江苏省百校大联考2020届高三第二次考试 数学试题(带答案)

江苏省百校大联考高三年级第二次考试化学试卷可能用到的相对原子质量：H1C12N14O16S32Co59Zn65一、单项选择题：共14题，每题3分，共42分。

每题只有一个选项最符合题意。

1. 2021年世界环境日主题是“人与自然和谐共生”。

下列行为符合该主题的是（）A. 推广植树造林计划B. 提倡秸秆就地焚烧C. 实施远海废水排放D. 填埋法处理废电池2. 下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是（）A. Na、K具有强还原性，Na、K合金可作原子反应堆的导热剂B. NaClO有氧化性，可用于漂白织物C. NaHCO3易分解，用于治疗胃酸过多D. Na2CO3易溶于水，可用于清洗油污3. 短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X原子2p轨道上有2个未成对电子，Y是地壳中含量最高的元素，金属元素Z的第一电离能大于同周期下一主族元素，0.05mol·L−1的W的最高价氧化物对应的水化物溶液的pH = 1。

下列说法正确的是（）A. 工业上常用电解盐溶液的方法冶炼Z单质B. 原子半径：r(Z) > r(W) > r(Y) > r(X)C. X氢化物的沸点都比Y的低D. W元素在自然界的存在形式既有游离态又有化合态4. 一种工业制备无水氯化镁的工艺流程如图所示。

下列说法正确的是（）A. 物质X常选用NaClB. “氯化”过程中发生的反应为MgO + C + Cl2MgCl2 + COC. MgCl2溶液中含有Fe3+，可以加入NaOH调节pH除去D. “煅烧”后的产物中加稀盐酸，将所得溶液加热蒸干可得到无水MgCl25. 工业上可通过反应4HCl(g) + O2(g) 2Cl2(g) + 2H2O(g)ΔH= −114.4kJ·mol−1将HCl转化为Cl2，下列有关说法正确的是（）A. 使用催化剂能缩短该反应达到平衡的时间B. 升高温度和增大压强均能提高反应中HCl的平衡转化率C. 反应的平衡常数可表示为K = c(Cl2)·c(H2O)c(HCl)·c(O2)，HCl的转化率上升D. 其他条件相同，增大n(HCl)n(O2)6. 实验室从海带中提取碘的过程如下：下列说法正确的是（）A. 步骤①⑤分别用装置丙、甲完成B. 装置乙使用时先放出下层水溶液，再从上口倒出有机层C. 海带中含有的硫酸盐在步骤③中实现与碘的分离D. 过程⑦酸化时发生反应的离子方程式：5I− + I O3-+ 6H+ = 3I2 + 3H2O7. 东南大学王金兰课题组提出合成氨的“表面氢化机理”，在较低的电压下实现氮气还原合成氨。

江苏省百校大联考高三年级第二次考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合，若，则实数的值为____________．2．函数的定义城为____________．3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为____________．5．已知，则的值是____________．6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称， 则=____________． 8．已知函数，则的值为____________． 9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，,则的值为____________．10．设函数，则不等式的解集为____________． {1,2,4}{,1}A B a a ==+，{2}AB =a y 1m =-(,1)a m =(2,3)b m =-22()m mf x x -=(0,)+?m 2sin()sin()2pa p a -=+tan()p a -,,a b c ||2||a b c +=,a b ()sin(2)(||)2f x x p j j =+<6p ()4f psin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，132f 骣琪琪桫ABC △,,a b c ,,A B C ABC △S S BA BC=4cos 5A =cos C ()1x x f x e e -=-+2(21)()2f x f x -+<11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________．12．如图所示，两点(可与两点重合)是在以为直径的上半圆弧上的两点，且，则的取值范围为____________．13．已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为____________．14．已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知为实常数.命题命题函数在区间上是单调递增函数．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，求实数的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量，函数． （1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值．(0,)x ?∞213ln 022x a a x +-->a ,P Q ,A B AB 460AB PAQ ==?，∠AP AQ l sin y x =(,sin )(0)2A pa a a <<l sin y x =(,sin )Bb b a b p -=tan a 21,0(),0x x x f x x x e -ì<ï=íï³ïî221()2()016f x af x a -+-=a m ;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p :q mx x x f -=ln )(]2,1[p m p q p q m (sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-()f x a b =?)(xf ()f a =)62sin(πα+17．（本小题满分14分）在中，点为边的中点．（1）若，求；（2）若，试判断的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为． （1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式； （2）设的长为，求的取值范围；（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）当，且时，试求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，试求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数，其中． （1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；（3）若函数有三个零点，对任意的，不等恒成立，求的取值范围．ABC ∆D AB 43CB CA ==，AB CD ×2AB AC CA CD ??ABC ∆ABCD cm AB 6=cm AD 12=AB M M B AD BC N MN l BNM ∠θl θθl BM xcm x M 21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，[1.5]x Î0≥a )(x f (0,)()102ax f x ??-?，a 32()3f x x x px q =-++R q p ∈,)(x f ))1(,1(f 30x y +-=q p ,)(x f )(,2121x x x x <12()2()f x p q f x +-，，)(x f )(,,0n m n m <[,]x m n Îp x f +≤14)(p参考答案一、填空题1、22、3、充分不必要4、15、-26、90°7、8、99、 10、 11、 12、（0, 4） 13、 14、二、解答题 15、16、(]2,121104-33⎪⎭⎫ ⎝⎛211-，),2()1,(+∞--∞ 2π⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543，17、18、19、20、。

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞3.已知平面向量()2,1a =-，()2,c t =，则“4t >”是“向量a与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯ B.202421- C.7362-D.811322-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f = B.()f x 的一个周期为2 C.()20231f = D.()()()543f f f =+10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值 D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu rD.PA ·PC 的最小值为-1412.已知函数()()e xf x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.16.设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A BA B-=+.（1）证明：cos 2a B b=.（2）求ab的取值范围.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.（1）若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】法一：利用复数除法运算化简z ，根据共轭复数的概念求解，然后利用模的公式求模即可；法二：两边取模运算得z =，再利用z z =求解.【详解】法一：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以12i z =-+，所以z ==.法二：因为()1i 13i z +=-，所以两边取模()1i 13i z +=-，得1i 13i z +=-，所以z =，所以z z ==.故选：D .2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再根据集合的并集运算求解.【详解】111x <--，即01xx <-，所以01x <<，即()0,1M =，由ln 1x <，得0e x <<，所以()0,e N =，所以()0,e M N ⋃=.故选：C.3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意知向量a ，c 夹角为锐角，即·0a c > 且a 与c不共线，再结合充分条件和必要条件的定义从而求解.【详解】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得周期T 和ω，进一步将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式结合π2ϕ<运算即可得解.【详解】由图象知7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,故2π2π2πT ω===，将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式,得7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，解得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<,所以π1,3k ϕ==,所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C .5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.【详解】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.总共有13种满足题意，所以P (A )=1336.故选：C .6.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得2a b +的表达式，再利用导数求得2a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线ln y x =相切的切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得1y x'=，于是0001ln a x ax b x⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则0ln 1b x =-，0022ln 1a b x x +=+-，设2()ln 1,0f x x x x=+->，求导得22212()x f x x x x '-=-+=，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 递增，因此当2x =时，min ()ln 2f x =，所以2a b +的最小值为ln 2.故选：B7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的性质可判断A ；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B ；设直线AB 和点A 、B 的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C ；设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y m +==，2021x m =+，取1m =-求出M 可判断D.【详解】对于A ，因为抛物线C 过点()1,2P -，所以抛物线C 的方程为24y x =，线段AB 长度的最小值为通径24p =，所以A 错误；对于B ，由定义知1AA AF =，1//AA x 轴，所以111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，所以1190A FB ∠=，所以B 错误；对于C ，设直线:1AB x my =+，与抛物线方程联立，得2440y my --=，设()111,A x y ，()122,B x y ，则124y y =-，11==OA y k x 214=-y y ，因为()121,B y -，所以12OB OA k y k =-=，1,,A O B 三点共线，所以C 正确；对于D ，设AB 的中点为()00,Mxy ，则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取1m =-，可得()3,2M -，所以D 错误.故选：C .8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯B.202421- C.7362-D.811322-【答案】D 【解析】【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤== ;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤==，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 的一个周期为2C.()20231f = D.()()()543f f f =+【答案】ABD 【解析】【分析】对A 选项：由()f x 是R 上的奇函数即有()00f =；对B 选项：由()()11f x f x -=+可得()()2f x f x =+，即可得；对C 选项：由周期性及奇偶性结合即可得；对D 选项：由周期性及奇偶性结合即可得.【详解】()f x 是R 上的奇函数，因此()00f =，故A 正确；由()()11f x f x -=+得()()2f x f x =+，所以2是它的一个周期，故B 正确；()()()20232101111f f f =⨯+=，而()()()111f f f =-=-，故()10f =，故C 错误；()()400f f ==，()()53f f =，因此()()()543f f f =+，故D 正确.故选：ABD .10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 3【答案】BD【解析】【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线l ：y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B 、C 项判断；根据2RS SB = ，求出2b a =，从而可对D 项判断.【详解】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y kx t =+，与双曲线联立22221y kx t x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系得：2122222a kt x x b a k +=-，222212222a b a t x x b a k+=--，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kt a k t N t b a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线l ：y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,at bt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线l ：y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,at bt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段RS 中点222222222,a kt a k t M t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22,a b R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11222ORB R b S OB y OB b ak =⨯=+ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率b a -时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线b y xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线b y xa =-，解得2R ⎛⎫由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R By y y =+=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD .11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu r D.PA ·PC 的最小值为-14【答案】BCD【解析】【分析】根据空间几何的相关知识，逐一分析选项即可.【详解】对于A,假设BD ⊥AP ,AB=AA 1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得222=AB ,,BD BD AD BD AD BD AD D =∴+⊥⋂=，,BD AD ⊂平面ACD 1,则BD ⊥平面ACD 1,因为AC ⊂平面ACD 1,所以BD ⊥AC ,则四边形ABCD 是菱形,AB=AD ,A 不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1得CD 1∥平面ABB 1A 1,所以四棱锥P-ABB 1A 1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;对于C,1AC uuu r =AB +AD +1AA ,AM =AB +12AD ,故2AM -1AC uuu r =AB -1AA =1B A ,故C 正确;对于D,设PC =λ1C D ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λ1C D -AD -AB )·λ1C D =(λ1B A -AD -AB )·λ1BA =(λAB -λ1AA -AD -AB )·(λAB -λ1AA )=λ(λ-1)|AB |2-λ21AA ·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·1AA +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)1AA ·AB -λAD ·AB +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选：BCD .12.已知函数()()e x f x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A ，构造函数()e 1x h x x =+-求导即可判断；对于B ，判断当0a ≤时，是否满足()0e 1x f x a -'=<即可；对于C ，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，由此即可判断；对于D ，只需验证21ln 02a a -->是否恒成立即可，即验证min ()0g a >是否成立即可.【详解】对于A ，因为1a =,所以方程()0f x =即e 10x x +-=，设()e 1x h x x =+-，则()e 1x h x '=-，令()e 10xh x '=-=，得0x =，当0x <时，()e 10x h x '=-<，()e 1x h x x =+-单调递减，当0x >时，()e 10xh x '=->，()e 1x h x x =+-单调递增，所以()()e 1020x h x x h =+->=>，所以方程()0f x =不存在实数根，所以A 错误.对于B ，因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时,由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，所以B 正确.对于C ，由上知，当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-.当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增.综上，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以函数()f x 有最小值，即最小值在ln x a =-处取得，所以C 错误.对于D ，由上知()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证()32ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则2121()2a g a a a a-'=-=.令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >.所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2min ()ln 01l n n 22l 122g a g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，()32ln 2f x a >+恒成立，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A 的关键是构造函数即可；对于B ，验证导数是否恒小于0即可；对于C ，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D ，转换为验证21ln 02a a -->是否恒成立即可.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.【详解】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221x a x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max 21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221x x +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.【答案】273【解析】【分析】先通过23135332919a a a a a a q q ++=++=求出q ，再根据()3468135a a a a a a q ++=++求解即可.【详解】设公比为2313533291,9a q a a a a a q q ++=++=，解得29q =或19，因为{}n a 是递增的等比数列，所以3q =，则()346813539132739a a a a a a q ⨯+=+=++=.故答案为：273.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.【答案】12π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,所以OM AB ⊥,所以12OM OO OO R ===(R 为球O 的半径),所以1AOO 与AOM 全等,所以1AM r =,同理2BM r =，所以12AB r r =+，()()22212121212412O O r r r r r r =+--==，所以12O O =，所以圆台的内切球半径R ，内切球的表面积为24π12πR =.故答案为：12π.16.设0a >，已知函数()()e ln x f x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.【答案】e 2##1e 2【解析】【分析】利用n (l )g x a x x =+的单调性，将不等式变形为e x ax b ≥+恒成立，利用切线或者构造函数,(e )x h x ax b =--结合导数即可求解最值求解.【详解】)0e l ()()(n x f x ax a ax b ax b ≥⇔+≥+++，设n (l )g x a x x =+，由于0a >，易知()g x 在(0,)+∞上递增，且e ln e e e ()x x x x g a ax =+=+，故()()(0e )e x x f x g g ax b ax b ≥⇔≥+⇔≥+.法一:设e x y =在点00(,e )x P x 处的切线斜率为a ，0e x a =，即0ln ,x a =切线):1ln (l y ax a a =+-，由e x ax b ≥+恒成立，可得)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，设21ln )),((0h a a a a =->，)()(12ln 2h a a a '=-，当12)0,e (a ∈时，()0'>h a ，当12(,)e a ∈+∞时，0(),h a '<∴12max e )()2e (h a h ==，∴ab 的最大值为e 2.法二:设(e ,e ())x x h x ax b h x a '=--=-，当(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴min 0()()1)ln ln (h x h a a a b ==--≥，即有)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，下同法一.故答案为：e 2.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A B A B-=+.（1）证明：cos 2a B b =.（2）求a b的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；（2）根据三角形是锐角三角形分析出B 的范围，结合（1）的结论求解出a b 的范围.【小问1详解】证法一：因为21cos sin 22sin cos sin sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B-===+，所以()1cos cos sin sin A B A B -=，所以cos cos cos sin sin B A B A B =+，即()cos cos A B B -=，因为ππ0,022A B <<<<，所以ππ22A B -<-<，所以A B B -=，即2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，即cos 2a B b=；证法二：因为222sin sin 1cos sin 22sin cos sin 22sin 1cos 22cos cos 2sin cos cos 222A A A B B B B A A A A B B B -=====+，所以sin cos cos sin 22A A B B =，所以sin 02A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ0,022A B <<<<，所以π024A <<，所以ππ224A B -<-<，所以02A B -=，所以2A B =，所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得2cos a b B =，即cos 2a B b=.【小问2详解】由上可知2A B =，则π022π02π0π2A B B A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得π6π4B <<，又因为cos 2a B b =，所以2cos a B b =∈，所以a b的取值范围是.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.【答案】（1）0.054（2）827【解析】【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【小问1详解】记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；【小问2详解】由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE P E P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对133(12)(2)2log nk k k k k S a T =--+∑化简，利用裂项相消法求和，分参求λ的取值范围.【小问1详解】因为2330n n S a -+=，①当2n ≥时，112330n n S a ---+=，②①-②得：()132n n a a n -=≥，即()-132n n a n a =≥，经检验13a =符合上式，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知3n n a =，所以()131333132n n n S +--==-，()121221233333n n n nn n T a a a ++++==⨯⨯⨯== ，所以()()312111133333(12)(2)(12)(23)(21)3222log 13log k k k n n n k k k k k k k k k S a k k T k k +===+---+--⨯+-⋅==+∑∑∑111333311k kn nk k k n ++=⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭∑，所以13311n n a n n λ+⋅->++恒成立，即133311n nn n λ+⋅->++，化简得：1133n n λ-+<-，令1133n n n b -+=-，所以112121330333n n n n n n n n b b +-+++⎛⎫-=---=> ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是递增数列，最小值为11111313b -+=-=，所以1λ<，故整数λ的最大值为0.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.【答案】（1）12（2）324k =-【解析】【分析】（1）由条件，转化为关于,a c 的等式，即可求解离心率；（2）方法一：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，利用点到直线的距离，以及条件结合得到22114PQ h A Ph ==，再根据2245A P A Q = ，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；方法二：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点P 的坐标，并结合面积公式，即可求解.【小问1详解】由题可知，122A A a =,由123A F FA =,所以123A F FA = ,所以1123342A F A A a ==,即32a c a +=,所以椭圆的离心率12c e a ==；【小问2详解】法一:由题意知,1,2c a ==，所以椭圆方程为24x +23y =1,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <，设1A 到直线2A P 的距离为1h ，F 到直线2A P 的距离为2h ，则1h =，2h =，又1112A PQ S h PQ =⋅ ,22212A FP S h A P =⋅ 12A PQ A FP S S = ,所以22114PQ h A Ph ==，由图可得2245A P A Q = ,又因为()22,0A ，()0,2Q k -,所以28,55P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得298k =,因为0k <,所以324k =-,法二:由题意知,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <,联立2220143kx y k x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到方程()2222341616120k x k x k +-+-=,所以222161234A P k x x k -⋅=+,所以228634P k x k -=+,代入直线方程得2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,()0,2Q k -,22122P A FP P y S A F y =⋅= ,()112121142422A PQ QA A PA A P S S S k y =-=⋅⋅--⋅ 又因为12A PQ A FP S S = ,所以542P y k =-,所以25124234k k k -⋅=-+,解得298k =,因为0k <,所以324k =-.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质结合线面垂直的判定定理即可得；（2）证明DA ，DC ，DP 两两垂直后建立空间直角坐标系，设出N 点位置后表示出两面夹角的余弦值后结合换元法与分式求最值的方式即可得.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又 PD ⊂平面PCD ,∴AD PD ⊥，同理CD PD ⊥，又 AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由(1)知AD PD ⊥，CD PD ⊥，AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点,DA 、DC 、DP 所在直线分别x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AD ==，则()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M ，PD ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设()01CN CP λλ=≤≤，有()2,2,1BM =-- ，()0,2,2CP =-，则()2,2,2BN BC CN BC CP λλλ=+=+=--，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z =，则·220·2220BM n x y z BN n x y z λλ⎧=--+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，取x λ=，则12y λ=-，22z λ=-，故平面BMN 的一个法向量为(),12,22n λλλ=--，设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,m n θ==，设1t λ=-，则01t ≤≤，①当0=t 时,cos 0θ=，②当0t ≠时，cosθ===，当23t=时，22cos3θ=，故220cos3θ≤≤，综上,220cos3θ≤≤，即平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦.22.已知函数()()21ln02f x x x ax a=->.（1）若函数()f x在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;（2）若函数()f x有两个极值点()1212,x x x x<,证明：121x xa>.【答案】（1）1a≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，()0f x'≤恒成立，即ln1xax+≥恒成立，构造函数()ln1xh xx+=，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；（2）方法一：由（1）得01a<<，转化为()1212,x x x x<是()g x的两个零点，求导得到()g x单调性，得到12101x xa<<<<，换元后即证1ln e10tt-+-<，构造()1ln e1tG t t-=+-()01t<<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；方法二：先证明引理，当01t<<时,()21ln1ttt-<+,当1t>时,()21ln1ttt->+，变形得到只需证()212lna x x a+>-，结合引理，得到()2222ln2ln10a x a a x a+-++>，()2211ln2ln10a x a a x a+-++<，两式结合证明出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln f x x ax '=+-，由题意()0f x '≤恒成立，即ln 1x a x+≥恒成立，设()ln 1x h x x +=，则()221ln 1ln h x x xx x'==---，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()ln 1x h x x +=单调递增,当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()ln 1x h x x+=单调递减,∴()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 11h x h ==，故1a ≥；【小问2详解】证法一：函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<，设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,又因为()110g a =->，所以12101x x a<<<<，要证121x x a >,只需证2111x ax a >>,只需证()211g x g ax ⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()20g x =，即证()111111ln 0g ax ax x ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，即证()111ln 10ax x +-<，由()111ln 10g x x ax =-+=,设()10,1ax t =∈,则1ln 1x t =-,11e t x -=,则()1111ln 10ln e 10t ax t x -+-<⇔+-<,设()1ln e1tG t t -=+-()01t <<，()1111e e et t t tG t t t ----'=-=，由(1)知ln 11x x+≤，故ln 1≤-x x ,所以1e x x -≥,1e 0t t --≥,即()0G t '≥，()G t 在()0,1上递增，()()10G t G <=,故()111ln 10ax x +-<成立,即121x x a>；证法二：先证明引理:当01t <<时,()21ln 1t t t -<+,当1t >时,()21ln 1t t t ->+，设()()()21ln 01t M t t t t -=->+,()()()()222114011t M t t t t t -'=-=≥++，所以()M t 在()0,∞+上递增,又()10M =,当01t <<时,()()10M t M <=，当1t >时，()()10M t M >=，故引理得证，因为函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<,设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,即1201ax ax <<<，要证121x x a>,只需证12ln ln ln x x a +>-，因为11221ln 01ln 0x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，即证()212ln a x x a +>-，由引理可得()()222221ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=>+,化简可得()2222ln 2ln 10a x a a x a +-++>①，同理()()111121ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=<+，化简可得()2211ln 2ln 10a x a a x a +-++<②，由①-②可得()()()()2212121ln 20ax x x x a a x x +-+-->，因为210x x ->，0a >，所以()21ln 20a x x a ++->，即()212ln a x x a +>-,从而121x x a>.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

数学II （附加题）
21. 【选做题】在下面A,B,C,D 四个小题中选择两题作答，每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.
A ．选修4—1 几何证明选讲
如图，圆O 的直径是AB =4，C 为圆周上一点，BC =2，过点C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点,D E ，求DAC ∠的度数与线段AE 的长.
求证:2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=
A
B ．选修4—2 矩阵与变换
求圆C ：22
4x y +=在矩阵A 2010⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的变换作用下的曲线方程.
C ．选修4—4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为1ρ=与2sin ρθ=，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
D ．选修4—5 不等式证明选讲
已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin .a
b c θθ+
<
22θθ<
【必做题】第22题和第23题为必做题, 每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.
22. 随机地将编号为1、2，3的三个小球放入编号为1、2，3的三个盒子中，每个
盒子放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对求”，否则叫做“放错求”，设放对求的个数为ξ.
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望.
23. 当1n >，*n N ∈时，
（1）求证：1
23212123(1)(1)n n n n n n n c c x c x n c x
n x ---++++-=+L ； （2）求和：212223212123(1)n n n n n n
n c c c n c n c -++++-+L .。

江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第二次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知1．已知集合{}2340,{12},A xx x B x x =+->=-<∣则()RA B =（ ）A ．{11}xx -<∣ B ．{13}x x -<<∣ C ．{13}xx <<∣ D ．{11}x x -<<∣2．已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A ．33i -B ．13i -C ．13i +D ．33i +3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数ln ||()e ex xx f x -=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．点P 为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点，直线2x p =交抛物线C 于M ，N 两点，若PMN 的面积为20，则p =（ ）A ．1B C ．2D 6．已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．29-B ．29C ．79-D ．7 97．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]-B ．(2,4)-C ．[2,2]-D ．(2,2)-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，面1111D C B A 的交线长为（ ）A ．2π B CD ．π9．已知向量(1,3),(2,1),(3,5),a b c ==-=-则（ ） A ．(2)//a b c + B ．(2)a b c +⊥C ．||10a c +=+D ．||2||a c b +=10．已知实数x ，y 满足322,124,x y x y -<+<-<-<则（ ） A ．x 的取值范围为(1,2)- B ．y 的取值范围为(2,1)- C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-11．已知函数()2sin()||2,f x x πωϕωϕ+⎛⎫=+∈<⎪⎝⎭N 的图象经过点A ，且()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω= B ． 6πϕ=C ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在(0,2)π上有3个极小值点12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式ee (ln 1)xmx x -+e32()3e f x x x x ⎡⎤--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e- 13．在等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=-，则数列{}n a 的公差为_________. 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.15．已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是_________.17．在ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3B π=.（1）若4,3a c ==，求sin A 的值（2）若ABC的面积为ABC 周长的最小值.18．在①1120(2)n n n a a a n +--+=且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .19．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.20．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，||2AB =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF t AF BF +=恒成立.若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.二、解答题22．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC B —C 1D —B 1的大小.。

苏州市2020届高三年级二模模拟试卷参考公式:1锥体的体积公式： V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.3•填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应的位置上1.已知集合 A={0 , 1, 2,3}, A U B={x|0v x < 2},则 A A B = ▲2. i 是虚数单位，则|匕|的值为 ▲.3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为3x ±4= 0,则双曲线的离心率为▲.4. 阅读如图所示的流程图，若输入的n 是100, 则输出的变量S 的值是 ▲.5. 某高校数学学院 A,B,C 三个不同专业分别有800,600,400 名学生，为了解学生的课后 学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个 专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专 业抽取的学生人数为▲2020年5月6. 在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1 ,2,3,4,5出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为7. n n已知函数f(x)=cos(2x+ $ )( | J 的一个对称中心是(3,0),8. 如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 中，AB=1, BC=2, BB 1=3,U ABC=90 °点D 为侧棱BB 1上的动点，当AD+DC 1最(第8题图)9. 小时，三棱锥D — ABC 1的体积为 _▲设周期函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3,且满足 f(1)>— 2,3 f(2) = m—m ,则m的取值范围是______ ▲10. 如图，在由5个边长为m, —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲11. 等差数列｛a n｝的公差为d,关于x的不等式》x2+( a i-2) x+ c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n｝的前n项和S，最大的正整数n的值是▲.12. 在厶ABC中,已知边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若2 2 2 …2sin B+ 3sin C = 2sin A sin Bsin C+ sin A ,贝V tan A= ▲.2 213. 已知圆O: x +y =4与曲线C: y=3| x —t |,曲线C上两点A(m,n),B(s,p) ( m、n、s、p均为正整数),使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k(k>1),则m s- n p= ▲2x(x-1) (s<t),14. 函数f(x) = x其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数r的取值范围是▲.、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟15. (本小题满分14分)如图，四棱锥S-ABCD 中，SD丄底面ABCD, AB//DC, AD丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M ,N分别为SA, SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE=2EB.(I )证明：MN〃平面ABCD; (n )证明：DE丄平面SBC.16. (本小题满分14分)C (第15 题)(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 .'2, 求 sin (2B + A )的值.在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 a，b,c.满足壮sin C sin A + sin B某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB=40, BC=16, O为AB上一点,且B0=8,线段0C、0D、MN为表演队列所在位置(M, N分别在线段0D、OC上), 点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12,记OM=d,我们知道当△ OMN面积最小时观赏效果最好.(1) 当d为何值时，P为队列MN的中点？(2) 怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时d的值.18. (本小题满分16分)X2 y2已知椭圆C:尹+話=1 ( a>b>0).(1) 若椭圆的离心率为三3,且点(1‘三3)在椭圆上，①求椭圆的方程；②设P(- 1,—亍),R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M , N ,求直线MN的方程.(2) 设D(b, 0),过D点的直线I与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，DF=2ED，求椭圆离心率的取值范围.x已知函数f(x)= ——ax+aInx ,其中a>0.x(1) 若函数f(x)在(1,+ 8)上单调递增，求实数a的取值范围；1 1 1 1(2) 若函数g(x) = f(x) + a(Inx+-)有三个极值点X1, X2, X3,求证:—+ —+ —>2.x X1 X2 X320. (本小题满分16分)已知数列｛a n｝的通项公式a n=2n—(—1) n,n € N*.设a n1?a n2,…a n t(其中n1 v n2< n t, t €N*)成等差数列.(1) 若t=3.①当门1, n2, n3为连续正整数时，求n1的值；②当n1=1时，求证:n3—n2为定值；(2) 求t的最大值.苏州市2020届高三年级二模模拟试卷数学参考答案与讲评填空題本大题共14小题.每小题?分.共70分请把答案填写在笥逼卡楫审够俚単上1. 已知2,3},/jU^^{x|0<jr<2|J则刖" 血•［］进行愛址的运節即可.【辅於】解’ v/* = J0，L. 2, 31.月土klovYQ：= ・2|.故科冀対："・21 -【点讦】町査描谨法、列举法的定込.以斥交如的话詔.2. /呂啦数帆忆则廿的值为 A -（分析】M按利Jil商的樽等J收的商求制.占■册］•护密故捋£为I +I点评】本地曹音更散模的畑E城础的il阿3. C知花点在工轴上的期业线的渐近线方程为3^4v-O.则双曲线的离心率为右、{甘析】谡尊曲馥的力程为伫一乍=1佃上》叭剧帮近践方程为尸±色厂tf|^.&Hl^- = -r由取曲纯「 a h f a a 4 b,（的关基和离住爭公氏.讣障即吋得貿所求佰.【解匸】解：由渐近线方畀为3T±"-0■即鋼近线万艸从=±2仆4进収由竝的方悝为£-匚・1仏小叭剜渐蚯址方出为£ =』—1卯注昌・Jal Jfa£V dl4. 间读如阳所示的流程I孔若输人的fffi m 則输出的变就$的值是▲高三橄掌參考答更与讲评（汕M6-2）第I页共1、页ill 5*100+99 * 9*4,.. t 2 的 fit傭民序的作用是累加」|■號丽£-140*99+9X*…+2vi （n-w *yw <-... + it 5wv.故褂寓为* MMV.I 点许）恨番豪程圉t 或谕优耳程序的运恬箱聲・是弊袪站-欖抉最■■附程蚩・其虻理片決星t ①井忻港風图I 或伪牝码人从迪程图I 或仙代叫》申IM 變井忻曲计第許美醛・丈楚皆析出聲耳讣算的11塞的数据I 上较拐.也町怯用出幡対和描连存莎枷计丘）令£注机独学悵T!・HUKE •叽 析加曝,选择恰艸的樹学禅忖解廡.5. 某岛校数学学险#」〕.「 伞不同“业分别W800,600,400名学生,为了解学生的课匸 学习时他用分层抽样的方注从救学集这二个&业申抽呱？6名学生进行训査，JH 应从/ V 业抽取的学岂人数为■ 一（W1科用分层并样的桂盛J&接求解.【端丼】絡 杲料楡赵学学阪才.H. <'二小不刈片住分岁Hl S00. 600.收山学斗. 用井曲样1»方法从献乎昭这十业中捕联殆45*1进行■脊*咖H 专业抽収旳孚牛.人朝为I 拥h —空 __________ d«W-»-M0+400叙魯峯弘丨鼠【心评】丰越对誉鱼从川专业■!（的孚生人數的#iA.粤协祥的性喷琴基总揃识・ 力’足刑购理，6. 九杲宁樓图丐甫的曲架匕随意放着抽号为1 .2.3.4」的五本书*若某同学从中任意施岀2本书・则选出的2本书编号相连的槪率希▲.高三做半曹考畔奏口讲评（2ti2<]^.2） 第2页 共“页【仔折】槪据溉和图怖水的■序,用足*"打1■愉【卜析】比求出展本事件惡敷” t; ]0.再別用歼举滾求出量出的号榊建直書的崔聿那fHM #*由此椎朮出邊出的2本展堰号村连的It 半-t 惋淮】鼬:合.盟学妆用MtF 的仍梨丄尿心血？!備弓为I ，1,齐J. 3拘血九叽墓同雜从中梓盘(till 】事书* 臥和笛总数"U ■叭11出的2 4 H 堀I ；棚辻也需甘備“轉fl. 0 2b (W (i4H (4.5)-共 4 坤*.-谨出妁2狀祐編号毎1隹的槪丰为』=営=扌" 趙祥耀刃r |.【点评】*■专査欄宰的車谨*扌誉古H 觀昱*弭年汕乌从础如凹，考■远尊集林能力.SSMI■・1 L1知歯妙・)=ww(2r+<l0(刚今的•伞对秫中心圧点叽 则甲的愷九 ▲.【仔析1寂聊:沽術歎的Wit. IT 心丹旌^求好!：U 叮.[W?rJ v 的’T ■肘祢呻心足(£』]・P rK y.'.*|4 - out ・ 丁•一兰. 6施杵£为1 -fi【血in 帛思上蔓号应和嗟説前利用甘称1±矍$衣糧足鲜出成■输就or 比壮施黜.£ 如乱 在离二棱柱止执一AiBiG 中M 沪I .BT =2.胡LX .乙1BO 今尸，戌Q 为砒踽 上的动点*当虽 小时+二:辕貳"一3旷1的休积为血（XUJK 匹）[甘析】轩收亍fit 柱締C-#冨匚属开训中Hi/CVMr 如围・ats JC,»奁昭F4 此时初# DC ；歳餐■|J uo rx;HD = I .吐时 xwr D-^*r,的怀樑i 匚 出山此施我出站案,押炉=&才一兰+ A e 7 ■ 6高三费羊善苇斧奏口讲评〔加却乩x 第耳页共1、页【忙幹】X ：粕丫 附柑“诃匚展开眩申瑶“VM+ （nffl.4JJ , I n.」UH 肿*X ；■小./ AB^i, BC*l r JU, ■!・ £t ・C ・90V 点。

2019-2020学年江苏省“百校大联考”高三（上）第二次考试数学试卷（10月份）副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，若A∩B={2}，则实数a的值为______．2.函数y______．3.“实数m=-1”是“向量______的条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空）．4.0，+∞）上是单调递减函数，则整数m的取值为______．5.tan（π-α）的值是______．6.设向量，，均为单位向量，且______．7.个单位长度后关于原点对称，=______．8.已知函数______．9.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，cos C的值为______．10.设函数f（x）=e x-e-x+1，则不等式f（2x2-1）+f（x）＜2的解集为______11.对任意的x∈（0，+∞a的取值范围是______．12.如图所示，P，Q两点（可与A，B两点重合）是在以AB为直径的上半圆弧上的两点，且AB=4，∠PAQ=60°______．13.已知直线l与曲线y=sin x l与曲线y=sin x的图象交于点B（β，sinβ），若α-β=π，则tanα的值为______．14.4个不等的实根，则实数a的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知m为实常数．命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0；命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16.（1）求函数f（x）的单调递增区间；（217.在△ABC中，点D为边AB的中点．（1）若CB=4，CA=3（2△ABC的形状．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，在线段AB上取一点M，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B恰好落在矩形的左边AD边上．设折痕所在直线与BC交于N点，记折痕MN的长度为l，翻折角∠BNM为θ．（1）探求l与θ的函数关系，推导出用θ表示l的函数表达式；（2）设BM的长为xcm，求x的取值范围；（3）确定点M在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19.（1）当x∈[1.5]，且a≥0时，试求函数f（x）的最小值；（2a的取值范围．20.已知函数f（x）=x3-3x2+px+q，其中p，q∈R．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求p，q的值；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）若函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n），对任意的x∈[m，n]，不等f（x）≤14+p恒成立，求p的取值范围．答案和解析1.【答案】2【解析】解：∵集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，∴a=2，或a+1=2，当a=2时，B={2，3}，A∩B={2}，成立；当a+1=2时，a=1，B={1，2}，A∩B={1，2}，不成立；综上，实数a的值为2．故答案为：2．由集合A={1，2，4}，B={a，a+1}，A∩B={2}，得到a=2，或a+1=2，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】（1，2]【解析】解：∴0＜x-1≤1，解得1＜x≤2，故答案为（1，2]．由函数的解析式可得0＜x-1≤1，由此解得x的范围，即为所求．本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．3.【答案】充分必要【解析】∴3m-（m-2）=0，解得m=-1．“实数m=-1故答案为：充分必要．利用向量共线定理、简易逻辑的判定方法即可得出．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】1【解析】0，+∞）上是单调递减函数，∴m2-2m＜0，解得0＜m＜2，则整数m的取值为1，故答案为：1．根据幂函数的定义和单调性即可求出m的值．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.【答案】-2【解析】解：∴-2cosα=-sinα，可得tanα=2，∴tan（π-α）=-tanα=-2．故答案为：-2．由已知利用诱导公式可得-2cosα=-sinα，根据同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】90°【解析】解：∵θ，1+2×1×1×cosθ+1=2，求得cosθ=0，∴θ=90°，故答案为：90°．由题意利用两个向量的数量积的定义，夹角．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．7.【解析】得到y=sin[2（x+φ]=sin（2x+φ-此时函数关于原点对称，则φkπ，k∈Z，则φ=kπ，∵|φ|＜∴当k=0时，则f（x）=sin（2x（2×）=sin根据三角函数的平移关系，求出函数的解析式，结合原点对称求出φ的值，即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．8.【答案】9【解析】解：∵f+2=f（）+4=f（）+6=f（-）+8=sin（-）+8=9．故答案为：9．f+2=f+4=f+6=f（+8=sin（+8，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【解析】A∈（0，π=ca cos B，得tan B=，B∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B，故答案为：利用三角形面积公式和数量积由已知条件得到角B，之后利用cos C=-cos（A+B）即可得解．此题考查了数量积和三角形面积，两角和公式等，难度不大．10.【答案】{x【解析】解：令g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，∵f（x）=e x-e-x+1=g（x）+1，∵f（2x2-1）+f（x）＜2，∴g（2x2-1）+1+g（x）+1＜2，∴g（2x2-1）+g（x）＜0，∴g（2x2-1）＜-g（x）=g（-x），∴2x2-1＜-x，故答案为：{．构造函数g（x）=e x-e-x，则g（-x）=-g（x），且g（x）在R上单调递增，然后结合已知不等式可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是构造函数g（x）且灵活利用函数的性质．11.【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】解：对任意的x∈（0，+∞令f（x）=ln x-x，x＞0，可得：f′（x）∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）≤f（1），f（1）=-1，∴f（x）的最大值为-1．-1，解得a∈（-∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．由导数求出函数的单调区间，由单调性求出函数的最大值本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】[0，4]【解析】，两个向量的夹角是定值，建立直角坐标系如图：当Q与B重合时，P（1是最大值，当P与A是数量积的最小值，[0，4]．故答案为：[0，4]．判断Q的位置以及P的位置，通过向量的数量积的表达式，然后求解数量积的范围．本题考查向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．13.【解析】解：设y=f（x）=sin x，则f′（x）=cos x，所以l的斜率k=f′（α）=cosα，所以切线l方程为：y-sinα=cosα×（x-α），又知道直线l与曲线y=sin x的图象交于点B，所以sinβ-sinα=cosα•（β-α），因为α-β=π，所以β=α-π，所以sin（α-π）-sinα=-πcosα，即2sinα=πcosα，所以根据题意求出切线方程，又切线过B点，则B点坐标满足切线方程，再将β用α表示即可得到结果．本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，考查了诱导公式，属于基础题．14.【解析】设t=f（x），则t＞1时，t=f（x）有1个根，当t=1时，t=f（x）有2个根当0＜t＜1时，t=f（x）有3个根，当t=0时，t=f（x）有1个根，4个不等的实根等价为t2-2at+a2（m∈R）有2个相异的实数根t1，t2满足的情况如下：，a或综上，则实数a的取值集合为（，）将函数f（x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.【答案】解：（1）命题p：∃x∈（1，2），x2+x-m=0，p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，由y=x2+x在x∈（1，2）递增，可得x2+x的值域为（2，6），则2＜m＜6，可得m的范围是（2，6）；（2）命题q：函数f（x）=ln x-mx在区间[1，2]上是单调递增函数，q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，即有m[1，2]恒成立，由1]，可得m命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，可得p，q中一真一假，若p真q2＜m＜6；若p假q m综上可得，m的范围是（-∞，]∪（2，6）．【解析】（1）p真，可得m=x2+x在x∈（1，2）有解，运用二次函数的单调性，即可得到所求范围；（2）考虑q真，可得f′（x）m≥0在[1，2]恒成立，运用参数分离和反比例函数的单调性，求得最小值，可得m的范围，由复合命题的真值表可得p，q中一真一假，得到m的不等式组，解不等式即可得到所求范围．本题考查复合命题的真假，以及方程有解的条件和含参函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）f（x），由k∈Z，k∈Z，故f（x）的增区间为[，k∈Z．（2，=，=k∈Z，，或k∈Z，，或=sin2π=0，0．【解析】（1）利用数量积得到f（x），通过三角变换化简，利用三角函数的单调区间列不等式求解即可；（2）把所给条件化为三角函数方程，求得角α，代入所求正弦值结合周期性可解．此题考查了向量数量积，三角变换，三角求值等，难度不大．17.【答案】解：（1）∵D为AB的中点，=；（ⅡAC|2化简得|AB|2=|AC|2+|BC|2，故△ABC为直角三角形．【解析】（1）利用D（2）把，再利用数量积结合余弦定理转化为三边关系，确定三角形为直角三角形．此题考查了向量数量积，余弦定理等，难度适中．18.【答案】解：（1）设顶点B翻折到AD边上的点B′，则由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，因为l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l即l与θ的函数表达式为l由题意得θ∈（0l sinθ≤6，所以，又由l cosθ≤12，可知θ∈；（2）x=l（1+tan2θ），当θ∈时，tanθ∈1]，解得x≤6，则x的取值范围是6]，；（3）S设g（θ）=sinθcos2θ，则g′（θ）=cosθ（cos2θ-2sin2θ）=cosθ（1-3sin2θ）=cosθ（）（），当g′（θ）=0时，θ=θ1，当g′（θ）＞0时，sinθ＜g（θ当g′（θ）＜0时，sinθg（θ）单调递减，此时θ所以，g（θ）≤g（θ1），S≥BM=3（1+tan2θ）=2，所以，当BM=2时，翻折后重合部分的三角形面积最小．【解析】（1）由题得BM=B′M=l sinθ，AM=l sinθcos2θ，根据AB=AM+BM，列出l sinθ+l sinθcos2θ=6，所以l（2）x=l（1+tan2θ），根据θ范围求出x范围即可；（3）S本题考查三角函数模型的是实际应用，涉及求解析式，利用导数求最值等知识点，属于中档题．19.【答案】（1）①当a=0时，，f（x）单调递减，∴f（x）min=f（5）=-5+ln5，②a＞0时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，综上：当a≥0（2）①当a=-1f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x＞1时，f（x）+1-＞f（1）+1-，不符合题意，②当-1＜a＜0时，f（x）在（0，1）和（+∞）上单调递增，在（1减，∵-1＜a＜0，得，4-3+ln4+0＞0，不符合题意，③当a＜-1时，f（x）在（，1）上单调递减，f（x）f（1），不符合题意，④当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f（x）f（1），符合题意，综上：实数a的取值范围是[0，+∞）．【解析】（1）求出f（x）的导数f'（x），得出a≥0时，f（x）在[1，5]上单调递减，求出f（x）的最小值为f（5）；（2）分类讨论，求出f（x）转化为f（x）的最值问题进行求解．本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，分类讨论是本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）f'（x）=3x2-6x+p，由题意可知切线斜率f'（1）=-1，且f（1）=2，∴p=q=2；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则x1+x2=2∴f（x1）+f（x2）==2p+2q-4=2（p+q-2），∴f（x1），p+q-2，f（x2）成等差数列；（3）由函数f（x）有三个零点0，m，n（m＜n）得q=0，且x2-3x+p=0的两个根为m，n，∴f'（x）=3x2-6x+p=0有两个不等实根，不妨设为u，v（u＜v），0＜m＜v＜n，函数f（x）在[m，v]上单调递减，在[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，则f（x）≤0≤14+p恒成立，②当p∈（-∞，0）时，m＜u＜0＜v＜n，f（x）在[u，v]上单调递减，在[m，u]和[v，n]上单调递增，又f（m）=f（n）=0，f'（u）=3u2-6u+p=0f'（u）=3u2-6u+p=0∴f（x）max=f（u）=u3-3u2+pu=u（u2-3u+p）≤14+p （*）t＞3*）式化简得3＜t≤6，∴-9≤p＜0，【解析】（1）求出f'（x），由题意f'（1）=-1，且f（1）=2，解出即可；（2）由f'（x）=0得韦达定理，利用等差中项定义即可证出；（3）由题意有f（0）=f（m）=f（n）=0，得q=0，且f'（x）=0有两个不等实根，设为u，v，分类讨论得出f（x）的最大值，再代入到不等式进行求解．本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，本题中（3）计算量较大，计算时须格外小心．。

名师精准押题绝密★启用前|试题命制中心2020年第二次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{}{2,0,1,8},6,0,8,9A B ==,则集合AB 中元素的个数为___________.2．运行如图所示的流程图,若输出的S =2,则正整数n 的最小值为___________.3．设复数(32i)(1i)z =+-（i 是虚数单位）,则z 的共轭复数为____________.4．在区间[]22ππ-，内任取两个数分别记为,p q ,则函数22()21f x x px q =+-+至少有一个零点的概率为___________.5．将函数()4cos(2)3f x x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到的图象关于原点对称,则m 的最小值是___________.6．一个圆锥SC 的高和底面半径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等,则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为___________.7．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ,若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列,则数据x 的所有可能值的和为___________.8．已知,x y 满足约束条件1,14,21,y x y x x ≥+⎧⎪⎪≤-+⎨⎪≥⎪⎩则2x z y +=的取值范围为___________.9．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[2,2]a b ,则a b +的值为___________.10．已知M 、N 是离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点,P 是双曲线上的动点,且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠,则12||4||k k +的最小值为___________.11．已知等比数列{}n a 的前n 项和、前n 项积分别为,n n S P ,若2323S S =,51P =,则201821i i a ==∑___________.12．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若22cos cos cos a Abc B C=,则最小的内角A 的值为___________. 13．已知函数3(1)()2ln(2)(1)x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨⎪+>-⎩,如果存在实数,m n ,其中m n <,使得()()m f f n =,则n m -的取值范围是___________.14．在平面直角坐标系xOy 中,若直线12y x m =+上存在一点A ,圆22:(2)4C x y +-=上存在一点B ,满足4OA OB =,则实数m 的取值范围为___________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）设()f α=⋅m n ,其中向量1,),(2sin ,cos 1)4242ααα==-m n . （1）若()1f α=-,求cos()32απ-的值；（2）在ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos cos 2cos 0a B b A c C ++⋅=,求函数()f A 的取值范围.16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC 为正三角形,PA ⊥平面ABC,PA =,点,,D E N 分别为理综押题【绝密】名师精准押题,,PB PC AC 的中点,点M 为DB 的中点.（1）求证：MN ∥平面ADE ； （2）求证：平面ADE ⊥平面PBC . 17．（本小题满分14分）有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD ,园区一端是观景湖EHFCD （注：EHF 为抛物线的一部分）.现以AB 所在直线为x 轴,以线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy .观景湖顶点H 到边AB 的距离为18百米.17||||8EA FB ==百米.现从边AB 上一点G （可以与A 、B 重合）出发修一条穿过园区到观景湖的小路,小路与观景湖岸HF 段相切于点P .设点P 到直线AB 的距离为t 百米.（1）求||PG 关于t 的函数解析式,并写出函数的定义域；（2）假设小路每米造价m 元,请问：t 为何值时小路造价最低,最低造价是多少？ 18．（本小题满分16分）如图,已知,A B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,,P Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB △和PQA △面积的比值. 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 共有*(3,)M M M ≥∈N 项,其前n 项和为n S ()n M ≤,记n M n T S S =-.设**(,,)n n n b S T n M M n =-≤∈∈N N .（1）若7M =,数列{}n a 的通项公式为21n a n =-,求数列{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n b 的通项公式为2n n b =, ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 中是否存在不同的三项按一定次序排列后构成等差数列？若存在,求出所有的项；若不存在,请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数21()(0)e x x f x x -=>,1()ln 2g x x x =-（其中e 为自然对数的底数）.（1）分别求函数()f x 和()g x 的极值点；（2）设函数()()()(0)h x f x ag x a =->,若()h x 有三个极值点, ①求实数a 的取值范围；②求证：函数()h x 的两个极小值相等.数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。