函数关系式的确定
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例 ３ 已 知 （ ｚ ） 为 多项 式 函 数 ， 且 ＿ 厂 （ ＋ １ ） ＋ｆ （ ｘ —１ ） 一 ２ 一２ ｚ 。 ＋４ ， 求 （ ｚ ） ． 解 ： 由于 厂（ ｚ＋ １ ） ＋厂 （ － ｚ 一１ ） 的次 数是 ２ ， 且 ／ （ ３ ７ ＋１ ） ＋ ， （ ｚ 一１ ） 的次 数 与 厂 （ ｚ ） 的次数是一样的． 则 ， （ ） 的 次 数 必 为 ２ ， 也就是说 厂 （ ｚ ） 必是 一 个二 次 函数 ， 故可设 ， ｃ ） 一 ４ ，
把 原 始变 量 表 示 出 来 ， 最后 带人 原 函数 ， 从 而 求 出 函 数 的 表
达式．
６ 一一ｌ ， 所以 － 厂 （ ｚ ） 一ｚ 。 一ｚ ＋１ ．
例１ 已 知－ 厂 （ ｝ ） 一 ＋ — （ ｚ ≠ １ ） ， 求厂 （ ｚ ） ．
再 由 ｝ 一 ￡ 得 ｚ 一 暑 （ 用 中 间 变 量 ￡ 把 原 始 变 量 表 ２ｆ（ ０ ） ＋ｚ ＋６ ．
示出来） ．
（ Ｏ ） 的值 就 可 以 求 出 厂（ ｚ ） 的解析 式 ， 故我 们再令 － ｚ ＝０ ， Ｙ 一 于 是 － 厂 （ ￡ ） 一 暑 三 ＿ ｝ ＋ ＿（ 代 人 原 函 数 ） 整 理 后 有 厂 （ ￡ ） ０． 得到 ２ ｆ （ Ｏ ） ＝厂 （ Ｏ ） ＋２ ｆ（ Ｏ ） ＋６ ， 化 简后 为 厂（ ０ ） 一一６ ， 将 之 『 二 一
的增 减 性 、 周 期 性 以 及相 应 区 域 的 最 值 问 题 等 的 研 究 ． 所以函
数 的 关 系 式 一 直 都 是 我 们 中学 尤 其 是 高 考 的 重 点 内容 ， 我 们 有必要对它进行研究 和学 习， 并 获 得 解 决 函数 关 系 式 确 定 的 常用方法． 函 数 关 系 式 的确 定 方 法 涉 及 的 内 容 很 多 ， 没 有 哪 种 方 法 是万能的 ， 我 们 在 这 里 只 是研 究 函 数关 系 式 确 定 中 ， 比较 常 见
６ ｚ＋ Ｃ（ 口≠ Ｏ） ．
们 就 一 直 在 接 触 函数 ． 函 数 是 很 多 数 学 知 识 的基 础 ． 随 着 我 们 对 函 数 研 究 的不 断 深 入 ， 函 数 的应 用 已 经 远 远 超 出 课 本 知 识 的范围 ， 航 天、 建筑 、 股票 、 疫 病 的防护等 都用 到 了函数知 识． 函 数 的 应 用 得 到 了广 泛 的 推 广 ． 而 我 们 对 与 函 数 相 关 的各 种 性 质 的 研 究 大 多 都 是 建 立 在 函数 关 系式 的 研 究 上 ， 比如 ： 函 数
一
芈， ｔ ￣ － Ｉ ．
以 代 ， 得 ＿ 厂 （ ） 一— ｘ ￣ ｘ＋ ２
－ —
代人 （ １ ） ， 我们得 到 厂 （ ） 一ｚ 。 一６ ．
（ ５ ） 数 列 法
＿
， － ｚ ≠ １ ．
求 定 义 在 自然 数 集 Ｎ 上 的 函 数 ＿ 厂 （ ” ） ， 实 际 上 就 是 数 列 ｛ ｌ 厂 （ ） ） （ １ ， ２ ， …） 的通项 ， 数列法就是利用等 比、 等 差 数 列 的有
【 一 １ ，
（ ４ ） 赋 值 法
此 方 法 是 在 函数 定 义 域 内 ， 赋予 变量 （ 一 个或 者几 个） 特 解 ： 令 三 一 ｚ （ 用 新 的 中 间 变 量 代 替 关 系 式 三 号 ） ． 殊值， 使方程化 简 ， 从 而使 问题 获得 解 决 ． 因 为 ￡ 一 ｝ 三 ｛ 一 １ 一 且 ｚ ≠ １ ， 所 以 ￡ ≠ １ （ 求 出 中 间 例４ 已知函数 厂 （ ＿ ｚ ） 满 足 函数 方 程 ｆ （ ｘ ＋ ） ＋＿ 厂 （ ｚ— ）
关知识 （ 通项公式 、 求 和公式等） 求 定 义 在 Ｎ上 的 函数 ， （ ） ．
的一 些 方 法 ．
（ １ ） 换 元 法
则 厂 （ ＋１ ） ＋ｆ （ ｘ一 １ ） 一［ Ⅱ （ ＋１ ） ＋６ （ ＋ １ ） ＋ｆ ］ ＋［ ｄ
（ ｚ一 １ ） ＋ ６ （ ｚ一 １ ） ＋ｃ ］一 ２ ａ ｘ ４ － ２ ｂ ｘ＋ ２ （ ｄ＋ ｆ ） ．
由已知 ＿ 厂 （ ｚ ＋１ ） ＋ （ 一 １ ） 一２ ｘ 。 一２ ｘ＋４得 ２ ａ ｘ ＋２ ｂ ｘ
变量 ｔ 的取 值 范 围 ） ．
一厂 （ ｚ ） ＋２ ｆ （ ｙ ） ＋－ ｚ 。 ＋６ ， 求 ， （ ｚ ） ． 解： 令 一 ０ ， 则 函 数 方 程 变 为 ｆ（ ｚ ） ＋ ｆ（ ｚ） 一＿ 厂 （ ） ＋
化 简后 为 － 厂 （ ｚ ） 一２ ｆ （ ０ ） ＋ｚ ＋６ （ １ ） ， 则 我 们 只 要 求 出
＼ ２ ０ １ ３ 年第 ６ 期
嚼 厕 ’＞ Ｊ 题 点 精
函数 关 系 式 的 确 定
一 孙 云
函数 一 词 在 我 们 的 数 学 学 习 中 并 不 陌 生 ， 从 中 学 开 始 我
项 式相等的条件 ［ 两 个 多 项 式 （ ｚ ） 、 ｇ （ ｚ ） 相 等 的 充 要 条 件 是 （ １ ） 这两个多项式 的次数 相等 ； （ ２ ） 对应 项 的系数相 等． ］ 确 定 函数 的 关 系 式 ．
＋２ （ ｎ ＋ｃ ） 一２ ｘ。 一２ ｘ＋ ４ ．
２ ａ＝ ２，
此方 法 是 将 函 数 的 “ 自变 量 ” 或 某 个 关 系式 代 之 以 一 个 新
的变 量 （ 中间变量 ） ， 求 出 中间 变 量 的取 值 范 围 ， 再 用 中 间变 量
比较 等 式 两 端 同 次 项 的 系 数 ， 得 ２ ｂ ＝一２
把 原 始变 量 表 示 出 来 ， 最后 带人 原 函数 ， 从 而 求 出 函 数 的 表
达式．
６ 一一ｌ ， 所以 － 厂 （ ｚ ） 一ｚ 。 一ｚ ＋１ ．
例１ 已 知－ 厂 （ ｝ ） 一 ＋ — （ ｚ ≠ １ ） ， 求厂 （ ｚ ） ．
再 由 ｝ 一 ￡ 得 ｚ 一 暑 （ 用 中 间 变 量 ￡ 把 原 始 变 量 表 ２ｆ（ ０ ） ＋ｚ ＋６ ．
示出来） ．
（ Ｏ ） 的值 就 可 以 求 出 厂（ ｚ ） 的解析 式 ， 故我 们再令 － ｚ ＝０ ， Ｙ 一 于 是 － 厂 （ ￡ ） 一 暑 三 ＿ ｝ ＋ ＿（ 代 人 原 函 数 ） 整 理 后 有 厂 （ ￡ ） ０． 得到 ２ ｆ （ Ｏ ） ＝厂 （ Ｏ ） ＋２ ｆ（ Ｏ ） ＋６ ， 化 简后 为 厂（ ０ ） 一一６ ， 将 之 『 二 一
的增 减 性 、 周 期 性 以 及相 应 区 域 的 最 值 问 题 等 的 研 究 ． 所以函
数 的 关 系 式 一 直 都 是 我 们 中学 尤 其 是 高 考 的 重 点 内容 ， 我 们 有必要对它进行研究 和学 习， 并 获 得 解 决 函数 关 系 式 确 定 的 常用方法． 函 数 关 系 式 的确 定 方 法 涉 及 的 内 容 很 多 ， 没 有 哪 种 方 法 是万能的 ， 我 们 在 这 里 只 是研 究 函 数关 系 式 确 定 中 ， 比较 常 见
６ ｚ＋ Ｃ（ 口≠ Ｏ） ．
们 就 一 直 在 接 触 函数 ． 函 数 是 很 多 数 学 知 识 的基 础 ． 随 着 我 们 对 函 数 研 究 的不 断 深 入 ， 函 数 的应 用 已 经 远 远 超 出 课 本 知 识 的范围 ， 航 天、 建筑 、 股票 、 疫 病 的防护等 都用 到 了函数知 识． 函 数 的 应 用 得 到 了广 泛 的 推 广 ． 而 我 们 对 与 函 数 相 关 的各 种 性 质 的 研 究 大 多 都 是 建 立 在 函数 关 系式 的 研 究 上 ， 比如 ： 函 数
一
芈， ｔ ￣ － Ｉ ．
以 代 ， 得 ＿ 厂 （ ） 一— ｘ ￣ ｘ＋ ２
－ —
代人 （ １ ） ， 我们得 到 厂 （ ） 一ｚ 。 一６ ．
（ ５ ） 数 列 法
＿
， － ｚ ≠ １ ．
求 定 义 在 自然 数 集 Ｎ 上 的 函 数 ＿ 厂 （ ” ） ， 实 际 上 就 是 数 列 ｛ ｌ 厂 （ ） ） （ １ ， ２ ， …） 的通项 ， 数列法就是利用等 比、 等 差 数 列 的有
【 一 １ ，
（ ４ ） 赋 值 法
此 方 法 是 在 函数 定 义 域 内 ， 赋予 变量 （ 一 个或 者几 个） 特 解 ： 令 三 一 ｚ （ 用 新 的 中 间 变 量 代 替 关 系 式 三 号 ） ． 殊值， 使方程化 简 ， 从 而使 问题 获得 解 决 ． 因 为 ￡ 一 ｝ 三 ｛ 一 １ 一 且 ｚ ≠ １ ， 所 以 ￡ ≠ １ （ 求 出 中 间 例４ 已知函数 厂 （ ＿ ｚ ） 满 足 函数 方 程 ｆ （ ｘ ＋ ） ＋＿ 厂 （ ｚ— ）
关知识 （ 通项公式 、 求 和公式等） 求 定 义 在 Ｎ上 的 函数 ， （ ） ．
的一 些 方 法 ．
（ １ ） 换 元 法
则 厂 （ ＋１ ） ＋ｆ （ ｘ一 １ ） 一［ Ⅱ （ ＋１ ） ＋６ （ ＋ １ ） ＋ｆ ］ ＋［ ｄ
（ ｚ一 １ ） ＋ ６ （ ｚ一 １ ） ＋ｃ ］一 ２ ａ ｘ ４ － ２ ｂ ｘ＋ ２ （ ｄ＋ ｆ ） ．
由已知 ＿ 厂 （ ｚ ＋１ ） ＋ （ 一 １ ） 一２ ｘ 。 一２ ｘ＋４得 ２ ａ ｘ ＋２ ｂ ｘ
变量 ｔ 的取 值 范 围 ） ．
一厂 （ ｚ ） ＋２ ｆ （ ｙ ） ＋－ ｚ 。 ＋６ ， 求 ， （ ｚ ） ． 解： 令 一 ０ ， 则 函 数 方 程 变 为 ｆ（ ｚ ） ＋ ｆ（ ｚ） 一＿ 厂 （ ） ＋
化 简后 为 － 厂 （ ｚ ） 一２ ｆ （ ０ ） ＋ｚ ＋６ （ １ ） ， 则 我 们 只 要 求 出
＼ ２ ０ １ ３ 年第 ６ 期
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函数 关 系 式 的 确 定
一 孙 云
函数 一 词 在 我 们 的 数 学 学 习 中 并 不 陌 生 ， 从 中 学 开 始 我
项 式相等的条件 ［ 两 个 多 项 式 （ ｚ ） 、 ｇ （ ｚ ） 相 等 的 充 要 条 件 是 （ １ ） 这两个多项式 的次数 相等 ； （ ２ ） 对应 项 的系数相 等． ］ 确 定 函数 的 关 系 式 ．
＋２ （ ｎ ＋ｃ ） 一２ ｘ。 一２ ｘ＋ ４ ．
２ ａ＝ ２，
此方 法 是 将 函 数 的 “ 自变 量 ” 或 某 个 关 系式 代 之 以 一 个 新
的变 量 （ 中间变量 ） ， 求 出 中间 变 量 的取 值 范 围 ， 再 用 中 间变 量
比较 等 式 两 端 同 次 项 的 系 数 ， 得 ２ ｂ ＝一２
