剖析假设检验的两类错误并举例说明

假设检验的错误分析苏新富【摘要】假设检验中有两种不同检验方法，即原假设和备择假设，而应用不同的方法经常会得到不同的结论。

较好的结果是在第一类错误相同的条件下，犯第二类错误小的方法得到的结论。

指出在比较第二类错误的大小过程中常见的错误及其产生的原因，并给出在实际应用中选取原假设的原则% Therearetwodifferentinspection methodsinhypothesistest.Theyaretheprimary hypothesisandalternativehypothesis.Weoftengetdifferentconclusionsintheu seofdifferentmethods. Thegoodresultisthatthesecondtypeoferrorissmallerwhenthefirsttypeoferrori sinthesame conditions.Theauthorpointsoutthecommon mistakesandthecauseoftheerrorincomparisonofthe secondtypeoferror.Meanwhiletheauthoralsopointsouttheprincipleofchoosi ngprimaryhypothesisin thepracticalapplication.【期刊名称】《辽宁师专学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】2页(P7-8)【关键词】单侧假设检验;原假设;备择假设;第二类错误【作者】苏新富【作者单位】锦州师专,辽宁锦州121000【正文语种】中文【中图分类】O21假设检验是数理统计中的一种重要方法，该方法已经在各领域得到广泛应用.在单侧检验中，对于同一问题有两种不同检验方法，即原假设和备择假设，而应用不同的方法经常会得到不同的结论.人们总是希望在第一类错误相同的条件下，选取犯第二类错误小的方法的结论.此时，我们经常会比较它们第二类错误的大小.在比较过程中有一种常见的错误，现对这一问题作深入探讨.1 同一问题，两种方法例某工厂生产的某种元件，其寿命不小于1 000小时才算合格，现从这批元件中抽取25个，测得其平均寿命为980小时，已知元件寿命X～N（μ，1002），试在α＝0.05之下判断这批元件是否合格？分析：本题是假设检验中的单侧检验问题，应用统计量方法一，H0：μ＝μ0≥1000，H1：μ＝μ1＜1000，此时U＝－1＞－λ1－α＝－1.65，因此接受原假设，认为元件合格.方法二，H0：μ＝μ0≤1000，H1：μ＝μ1＞1000，此时U＝－1＜λ1－α＝1.65，因此接受原假设，认为元件不合格.对于同一问题，应用同一统计量，两种方法出现了“相反”的结论，我们应相信哪个结论呢？能不能比较它们第二类错误的大小呢？2 常见的错误及其探讨假设检验的基本思想是根据小概率原理，即小概率事件在一次实验中几乎不可能发生而作出推断的一种“反证法”.由于样本存在随机性，因此有可能会出现误判，导致犯两类错误[1].第一类错误，当原假设H0为真时，却错误拒绝它，于是犯了弃真的错误.犯第一类错误的概率记为：P（拒绝H0｜H1为真）＝α，也称α为显著性水平.第二类错误，当原假设H0不真（即H1为真）时，却错误地接受了它，于是犯了取伪的错误.犯第二类错误的概率记为：P（接受H0｜H1为真）＝β.以上两种方法的第一类错误为α＝0.05，下面计算犯第二类错误的概率的大小.方法一：方法二：比较（1），（2）两式，由分布函数的单调性，似乎可以立刻得出β2＞β1且β2＞1－α＝0.95的结论，从而认为方法一的结论更可靠.通过以上分析可知，总体参数的真实值越接近假设检验中用到的特定值，犯第二类错误的概率就越大，但不会超过1－α；总体参数的真实值与假设检验中用到的特定值的差距越大，犯第二类错误的概率就越小.由于总体参数的真实值未知，所以无法比较以上两种方法第二类错误的大小.分析（3），（4）式知，由于μ1未知，当固定n时，同时减小两类错误是不可能的，增加样本容量n是同时减小两类错误的必要条件.那么，应如何解决两个结论的“矛盾”呢？其实它们并不矛盾.严格来讲，方法一的结论应该是还没有95%的把握认为该元件不合格，方法二的结论应该是还没有95%的把握认为该元件合格.在实际问题中，在判定这批元件合格与否时就要借鉴过去的经验和已掌握信息，如果该种元件的质量过去一直很好，由方法一，我们没有找到否定它的充分理由（95%的把握），我们就应该判定这批元件合格.相反，如果该种元件的质量过去一直不好，最近也没有采取改进的措施，由方法二，若没有找到肯定它的充分理由（95%的把握），我们就应该判定这批元件不合格.3 选取原假设的原则既然很难通过比较犯第二类错误的概率的大小来确定原假设，那么可具体通过以下原则选取原假设：（1）保护原假设原则.原假设应该是过去经验和已掌握信息的总结，是一个需要保护的假设，没有充分的理由（一般为1－α的把握）就不能轻易否定它.（2）利己原则.假设检验是为我们的实践目的服务的，这就不可避免地带有一种主观色彩.（3）根据样本信息确定原假设.（4）把希望验证得到的结论放在备择假设的位置.如果试验推翻了原假设，我们就有1－α的把握肯定备择假设的正确性.（5）把后果严重的错误设置为第一类错误.以上就是假设检验中选择原假设时行之有效的原则，在实际应用中可以参照使用.【相关文献】[1]叶慈南，曹伟丽.应用概率统计[M].北京：机械工业出版社，2004.102－114.。

第三章 假设检验3.1 假设检验 两类错误（1）假设检验（hypothesis test ） 假设检验是统计推断的另一类重要问题，是概率意义下的一种反证法。

一般，当母体X 的分布完全未知，或只知其形式而不知其参数时，为推断母体的有关特性，提出针对母体的某项假设；再对母体进行抽样，依据子样值对所提假设做出接受或拒绝的决策。

（2）决策依据——实际推断原理 小概率事件在一次试验中几乎不发生。

若抽样结果是小概率事件在这一次试验中发生了，就有理由怀疑假设的正确性，从而做出拒绝原假设的决策；否则接受原假设。

例 3.1.1 某饮料厂在自动流水线上装饮料，每瓶的重量（单位：克）)10,(~2μN X ，正常生产情况下500=μ，一段时间后，为检查机器工作是否正常，抽取9个样品，称重后算得494=x ，试问：此时自动流水线的工作是否正常？解：①提出假设母体)10,(~2μN X ，其中μ未知，在母体上作原假设0H 和备择假设（或称对立假设）1H 如下：↔==500:00μμH 500:01=≠μμH ②构造检验统计量X ∴的值应与μ很接近，想到用X 的值来检验原假设0H .当原假设成立时，10),,(~0200=σσμN X ，故),(~200n N X σμ，从而)1,0(~/10500/000N n X n X U H -=-=σμ（3-1）③给定小概率，找出拒绝域取小概率02.0=α，则有2αu 使}{2αα=≥u U P （3-2）}{2αu U ≥是一个小概率事件，如果一次抽样的结果是这一小概率事件发生了，则认为原假设不合理，应予拒绝。

即应取拒绝域}),,,{(221αu U x x x W n ≥= }),,,{(221ασμu n X x x x n ≥-= （3-3）④做出决策 这时，494=x ，5000=μ，9,100==n σ，8.1=∴U ；02.0=α，33.201.02==u u α，故2αu U <，∴应接受0H ，即认为机器工作正常.注：①假设检验又称为差异显著性检验；②假设检验是具有概率性质的反证法；③拒绝H的说服力强，接受0H的说服力不强；④α越小，拒绝H的说服力越强。

假设检验的类型和两类错误关键词：假设检验导语：作为质量改进的重要工具之一，假设检验是数理统计学中的一种统计推断方法，其根据一定假设条件，由样本推断总体，从而判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起的，还是本质差别造成的。

作为质量改进的重要工具之一，假设检验是数理统计学中的一种统计推断方法，其根据一定假设条件，由样本推断总体，从而判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起的，还是本质差别造成的。

假设检验的类型统计假设一般可分为参数假设与非参数假设。

参数假设是指总体分布类型已知，对未知参数的统计假设。

检验参数假设问题成为参数检验。

当总体分布类型为正态分布时，则为正态总体参数检验。

非参数假设是指总体分布类型不明确，对参数的各种统计假设。

检验非参数假设问题称为非参数检验，也称分布检验。

由于非参数检验和非正态分布总体的参数检验都比较复杂，在QC小姐活动中很少应用。

假设检验的两类错误在假设检验中，常将“小概率事件”的概率表示为α，称为显著性水平，把原先设定的假设称为原假设，记做H0，把与H0相反的假设称为备择假设，它是原假设被拒绝时而应接受的假设，记做H1。

做出接受或拒绝原假H0的判断，都可能犯如下的两类错误：●Ⅰ类错误——弃真错误，发生的概率为α；●Ⅱ类错误——取伪错误，发生的概率为β，见下表。

假设健谈决策的两类错误检验决策H0为真H0非真拒绝H0犯Ⅰ类错误的概率为α正确接受H0正确犯Ⅱ类错误的概率为β样本均值的显著性水平为α时，则得到该样本置信度为1-α的置信区间。

如果，显著性水平为α，均值为μ时，原假设H0是均值μ=μ0.那么，与H0相反的假设，即备择假设H1就是均值μ≠μ0。

因此，我们可以用计算确定出均值μ的1-α置信区间的方法来检验上述假设是否成立。

如果计算出来的置信区间包含μ0，就接受H0；如果不包含就拒绝H0。

最后，值得注意的是，假设检验在判断结论时不能绝对化，应注意无论接受或拒绝检验假设，都有判断错误的可能性。

假设检验16.2假设检验问题的两类错误和p 值假设检验两类错误原假设成立原假设不成立接受√第二类错误（受伪）拒绝第一类错误（拒真）√第一类错误即为显著性水平()()W X P H H P ∈==αθ为真拒绝00|，第二类错误的概率表达为()()W X P H H P ∈==βθ为真接受10|，1Θ∈θ。

**********************************************************假设检验中，两类错误的概率不能同时减小，二者相互制约。

犯第一类错误的概率越小，则犯第二类错误的概率越大，犯第二类错误的概率越小，则犯第一类错误的概率越大。

原假设和备择假设不能随意互换位置，原假设是人们经验上认为正常的假设。

理想的检验应该是在控制犯第一类错误的基础上,尽量少犯第二类错误。

显著性检验具有“保护原假设”的特点，显著性水平α也不是越小越好。

固定第一类错误的概率，可通过增加样本量降低犯第二类错误的概率。

**********************************************************例16.2.1某厂生产一种标准长度35mm的螺钉，实际生产的产品长度服从正态分布()2,3N μ。

做假设检验，样本容量36n =，0:35H μ=，1:35H μ≠，拒绝域为{}:351W x x =->。

(1)犯第一类错误的概率。

(2)μ=36时，犯第二类错误的概率。

解(1)检验统计量X 的分布为~,212X N μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，第一类错误的概率为{}35135P X αμ=->={}135135P X μ=--≤=351223512X P μ⎧⎫-=--<>=⎨⎬⎩⎭()()()1222220.0455=-Φ+Φ-=-Φ=。

(2)第二类错误的概率为{}35136P X βμ=-≤=()|135136P X μ=-≤-≤=|36403612X P μ⎛⎫ ⎪-=-≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()040410.5=Φ-Φ-=Φ+Φ-=。