早期量子论习题

大学物理练习题十八一、选择题1．所谓“黑体”是指的这样的一种物体，即 (A) 不能反射任何可见光的物体 (B) 不能发射任何电磁辐射的物体(C) 能够全部吸收外来的任何电磁辐射的物体(D) 完全不透明的物体 ［ C ］ 2．在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为．今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是(A) 0λhc(B) 0λhcmeRB 2)(2+(C)λhcmeRB+(D) 0λhc eRB 2+［ B ］解：由B e R m v 2v =得eRB/m v =，代入20v 21m h h +=νν， 则得光子能量m eRB hc m m h h 2)(2v)(220+=+==λννε3．在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε/ E K 为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ D ］解：由220'mc hc c m hc+=+λλ得'202λλhchc c m mc -=-，即ελλλλλ2.0'2.0)'1'2.1('==-=-=hc hc hc hcE k4．若α粒子在磁感应强度为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是(A) h/(2eRB) (B) h/(eRB)(C) 1/(2eRBh) (D) 1/(eRBh) ［ A ］解：α粒子e q 2+=，由Rmv qvB 2=有qBR mv =5．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系(A) v ∝λ (B) v /1∝λ (C) 2211cv -∝λ (D) 22v c -∝λ ［ C ］ 解：-==vm c v h mv h 022/1λ6．普朗克量子假说是为解释 （A ）光电效应实验规律而提出来的。

早期量子论(初稿)一、填空题（10道）1.在加热黑体过程中，其最大单色辐射度对应的波长由0.8μm变到0.4μm，则其辐射度增大为原来的______________倍。

2.100W的白炽灯灯丝表面积为 5.3×10-5 m2。

若视其为黑体，则工作温度为______________K。

3.若黑体的半径有R增大为2R，则总辐射功率为原来的______________倍。

4.当绝对黑体的温度从27 ºC升到327 ºC时，其辐射出射度（总辐射本领）增加为原来的______________倍。

5.在均匀磁场B内放置一极薄金属片，其红限波长为λ0。

今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子（质量为m，电荷绝对值e）在垂直于磁场的平面内做半径为R的圆周运动，那么此照射光光子的能量是______________。

6.当照射光的波长从4000 Å变到3000 Å时，光强保持不变，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将增大______________。

7.在康普顿散射中，若入射光子与散射光子的波长分别为λ和λ',则反冲电子获得的动能E k=______________。

8.在X射线实验中散射角为45º和60º的散射光波长改变量之比为______________。

9.质量为1 g，以速度v=1cm/s运动的小球的德布罗意波长为______________。

10.某金属产生光电效应的红限为υ0，当用频率为υ（υ>υ0）的单色光照射该金属时，从金属中溢出的光电子（质量为m）的德布罗意波长为______________。

二、计算题（10道）1. 红限波长为λ0=0.15Å的金属箔片至于B=30×10 4T的均匀磁场中。

现用单色γ射线照射儿释放出电子，且电子在垂直于磁场的平面内做R=0.1m的圆周运动。

求γ射线的波长。

第15章 早期量子论15-1 某物体辐射频率为146.010Hz ⨯的黄光，问这种辐射的能量子的能量是多大？ 分析 本题考察的是辐射能量与辐射频率的关系. 解: 根据普朗克能量子公式有:-3414196.6310 6.010 4.010(J)h εν-==⨯⨯⨯=⨯15-2 假设把白炽灯中的钨丝看做黑体，其点亮时的温度为K 2900. 求：(1) 电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长； (2) 据此分析白炽灯发光效率低的原因.分析 维恩位移定律告诉我们，电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长与温度的乘积等于一个常量.由此可以直接由维恩位移定律求解. 解 （1）由维恩位移定律，得-3-72.89810=9.9910(m)=999(nm)2900b T λ⨯==⨯（2）因为电磁辐射中单色辐出度的极大值对应的波长在红外区域，所以白炽灯的发光效率较低。

15-3 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S =6000K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R 0=6.96×105km ，太阳到地球的距离r =1.496×108km ）。

分析 本题是斯忒藩—玻尔兹曼定律的应用。

解： 由 40T M σ=太阳的辐射总功率为2428482002644 5.671060004(6.9610)4.4710(W)S S S P M R T R πσππ-===⨯⨯⨯⨯⨯=⨯地球接受到的功率为62226221117 6.3710() 4.4710()422 1.496102.0010(W)S E E E S P R P R P d d ππ⨯===⨯⨯⨯=⨯ 把地球看作黑体，则 24244E E E E E R T R M P πσπ==290(K)E T ===15-4 一波长nm 2001＝λ的紫外光源和一波长nm 7002＝λ的红外光源，两者的功率都是400W 。

量子论初步练习一光电效应光子班级：___________姓名：___________1．对光电效应作出合理解释的物理学家是（A）A．爱因斯坦B．玻尔C．普朗克D．德布罗意2．用绿光照射一光电管，能产生光电效应，欲使光电子从阴极逸出时的最大初动能增大，应（ D ）A．改用红光照射B．增大绿光的强度C．延长绿光的照射时间D．改用紫光照射3．入射光照射到某金属表面上发生光电效应，若入射光的强度减弱，而频率保持不变，那么（ C ）A．从光照射至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加B．逸出的光电子的最大初动能将减小C．单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减小D．有可能不发生光电效应4．频率为ν的光照射某金属材料，产生光电子的最大初动能为E km，若以频率为2ν的光照射同一金属材料，则光电子的最大初动能是（B）A．2E km B．E km+hνC．E km-hνD．E km+2hν5．如图所示为光电效应实验中，两种不同金属反射光电子的最大初动能E km和入射光频率ν的关系图象，其中正确的图象是（D）6．在X射线管中，由阴极发射的电子被加速后打到阳极，会产生包括X光在内的各种能量的光子，其中光子能量的最大值等于电子的动能．已知阳极与阴极之间的电势差U、普朗克常数h、电子电量e和光速c，则可知该X射线管发出的X光的（ D ）A．最短波长为c/eUh B．最长波长为hc/eUC．最小频率为eU/h D．最大频率为eU/h7．某激光光源的发光功率为P，发射激光的波长为λ，当该激光照射到折射率为n的介质中时，由于反射其能量减小了10%，介质中激光束的直径为d，那么在介质中单位时间内通过与激光束垂直的截面上单位面积的光子数为（A ）A．3．6Pλ/πd2hc B．3．6Pλ/πd2nhcC．0．9Pλ/hc D．3．6Pλ/hc8 (2000年上海)下列关于光的说法中正确的是（BD ）A．在真空中红光波长比紫光波长短B．红光光子能量比紫光光子能量小C．红光和紫光相遇时能产生干涉现象D．红光照射某金属时有电子向外发射，紫光照射该金属时一定也有电子向外发射9 在做光电效应实验中，某金属被光照射发生了光电效应，实验测出了光电子的最大初动能E k与入射光的频率ν的关系如图所示，由实验图象可求出（ABD）A．该金属的逸出功B．该金属的极限频率C．单位时间内逸出的光电子数D．普朗克常量10 同一频率的光照射到甲、乙两种不同的金属，它们释放的光电子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，它们的最大半径之比为：2：1，则下列说法中正确的是：(B、D )A．甲、乙两种金属的逸出功之比为2：1 B．光电子的最大初速度之比为2：1 C．光电子的最大初动能之比为2：1 D．光电子的最大动量之比为2：1 11．光电效应的四条规律中，波动说不能解释的有（ABC ）A．入射光的频率必须大于被照金属的极限频率时才能产生光电效应B．光电子的最大初动能与入射光强度无关，只随入射光频率的增大而增大C．入射光照射到金属上时，光电子的发射几乎是瞬时的，一般不超过10－9 sD．当入射光频率大于极限频率时，光电流强度与入射光强度成正比12．对光电效应的解释正确的是（BD ）A．金属内的每个电子可以吸收一个或一个以上的光子，当它积累的动能足够大时，就能逸出金属表面B．如果入射光子的能量小于金属表面的电子克服原子核的引力逸出时所需做的最小功，便不能发生光电效应C．发生光电效应，入射光越强，光子的能量就越大，光电子的最大初动能就越大D．由于不同金属的逸出功是不相同的，因此使不同金属产生光电效应的入射光的最低频率也不同13．一细束平行光经玻璃三棱镜折射后分解为互相分离的三束光，分别照射到相同的金属板a、b、c上，如图所示，已知金属板b有光电子放出，则可知（ D ）A．板a一定不放出光电子B．板a一定放出光电子C．板c一定不放出光电子D．板c一定放出光电子14．(2000年北京、安徽春季高考)某种金属在单色光照射下发射出光电子，这光电子的最大初动能(BD ）A．随照射光强度的增大而增大B．随照射光频率的增大而增大C．随照射光波长的增大而增大D．与照射光的照射时间无关15．用同一束单色光，在同一条件下，先后照射锌片和银片，都能产生光电效应．对于这两个过程，下列四个物理量中，一定相同的是___ A __,可能相同的是_ C ____,一定不同的是___ B 、D __．A ．照射光子的能量B ．光电子的逸出功C ．光电子的动能D ．光电子的最大初速度16．)已知某金属的极限频率为f 0．光在真空中的传播速度为c ，普朗克常数为h ．要使金属表面发出的光电子的最大初动能为E km ，则入射光的波长应为 9．0km hf E hc17．功率为1 W 的普通灯泡有5%的电能转化为可见光能，则可估算1 s 内释放的可见光的光子数约是多少？ (取1位有效数字) 7．答案：1017个18．黄光频率约为5．0×1014 Hz ，功率为40 W 的发射黄光的灯每秒钟发射的光子数为 在以灯为中心，半径为10 m 的球面上1 min 通过1 cm 2面积的光子数为是多少？(普朗克常量h =6．63×10-34 J ·s ，结果取两位有效数字) 10．1．2×1020；5．7×101419激光器是一个特殊的光源，它发出的光便是激光．红宝石激光器发射的激光是不连续的一道一道的闪光，每道闪光称为一个光脉冲．现有一红宝石激光器，发射功率为1．0×1010 W ，所发射的每个光脉冲持续的时间Δt 为1．0×10-11 s ，波长为793．4 nm ，问每列光脉冲的长度l 是多少？其中含有的光子数n 是多少？(结果保留2位有效数字) 11．l =3．0×10-3 m ；n =3．5×101720已知每秒钟从太阳射到地球的垂直于太阳光的每m 2截面上的辐射能为1.4×103 J ,其中可见光部分约占45%,假如认为可见光的波长为0.55 um,日地间距离R ＝1.5×1011 m ,普朗克常量h ＝6.6×10－34 J ·s,因此可估算出太阳每秒钟辐射出的可见光的光子数约为多少？(只要求两位有效数字)．4.9×104421．某种金属的逸出功是3 eV ，用波长500 nm 的绿光照射该金属能否发生光电效应？用波长400 nm 的紫光照射能否发生光电效应？光电子的最大初动能是多少？绿光照射不能发生光电效应 紫光照射能够发生光电效应 紫光照射产生的光电子的最大初动能为0.11 eV22．如图所示为伦琴射线管的示意图,K 为阴极,A 为对阴极,假设由K 极发射的电子初速度为零,当AK 之间所加直流电压U =30kV 时,电子被加速打在对阴极A 上,使之发射出伦琴射线,设电子的动能全部转化为伦琴射线的能量.已知电子电量e =1.6×10-19c ,质量m =0.91×10-30kg ,普朗克常数h =6.63×10-34J ·s ,问： (1)电子到达对阴极的速度多大(取一位有效数字)(2)由对阴极发出的伦琴射线的最短波长多大?(3)若AK 间的电流为10mA ,那么每秒从对阴极最多能辐射多少个伦琴射线光子?答案:(1)s /m 1018⨯，(2)m 101.411-⨯23．如图21-9所示为对光电管产生的光电子进行荷质比测定的原理图，两块平行金属板间距为d ，其中N 为锌板，受紫外光照射后将激发出沿不同方向运动的光电子，开关S 闭合电流表A 有读数，若调节变阻器R ，逐渐增大板间的电压，A 表读数逐渐减小，当电压表示数为U 时，A 表读数恰好为零；断开S ，在MN 间加上垂直纸面向里的匀强磁场，当磁感应强度为B 时，A 表读数也为零．(1)求光电子的荷质比e/m 的表达式．(2)光电管的阴极常用活泼的碱金属制成，原因是这些金属A ．导电性好B ．逸出功小C ．发射电子多D ．电子动能大(3)光电管在各种自动化装置中有很多应用，街道路灯自动控制就是其应用之一．请利用光电管的特性设计一电路来实现日出路灯熄，日落路灯亮的效果．(1)A 表读数为零，表明这时具有最大初动能逸出的光电子也不能达到M 板，有221mv eU =，断开S ，在MN 间加磁场，若以最大速率运动的光电子做半径为d ／2的圆周运动，则A 表的读数也恰为零，故得Be mv d R ==2/，可得228d B U m e =。

量子论初步同步练习（二）能级物质波1．大量原子从n=5的激发态向低能态跃迁时，产生的光谱线数是（）A．4条B．10条C．6条D．8条2．氢原子从基态跃迁到激发态时，下列论述中正确的是（）A．动能变大，势能变小，总能量变小B．动能变小，势能变大，总能量变大C．动能变大，势能变大，总能量变大D．动能变小，势能变小，总能量变小3．已知氢原子基态能量为-13.6eV，下列说法中正确的有（）A．用波长为600nm的光照射时，可使稳定的氢原子电离B．用光子能量为10.2eV的光照射时，可能使处于基态的氢原子电离C．氢原子可能向外辐射出11eV的光子D．氢原子可能吸收能量为1.89eV的光子4．氢原子核外电子分别在第1、2条轨道上运动时，其有关物理量的关系是（）A．半径r1＞r2B．电子转动角速度ω1＞ω2C．电子转动向心加速度a1＞a2D．总能量E1＞E25．氢原子从能级A跃迁到能级B，吸收频率1的光子，从能级A跃迁到能级C释放频率2的光子，若2＞1则当它从能级C跃迁到能级B将（）A．放出频率为2- 1的光子B．放出频率为2+ 1的光子C．吸收频率为2- 1的光子D．吸收频率为2+ 1的光子6．已知氢原子的基态能量是E1=-13.6eV，第二能级E2=-3.4eV．如果氢原子吸收______ eV的能量，立即可由基态跃迁到第二能级．如果氢原子再获得1.89eV的能量，它还可由第二能级跃迁到第三能级，因此氢原子第三能级E3=_____ eV．7．氢原子基态的轨道半径为0.53，基态能量为-13.6eV，将该原子置于静电场中使其电离，静电场场强大小至少为多少？静电场提供的能量至少为多少？8．试估算一个中学生在跑百米时的德布罗意波的波长。

9．一群氢原子处于n =4的激发态，当它们自发地跃迁到较低的能级时，下列判断中错误的是（）.A.可能辐射出六种不同频率的光子B.从n=4的能级直接跃迁到n=1的能级时释放出频率最低的光子C.从n=4的能级跃迁到n=3的能级释放出频率最低的光子D.从n＝2的能级跃迁到n＝1的能级时，释放出波长最长的光子。

13-12. 如果一个光子的能量等于一个电子的静止能量，问该光子的频率、波长和动量各是多少? 在电磁波谱中属于何种射线?解：设电子的静止质量为m e 0，相应的静止能量为E e 0，一个光子的能量为E 。

则200,e e E m c E h ν==。

由题意有：0e E E =，即有：20e h m c ν=所以该光子的频率为：23182200349.1110(310)Hz=1.2410Hz 6.6310e m c h ν--⨯⨯⨯==⨯⨯ 光子波长为：1232.4310m=2.4310nm cλν--==⨯⨯光子动量为：220 2.7310kg m/s e E hp m c c λ-====⨯⋅ 在电磁波中属于γ射线13-23. 设电子与光子的波长均为λ，试求两者的动量之比以及动能之比。

解：设电子与光子的动量分别为p e 和p o ，动能分别为E e 和E o 。

根据德布罗意关系：λ=h /p ，且λe =λo =λ，则电子与光子的动量之比为：oo 1e ep p λλ== 光子动能可表示为：83416o 9310 6.6310J 3.97810J 2.486KeV 0.5010hE h c cp νλ---⨯⨯⨯====≈⨯≈⨯ 电子的静能为：231821409.1110(310)J 8.2010J 0.512MeV m c --=⨯⨯⨯≈⨯≈电子动能：2022022)(c m c m c p E e -+=，由以上计算知：20c m c p pc e <<=所以电子动能：222222000024001(1)22e p c p E m cm c m c m c m c m =≈+-= 则电子与光子的动能之比为：230o o 00/2 2.431022e e e E p m p hE cp cm cm λ-===≈⨯13-24. 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。

量子力学数学预备知识——线性空间与狄拉克符号基础1、 一般地可将一个n n ⨯矩阵看作是2n 线性空间中的一个矢量。

设四维空间中有三个22⨯矩阵，用矢量表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡>=00101|，⎥⎦⎤⎢⎣⎡>=10112|，⎥⎦⎤⎢⎣⎡>=10113|。

试验证这三个矢量是否线性相关；写出22⨯矩阵对应的四维空间的一组完备正交基。

2、 设矢量)1,1,0,1(|i i v -+>=，求其左矢和模，并将此四维矢量归一化。

3、 证明三角不等式>+>≤>+>W V W V ||||。

4、 设有三维矢量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡>=0121|，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡>=0222|，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡>=3123|。

试验证其线性无关并将其正交归一化。

5、 算符)2(πR 的作用是将三维直角坐标系统绕z 轴旋转90度。

（1）试求出此算符的矩阵表示；(2)求出其本征值和本征矢量；（3）证明此算符是么阵。

6、 设算符Ω的矩阵表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0101-00001；求此算符的本征值和本征矢量。

7、 设算符Ω的矩阵表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0i 0i -0i 0i -0；求此算符的本征值和本征矢量；将此算符对角化。

8、 证明厄米算符的本征值是实数，其不同本征值对应的本征矢量正交。

9、 证明如果二个厄米算符对易，则可同时对角化。

10、设n 维空间的一组正交归一基为>i |，试证明投影算符||i i P i ><=具有如下性质：（1）I P n i i =∑=1，其中I 是单位算符；（2）i P 是厄米算符；（3）0=j i P P ，i ≠j 。

11、设一维自由粒子在)0l ，（上运动，其本征矢量>p |满足周期性边界条件>>=)(|)0(|l p p 。

求其本征值问题。

12、设Aˆ、B ˆ为二个厄米算符，试讨论B A ˆˆ、A B B A ˆˆˆˆ 、]ˆ,ˆ[B A 及]ˆ,ˆ[B A i 的厄米性。

量子论初步习题㈠1.如果在锌板被弧光灯照射前，用来和锌板连接的验电器指针就有偏转，用弧光灯照射锌板后，验电器指针的偏转角度先减小到闭合然后又增大。

这说明 DA.照射前验电器带负电，锌板带正电B.照射前验电器带正电，照射后验电器带负电C.用弧光灯照射锌板后，有电子从锌板转移到了验电器上D.用弧光灯照射锌板后，有电子从锌板飞到空间中去2.用一束绿光照射某种碱金属刚好能使该碱金属发生光电效应，则下列说法中正确的有A.改用红光照射该种碱金属，仍有可能使其发生光电效应 CB.改用更强的黄光照射该种碱金属，有可能使其发生光电效应C.改用较弱的蓝光照射该种碱金属，一定能使其发生光电效应D.改用足够强的橙光照射足够长的时间一定能使该碱金属发生光电效应3.光电效应实验中有下列现象：①有时无论入射光多强都无法使金属发生光电效应；②为使光电子从金属表面逸出需要给金属以能量；③只要入射光的频率足够高，即使入射光非常微弱，光电效应的发生也是瞬时的；④光电子的最大初动能仅与入射光频率有关，与入射光强度无关。

以上各种现象中波动说无法解释的是 BA.①②④B.①③④C.①③D.③④4.某激光器能发射波长为λ的激光。

设发射功率为P ，用c 表示光速，h 表示普朗克常量，则激光器每秒钟发射的光子数为 AA.hcP λ B.c hP λ C.h cP λ D.Phc λ 5.用同样的直流电压加速原来静止的一价氢离子和二价氧离子，加速后的氢离子和氧离子的德布罗意波的波长之比将为 DA.1∶4B. 1∶42C. 4∶1D. 42∶16.下列说法正确的是 BA.光波是—种纵波B.光波是一种概率波C.单色光从光密介质进入光疏介质时，光速变大，光子的能量变大D.单色光从光密介质进入光疏介质时，频率不变，光的波长变短现用波长为400nm 的单色光照射上述材料，能产生光电效应的材料最多有几种？(普朗克常量h =6.6×10-34J·s ，光速c =3.00×118m/s) AA.2种B.3种C.4种D.5种8.分别用波长为λ和43λ的单色光照射同一金属板，发出的光电子的最大初动能之比为1∶2．以h 表示普朗克常量，e 表示真空中的光速，则此金属的逸出功为 BA.λ2hc B.λ32hc C.43λhc D. ch 54λ9.下列关于光的波粒二象性的说法中正确的有 CA.光的波粒二象性就是牛顿的微粒说和惠更斯的波动说的综合B.光在直线传播时只具有粒子性，在发生衍射时只具有波动性C.光的偏振现象证明光是一种波，康普顿效应证明光是一种粒子D.光的波动性是由于光子间的相互作用引起的10.已知一束可见光a 是由m 、n 、p 三种单色光组成的．检测发现三种单色光中，n 、p 两种色光的频率都大于m 色光；n 色光能使某金属发生光电效应，而p 色光不能使该金属发生光电效应．那么，光束a 通过三棱镜的情况应该是下面各图中的 A11.一个体重65kg 的中学生，在运动会100m 决赛中跑出了12.5s 的好成绩．请你估算一下他在进行100m 跑过程中，对应的德布罗意波的波长是多少？12.设想利用金属晶格（大小约10-10m ）作为观察电子波动性的障碍物，可以用电场来加速电子，使其动量足够大，对应的物质波的波长也等于10-10m ，这时就应该能观察到明显的衍射现象。