数学小知识讲解

七年级上册数学知识点讲解一、有理数。

1. 有理数的概念。

- 同学们。

有理数就像是数学世界里一群很有规矩的数。

简单来说呢，整数和分数统称为有理数。

整数就像我们平常数的数，像 - 3、 - 2、 - 1、0、1、2、3等等，这些都是整数。

分数呢，就是像(1)/(2)、(3)/(4)这样的数，还有像 - (2)/(3)这种带负号的分数也都是有理数哦。

2. 数轴。

- 数轴就像是一条有魔法的直线。

它有三个重要的元素：原点、正方向和单位长度。

原点就是0所在的位置，就像数轴的中心。

正方向呢，一般我们规定向右是正方向，当然你也可以自己规定，不过按照惯例是向右啦。

单位长度就是数轴上每个小格子代表的长度。

有了数轴，我们就可以把有理数在上面表示出来啦。

比如说2，就在原点右边2个单位长度的地方； - 3就在原点左边3个单位长度的地方。

就像每个有理数都在数轴上有自己的小房子一样。

3. 相反数。

- 相反数啊，就像是一对双胞胎，不过一个是正数，一个是负数。

比如说3的相反数就是 - 3， - 5的相反数就是5。

它们在数轴上到原点的距离是一样的，就像在原点两边对称的位置。

而且特别的是，0的相反数就是0自己哦。

4. 绝对值。

- 绝对值这个概念有点像在数轴上看一个数到原点的距离。

不管这个数是正数还是负数，它的绝对值都是一个非负数。

比如说|3| = 3，| - 3|也等于3。

就好像我们只关心这个数离原点有多远，不管它在原点的左边还是右边。

二、整式的加减。

1. 单项式。

- 单项式就像是数学里的小单元。

它是由数字和字母的积组成的代数式，单独的一个数或者一个字母也算是单项式。

比如说3x， - 2y，5这些都是单项式。

其中数字因数叫做单项式的系数，像在3x里，3就是系数；字母的指数的和叫做单项式的次数，在3x里，x的次数是1，所以这个单项式的次数就是1。

2. 多项式。

- 多项式呢，就像是由好几个单项式组成的大家庭。

几个单项式的和叫做多项式。

比如说2x+3y - 1就是一个多项式。

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数&指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ； ②a A ∉↔a 不属于集合A ． （3）常用的数集：N ↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集； Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >． （5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等； ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集； ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =（7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证： 第一步：证明充分性：条件⇒α结论β； 第二步：证明必要性：结论⇒β条件α． （4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =， 则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人． 小范围是大范围的充分非必要条件； 大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式2(,)x +∞)2x 2[,)x +∞],21x四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+； （2）n n a a a a a a +++≥+++ 2121． 五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ； （2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax ．（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>； （2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>． 八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)； ②+∈≥+R b a ab ba 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)； 211a b+． ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)； ⑤n a a a na a a nn n (2121≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当 n a a a === 21时取“=”号)； （2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法； ③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(； x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域． 求定义域一般需要注意： ①1()y f x =，()0f x ≠；②y ()0f x ≥； ③0(())y f x =，()0f x ≠； ④log ()a y f x =，()0f x >； ⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点； （3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同． 二、函数的基本性质：注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ． （注意：②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数， 且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =． （4 （5注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称； ()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22b c+对称； ()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数． （6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =． 进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T 为这个函数的周期． 注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期； 周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b =-； （阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =； ③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-； ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-； ⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-； ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=（m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=（m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．(0,)+∞[2,a +∞ 在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m =-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n =-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p =-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-，122n x x x <<<，在1[,]n n x x x +∈时取最小值； 1221n y x x x x x x +=-+-++-，1221n x x x +<<<，在n x x ∈时取最小值．思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像． （4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）：d x c=-、ay c =；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则： ①yx yxaa a +=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④()xx x a a b b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．23、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大； 方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”） ①将()y f x =看作方程，解出()x f y =； ②将x 、y 互换，得到1()y f x -=； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数． 5（四）对数&对数函数12 ①01log =a ，1log =a a ，N a N a =log ；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =； ③N M MN a a a log log )(log +=，N M NMa a a log log log -=，M n M a n a log log =； ④bN N a a b log log log =，a b b a log 1log =，b n mb a m a n log log =，b b ac a c log log =，log log N N b a a b =．34、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大； 方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）． （2（3）弧度制与角度制互化： ①180rad π=︒； ②1801rad =︒； ③1rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl=α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异 于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r ，则（7（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈） ①角α和角β的终边：②α的终边与2的终边的关系． α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++． ③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）； sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{22}k k ππθππ∈++，⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系： sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩； sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式： （1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式： （周期性） （奇偶性） （中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：（轴对称） （互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系： 商数关系： 平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin（3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； 两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=； 降次公式： 万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=； （5）辅助角公式： ①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =； ④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比： （1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长． （2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<； ②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩； ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩． 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明． （3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角： 略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩； （2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数； ]．；．）1-=； 1min -=y ；解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得 222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+， 于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+． 同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-． 例2：求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增； 当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值72-；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠： （（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下： ①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位； 当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位； ②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）； 当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； ④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位； 当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位； 注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域： （1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值． （2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan baϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+． （3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解． （4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为by at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x by c x d+=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x by c x d +=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅 助角公式即可．4备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Z k ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈． 所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==； ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=． （2）先三角函数后反三角函数： ①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=； ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=． （3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-； ②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-； ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-． 6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．。

初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a=. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

四年级下册数学小数的意义与性质知识点和练习题姓名：一、知识点1、分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示。

2、小数是十进制分数的另一种表现形式。

3、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……4、每相邻两个计数单位间的进率是10。

5、小数的读写法：读法：整数部分按照整数读法来读，小数部分要顺次读出每一个数。

写法：整数部分按照整数的写法来写，整数部分是0就写0，小数部分依次写出每一个数。

６．小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。

作用可以化简小数等。

７．小数大小比较：先比较整数部分，整数部分相同比较十分位，十分位相同比较百分位，……8、小数的大小比较：（1）统一单位。

（统一成一样的单位）（2）把要比较的数写成一列（小数点必须对齐）（3）先比较整数部分；整数部分相同，就比较十分位；十分位相同，比较百分位；百分位相同，就比较千分位………9、小数点的移动：（1）小数点向右移动 小数就扩大到原数的 乘 一位 10倍 ×10 两位 100倍 ×100三位 1000倍 ×1000（2）小数点向左移动 小数就缩小到原数的 除以 一位 101÷10两位 1001÷100三位 10001÷100010、单位换算：（1）高级单位转化成低级单位===乘进率，小数点向右移动。

（2）低级单位转化成高级单位===除以进率，小数点向左移动。

11、进率：1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1米=100厘米=1000毫米 1千克=1000克1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方千米=100公顷 1吨=1000千克1平方米=10000平方厘米 1公顷=10000平方米 1平方千米=1000000平方米二、练习（一）填空题1、把“1”平均分成1000份，其中的1份是（ ），也可以表示（ ）。

小学六年级数学知识点详解与讲解一、整数与有理数1. 整数的概念和表示方法整数是由正整数、负整数和零构成的数集，用符号"+"表示正号，用符号"-"表示负号，以及用绝对值表示整数的大小。

例如，-5、0、3都是整数。

2. 整数的加法与减法整数的加法满足交换律和结合律，可以简化运算顺序；整数的减法可以转化为加法来计算。

例如，(-3) + 5 = 5 + (-3) = 2，(-7) - 4 = (-7) + (-4) = -11。

3. 有理数的概念和表示方法有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零。

有理数的表示可以用分数形式，如3/4，也可以用小数形式，如0.6。

有理数可以表示在数轴上的位置。

二、四则运算1. 加法与减法的运算规则加法的交换律和结合律适用于整数和有理数的运算；减法可以转化为加法来计算。

2. 乘法与除法的运算规则乘法满足交换律和结合律，可以简化运算顺序；除法可以转化为乘法来计算，即取倒数后相乘。

3. 运算中的括号运用在运算中，括号可以改变运算的顺序，优先计算括号中的内容。

三、小数与分数1. 小数的表示与读写小数是用小数点表示的数，可以是有限小数，如0.5，也可以是无限循环小数，如0.333...。

小数的读法可以按位读出，例如0.25读作"零点二五"。

2. 小数的加法与减法小数的加法与减法与整数的运算类似，按位对齐相加即可。

3. 分数的概念与运算分数是约分之后的整数与整数的比值，分子表示分数的份数，分母表示份数的大小。

分数的加法、减法、乘法和除法运算可以根据分数的定义和四则运算规则进行计算。

四、图形与几何1. 点、线、线段和射线的概念点是没有长度、面积和体积的基本几何对象；线是由无数个点连在一起构成的直线；线段是由两个端点和连接它们的点构成的有限线段；射线是一个起点确定的线段，延伸到无穷远。

2. 平面图形的分类与性质平面图形包括三角形、四边形、多边形和圆等，每种图形有不同的性质，如三角形有三条边，四边形有四个顶点等。

数学基础知识包括哪些内容数学是一门研究数量、结构、变化以及空间的学科，被认为是自然科学的基石之一。

数学基础知识是掌握数学的关键，它包括许多不同的概念、定律和技巧。

本文将介绍数学基础知识的主要内容，帮助读者了解数学学科的范围和基本原理。

1. 数字和运算数学基础知识的核心是数字和运算。

数字是数学的基本单位，包括自然数、整数、有理数和实数等不同的数集。

运算是对数字进行操作的方法，包括加法、减法、乘法和除法等基本运算。

掌握数字和运算是进行数学计算和解决实际问题的基础。

2. 代数学代数学是数学的一个重要分支，研究未知数和其关系的代数表达式。

代数学包括解方程、函数、多项式、等式和不等式等内容。

通过代数学的学习，我们可以掌握解决复杂数学问题的技巧和方法。

3. 几何学几何学是研究空间形状、大小、结构和变换的数学学科。

几何学包括点、线、面、体以及它们之间的相互关系和性质。

通过几何学的学习，我们可以理解空间的几何特性，解决与形状和结构有关的问题。

4. 概率与统计概率与统计是数学中应用广泛的分支，用于描述和分析随机事件和数据。

概率是描述事件发生可能性的数学工具，统计是利用数据进行推理和决策的方法。

掌握概率与统计的基本原理可以帮助我们预测事件的发生概率和分析数据的特征。

5. 数学推理数学推理是数学思维的核心，是通过逻辑推理和证明来解决数学问题的方法。

数学推理包括演绎推理和归纳推理两种形式。

通过数学推理，我们可以从已知条件出发，推导出新的结论，并通过证明来验证结论的正确性。

6. 数学模型数学模型是数学在实际问题中的应用，将现实世界的问题抽象成数学形式进行描述和分析。

数学模型包括线性模型、非线性模型、离散模型和连续模型等不同类型。

通过数学模型的应用，我们可以解决实际问题，进行预测和优化。

7. 计算机科学中的数学基础知识数学在计算机科学中有重要的应用，计算机图形学、密码学、编码理论等领域都离不开数学。

在计算机科学中，数学基础知识包括离散数学、图论、组合数学、算法分析和复杂性理论等内容。

类型一长方形与正方形【知识讲解】1. 特征长方形：对边相等，4个角都是直角的四边形。

正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

2. 周长公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×43.面积公式长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长【典例精讲】【例1】用一条长16厘米的铁丝围一个长方形,若长与宽都是质数，则面积是（）平方厘米。

A.6B. 10C. 15D.21【答案】C【解析】本题考查长方形的周长和面积公式及质数的相关概念问题。

根据长与宽的和是周长的一半，得出长与宽的和，正确列举得出长与宽，再根据长方形的面积=长×宽，正确计算出面积。

长与宽的和为16÷2=8(厘米)，3+5=8，所以长为5厘米，宽为3厘米，面积为5×3=15(平方厘米)。

【例2】一个正方形的周长是32.3厘米，这个正方形的边长是多少厘米？【答案】32.3÷4=8.075（厘米）答：这个正方形的边长是8.075厘米。

【解析】正方形的周长=边长×4，由此用周长除以4，即可解决问题。

【巩固练习】一、选择题。

1．下面四个信封中分别装有一个硬纸板，并且硬纸板都已露出了一部分，从（）号信封中抽出的硬纸板的形状可能是正方形.2．正方形的周长等于140厘米，边长为（）A．30厘米 B．35厘米 C．40厘米3．12个相同的小正方形拼成不同的长方形，它们的（）一定相同。

A．长 B．宽 C．周长 D．面积4．一幅画长12分米，宽8分米．这幅画放在下面第（）个画架中最合适．A．长14分米宽6分米B．长16分米宽12分米C．长13分米宽9分米5．如图中有（）个长方形，（）个正方形．（）A．5、3 B．7、2 C．6、36．小华沿着一个长80米，宽60米的长方形游泳池游了2圈，小华游了（）米。

A.280B.560C.4800D.96007．一个长方形长8米，宽6米，如果把它的长和宽都增加2米，它的面积增加（）。