新课标人教A版高中数学选修2-2课程纲要

新课标人教A版高中数学选修2-2新课标人教A版高中数学选修2-2是高中数学课程中的一个重要组成部分，它旨在帮助学生深化对数学知识的理解，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

本课程内容涵盖了概率论与数理统计、导数及其应用、积分及其应用等几个重要领域，为学生提供了进一步学习数学的基础。

首先，概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支，它在科学研究、工程设计、经济管理等领域都有着广泛的应用。

在这部分内容中，学生将学习到随机事件的概率计算、概率分布、期望值和方差等基本概念，并通过实例学习如何运用这些知识来解决实际问题。

例如，通过掷骰子、抽卡片等简单实验，学生可以直观地理解概率的概念，并通过计算来预测事件发生的可能性。

其次，导数及其应用是微积分的核心内容之一。

导数描述了函数在某一点处的变化率，是研究函数性质的重要工具。

在这部分内容中，学生将学习到导数的定义、求导法则、导数的应用等。

通过学习导数，学生能够更好地理解函数的增减性、极值点等性质，这对于解决物理、工程等领域的问题具有重要意义。

最后，积分及其应用是微积分的另一重要部分。

积分是导数的逆运算，它可以用来计算曲线下的面积、物体的重心位置等。

在这部分内容中，学生将学习到不定积分、定积分、积分的应用等。

通过学习积分，学生能够掌握求解面积、体积、质量等问题的方法，这对于理解自然界和工程问题具有重要作用。

总之，新课标人教A版高中数学选修2-2不仅为学生提供了丰富的数学知识，还培养了他们的数学思维和应用能力。

通过学习本课程，学生将能够更好地理解数学在现实生活中的应用，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S

人教版新课标高中数学A版选修2-2人教版新课标高中数学A版选修2-2是高中数学教学中的一个重要组成部分，它旨在深化学生对数学知识的理解和应用能力，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

本册教材内容涵盖了多个数学领域，包括概率论、统计学、几何学、代数学等，每个领域都包含了丰富的知识点和实际应用。

首先，概率论部分介绍了随机事件、概率的计算方法、条件概率以及独立性等基本概念。

通过学习这些内容，学生能够理解现实生活中的随机现象，并能够运用概率知识来解决实际问题。

例如，通过计算概率，学生可以评估某种事件发生的可能性，这对于决策制定和风险评估具有重要意义。

其次，统计学部分则更加注重数据的收集、整理和分析。

学生将学习如何设计调查问卷、收集数据、进行描述性统计分析以及推断性统计分析。

这些技能对于理解数据背后的信息至关重要，也是现代数据分析和数据科学的基础。

在几何学方面，选修2-2深入探讨了空间几何和解析几何的知识。

学生将学习到空间中的点、线、面的位置关系，以及如何使用坐标系来描述和解决几何问题。

这部分内容不仅有助于提高学生的几何直观能力，也为后续的高等数学学习打下了坚实的基础。

代数学部分则包括了多项式、矩阵、行列式等重要概念。

学生将学习如何进行多项式的运算、因式分解，以及如何使用矩阵和行列式来解决线性方程组。

这些知识在工程、物理、经济学等多个领域都有广泛的应用。

此外，本册教材还特别强调了数学建模的重要性。

数学建模是一种将实际问题抽象成数学问题，并用数学方法求解的过程。

通过数学建模，学生能够更好地理解数学与现实世界的联系，提高解决实际问题的能力。

总之，人教版新课标高中数学A版选修2-2是一本内容丰富、结构严谨的教材。

它不仅涵盖了高中数学的核心知识点，还注重培养学生的数学思维和实践能力。

通过学习本册教材，学生将能够更好地理解数学的内在逻辑，提高解决复杂问题的能力。

课前探究学习
课堂讲练互第动二十五页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
②假设当 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即 ak＝k＋11k＋2， 则当 n＝k＋1 时，Sk＝k·k2＋1ak，① Sk＋1＝k＋12k＋2ak＋1，②
课前探究学习
课堂讲练互第动二十六页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
误区警示 未应用归纳假设而导致错误
【示例】 证明：12＋212＋213＋…＋2n1－1＋21n＝1－21n(n∈N*)
[错解] (1)当 n＝1 时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．
(2)假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时，等式成立，即12＋212＋213＋…
＋2k1－1＋21k＝1－21k，
(4 分)
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：
1 an＝ n2
n－12
n＝1， n≥2，
(6 分)
下面用数学归纳法证明当 n≥2 时，an＝n－n212.
①当 n＝2 时，a2＝2－2212＝22，
所以等式成立．
课前探究学习
课堂讲练互第动十一页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
题型二 证明与自然数 n 有关的等式 【例 2】 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1
＋n＋1 2＋…＋21n. [思路探索]
课前探究学习
课堂讲练互第动十二页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
(8 分)
课前探究学习
课堂讲练互第动二十页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
②假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立， 即 ak＝k－k212， 则当 n＝k＋1 时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2， ∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2. ∴ak＋1＝a1·a2k·…＋·1ak2－1·ak ＝kk＋－1122·[k＋k－11－21]2＝[k＋k＋11－21]2， 所以当 n＝k＋1 时，结论也成立．(11 分)

课前探究学习
课堂讲练互动第十页，编辑于星活期页一：规点范二十训一分练。
3．复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分 化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接 约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积 是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分 式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分 母的共轭复数)，并把结果化简即可． 也就是说ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0)．
课前探究学习
课堂讲练互动第九页，编辑于星活期页一：规点范二十训一分练。
②z·－z ＝|z|2∈R(因为 z·－z ＝(a＋bi)(a－bi) ＝a2＋b2＝|z|2)；
③z＋－z ＝2a 为实数；z－－z ＝2bi(b≠0)为纯虚数； ④z 为实数⇔z＝－z ； ⑤z 为纯虚数⇔z＋－z ＝0 且 z≠0.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课前探究学习
课堂讲练互动第一页，编辑于星活期页一：规点范二十训一分练。
【课标要求】 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念． 【核心扫描】 1．复数代数形式的乘法和除法的运算．(重点) 2．共轭复数的概念及i的幂的周期性．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动第二十三页，编辑活于页星期规一：范点训二十练一分。
题型三 复数的乘方运算
【例 3】 计算(1)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 010；
(2)－21＋＋2i312i9＋－1＋2 23＋3ii110000.
(1)可利用等比数列的前 n 项和公式；

课前探究学习
课堂讲练互动第十一页，编辑于活星页期一规：点范二训十分练。
证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除． ②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当 n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除， 而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除， 所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．
课前探究学习
课堂讲练互动第二十页，编辑于活星页期一规：点范二训十分练。
＝12(k＋1)[(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N*(n≥2)命题都成立．
课前探究学习
课堂讲练互动第二十一页，编辑活于页星期规一：范点训二十练分。
题型四 归纳—猜想—证明 【例 4】 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成
＝1－kk＋k＋121－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 <1－kkkk＋＋112＝1－k＋1 1，
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立．
课前探究学习
课堂讲练互动第七页，编辑于星活期页一：规点范二十训分。练
用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳 假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等 式．
课前探究学习
课堂讲练互动第十三页，编辑于活星页期一规：点范二训十分练。
【变式2】 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。

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专 题 归 纳第二十三页，编辑于解星期读一：高点 二考十一分。
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
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专 题 归 纳第二十四页，编辑于解星期读一：高点 二考十一分。
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
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专 题 归 纳第十四页，编辑于星解期一读：点高二十考一分。
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
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专 题 归 纳第十五页，编辑于星解期一读：点高二十考一分。
【例5】 如图，在四面体BACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分 别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
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专 题 归 纳第十六页，编辑于星解期一读：点高二十考一分。
证明 (1)要证直线EF∥平面ACD， 只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD. 因为E，F分别是AB，BD的中点， 所以EF是△ABD的中位线， 所以EF∥AD， 所以直线EF∥平面ACD.
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专 题 归 纳第十七页，编辑于星解期一读：点高二十考一分。
本章归纳整合
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专 题 归 纳第一页，编辑于星期解一：读点 二高十一考分。
知识网络
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专 题 归 纳第二页，编辑于星期解一：读点 二高十一考分。
要点归纳 1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体
的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测 未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证 明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中 证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另 一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的 前提，后者论证前者的可靠性．

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

《高中数学选修2-2》课程大纲课程名称：高中数学选修2-2课程种类：选修课程教课资料：人民教育第一版社2010 年初版《高中数学选修2-2》讲课时间：34-38 课时讲课教师： gmy讲课对象：郑州十九中高二（3）、（ 4）班课程目标1、微积分的创办是数学发展史的里程碑，它的发展和宽泛应用创始了向近代数学过渡的新期间，为研究变量和函数供给了重要的方法和手段。

导数、定积分都是微积分的核心观点，它们又极其丰富的实质背景和宽泛的应用。

在本章中，学生将大批实例，经历由均匀变化率到刹时变化率刻画现实问题的过程，理解导数观点，认识导数在研究函数的单一性、极值等性质中的作用。

学生还将经历求解曲边梯形的面积、汽车行驶的行程等实质问题的过程，初步认识定积分的观点，为此后进一步学习微积分打下基础。

经过本章的学习，学生将领会导数的思想及其丰富内涵，感觉导数在解决实质问题中的作用，认识微积分的文化价值。

2、“推理与证明”是数学的基本思想过程，也是人们学习和生活中常常使用的思想方式。

推理一般包含合情推理和演绎推理。

合情推理是依据已有的事实和正确的结论（包含定义、公义、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程，概括、类比是合情推理常用的思想方法。

在解决问题的过程中，合情推理拥有猜想和发现结论、研究和供给思路的作用，有益于创新意识的培育。

演绎推理是依据已有的事实和正确的结论，依据严格的逻辑法例获得新结论的推导过程，培育和提升学生的演绎推理和逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系密切、相辅相成。

3、证明往常包含逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性一定经过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，经过正确使用推理规则得出结论。

在本章中，学生经过对已学知识的回首，进一步领会集情推理、演绎推理以及两者之间的联系和差别；领会数学证明的特色，认识数学证明的基本方法，包含直接证明和间接证明的方法；感觉逻辑证明在数学以及平时生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

《高中数学选修2-2》课程纲要课程名称：高中数学选修2-2课程类型：选修课程教学材料：人民教育出版社2010年第一版《高中数学选修2-2》授课时间：34-38课时授课教师：gmy授课对象：郑州十九中高二（3）、（4）班课程目标1、微积分的创立是数学发展史的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

导数、定积分都是微积分的核心概念，它们又极其丰富的实际背景和广泛的应用。

在本章中，学生将大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。

学生还将经历求解曲边梯形的面积、汽车行驶的路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。

通过本章的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

2、“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理一般包括合情推理和演绎推理。

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程，培养和提高学生的演绎推理和逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。

3、证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

在本章中，学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系和差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2（A ）版导数的几何意义教学设计570206 海南华侨中学 张红数学概念教学的核心价值是“凸现数学本质，强化问题教学，营造思维过程，实现育人价值”，思维教学过程的主要过程是问题教学过程，事实上数学概念教学就是思维教学，即为问题教学．一、教材与学情分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选修2－2中第§1．1．3节．作为导数概念的下位概念课，它是在学生学习了上位概念——平均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容．导数的几何意义的学习为下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的作用，是本节的重要概念．从知识上看，学生通过学习平均变化率，特别是函数的瞬时变化率及导数的概念，对导数概念有一定的理解和认识，导数是对变化率的一种“度量”，也在思考导数的另一种体现形式——形，学生对曲线的切线有一定的认识，特别是在学习圆锥曲线与直线关系时，对抛物线和双曲线的切线的有一定的了解与认识．从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力．从学习心理上看，学生已经掌握了圆锥的切线，只是它的含义是公共点个数方面了解的，当然在思维方面，形成了定势：直线与曲线相切，直线与曲线只有一个公共点．本节课切线的含义要在思维层次上升，不是从公共点上定义切线，而是由 “割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上．通过概念的建立，概念的辨析，问题的探究来激动学生的好奇和兴趣．本节课内容蕴含着导数的数形的两种体现形式，“逼近”的思想和用已知探究未知的思考方法．在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法．根据本节课内容特点，教学过程中可充分借用信息技术这一辅助手段，利用几何画板的动态作图这一优势平台为学生的问题探究，概念形成，思维过程提供支持．二、教学目标分析【知识与技能目标】（1）知道曲线的切线定义，理解导数的几何意义；——让学生感知和初步理解函数()f x 在0x x =处的导数()0f x '的几何意义就是函数()f x 的图像在0x x =处的切线的斜率，即0000()()|lim x x x f x x f x y x=→+-'==切线的斜率． （2）导数几何意义简单的应用．——用导数的几何意义解释实际生活问题，初步体会“逼近”和“以直代曲”的数学思想方法．【过程与方法目标】（1） 回顾圆锥曲线的切线的概念，复习导数概念，寻找()f x '在0x x =处的瞬时变化率的几何意义；（2） 观察教材第7页上探究问题，利用几何画板进行探究，由学生参与操作，发现割线n PP 变化趋势，分析整理成结论；（3） 通过学生经历或观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；（4） 高台跳水模型中，利用导数的几何意义，描述比较()h t 在0t ，1t ，2t 处的变化情况，达到梳理新知的目的，渗透“以直代曲”的数学思想；（5） 通过分析导数的几何意义，研究在实际生活问题中，用区间较小的范围的平均变化率，来解决实际问题的瞬时变化率．【情感态度价值观目标】（1） 经过几何画板演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图像的切线“形成”过程，获得函数图像的切线的意义；（2） 利用“以直代曲”的近似替代的方法，养成学生分析问题解决问题的方法，初步体会发现问题的乐趣；（3） 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．三．重、难点分析重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．关键：由割线n PP “逼近”切线动态变化效果，体现“量”与“质”的转化与相互替代．四、教法与学法分析（1）教法设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．（3）教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．（4）教具准备：自做多媒体课件，视频．五、教学过程设计1． 提出问题---引入课题温故知新，诱发思考：提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点．教师：这个同学答的很对．教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线（1）图（2）图（3）图 （4）图c ，直线l 3虽然与曲线c 有惟一公共点，但它与曲线c 不相切；而另一条直线l 2，虽然与曲线c 有两个公共点B 和C ，但与曲线c 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．通过几何画板的演示实验，设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．2．自主思考，参与探究---形成概念实验观察，思维辨析：如图，当点(,())n n n P x f x （1n =，2，3，4）没着曲线()f x 趋近点()()00,P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？教师：当1P 向P 逐步逼近的时候你发现了什么？（通过几何画板向学生演示1P 向P 逐步逼近的动态过程，结合图形向学生引出切线的定义．）（板书）：曲线的切线的定义：1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系呢？割线n PP 的斜率是：（板书） ()00)(n n PP n f x f x k x x -=-．由屏幕给出另一幅是抛物线的割线“逼近”成切线的幻灯片，通过几何画板的演示及口头的提问逐步地让学生发现问题的答案．当点n P 无限趋近于点P 时，n PP k 无限趋近于切线PT 的斜率k ．再次通过教师逐步的引导得出函数()f x 在0x x =处导数就是切线PT 的斜率k ．即（教师重复定义，并写出板书）．（板书）2．函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '=． 设计意图：让学生参与曲线的切的“逼近”发现过程，初步体会曲线的切线的逼近定义． 观察发现 思维升华：在点P 的附近，PP 2比PP 1更接近曲线f （x ），PP 3比PP 2更接近曲线f （x ），……．过点P 的切线PT 最贴近P 附近的曲线f （x ）．因此，在点P 的附近，曲线f （x ）可以用过点P 的切线PT 近是代替．教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．（板书）3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线（通过几何画板演示）． 3．学而习之【小试牛刀】 例1：求抛物线2y x =在点(1,1)A 处的切线方程．变式训练：过抛物线2y x =的点0P 处的切线平行直线23y x =-，求点0P 的坐标． 设计意图：回顾重点，突出导数的几何意义及应用． 【游刃有余】例2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数()24.9h t t=-+6.510t +的图像．根据图像，请描述比较曲线()h t 在10.5t s =，00.7t s =,21t s =，32t s=附近的变化情况（先放郭晶晶比赛视频，后用几何画板演示）．先由学生交流讨论后，由学生回答，教师归纳结论．解析：用()h t 在0t ，1t ，2t 处的切线，来描述曲线()h t 在0t ，1t ，2t 附近的变化情况．（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴．∴ 在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降；（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率()10h t '>．∴ 在1t t =附近曲线上升，即函数()h t 在1t t =附近单调递增．（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率()20h t '<．∴ 在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近单调递减．（4）当3t t =时，曲线()h t 在3t 处的切线3l 的斜率()30h t '<．∴ 在3t t =附近曲线下降，即函数()h t 在3t t =附近也单调递减．直线3l 的倾斜程度比2l 的倾斜程度要大，说明了()h t 在3t 处附近下降程度比在2t 处附近下降程度要大．讲析要点：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明是函数的最大值点．设计意图：引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．4．课堂小结 回味悠长导数的几何意义：1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．2．函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '= 3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线． 5．课后思考---巩固新知思考一：求过点(3,5)B 且与抛物线2y x =相切的直线方程．设计意图：让学生明白经过某点的切线与在某点处的区别和联系.思考二：x 轴与3y x =是否相切，若是相切，你怎样解释呢？设计意图：理解曲线的切线的含义，进一步感受切线是由割线“逼近”面成的．思考三：如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =（单位：/mg ml ）随时间t （单位：min ）变化的函数图像．根据图像，估计0.2t =，0.6，0.8min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．先由依据导数的几何意义，分析讨论，教师再扼要写出板书．设计意图：在实际应用中，利用导数的几何意义求每点的瞬时变化率，用某点切线的近似值替代某点的瞬时变化率，进一步渗透“以直代曲”的数学思想方法．（预设）解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()c f t =在时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．附：板书设计§1．1．3导数的几何意义1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．2．函数f （x ）在x =x 0处的导数的几何意义()00)(n n PP n f x f x k x x -=- 函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '= 3．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲线上某点的切线近似代替这一点附近的曲线．例1解：()()()0111lim x f x f f x→+-'= 即切线的斜率2k =， 220(1)1lim x x x→+-= 所以，2y x =在点(1,1)A 处的切线方程为 20()2lim x x x x →+= 12(1)y x -=-， 0lim(2)x x →=+2= 即 210x y --=． 本文是由张红老师参加海口市青年教师优质课比赛的教案整理的。

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (19)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (22)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (27)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (31)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (34)§1.5.3定积分的概念 (38)第二章推理与证明 (42)合情推理 (42)类比推理 (44)演绎推理 (47)推理案例赏识 (49)直接证明--综合法与分析法 (51)间接证明--反证法 (53)数学归纳法 (56)第3章数系的扩充与复数的引入 (66)§3.1数系的扩充和复数的概念 (66)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (66)§3.1.2复数的几何意义 (69)§3.2复数代数形式的四则运算 (72)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (72)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (76)第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

高中数学教案选修全套【选修2-2教案全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2 导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2 课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2 课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3 章数系的扩充与复数的引入 (69)§3.1 数系的扩充和复数的概念 (69)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (69)§3.1.2 复数的几何意义 (72)§3.2 复数代数形式的四则运算 (75)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (75)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (80)第一章导数及其应用§ 1.1.1变化率问题教学目标:1. 理解平均变化率的概念； 2 .了解平均变化率的几何意义； 3 •会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： 一. 创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积 分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、 已知物体运动的路程作为时间的函数 ，求物体在任意时刻的速度与加速度等 ；二、 求曲线的切线；三、 求已知函数的最大值与最小值 ； 四、 求长度、面积、体积和重心等。

课前探究学习
课堂讲练互第动十三页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
题型三 综合法和分析法的综合应用 【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
2．综合法 (1)定义：一般地，利用 已知条件和某些数学 定义、 定理、 公理等，经 过一系列的 推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证 明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
课前探究学习
课堂讲练互第动八页，编辑于星活期一页：规点 十范九训分。练
3．综合法与分析法的优点 综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已 知的知识中进一步获得新的知识． 分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然， 在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把 分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综 合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又 是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因 而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至 交错使用．

新课讲授
问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
气球的平均膨胀率为多少？
新课讲授
问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为多少？
新课讲授
问题1 气球膨胀率 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时， 气球半径增加了多少？
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平 均膨胀率逐渐变小了．
新课讲授
思考
当空气容量从V1增加到V2时，气球的 平均膨胀率为多少？
新课讲授
思考
当空气容量从V1增加到V2时，气球的 平均膨胀率为多少？
气球的平均膨胀率是：
r(V2 ) r(V1 )
3
3V2
4
3V1
4
V2 V1
V2 V1
新课讲授
新课讲授
平均变化率 上述问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) f ( x1 )
表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化x2率.x1
对于函数y f ( x), 若设x x2 x1， y f ( x2 ) f ( x1 )，（x看作对于x1的一个 增量，可用x1 x替代x2）则平均变化率为
1.1.1 变化率问题
复习旧知
微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数，
求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等.
复习旧知
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
气球的平均膨胀率为多少？