(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 集合

时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100· B 1 P A CD A 1 C 1 D 1BO H ·﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案一、选择题ABDCA BCADC BA二、填空题13、{2x x <-或3}x >14、22(1)(1)25x y -+-=15、2 16、43(,)55b =-r 三、解答题17、解：由题意可知4sin 5α=，sin()3πα∴-=18、解（1）APB ∠=（2）略（319、解：10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+ 当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元20、解：（1）4k =（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110a d =⎧⎨=⎩21、解：（1）2222143x y m m +=（2）k =±或022、解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-Q 1λ∴≤（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅- 得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1）由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2）由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（3）220[()]()f a a a ≤-Q ,22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--220[()]()f b b a ≤-Q又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【 】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。

【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。

【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。

对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。

∴双曲线离心率c e a ===A 。

2.（江苏2005年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0【答案】B 。

【考点】抛物线的性质。

【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。

根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。

又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。

故选B 。

3.（江苏2005年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22D ．21【答案】A 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。

【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-，∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-， 即52130x+y +=。

2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅳ)王　瑛　整理9　解析几何(1)[全国卷Ⅰ理(7)]椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则 PF2 =( ).(A)32　(B)3　(C)72　(D)4[C](2)[全国卷Ⅰ理(8)]设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ).(A)[-12,12] (B)[-2,2](C)[-1,1](D)[-4,4][C](3)[全国卷Ⅱ理(4)]已知圆C与圆(x-1)2+ y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为( ).(A)(x+1)2+y2=1　(B)x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1(D)x2+(y-1)2=1[C](4)[全国卷Ⅱ理(8)]在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )条.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4[B](5)[全国卷Ⅲ理(4)]圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为( ).(A)x+3y-2=0　(B)x+3y-4=0(C)x-3y+4=0(D)x-3y+2=0[D](6)[全国卷Ⅲ理(7)]设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±12x,则该双曲线的离心率e=( ).(A)5　(B)5　(C)52　(D)54[C](7)[全国卷Ⅳ理(3)]过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( ).(A)2x+y-1=0　(B)2x+y-5=0(C)x+2y-5=0(D)x-2y+7=0[A](8)[全国卷Ⅳ文(8)]已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( ).(A)x2+y2-2x-3=0　(B)x2+y2+4x=0 (C)x2+y2+2x-3=0(D)x2+y2-4x=0[D](9)[全国卷Ⅳ理(8)]已知椭圆的中心在原点,离心率e=12,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( ).(A)x24+y23=1　(B)x28+y26=1(C)x22+y2=1(D)x24+y2=1[A]第10题图(2)[北京卷理(4)]如图,在正方体A BCD-A1B1C1D1中,P是侧面B B1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是( ).(A)直线 (B)圆(C)双曲线　(D)抛物线[D](11)[天津卷理(4)]设P是双曲线x2a2-y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若 PF1 =3,则 P F2 =( ).(A)1或5 (B)6 (C)7 (D)9[C](12)[天津卷理(7)]若P(2,-1)为圆(x-1)2 +y2=25的弦A B的中点,则直线A B的方程是( ).(A)x-y-3=0　(B)2x+y-3=0(C)x+y-1=0(D)2x-y-5=0[A](13)[天津卷文(7)]若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( ).(A)0<k<5　(B)-5<k<0(C)0<k<13(D)0<k<5[A](14)[天津卷文(8)]如图,定点A和B都在平面 内,定点P ,PB⊥ ,C是 内异于A和B的动点,且PC⊥A C.那么,动点C在平面 内的轨迹是( ).(A)一条线段,但要去掉两个点　第14题图(B)一个圆,但要去掉两个点(C)一个椭圆,但要去掉两个点(D)半圆,但要去掉两个点[B](15)[江苏卷(5)]若双曲线x28-y2b2=1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双曲线离心率为( ).(A)2　(B)22　(C)4　(D)42[A](16)[江苏卷(11)]设k >1,f (x )=k (x -1)(x ∈R ).在平面直角坐标系x Oy 中,函数y =f (x )的图像与x 轴交于A 点,它的反函数y =f -1(x )的图像与y 轴交于B 点,并且这两个函数的图像交于P 点.已知四边形OA PB 的面积是3,则k 等于( ).(A )3　(B)32　(C)43　(D )65[B](17)[浙江卷理(9)]若椭圆x 2a 2+y 2b2=1　(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( ).(A )1617　(B)41717　(C)45　(D)255[D ](18)[浙江卷理(2)]点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动23弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( ).(A )(-12,32) (B)(-32,-12)(C)(-12,-32)(D)(-32,12)[A ](19)[浙江卷理(4)]曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是( ).(A )y 2=8-4x (B)y 2=4x -8(C)y 2=16-4x (D )y 2=4x -16[C](20)[浙江卷文(2)]直线y =2与直线x +y -2=0的夹角是( ).(A ) 4　(B) 3　(C) 2　(D)3 4[A ](21)[福建卷理(4)]已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△A BF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ).(A )33　(B)23　(C)22　(D )32[A]第22题图(22)[福建卷理(12)]如图,B 地在A 地的正东方向4km 处,C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处,河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )万元.(A )(27-2)a (B)5a(C)(27+1)a (D)(23+3)a [B](23)[湖北卷理(1)]与直线2x -y +4=0平行的抛物线y =x 2的切线方程是( ).(A)2x-y +3=0　(B)2x -y -3=0(C)2x -y +1=0(D )2x -y -1=0[D ](24)[湖北卷理(6)]已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( ).(A )95　(B)3　(C)977　(D)94[D ](25)[湖北卷文(2)]已知点M 1(6,2)和M 2(1,7),直线y =mx -7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3∶2,则m 的值为( ).(A )-32　(B)-23　(C)14　(D )4[D ](26)[湖北卷文(4)]两个圆C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0与C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有( )条.(A )1 (B)2 (C)3 (D)4[B](27)[湖南卷理(2)]如果双曲线x 213-y212=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是( ).(A )135 (B)13 (C)5 (D)513[A ](28)[湖南卷文(2)]设直线ax +by +c =0的倾斜角为 ,且sin +co s =0,则a 、b 满足( ).(A )a +b =1 (B)a -b =1(C)a +b =0(D )a -b =0[D ](29)[重庆卷理(3)]圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为( ).(A )2　(B)22　(C)1　(D)2[D ](30)[重庆卷理(10)]已知双曲线x 2a -y 2b =1,(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且 PF 1 =4 P F 2 ,则此双曲线的离心率e 的最大值为( ).(A )43　(B)53　(C)2　(D )73[B](31)[广东卷(8)]若双曲线2x 2-y 2=k (k >0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k =( ).(A )1 (B)4 (C)6 (D)8[C]第32题图(32)[广东卷(12)]如图,定圆半径为a ,圆心为(b ,c ),则直线ax +by +c =0与直线x -y +1=0的交点在( ).(A )第一象限　(B)第二象限(C)第三象限(D )第四象限[C](33)[全国卷Ⅰ理(14)]由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠A P B =60°,则动点P 的轨迹方程为.[x 2+y 2=4](34)[全国卷Ⅱ理(15)]设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.y 2=1](35)[全国卷Ⅲ理(16)]设P是曲线　y2=4 (x-1)上的一个动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是.[5](36)[全国卷Ⅲ文(16)]设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为.[1](37)[北京卷理(12)]曲线C:x=cos ,y=-1+sin( 为参数)的普通方程是, C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是.[x2+(y+1)2=1,1-2≤a≤1+2](38)[北京卷文(11)]圆x2+(y+1)2=1的圆心坐标是,如果直线x+y+a=0与该圆有公共点,那么实数a的取值范围是.[(0,-1),1-2≤a≤1+2](39)[天津卷理(14)]如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.[(-∞,-34 )](40)[上海卷理(2)]设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=-1,则它的焦点坐标为.[(5,0)](41)[上海卷理(7)]在极坐标系中,点M(4, 3 )到直线l: (2cos +sin )=4的距离d=.[2155](42)[上海卷理(8)]圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.[(x-2)2+(y+3)2=5](43)[上海卷理(11)]教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.[用代数的方法研究图形的几何性质](44)[江苏卷(14)]以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是.[(x-1)2+(y-1)2=25](45)[浙江卷理(15)]设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿x轴跳动,每次向正方向或负方向跳1个单位,经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法共有种(用数字作答).[5](46)[福建卷理(13)]直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于.[45](47)[湖南卷文(15)]F1、F2是椭圆C:x28+y24=1的焦点,在C上满足PF1⊥P F2的点P的个数为.[2](48)[湖南卷理(16)]设F是椭圆x2+y2=1的右焦点,且椭圆上至少有213,…),使 FP1 , FP2 , PF3 ,…组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.[[-110,0)∪(0,110]](49)[重庆卷理(14)]曲线y=2-12x2与y= 14x3-2在交点处切线的夹角是.(用幅度数作答)[4](50)[重庆卷理(16)]对任意实数k,直线:y=kx+b与椭圆:x=3+2cos ,y=1+4sin .　(0≤ ≤2 )恰有一个公共点,则b的取值范围是.[[-1,3]](51)[全国卷Ⅰ理(21)](见本刊2004年第7期P38)(52)[全国卷Ⅱ理(21)]给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小;(Ⅱ)设FB= A F,若 ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.解　(Ⅰ)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x- 1.将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得　x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=6,x1x2= 1.　OA OB=(x1,y1) (x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=- 3. OA OB =x21+y21 x22+y22 =x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]=41. cos〈O A,OB〉=OA OBOA OB =-34141,所以OA与OB夹角的大小为 -ar cco s34141.(Ⅱ)由题设FB= A F得(x2-1,y2)= (1-x1,-y1),即x2-1= (1-x1),y2=- y1.由 得　y22= 2y21.∵　y21=4x1,　y22=4x2,∴　x2= 2x1. 联立 、 解得x2= .依题意有 >0,∴　B( ,2 )或B( ,-2 ),又F(1,0),得直线l方程为( -1)y=2 (x-1)或　( -1)y=-2 (x-1).当 ∈[4,9]时,l在y轴上的截距为2-1或-2-1.由2-1=1+1+1-1,可知上是递减的,故3≤2-1≤4,-4≤-2-1≤-3.即直线l在y轴上截距的变化范围为[-43,-34]∪[34,43].(53)[全国卷Ⅲ理(21)]设椭圆x2m+1+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0)　(c>0),且椭圆上存在点P,使得直线P F1与直线PF2垂直.(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q.若 Q F2P F2 =2-3,求直线P F2的方程.解　(Ⅰ)由题设有m>0,c=m.设点P的坐标为(x0,y0),由P F1⊥P F2,得y0 x0-c y0x0+c=- 1.化简得x20+y20=m.将 与x20m+1+y20=1联立,解得　x20=m2-1m,　y20=1m.由　m>0,x20=m2-1m≥0,得　m≥1.所以m的取值范围是　m≥1.(Ⅱ)准线l的方程为x=m+1m.设点Q的坐标为(x1,y1),则　x1=m+1m.QF2 PF2 =x1-cc-x0=m+1m-mm-x0将　x0=m2-1m代入 ,化简得QF2 PF2 =1m-m2-1=m+m2- 1.由题设 Q F2P F2 =2-3,得m+m2-1=2-3,无解.将　x0=-m2-1m代入 ,化简得QF2 PF2 =1m+m2-1=m-m2- 1.由题设 Q F2P F2 =2-3,得m-m2-1=2-3.解得　m= 2.从而　x0=-32,y0=±22,c=2,得到PF2的方程 y=±(3-2)(x-2).(54)[全国卷Ⅳ理(21)]双曲线x2a2-y2b2=1　(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥45c,求双曲线的离心率e的取值范围.解　直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离　d1=b(a-1)a2+b2,同理得到点(-1,0)到直线l的距离　d2=b(a+1)a2+b2, s=d1+d2=2aba2+b2=2abc.由s≥45c,得2abc≥45c,即　5a c2-a2≥2c2.于是得5e2-1≥2e2,即4e4-25e2+25≤0.解不等式,得54≤e2≤5.由于e>1>0,所以e的取值范围是　52≤e≤5.第55题图(55)[北京卷理(17)]如图,过抛物线y2=2p x　(p>0)上一定点P(x0,y0)　(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).(Ⅰ)求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离;(Ⅱ)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2y0的值,并证明直线A B的斜率是非零常数.解　(Ⅰ)当y=p2时,x=p8,又抛物线y2= 2p x的准线方程为x=-p2,由抛物线定义得,所求距离为p8-(-p2)=5p8.(Ⅱ)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k P B.由　y21=2p x1,　y20=2p x0,相减得　(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),故　k PA=y1-y0x1-x0=2py1+y0　(x1≠x0).同理可得　k PB=2py2+y0　(x2≠x0).由P A,PB倾斜角互补知　k P A=-k PB,即　2py1+y0=-2py2+y0,故　y1+y2y0=- 2.设直线A B的斜率为k A B,由y22=2p x2,y21=2p x1,相减得　(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),所以　k AB=y2-y1x2-x1=2py1+y2　(x1≠x2).将y1+y2=-2y0(y0>0)代入得k A B=2py1+y2=-py0,所以k AB是非零常数.(56)[天津卷理(22)]椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A, OF =2 FA ,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若OP OQ=0,求直线P Q的方程;(3)设A P= A Q( >1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明:FM=- F Q.(1)解　由题意,可设椭圆的方程为x2a2+y22=1　(a>2).由已知求得a=6,　c= 2.所以椭圆的方程为x26+y22=1,离心率e=63.(2)解　由(1)可得A(3,0).设直线P Q的方程为y=k(x-3),与椭圆方程联立得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意 =12(2-3k2)>0,得-63<k<63.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=18k23k2+1 x1x2=27k2-63k2+1由直线P Q的方程得y1=k(x1-3),　y2=k(x2-3).于是y1y2=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].∵　OP OQ=0,∴　x1x2+y2y2=0由 !得5k2=1,从而k=±55∈(-63,63).所以直线PQ的方程为x-5y-3=0　或　x+5y-3=0.(3)证明　A P=(x1-3,y1),A Q=(x2-3,y2).由已知得方程组x1-3= (x2-3),y1= y2,x21 6+y212=1,x22 6+y222= 1.注意 >1,解得x2=5 -12.因F(2,0),M(x1,-y1),故FM=(x1-2,-y1)=( (x2-3)+1,-y1)=(1-2,-y1)=- (-12,y2).而　F Q=(x2-2,y2)=( -12,y2),所以F M=- FQ.(57)[上海卷理(20)]已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函数f(x)的表达式;第57题图(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.(1)解　由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴　f1(x)=x2.设f2(x)=kx　(k>0),它的图像与直线y=x的交点分别为A(k,k),B(-k,-k).由 A B =8,得k=8,　∴　f2(x)=8x.故f(x)=x2+8x.(2)证明　f(x)=f(a),得x2+8x=a2+8a,即8x=-x2+a2+8a.在同一坐标系内作出f2(x) =8x和f3(x)=-x2+a2+8a的大致图像,其中f2(x)的图像是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图像是以(0,a2+8a)为顶点,开口向下的抛物线.因此,f2(x)与f3(x)的图像在第三像限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+8a,当a>3时,f3(2)-f2(2)=a2+8a-8>0,∴　当a>3时,在第一象限f3(x)的图像上存在一点(2,f(2))在f2(x)图像的上方.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.(58)[上海卷理(22)]设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P n(x n,y n)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点,且a1= OP1 2,a2= OP2 2,…,a n= OP n 2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列,其中O是坐标原点.记S n=a1+a2+…+a n.(1)若C的方程为　x2100+y225=1,n= 3.点P1(3,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1　(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d变化时,求S n的最小值;(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…,P n存在的充要条件,并说明理由.解　(1)a1= O P1 2=100,由S3=32(a1+a3) =255,得a3= OP3 3=70.由　x2100+y225=1,x23+y23=70.　得　x23=60,y23=10.∴　点P3的坐标可以为(215,10).(2)解法1　原点O到二次曲线C:x2a2+y2b2= 1　(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.　∵　a1= OP1 2=a2,　∴　d<0,且　a n= OP n 2=a2+(n-1)d≥b2,∴　b 2-a 2n -1≤d <0.又n ≥3,n (n -1)2>0,∴　S n =na 2+n (n -1)2d 在[b 2-a 2n -1,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+n (n -1)2 b 2-a 2n -1=n (a 2+b 2)2.解法2　对每个自然数k (2≤k ≤n ),由　x 2k +y 2k =a 2+(k -1)d ,x 2k a 2+y 2kb 2=1,解得y 2k =-b 2(k -1)da 2-b 2.∵　0<y 2k ≤b 2,得　b 2-a 2k -1≤d <0,∴　b 2-a 2n -1≤d <0.以下与解法1相同.(3)解法1　若双曲线C :　x 2a 2-y 2b2=1,点P 1(a ,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是d >0.由于原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[ a ,+∞),且 OP 1 =a 21,故点P 1,P 2,…,P n 存在当且仅当 OP n 2> OP 1 2,即d >0.解法2　若抛物线C :y 2=2x ,点P 1(0,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是d >0.理由同上.解法3　若圆C :(x -a )2+y 2=a 2　(a ≠0),P 1(0,0),则对于给定的n ,点P 1,P 2,…,P n 存在的充要条件是0<d ≤4a 2n -1.∵　原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2 a ,且 OP 1 =0,∴　d >0,且 OP n 2=(n -1)d ≤4a 2.即0<d ≤4a 2n -1.第59题图(59)[上海卷文(20)]如图,直线y =12x 与抛物线y=18x 2-4交于A 、B 两点,线段A B 的垂直平分线与直线y =-5交于Q 点.(1)求点Q 的坐标;(2)当P 为抛物线上位于线段A B 下方(含A 、B )的动点时,求△O PQ 面积的最大值.解　(1)解方程组y =12x ,y =18x 2- 4.得x 1=-4,y 1=- 2.　x 2=8,y 2= 4.即A (-4,-2),B (8,4),从而A B 的中点为M (2,1).由k A B =12,直线A B 的垂直平分线方程y -1=12(x -2),令y =-5,得x =5,∴　Q (5,-5).(2)直线OQ 的方程为　x +y =0,设P (x ,18x 2-4).由于点P 到直线OQ 的距离d = x +18x 2-42=182 x 2+8x -32 ,O Q =52,∴　S △OP Q =12 OQ d =516x 2+8x -32 .又P 为抛物线上位于线段A B 下方的点,且P 不在直线OQ 上,得-4≤x <43-4或43-4<x ≤8.∵　函数y =x 2+8x -32在区间[-4,8]上单调递增,∴　当x =8时,△OP Q 的面积取到最大值30.(60)[江苏卷(21)]已知椭圆的中心在原点,离心率为12,一个焦点是F (-m ,0)(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M .若 M Q =2 QF ,求直线l 的斜率.解　(Ⅰ)设所求椭圆方程是x 2a 2+y 2b 2=1　(a>b >0).由已知,得c =m ,c a =12,所以a =2m ,b =3m .故所求的椭圆方程是　x 24m 2+y 23m 2= 1.(Ⅱ)设Q (x Q ,y Q ),直线l :y =k (x +m ),则点M (0,k m ).当M Q =2Q F 时,由于F (-m ,0),M (0,k m ),由定比分点坐标公式,得x Q =0-2m 1+2=-2m 3,　y Q =k m +01+2=13km .又点Q (-2m 3,k m 3)在椭圆上,所以4m 294m 2+k 2m 293m 2= 1.解得　k =±26.　当M Q =-2QF 时,x Q =0+(-2)×(-m )1-2=-2m ,y Q =km1-2=-k m .于是　4m 24m 2+k 2m23m 2=1,解得　k =0.故直线l 的斜率是0,±26.第61题图(61)[浙江卷理(21)]已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0),点P 、Q 在双曲线的右支上,点M (m ,0)到直线A P 的距离为1.(Ⅰ)若直线A P 的斜率为k ,且 k ∈[33,3],求实数m 的取值范围;(Ⅱ)当m =2+1时,△A PQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.解　(Ⅰ)由条件得直线A P 的方程y =k (x -1),即kx -y -k =0.因为点M 到直线A P 的距离为1,∴ mk -k k 2+1=1,即 m -1 =k 2+1k =1+1k 2.由 k ∈[33,3],得233≤ m -1 ≤2,解得233+1≤m ≤3或-1≤m ≤1-233.故m 的取值范围是[-1,1-233]∪[1+233,3].(Ⅱ)可设双曲线方程为x 2-y 2b 2=1　(b ≠0),由M (2+1,0),A (1,0),得 A M =2.又因为M 是△A P Q 的内心,M 到A P 的距离为1,所以∠M A P =45°,直线A M 是∠PA Q 的角平分线,且M 到A Q 、PQ 的距离均为1.因此,k AP =1,k A Q =-1,(不妨设P 在第一象限)直线P Q 的方程为x =2+2,直线A P 的方程为y =x -1,解得P 点的坐标是(2+2,1+2),将P 点坐标代入x 2-y 2b 2=1得　b 2=2+12+3.故所求双曲线方程为x 2-2+32+1y 2=1,即x 2-(22-1)y 2= 1.第62题图(62)[福建卷理(22)]如图,P 是抛物线C :y =12x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q .(Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ,与y 轴交于点T ,试求 STSP+STSQ的取值范围.解　(Ⅰ)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由　y =12x 2, 得　y ′=x .∴　过点P 的切线的斜率k 切=x 1,∵　x 1=0不合题意,　∴　x 1≠0.∴　直线l 的斜率　k 1=-1k 切=-1x 1,直线l 的方程为　联立 消去y ,得　x 2+2x 1x -x 21-2=0.∵　M 为PQ 的中点,∴　x 0=x 1+x 22=-1x 1,y 0=12x 21-1x 1(x 0-x 1).消去x 1,得　y 0=x 20+12x 20+1　(x 0≠0),故P Q 中点M 的轨迹方程为y =x 2+12x 2+1　(x ≠0).(Ⅱ)设直线l :y =kx +b ,依题意k ≠0,b ≠0,则T (0,b ).分别过P 、Q 作PP ′⊥x 轴,QQ ′⊥y 轴,垂足分别为P ′、Q ′,则 ST SP + ST SQ = OT P ′P + O T Q ′Q = b y 1 + by 2.由y =12x 2,y =kx +b .消去x ,得y 2-2(k 2+b )y +b 2=0.则y 1+y 2=2(k 2+b ),y 1y 2=b 2.解法1　∴ ST SP + ST S Q = b (1y 1+1y 2)≥2 b 1y 1y 2=2 b 1b 2= 2.∵　y 1、y 2可取一切不相等的正数,∴ S T S P + S T S Q 的取值范围是(2,+∞).解法2ST SP + ST SQ = b y 1+y 2y 1y 2= b 2(k 2+b )b 2.当b >0时, ST SP + ST SQ =b2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )b =2k 2b+2>2;当b <0时, ST SP + ST SQ =-b2(k 2+b )b 2=2(k 2+b )-b.又由方程 有两个相异实根,得=4(k 2+b )2-4b 2=4k 2(k 2+2b )>0,于是k 2+2b >0,即k 2>-2b .所以 S T S P + S T SQ >2(-2b +b )-b= 2.∵　当b >0时,2k 2b可取一切正数,∴ S T S P + S T S Q 的取值范围是(2,+∞).(63)[湖北卷理(20)](见本刊2004年第7期P 42)(64)[湖南卷理(21)]如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P (0,m )(m >0)作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.分有向线段A 所成的比为 ,证明:B );(Ⅱ)设直线A B 的方程是x -2y +12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.解　(Ⅰ)依题意,可设直线A B 的方程为y =k x +m ,代入抛物线方程x 2=4y 得x 2-4k x -4m =0, 设A 、B 两点的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程 的两根.所以x 1x 2=-4m .由点P (0,m )分有向线段A B 所成的比为 ,第64题图得　x 1+ x 21+=0,即 =-x1x 2.又点Q 是点P 关于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,-m ),从而　Q P =(0,2m ).QA - Q B =(x 1,y 1+m )- (x 2,y 2+m )=(x 1- x 2,y 1- y 2+(1- )m ).QP (QA - QB )=2m [y 1- y 2+(1- )m ]=2m [x 214+x 1x 2 x 224+(1+x 1x 2)m ]=2m (x 1+x 2) x 1x 2+4m2=2m (x 1+x 2) -4m +4m4x 2=0.所以QP ⊥(QA - Q B ).(Ⅱ)由x -2y +12=0,x 2=4y .得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(-4,4).由x 2=4y 得y =14x 2,y ′=12x ,所以抛物线x 2=4y 在点A 处切线的斜率为y ′ x =6= 3.设圆C 的方程是(x -a )2+(y -b )2=r 2,则b -9a -6=-13,(a -6)2+(b -9)2=(a +4)2+(b -4)2.解之得　a =-32,b =232,r 2=(a +4)2+(b -4)2=1252.所以圆C 的方程是　(x +32)2+(y -232)2=1252,即　x 2+y 2+3x -23y +72=0.(65)[湖南卷理(22)]如图,直线l 1:y =kx +1-k (k ≠0,k ≠±12)与l 2:y =12x +12相交于点第65题图P .直线l 1与x 轴交于点P 1,过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1,过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2,过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2,…,这样一直作下去,可得到一系列点P 1,Q 1,P 2,Q 2,….点P n (n =1,2,…)的横坐标构成数列{x n }.(Ⅰ)证明:x n +1-1=12k (x n-1),n ∈N *;(Ⅱ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅲ)比较2 P P n 2与4k 2 P P 1 2+5的大小.(Ⅰ)证明　设点P n 的坐标是(x n ,y n ),由已知条件得点Q n 、P n +1的坐标分别是:(x n ,12x n +12),　(x n +1,12x n +12).由P n +1在直线l 1上,得12x n +12=kx n +1+1-k .所以　12(x n-1)=k (x n +1-1),即　x n +1-1=12k (x n-1),　n ∈N *.(Ⅱ)解　由题设知x 1=1-1k ,x 1-1=-1k ≠0,又由(Ⅰ)知x n +1-1=12k (x n-1),所以数列{x n -1}是首项为x 1-1,公比为12k的等比数列.从而　x n -1=-1k (12k )n -1,即 x n =1-2 (12k)n ,　n ∈N *.(Ⅲ)解　由y =k x +1-k ,y =12x +12.得点P 的坐标为(1,1).所以　2 PP n 2=2(x n -1)2+2(k x n +1-k -1)2=8 (12k )2n +2 (12k )2n -2,　4k 2 P P 1 2+5=4k 2[(1-1k-1)2+(0-1)2]+5=4k 2+9.(i)当 k >12,即k <-12或k >12时,4k 2 P P 1 2+5>1+9=10.而此时0< 12k<1,所以 2 P P n 2<8×1+2=10.故 2 P P n 2<4k 2 P P 1 2+ 5.(ii)当0< k <12,即k ∈(-12,0)∪(0,12)时,4k 2 PP 1 2+5<1+9=10.而此时 12k>1,所以　2 P P n 2>8×1+2=10.故 2 P P n 2>4k 2 P P 1 2+ 5.(66)[重庆卷理(21)]设p >0是一常数,过点Q (2p ,0)的直线与抛物线y 2=2p x 交于相异两点A 、B ,以线段A B 为直径作圆H (H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上;并求圆H 的面积最小时直线A B 的方程.解　由题意,直线A B 不能是水平线,故可设直线方程为:ky =x -2p .又设A (x ,y ),B (x B ,y B ),则其坐标满足k y =x -2p ,y 2=2p x .消去x 得　y 22p k y -4p 2=0.由此得　y A +y B =2p k ,y A y B =-4p 2.x A +x B 4p +k (y A +y B )=(4+2k 2)p ,x A x B =(y A y B )2(2p )2=4p 2.因此　O A OB =x A x B +y A y B =0即OA ⊥OB .故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H (x H ,y H )是A B 的中点,故第66题图x H =x A +x B2=(2+k 2)p ,y H =y A +y B2=k p .由前已证,OH 应是圆H 的半径,且 OH =x 2H +y 2H=p k 4+5k 2+ 4.从而当k =0时,圆H 的半径最小,亦使圆H 的面积最小.此时,直线A B 的方程为:x =2p .(67)[广东卷(20)]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s .已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s;相关各点均在同一平面上)第67题图解　如图以接报中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系,设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,则A (-1020,0),B (1020,0),C (0,1020).设P (x ,y )为巨响发生点,由A 、C 同时听到巨响声,得 P A =P C ,故P 在A C 的垂直平分线PO 上,PO 的方程为y =-x .因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声,故 P B - P A =340×4=1360.由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线x 2a 2-y2b 2=1上,依题意a =680,c =1020,∴　b 2=c 2-a 2=10202-6802=5×3402.故双曲线方程为　x 26802-y 25×3402= 1.用y =-x 代入上式,得　x =±6805.由 PB > PA ,得x =-6805,y =6805,即P (-6805,6805).故 PO =68010(m).答　巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010m.(68)[广东卷(22)]设直线相交于A 、B 两点,l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点,C 、D 三等分线段A B .求直线l 的方程.解　首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况.第68题图设直线l 的方程为　y =kx +b ,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为:A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (y 3,y 3)、D (x 4,y 4)依题意有A C =D B ,A B =3CD .由　y =kx +b ,x 225+y 2= 1.　得(16+25k 2)x 2+50bk x +(25b 2-400)=0(1)所以　x 1+x 2=-50bk16+25k 2.由　y =kx +b ,x 2-y 2= 1.得　(1-k 2)x 2-2bkx -(b 2+1)=0.(2)若k =±1,则l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故k ≠±1.所以x 3+x 4=2bk1-k 2.由A C =D B x 3-x 1=x 2-x 4 x 1+x 2=x 3+x 4. -50bk 16+25k 2=2bk1-k 2　bk =0 k =0　或　b =0.当k =0时,由(1)得　x 1、2=±5416-b 2.由(2)得　x 3、4=±b 2+ 1.由　A B =3CD x 2-x 1=3(x 4-x 3).即　10416-b 2=6b 2+1 b =±1613.故l 的方程为　y =±1613.当b =0时,由(1)得　x 1、2=±2016+25k 2,由(2)得　x 3、4=±11-k 2.由A B =3CD x 2-x 1=3(x 4-x 3).即　4016+25k 2=61-k 2k =±1625.故l 的方程为　y =±1625x .再讨论l 与x 轴垂直时的情况.设直线l 的方程为x =c ,分别代入椭圆和双曲线方程可解得y 1、2=±4525-c 2,y 3、4=±c 2- 1.由 A B =3 CD y 2-y 1 =3 y 4-y 3 ,即8525-c 2=6c 2-1 c =±25241.故l 的方程为　x =±25241.综上所述,直线l 的方程是:=±1625x ,　y =±1613　和　x。

时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax +bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知a =(4，-3)=1，且b a ⋅=5，则向量b =__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.· B 1 P D A 1 C 1 D 1O H ·19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案 一、选择题ABDCA BCADC BA二、填空题13、{2x x <-或3}x >14、22(1)(1)25x y -+-=15、216、43(,)55b =-三、解答题17、解：由题意可知4sin 5α=，sin()3πα∴-=18、解（1）arctan APB ∠=（2）略（319、解：10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元20、解：（1）4k =（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110ad =⎧⎨=⎩21、解：（1）2222143x y m m +=（2）k =±或022、解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-1λ∴≤（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（3）220[()]()f a a a ≤-,22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--220[()]()f b b a ≤-又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。

2004年全国高考数学试题汇编——解析几何(三)1．（2004年湖北高考·文史类第2题）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ）A ．23-B ．32-C ．41 D ．42．（2004年湖北高考·文史类第4题）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．（2004年湖北高考·理工类第1题）与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 （ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x4．（2004年湖北高考·理工类第6题）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3C ．779 D ．49 5．（2004年浙江高考·文史类第2题）直线y=2与直线x+y —2=0的夹角是 （ ）(A)4π(B)3π(C)2π(D)43π 6．（2004年浙江高考·理工类第2题，文史类第5题）点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ） (A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21-- (D) ()21,23-7．（2004年浙江高考·理工类第4题，文史类第6题）曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-=(B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y8．（2004年浙江高考·理工类第5题）设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 （ ）(A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –39．（2004年浙江高考·文史类第11题）椭圆)0(12222〉〉=+b a b y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点（2b，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716(B)17174 (C)54(D)552 10．（2004年浙江高考·理工类第9题）若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ） (A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 11．(2004年福建高考·理工类第4题，文史类第4题)形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．33B ．32C ．22D ．23 12．(2004年福建高考·文史类第12题)13．(2004年福建高考·理工类第12题)如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的 北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上 任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算， 从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、 2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(27－2)a 万元B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元14．(2004年福建高考·理工类第13题，文史类第13题)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 .15．（2004年广东高考第8题）若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8 C ． 1 D ． 416．（2004年广东高考第10题）变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )17．（2004年广东高考第12题）如右下图,定圆半径为a 、圆心为 ( b ,c ),则直线ax+by+c=0与直线 x –y+1=0的交点在 ( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ．第一象限18．（2004年江苏高考第5题）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ． 4D ．2419．（2004年江苏高考第11题）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ）A ．3B ．32 C ．43 D ．65以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.21．（2004年辽宁高考第6题）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线22．（2004年辽宁高考第9题）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时， 点P 到坐标原点的距离是A ．26 B ．23 C ．3D ．223．（2004年辽宁高考第13题）若经过点P （－1，0）的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 .24．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题，本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.25．（2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，支M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,3[∈k ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当12+=m时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.26．（2004年浙江高考·理工类第22题，本题满分14分）如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n的坐标为(x n,y n),.2121++++=nnnnyyya（Ⅰ）求321,,aaa及na;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=Nnyy nn(Ⅲ)若记,,444*+∈-=Nnyybnnn证明{}n b是等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题，本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=21x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.28．（2004年福建高考·理工类第22题，本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q. （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST 的取值范围.29．(2004年广东高考第20题，12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)30．(2004年广东高考第22题，14分)设直线l与椭圆2212516x y+=相交于A、B两点，l又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线l的方程.31．（2004年江苏高考第21题）已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. 若=，求直线l 的斜率.32．（2004年辽宁高考第19题，本小题满分12分）设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点， 点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最小值与最大值.参考答案1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B13．B 14． 45 15．C 16．B 17．C 18．A 19．B 20．25)2()1(22=-+-y x 21．D 22．A 23．124．（2004年湖北高考·理工类第20题，文史类第20题）本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分. 解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.25． (2004年浙江高考·理工类第21题，满分12分；文史类第22题，满分14分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk即221111kk k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332.∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1,∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-by x 得，32122++=b所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x26．（2004年浙江高考·理工类第22题，满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列. ∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414nn y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n yy y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b∴{}n b 是公比为41-的等比数列.27．（2004年福建高考·文史类第21题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）把x =2代入221x y =，得y=2， ∴点P 坐标为（2，2）. 由 221x y =， ① 得x y ='， ∴过点P 的切线的斜率k 切=2， 直线l 的斜率k l =－切k 1=,21- ∴直线l 的方程为y －2=－21(x －2)，即 x +2y －6=0.（Ⅱ）设.21),,(20000x y y x P =则 ∵ 过点P 的切线斜率k 初=x 0，当x 0=0时不合题意，.00≠x ∴ 直线l 的斜率k l =－切k 1=01x -，直线l 的方程为 ).(1210020x x x x y --=-② 方法一：联立①②消去y ，得x 2+2x x －x 02－2=0. 设Q ).,(),,(11y x M y x ∵M 是PQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=.12121)1(1,122020********x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y=x 2+1212+x(x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx x x y x 上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+ 方法二：设Q ).,(),,(11y x M y x 则 由y 0=21x 02，y 1=21x 12，x =,210x x + ∴ y 0－y 1=21x 02－21x 12=21(x 0+x 1)(x 0－x 1)=x (x 0－x 1)， ∴,101010x k x x y y x l -==--=∴,10xx -=将上式代入②并整理，得 y=x 2+1212+x (x ≠0)就是所求的轨迹方程. 由x ≠0知.121212121,022222+=+⋅≥++=∴>xx x x y x 上式等号仅当21,21422±==x xx 即时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是.12+28. （2004年福建高考·理工类第22题）本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0. 由y=21x 2， ① 得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1， ∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴ y 0=21x 12－11x (x 0－x 1).消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二： 由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－1x ， 将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一： ∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0， 于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x by -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.29．(2004年广东高考第20题，12分) 解：如图，y xoAB C P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.30．(2004年广东高考第22题，14分)解：首先讨论l 不与x 轴垂直时的情况，设直线l 的方程为 y=kx+b ，如图所示，l 与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x Ayxol AB CD依题意有CD AB DB AC 3,==，由)2...(0)1(2)1(1251650)1...(0)40025(2)2516(116252222222122222=+---⎩⎨⎧=-+=+-=+∴=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x b kx y kbkx x b bkx x k y x b kx y 得由得 若1±=k ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1±≠k24312kbkx x -=+∴ 由43214213x x x x x x x x DB AC +=+⇒-=-⇒=13161616410),(331)2(,1645)1(,0)(0001225165022341224,322,122±=⇒+=--=-⇒=+±=-±====⇒=⇒-=+-⇒b b b x x x x CD AB b x b x k i b k bk kbkk bk 即由得由得由时当或故l 的方程为1316±=y (ii)当b=0时，由(1)得24,322,111)2(,251620kx kx -±=+±=得由由251616251640)(33223412±=⇒-=+-=-⇒=k k k x x x x CD AB 即由 故l 的方程为x y 2516±=再讨论l 与x 轴垂直的情况.设直线l 的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，2412412524124125162558||3||||3||1,255422341224,322,1±=±=⇒-=--=-⇒=-±=-±=x l c c c y y y y CD AB c y c y 的方程为故即由 综上所述，故l 的方程为1316±=y 、x y 2516±=和24124125±=x31．（2004年江苏高考第21题）本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分. 解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点km kmy m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2当.于是.0,134422222==+k mm k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±.32．（2004年辽宁高考第19题）本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x ++-=++=+=…………6分 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x ………………8分 解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 ① ②.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧ 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x ………………8分 （2）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP ……10分 故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为61;41-=x 当时，||NP 取得最大值， 最大值为.621……………………12分。

选修系列一、选择填空题1.（江苏2006年5分）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲【答案】18。

【考点】线性规划问题。

【分析】画出可行域，得在直线22x y -=与直线1x y -=-的交点A(3，4)处，目标函数z 最大，最大值为18。

2.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为【 】A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B 。

【考点】简单线性规划的应用。

【分析】令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩。

则100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩。

作出区域是等腰直角三角形，可求出面积11221=⨯⨯=s 。

故选B 。

二、解答题1.（江苏2008年附加10分）选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ． 求证：2ED EB EC =⋅．【答案】证明：如图，∵AE 是圆的切线，∴ABC CAE ∠=∠。

又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠。

∴ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠。

∵ADE ABC BAD ∠=∠+∠， DAE CAE CAD ∠=∠+∠， ∴ ADE DAE ∠=∠。

∴EA=ED。

BCEDA∵ EA 是圆的切线，∴由切割线定理知,2EA EC EB =⋅。

而EA=ED ，∴2ED EB EC =⋅。

【考点】与圆有关的比例线段。

【分析】根据已知EA 是圆的切线，AC 为过切点A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD 是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。

2.（江苏2008年附加10分）选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分一、选择题（共3小题；共15分）1. 设集合A=1,2，B=1,2,3，C=2,3,4，则A∩B∪C= A. 1,2,3B. 1,2,4C. 2,3,4D. 1,2,3,42. 已知全集U=Z，A=−1,0,1,2，B=x x2=x，则A∩∁U B为 A. −1,2B. −1,0C. 0,1D. 1,23. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有 A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=∅二、填空题（共10小题；共50分）4. 已知集合A=−1,2,3,6，B=x−2<x<3，则A∩B=．5. 已知集合A=−2,−1,3,4，B=−1,2,3，则A∩B=．6. 集合−1,0,1共有个子集．7. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．8. 已知集合A=1,2,4，B=2,4,6，则A∪B=．9. 设集合A=x x−12<3x+7,x∈R，则集合A∩Z中有个元素．10. 设集合A=−1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3，则实数a = ．11. 已知集合A=x log2x≤2，B=−∞,a，若A⊆B，则实数a的取值范围是c,+∞，其中c=．12. 已知集合A=1,2，B=a,a2+3．若A∩B=1，则实数a的值为．13. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）14. 设集合P n=1,2,⋯,n，n∈N∗．记f n为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁Pn A，则2x∉∁PnA．（1）求f4；（2）求f n的解析式（用n表示）．15. 记U=1,2,⋯,100．对数列a n（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T=t1,t2,⋯,t k，定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．例如：T=1,3,66时，S T=a1+a3+a66．现设a n（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，S T=30．（1）求a n的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆1,2,⋯,k，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．答案第一部分1. D 【解析】因为A∩B=1,2，所以A∩B∪C=1,2,3,4．2. A3. A第二部分4. −1,2【解析】由交集的定义可得A∩B=−1,2．5. −1,36. 87. −1,28. 1,2,4,69. 6【解析】集合A=x x2−5x−6<0=x−1<x<6，所以A∩Z的元素的个数为6．10. 111. 412. 113. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m 2 ,即m≥1或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第三部分14. （1） 当 n =4 时，P 4= 1,2,3,4 ，符合条件的集合 A 为 2 ， 1,4 ， 2,3 ， 1,3,4 ，故 f 4 =4．（2） 任取偶数 x ∈P n ，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2⋯，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m ，于是 x =m ⋅2k ，其中 m 为奇数，k ∈N ∗．由条件知， 若 m ∈A ，则 x ∈A ⇔k 为偶数；若 m ∉A ，则 x ∈A ⇔k 为奇数．于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定．设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合，因此 f n 等于 Q n 的子集个数． 当 n 为偶数（或奇数）时，P n 中奇数的个数是 n 2（或 n +12）， 所以f n =2n ,n 为偶数,2n +1,n 为奇数.15. （1） 当 T = 2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 解得 a 2=3，从而 a 1=a 23=1，a n =3n−1．（2）S T ≤a 1+a 2+⋯+a k=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k +1.（3） 设 A =∁C C ∩D ，B =∁D C ∩D ，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ． 由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ．② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾． 因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m=1+3+32+⋯+3m−1=3m −1<a m +1≤a l ≤S A , 即 S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ．。

数列一、选择填空题1.（江苏2004年4分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是▲ .【答案】2。

【考点】数列的求和。

【分析】根据a 4=S 4－S 3列式求解即可：∵S n =2)13(1-n a ，a 4=54，且a 4=S 4－S 3， ∴4311(31)(31)5422a a ---=，解得12a =。

2.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=【】A ．33B ．72C ．84D ．189【答案】C 。

【考点】等比数列的性质。

【分析】根据等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，可求得q ，根据等比数列的通项公式，分别求得3a ，4a 和5a 代入543a a a ++，即可得到答案：∵在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，∴3+3q +3q 2=21。

∴q =2。

∴132n n a -=⨯。

∴()234345322232884a a a ++=⨯++=⨯=。

故选C 。

3.（江苏2006年5分）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 ▲ 【答案】122n +-。

【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n 项和的公式。

【分析】∵)1(x x y n -=，∴1(1)n n y nx n x -'=-+。

∴曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线的斜率为()1212n n k n n -=-+，切点为（2，2n -）。

∴所以切线方程为()()122122n n n y n n x -⎡⎤+=-+-⎣⎦。

把0x =，n y =a 代入，得()12n n a n =+。