为：3，8．【名师点评】解答此题的关键是0.125，把0.125化成分数并化简，根据分数与小数、除法、比之间即可解答．2．（2011•儋州）甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的．正确．【思路分析】甲数与乙数的比是2：3，写出比例为：甲数：乙数＝2：3＝，根据比与除法的关系，也可以写成：甲数÷乙数＝，所以可以说成甲数是乙数的；因此判断为正确．【规范解答】解：因为甲数：乙数＝2：3＝，所以甲数÷乙数＝，所以甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的；故判断为：正确．【名师点评】此题考查比与分数、除法的关系，解决此题关键是先求出甲、乙两个数的比的比值，进而把比转化成除法算式，问题得解．3．（2019春•邹城市期末）5÷8＝＝15÷24＝0.625（填小数）【思路分析】根据商不变的性质，5÷8的被除数、除数都乘3就是15÷24；根据分数与除法的关系5÷8＝，再根据分数的基本性质分子、分母都乘7就是；5÷8＝0.625．【规范解答】解：5÷8＝＝15÷24＝0.625．故答案为：35，24，0.625．【名师点评】此题主要是考查除法、小数、分数之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转化即可．考点二：比的基本性质和化简比【例2】（2019秋•铜官区期末）在3：2中，如果前项加上6，要使比值不变，后项要加上4．【思路分析】在3：2中，如果前项加上6，由3变成9，相当于是前项乘上3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘上3，由2变成6，也就是2加上4．据此进行填空．【规范解答】解：在3：2中，前项加上6，由3变成9，是前项乘上3；根据比的性质，要使比值不变，后项也要乘上3，由2变成6，也就是后项2加上4．故答案为：4．【名师点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变．1．（2017秋•巴东县期末）把a：7（a≠0）的前项乘3，比值不变，后项应该是21；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是【思路分析】比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变；据此解答．【规范解答】解：把a：7（a≠0）的前项乘3，比值不变，后项应该是7×3＝21；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是a÷7＝．故答案为：21，．【名师点评】此题考查比的性质的运用．2．（2016•罗平县校级模拟）5：6的前项增加10，要使比值不变，后项应增加12．【思路分析】根据5：6的前项增加10，可知比的前项由5变成15，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成18，也可以认为是后项加上18﹣6＝12；据此进行选择．【规范解答】解：比的前项：5+10＝15，由5变成15，相当于前项乘3；要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成6×3＝18，即后项加上18﹣6＝12．答：后项应增加12．故答案为：12．【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．3．（2019•福田区）5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应该加上10．【思路分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；据此分析解答．【规范解答】解：5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项也应扩大3倍，由5变成15，也就是前项应该加上15﹣5＝10；故答案为：10．【名师点评】此题主要利用比的性质解决问题，只有比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才会不变．考点三：按比分配【例3】在一场篮球比赛中，甲队全场共得了99分，上半场和下半场所得分数的比是5：4．甲队下半场得了44分．【思路分析】上半场和下半场得分的比是5：4，则下半场得分占全场共得分的，用全场共得分乘下半场得占的比率即可得甲队下半场得了多少分．【规范解答】解：99×＝99×＝44（分）答：甲队下半场得了44分．故答案为：44．【名师点评】本题考查了比的应用，关键是得出下半场得分占全场共得分的．1．用84cm长的铁丝围成一个直角三角形，这个直角三角形三边长度的比是3：4：5．这个直角三角形的面积是294cm2．【思路分析】根据“三角形三条边的长度的比是3：4：5”，可知这个三角形的两条直角边分别占了周长的和，三角形的周长是84厘米，求出两条直角边的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．【规范解答】解：84×＝21（厘米）84×＝28（厘米）21×28÷2＝294（平方厘米）答：这个直角三角形的面积是294平方厘米．故答案为：294．【名师点评】本题的重点是根据按比例分配的知识求出这个三角形的两条直角边是多少，再根据三角形的面积公式进行计算．2．（2020•中原区）在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．【思路分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（1+2+3）份，用除法即可求出1份（∠A）的度数．∠A是这个三角形中最小的角，要想把这个三角形按角分类，还须求出这个三角形撮大角∠C的度数，用∠A的度数乘3就是∠C的度数，然后根据∠C的度数即可对这个三角形按角分类．【规范解答】解：180°÷（1+2+3）＝180°÷6＝30°30°×3＝90°答：∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．故答案为：30，直角．【名师点评】此题主要考查了三角形内角和定理、按比例分配、三角形（按角）的分类．3．（2017•长沙）有A、B两条绳，第一次剪去A的，B的；第二次剪去A绳剩下的，B绳剩下的；第三次剪去A绳剩下的，B绳剩下的，最后A剩下的长度与B剩下的长度之比为2：1，则原来两绳长度之比是10：9．【思路分析】本题要分别算出A、B两条绳剪三次之后还剩下原来的几分之几，最后通过剩下的部分之比算出原来长度之比．【规范解答】解：（1）a绳第二次剪去：（1﹣）×＝，第三次剪去：（1﹣﹣）x＝，a绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；（2）b绳第二次剪去：（1﹣）×＝，第三次剪去：（1﹣﹣）×＝，b绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；（3）最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2：1，那么两绳长度的比为：（2÷）：（1÷）＝10：9故答案为：10：9．【名师点评】完成本题要细心，一步步求出最后剩多少，再求出原来的比．一．选择题（共6小题）1．（2020•蕲春县）甲走完一段路要0.25小时，乙走完这段路要25分钟，甲与乙的速度比是（）A．1：1B．4：5C．3：5D．5：3【思路分析】首先把0.25小时化成分钟数，用0.25乘进率60得15分，把这段路的总长看作单位“1”，先分别求出速度，进一步写比并化简比即可．【规范解答】解：0.25×60＝15（分）：＝（×75）：（×75）＝5：3答：甲与乙的速度比是5：3．故选：D．【名师点评】本题的关键是根据“时间、路程、速度”三者之间的关系求出速度，再写比，最后利用比的基本性质化成最简比．2．（2020•无锡）钟面上，分针与秒针的转动速度的比是（）A．1：12B．60：1C．1：60【思路分析】1分＝60秒，分针转1个小格，秒针就转60个小格，所以分针和秒针的转动速度的比是1：60；据此解答即可．【规范解答】解：分针转1圈，秒针转60圈，所以其速度比是1：60；故选：C．【名师点评】本题重点是明白时间单位中分和秒的关系．3．（2020•徐州）用两根绳子测量同一口井的深度，第一根绳子有露在井口外面，第二根绳子有露在井口外面，那么第一根绳子与第二根绳子的长度比是（）A．5：3B．3：5C．5：6D．6：5【思路分析】首先根据第一根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第一根绳子的长度×（1﹣）＝第一根绳子的长度×；再根据第二根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第二根绳子的长度×（1﹣）＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×．然后把第一根绳子的长度看作比的一个外项，第二根绳子的长度看作比的一个内项，那么比的另一个外项是，比的另一个内项是，构造出比例，再化简，求出第一根绳子与第二根绳子的长度比是多少即可．【规范解答】解：这口井的深度＝第一根绳子的长度×（1﹣）＝第一根绳子的长度×；这口井的深度＝第二根绳子的长度×（1﹣）＝第二根绳子的长度×；第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度：第二根绳子的长度＝＝（）：（×15）＝12：10＝6：5答：第一根绳子与第二根绳子的长度比是6：5．故选：D．【名师点评】此题主要考查了比的意义和应用，要熟练掌握．4．（2020•安新县）一种糖水，糖与水的比是1：4，再加入20克含糖率是20%的糖水，那么含糖率将（）A．不变B．下降C．升高D．无法确【思路分析】先求出糖与水的比是1：4的糖水的含糖率，然后再判断加入20克含糖率是20%的糖水混合后的糖水的含糖率的变化情况．【规范解答】解：1÷（1+4）×100%＝0.2×100%＝20%再加入20克含糖率是20%的糖水后，含糖率将不变．故选：A．【名师点评】完成本题要认真审题弄清含混合后糖率的的高低，然后进一步作出选择．5．下面说法中错误的是（）A．一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9B．一杯糖水，糖占糖水的，水和糖水的比是9：10C．一杯糖水，糖是水的10%，糖占糖水的D．一杯糖水，糖占糖水的，糖是水的10%【思路分析】一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9；一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10；一杯糖水，糖是水的10%，10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的；一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%．【规范解答】解：A、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9（原题说法正确）；B、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10（原题说法正确）；C、10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的（原题说法错误）；D、把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%（原题说法正确）．故选：C．【名师点评】解答此题的关键是根据题意把糖看作1份，求出相对应的糖水、水所占的份数．6．一个长方形的周长是36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积是（）m2．A．20B．80C．160D．320【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，长方形的周长除以2就是长方形的长、宽之和，把这个长方形的长、宽平均分成（5+4）份，先根据除法求出1份的长度，再分别求5份（长方形长）、3份（长方形宽）各是多少厘米，然后再根据长方形面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的面积．【规范解答】解：（36÷2）÷（5+4）＝18÷9＝2（cm）（2×5）×（2×4）＝10×8＝80（cm2）答：这个长方形的面积是80cm2．故选：B．【名师点评】解答此题的关键是根据按比例分配求出这个长方形的长、宽．二．填空题（共6小题）7．（2020•嵩县）直角三角形中两个锐角的比是4：5，这两个角的度数分别是40度和50度．【思路分析】因为一个直角三角形的两个锐角的度数之和为90度，它们的度数之比为4：5，求出这两个角的度数分别占90度的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．【规范解答】解：90°×＝40°90°×＝50°答：这两个角的度数分别是40度和50度．故答案为：40、50．【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．8．（2020•盐城模拟）一个钝角等腰三角形，相邻两个角的度数比是4：1，顶角是120°．【思路分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，这个钝角等腰三角形三个角度数的比是4：1：1（如果是4：4：1，顶角不可能是钝角），再根据三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（4+1+1）份，先根据除法求出1份的度数，再用乘法求出4份（这个钝角等腰三角形的顶角）度数．【规范解答】解：180°÷（4+1+1）＝180°÷6＝30°30°×4＝120°答：顶角是120°．故答案为：120°．【名师点评】此题应用的知识点：钝角三角形的意义、等腰三角形的特征，按比例分配．9．（2020•浦城县）连接长方形长和宽的中点（如图）．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是1：7．【思路分析】如图，通过作辅助线可以看出，相当于把长方形的面积看作单位“1”，把平均分成8份，基本阴影部分占1份，根据比的意义即可写出围成的阴影部分面积与空白部分的面积比．【规范解答】解：如图连接长方形长和宽的中点．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是1：7．故答案为：1：7．【名师点评】通过作辅助线，即可看出阴影部分面积与空白部分面积的比．10．（2020•林西县）两个圆的半径分别是3cm和5cm，这两个圆直径的比是3：5，面积的比是9：25．【思路分析】根据题意分别求出两个圆的直径和面积，然后再求比即可．【规范解答】解：由题意知，分别求出两个圆的直径并求比：2×3：2×5＝3：5；分别求出两个圆的面积并求比：π×32：π×52＝9：25；故答案为：3：5，9：25．【名师点评】此题考查了根据半径求圆的直径比和面积比．11．（2020•荥阳市）红花朵数的等于黄花朵数的，红花朵数与黄花朵数的比是5：2．已知红花和黄花一共有280朵，红花有200朵．【思路分析】红花朵数的等于黄花的朵数，根据比的意义，用红花朵数比上黄花朵数即可；再根据分数乘法的意义即可求出黄花的朵数．【规范解答】解：据分析可知：红花朵数与黄花朵数的比：＝5：2；280×＝200（朵）答：红花朵数与黄花朵数的比是5：2，红花有200朵．故答案为：5：2，200．【名师点评】此题考查了比的意义，应注意灵活运用．12．（2020•荥阳市）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是6：1．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是4dm2．【思路分析】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是2：1，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是2：1，即BC＝2G，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比．【规范解答】解：因为S △BCE ＝×CE ×BC ，又因为CE ＝CG ，S △GCE ＝×CE ×CG ＝×CG 2又因为S △BCE ：S △GCE ＝2：1所以×CE ×BC ：×CE ×CG ＝2：1BC ＝2CG ；以S 正方形ABCD ＝BC 2＝2CG ×2CG ＝4CG 2，S 正方形ECGF ＝CG 2，又因为S △BCE ＝×CE ×BC ，CE ＝CG ，即S △BCE ＝×CE ×2CG ＝CG 2，所以大正方形中空白图的面积是：S 正方形ABCD ﹣S △BCE ＝4CG 2﹣CG 2＝3CG 2，小正方形空白图的面积是： S 正方形ECGF ＝CG 2，所以两空白部分的面积比是：3CG 2： CG 2＝6：1，空白部分甲的面积是2.4dm 2，空白部分乙的面积是0.4dm 2则S 正方形ECGF ＝CG 2＝0.8dm 2以S 正方形ABCD ＝4CG 2＝4×0.8＝3.2dm 2两个正方形的面积之和是3.2+0.8＝4dm 2答：空白部分的面积是6：1，那么两个正方形的面积之和是4dm 2．故答案为：6：1，4．【名师点评】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式了来代换，从而解决问题．三．判断题（共5小题）13．（2019秋•交城县期末）大数与小数的比是8：7，大数比小数多． √ （判断对错）【思路分析】大数与小数的比是8：7，假设大数就是8，小数就是7，则大数比小数多1，即可判断即可．【规范解答】解：假设大数就是8，小数就是78＞7所以大数比小数多，原题说法正确；故答案为：√．【名师点评】此题考查了比的应用，把比化成份数解答即可．14．（2020•临朐县）如果小圆和大圆的周长之比是1：2，那么面积之比也是1：2．×（判断对错）【思路分析】小圆和大圆的周长之比是1：2，因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；再根据圆的面积公式S＝πr2先写出它们的面积比，再化简即可得答案．【规范解答】解：小圆和大圆的周长之比是1：2，因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；再根据圆的面积公式S＝πr2小圆面积：大圆面积＝（π×12）：（π×22）＝1：4；故答案为：×．【名师点评】此题主要考查圆的面积公式及化简比的知识．15．（2019秋•綦江区期末）走同一段路，如果甲、乙的速度比是2：3，那么甲、乙的时间比也是2：3．×（判断对错）【思路分析】把这一段路的总长看作单位“1”，根据题意，把甲的速度看作2份数，乙的速度看作3份数，先求出甲、乙二人分别用的时间，进而写比并化简比得解．【规范解答】解：甲用的时间：乙用的时间＝：＝3：2题干说甲乙的时间比是2：3是错误的．故答案为：×．【名师点评】解决此题也可以根据速度×时间＝路程（一定），判断出速度和时间成反比例关系，因为甲、乙速度的比是2：3，所以甲、乙用的时间比就是3：2．16．（2019秋•太原期末）在100克水中加入10克糖，全部溶解．糖与水的比是1：10，喝掉一半后，糖水的含糖率不变．√（判断对错）【思路分析】在100克水中加入10克糖，全部溶解，糖与水的比是10：100，即1：10；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比不变，据此进行判断即可．【规范解答】解：10：100＝1：10喝掉一半后，剩下的糖与水的比不变，还是1：10，那么糖水的含糖率不变．所以，原题说法是正确的．故答案为：√．【名师点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．17．（2019秋•兴国县期末）一场足球比赛的比是2：0，从这里可以看出，比的后项可以为0．×（判断对错）【思路分析】比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；而球场上比分是2：0，说明本次比赛，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，与前一个比意义不同；据此判断．【规范解答】解：比是表示两个数相除，是两个数之间的关系，在比中，比的后项不能为0；而体育比赛中的比分中的2：0，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，比号后面的数可以是0，表示一个也没有；所以它们意义不同．故答案为：×．【名师点评】此题考查比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系，比的后项不能为0；要与比赛时进球的比区分开，那是进球个数的比，意义不同．四．应用题（共8小题）18．（2020•无锡）一杯糖水共45克，糖与水的比是2：7，这杯糖水中水有多少克？【思路分析】糖与水的比是2：7，那么糖水45克就相当于2+7＝9份，则用45除以9求出每份的质量，再乘水的份数即可．【规范解答】解：45÷（2+7）×7＝5×7＝35（克）答：这杯糖水中水有35克．【名师点评】本题考查了按比例分配应用题，这种类型的应用题关键根据两个数（或三个数）的比求出总数量对应的份数和，然后用除法求出一份的量，再乘两个数（或三个数）各自所占的份数，即可解决问题．19．（2020•林西县）学校计划植树480棵，将植树任务按2：3分给五、六年级同学．六年级同学需植树多少棵？【思路分析】由题意可知：可以分配的总量是480，需要分配的份数是2+3＝5份，于是利用按比例分配的方法，求出六年级同学植树的棵数占480的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．【规范解答】解：480×＝288（棵）答：六年级同学需植树288棵．【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．20．（2020•长春）学校购进400个口罩，按2：3分给五、六两个年级，六年级分得多少个口罩？【思路分析】根据比的意义来进行解决问题．已知总数，按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份，据此进行计算即可．【规范解答】解：按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份；400÷（2+3）×3＝400÷5×3＝80×3＝240（个）答：六年级分得240个口罩．【名师点评】此题是理解比的意义从而进行比的运用，关键是理解根据2：3的比进行五六年级的分配，再选择合适的方法进行计算．21．用45cm长的铁丝围一个长方形，这个长方形的长与宽的比是3：2．求这个长方形的面积．【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，围成的这个长方形的长、宽之和是（45÷2）厘米，再把这个长方形的长、宽之和平均分成（3+2）份，先用除法求出1份是多少厘米，再用乘法分别求出3份（长方形长）、2份（长方形宽）各是多少厘米，然后再根据长方形的面积计算公式“S＝ab”即可解答．【规范解答】解：45÷2÷（3+2）＝45÷2÷5＝45÷（2×5）＝45÷10＝4.5（cm）（4.5×3）×（4.5×2）＝13.5×9＝121.5（cm2）答：这个长方形的面积是121.5cm2．【名师点评】解答此题的关键是求出围成长方形的长、宽之和后，再根据按比例分配求出围成的长方形的长、宽．22．（2020•十堰）为实现脱贫致富，李庄村发展了5000平方米果园，其中栽的是苹果树，其余的面积按1：4栽的是桃树和梨树．梨树占地面积多少平方米？【思路分析】把果园的总面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用果园的总面积（5000平方米）乘（1﹣）就是栽桃树、梨树的面积．再把栽桃树、梨树的面积看作单位“1”，其中栽梨树的面积占，根据分数乘法的意义，用栽桃树、梨树的面积乘就是栽梨树的面积．【规范解答】解：5000×（1﹣）×＝5000××＝3125×＝2500（平方米）答：梨树占地面积2500平方米．【名师点评】此题主要是考查乘法的意义及应用．求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率．关键是把比转化成分数．23．（2020•海淀区）学校图书馆购进一批科技书和文艺书共810本，两种书的数量比是5：4，这两种书各有多少本？【思路分析】把两种书的总本数（810本）平均分成（5+4）份，先用除法求出1份的本数，再用除法分别求出5份（科技书）、4份（文艺书）各是多少本．【规范解答】解：810÷（5+4）＝810÷9＝90（本）90×5＝450（本）90×4＝360（本）答：科技书有450本，文艺书有360本．【名师点评】此题是考查按比例分配应用题的特点以及解答规律，亦可先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据分数乘法的意义解答．24．（2020•荥阳市）图书室原有科技书和故事书共540本，其中故事书的本数与科技书的本数比是2：7．又购买一批科技书后，科技书的本数占现在这两种书总数的80%．图书室现在有科技书和故事书各多少本？【思路分析】先把图书室原有科技书和故事书共有的本数（540本）看作单位“1”，故事书占总本数的，根据分数乘法的意义，用总本数乘就是故事书的本数．双购进一批科技书后故事书的本数没变，把此时故事书、科技书的总本数看作单位“1”，故事书占总本数的（1﹣80%），根据百分数除法。

Lesson 1New Words and Expressions★1 private adj. 私人的，私有的private letter 私人信件private school 私立学校in private 私下地Mr. Wang wants to talk to me in private after class, Gosh!Yao Ming doesn’t like to talk about his private life.反义词public2 conversation n. 谈话〔con 一起+ verse 诗文+ tion 表名词〕conversation room 谈话室have a conversation with 和…交谈（会谈）I had a long conversation with Li Yuchun last week!请老师适当引出并区分：talk, dialogue, conversation, chat, gossip3 theatre n. 剧场，戏院Go to the theatre. 去看戏。

Broadway Theatre 百老汇剧院Shanghai Grand Theatre 上海大剧院注意区分：cinema, theatre, opera house★4 seat n. 座位“请坐”可有如下表达方法：Sit down, please./ Take a seat. / Please be seated.Ladies and gentlemen, please be seated.a bicycle seat自行车车座shotgun seat 副驾驶座注意区分：sit 和seat5 loudly adv. 大声地shout loudly 大声喊叫注意区分：loudly 和aloud, aloud强调出声，让人听见；loudly强调声音很大，一般是嘈杂的让人心烦的声音。

JY(3)第四讲课堂练习解答姓名1、2+10+18+26+34+42+50+58+66= 。

答案：306。

解析：等差数列求和。

和为（2+66）×9÷2=306。

2、小刚从一本书的第10 页阅读到第30 页，苏明从第28 页阅读到第60 页，他们总共阅读了页。

答案：54。

解析：一共读了（30-10+1）+（60-28+1）=54（页）。

3、假如100 澳元可兑换74 美元。

一位澳洲游客在美国一家店铺买了一个价值100 美元的物品，但是他付了200 澳元，那么店铺的营业员应该找给他美元。

答案：48。

解析：200 澳元=（200÷100）×74=148（美元），故店铺的营业员应该找给他148-100=48（美元）。

4、A 、B 、C 、D 四个人在一场考试中分别获得了前四名，D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高，C 的名次不比B 高。

C 是第名。

答案：4。

解析：“D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高”，所以D 是第2 名，A 是第1 名。

“C 的名次不比B 高”，所以B 是第3 名，C 是第4 名。

5、小明看一本科技书，第一天看了3 页，以后每天都比前一天多读3 页，最后一天他看了63 页，刚好把书看完。

小明一共看了天。

答案：21。

解析：等差数列求项数。

小明一共看了（63-3）÷3+1=21（天）。

6、李师傅到家具厂买桌椅共10 件，每张桌子35 元，每把椅子25 元，共付款270 元，那么买了把椅子。

答案：8。

解析：假设10 件都是桌子，则椅子有（35×10-270）÷（35-25）=8（把）。

7、甲桶中有油65 千克，乙桶中有油35 千克，将乙桶中的千克油注入甲桶，能使甲桶中的油是乙桶中的油的4 倍。

答案：15。

解析：乙现在有油（65+35）÷(4+1)=20（千克），乙桶倒出的油为 35-20=15（千克）。

【热身题】例1 ：求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.【解】777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.例2.三角形三边长均为质数，证明：其面积不可能为整数.证明：记三角形的三边长度为a 、b 、c因为a 、b 、c 均为质数所以a 、b 、c 有以下两种情况：①a=b=c=2 ②a 、b 、c 均为奇数根据海伦公式而公式里的p 为半周长（周长的一半）：对于情况①,有S △=√3,S △不为整数对于情况②,有,因为p=(a+b+c)/2不为整数,所以S △不为整数 所以不存在三边长均为质数而面积取值为整数的三角形第四讲 素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则p a ∣．④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑶．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数．由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅--- ．例子：写出不超过100的所有的素数。

32 第4讲·教师版一、弧度制与任意角的三角函数1．角的概念：一条射线绕着端点旋转所成的图形．按其旋转方向分为：正角，零角，负角．2．任一已知角α的弧度数的绝对值l r α=；180πrad ︒=，1801rad 57.30π︒⎛⎫=≈︒ ⎪⎝⎭；3．三角函数定义：在平面直角坐标系中，()P x y ，为α终边上原点外的任意一点，r ，α的正弦：sin y rα=；余弦：cos x r α=；正切：tan yx α=；4．同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=．二、诱导公式角π2k α⋅±()k ∈Z 与α的三角函数值的关系：奇变偶不变，符号看象限．（k 的奇偶，函数名互变） 三、三角恒等变换1．两角和与差的三角函数正弦公式：S :sin()sin cos cos sin S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+-=-，； 知识梳理知识结构图第4讲 三角函数的定义与公式应用33第4讲·教师版余弦公式：()()+C :cos cos cos sin sin C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-+=--=+，； 正切公式：tan tan T :tan()1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅，tan tan T :tan()1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅．2．二倍角公式sin22sin cos ααα=；2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-． 3．辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，其中tan b aϕ=．（2011北京理15）已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴()f x 的最小正周期为π．⑵()f x 的最大值和最小值分别是2和1-．1、若角2π3的终边上有一点()4,a -，则a 的值是（ ） AB． CD．【解析】 B ； 2、（2013广东华师中山附中高三第五次月考理1）已知角α的终边在第二象限，则2α的终边所在的象限为（ ）A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限D ．第一或第四象限【解析】 B3、两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（ ）A ．1:2B ．1:4 C． D ．1:8【解析】 C小题热身真题再现34 第4讲·教师版4、若tan 3α=，则22sin 2sin cos 3cos αααα-+=（ ） A ．15 B ．35 C ．15- D ．35-【解析】 B ．5、设tan α=，则sin 2α的值为（ ） A． B ．12- C ．12D【解析】D 6、23sin 702cos 10-︒=-︒（ ）A ．12BC ．2 D【解析】 C ；7、（2012江西文）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【解析】 B 8、（2012山东理）若ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ=sin θ=（ ）A ．35B ．45 CD ．34【解析】 D9、若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12C ．2D ．2-【解析】 A ；10、（2011北京西城二模文理6）函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，A B ，是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A ．10B ．8C ．87D ．4735第4讲·教师版【解析】 B考点1：三角函数符号与象限角【例1】 ⑴若sin 0α<且tan 0α>，则α在第 象限．⑵若sin cos 0θθ<，则角θ在第 象限． ⑶已知sin cos 1θθ->，则角θ在第 象限．⑷若α为第二象限角且coscos22αα=-，则2α在第_______象限． 【解析】 ⑴三；⑵二或四；⑶二；⑷三；考点2：弧长与扇形面积【例2】⑴1的长方形木块，在桌面上无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一个小木板档住，如图，使木板底面与桌面成30︒的角，则点A 走过的路程为_______，A 点走过的弧度所在的扇形的总面积为________．⑵已知扇形AOB 的周长为l ，求其面积S 与半径r 之间的函数关系式()S r ，并求出其最大值．⑶如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120︒的扇形AOB ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．4.1任意角、弧度制与三角函数的概念经典精讲36 第4讲·教师版ODCBA【解析】，7π4； ⑵()(),,22π12l l l S r r r r ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，最大值为216l ． ⑶445米考点3：同角三角函数的基本关系 【例3】 ⑴21tan sin tan x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．⑵若1cos 5θ=，且θ是第四象限角，那么sin θ= ，tan θ= ．⑶1tan 2α=，则sin cos αα= ．⑷若cos 2sin αα+=tan α= ．【解析】 ⑴tan x ；⑵，-⑶25；⑷2．考点4：诱导公式【例4】 ⑴记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=（ ）AB． CD．⑵已知cos31m ︒=，则sin239tan149︒⋅︒的值是（ ）A ．21m m - BC ．21m m - D．⑶已知π1sin 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πsin πsin 63x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．⑷已知α是第三象限角，()()()()()3πsin πcos 2πtan tan π2sin πf αααααα⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭=--，化简4.2诱导公式37第4讲·教师版()f α= ；若3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f α的值为 ．【解析】 ⑴B ；⑵B ； ⑶1916； ⑷cos α-·考点5：和差角公式【例5】 ⑴ 若4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A． BC． D⑵tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒的值是____________．⑶若π02α<<，π02β-<<，π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．⑷某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ① 22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ ② 22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ ③ 22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ ④ ()()22sin 18cos 48sin 18cos 48-︒+︒--︒︒ ⑤ ()()22sin 25cos 55sin 25cos55-︒+︒--︒︒试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并根据计算结果，将该同学的发现推广三角恒等式： ．【解析】 ⑴A ；⑶⑷34()()22sin cos 30sin cos 30x x x x +︒--︒-34=4.3三角恒等变换38 第4讲·教师版考点6：倍角与半角公式 【例6】⑴已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= ．⑵若3cos 25θ=，4sin 25θ=，则角θ的终边落在直线（ ）上．A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -= ⑶已知α为第三象限的角，πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑷已知πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．则sin x =________，πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．⑸设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．【解析】 ⑴35-．⑵B ；⑶17-；⑷45,3117- ⑸ 50一、选择题1、 若sin20α>，且cos 0α<，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【解析】 C ；2、 （北京东城一模文）已知()sin 45α-︒=，且090α︒<<︒，则cos α的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．35D ．45【解析】 D 课后习题39第4讲·教师版3、 （2011浙江理6）若π02α＜＜，π02β-＜＜，π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB． CD． 【解析】 C4、 （2012上海文）若π2ππsinsin (i)777n n S =+++（n *∈N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100【解析】 C二、填空题5、 若216α=-︒，7πl =，则r =________（其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ）【解析】 3566、 已知α为钝角，1sin 3α=，则tan α= ．【解析】47、 （2011年全国卷）已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，则tan2α= ．【解析】 43-．8、 （2010全国I 卷）已知α为第三象限的角，3cos25α=-，则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【解析】 17-9、 （2013广东汕头高三上期末文12）已知：πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π5πsin cos 66a α⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【解析】．三、解答题10、 （2010上海卷文理19）已知π02x <<，化简：()2πlg cos tan12sin lg lg1sin224xx x x x⎤⎛⎫⎛⎫⋅+-+--+⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．【解析】原式0=．11、（2013北京西城二模理15文16）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且ππ62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记()11A x y，，()22B x y，．⑴若113x=，求2x；⑵分别过A B，作x轴的垂线，垂足依次为C D，．记AOC△的面积为1S，BOD△的面积为2S．若122S S=，求角α的值．【解析】⑴2x=．⑵π4α=．40 第4讲·教师版。

第五讲经典应用题综合教学目标诸如鸡兔同笼、平均数问题、年龄问题、植树问题、牛吃草问题等内容，在五年级以前都已经讲授过，这些经典的算术问题虽然比较常见，但各类考试越来越注重学生的对数量关系的把握和灵活解决问题的能力，而不是生搬硬套某种经典的算术方法，本讲推出的主要是历次考试中碰到的数量关系，带有很强的个例特征。

正所谓“见多”才能“识广”，我们希望同学们掌握此类问题的分析方法。

1.回顾应用题的基础分析方法；2.精讲历次考试中碰到的经典数量关系。

专题回顾【例1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完?【分析】设1人淘1分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析3人40分钟3×40=120：原有水+40分钟的进水6人16分钟6×16=96：原有水+16分钟的进水从上易发现：40-16=24分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1；那么原有水量：120-40×1=80；5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20（分钟）将把水淘完，即5人淘水20分钟。

【例2】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【分析】我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草①马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③由①可得到牛、马90天吃了2原有+90天新长的草④由③结合条件“牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度”马90天吃了原有+90天新长的草⑤。

由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．所以，由②知马60天吃完原有的草，由③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.所需时间为111369060⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭天.即牛、羊、马一起吃，需36天。