人教A版必修四全套教案之1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

第一章三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：周期性和值域．2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的对称轴、对称中心及周期等．3．利用正弦函数、余弦函数的单调性求与弦函数有关的单调区间．基础梳理一、正、余弦函数的周期1．周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．对周期函数的理解要注意以下几个方面：(1)f(x＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内，且等式成立；(2)周期T是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加值；(3)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT，n∈Z，n≠0也一定是函数f(x)的周期；(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无界集，至少是一方无界；(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数，如函数y＝x－k，(k<x<k＋1，k∈Z)就是一个以1为周期的周期函数．3．一个函数如果是周期函数，必定有无穷多个不同的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．4．正弦函数和余弦函数都是周期函数.2k π(k ∈Z，k ≠0)是周期，最小正周期是2π． 思考应用1．求出下列函数的最小正周期：(1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3. 体会这些函数的周期与解析式中哪些量有关．解析： (1)2π3； (2)π.通过计算可知与x 前面的系数有关，进而可总结为对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|. 二、正弦函数和余弦函数的最值正弦函数y ＝sin x 当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时取最小值－1；余弦函数y ＝cos x 当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时取最大值1，当且仅当x ＝2k π＋π(k ∈Z)时取最小值－1．思考应用2．函数y ＝sin x ，x ∈[0，π]的值域还是[－1，1]吗？解析：正弦函数在整个定义域R 上的值域为[－1，1]，在确定函数的值域时，要注意函数的定义域区间，事实上，y ＝sin x ，x ∈[0，π]的值域是[0，1]． 自测自评1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为(C ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2是(A ) A ．周期为2π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 为偶函数，T ＝2π|ω|＝2π，故选A. 3．下列说法不正确的是(D )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1，1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z)时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z)上都是减函数4．f (x ＋3)＝f (x )对x ∈R 都成立，且f (1)＝5，则f (16)＝5．解析：∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期为3的周期函数，f (16)＝f (5×3＋1)＝f (1)＝5.基础提升1．函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤7π6的最小、最大值分别为(D ) A ．0，1 B ．－1，1C ．－32，1D ．－1，32解析：由y ＝cos x ，π6≤x ≤7π6的图象(如下图)知：当x ＝π6时，y ＝cos x 有最大值32. 当x ＝π时，y ＝cos x 有最小值－1，故选D.2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x 是(D ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，所以该函数为周期为2π的偶函数． 3．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π5的周期是(C ) A ．2π B ．π C.π3 D.π64．函数y ＝1＋sin x 最大值为(C)A ．0B ．1C ．2D ．3解析：当x ＝π2时，y ＝1＋sin x 有最大值2，故选C. 5．函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＋1的最小正周期为(B) A.π2B ．πC ．2πD ．3π 解析：y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＋1的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π.故选B. 6．已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为2π3，则ω的值为(C ) A ．1 B ．±3 C ．3 D.32解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，故选C. 7．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为(B )A ．2B ．0C ．－14D ．6 巩固提高8．如果|x |≤π4，则函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值是(D ) A.2－12 B.－（1＋2）2C ．－1 D.1－229．若f (x )＝cos π4x ，x ∈N *，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝________． 解析：f (x )＝cos π4x ∵T ＝2ππ4＝8， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4＋cos 4π4＋cos 5π4＋cos 6π4＋cos 7π4＋cos 8π4＋…＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×2 011 ＝251⎣⎢⎡22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋（－1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＋ ⎦⎥⎤22＋1＋ 22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝0. 答案：010．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |. (1)画出函数的简图．(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＜x ＜2k π＋3π2， (k ∈Z)．其图象如图所示：(2)由图象知，函数的最小正周期是2π.1．求三角函数的值域，主要是利用三角函数的有界性并结合二次函数等特定函数的单调性求解，换元法是常用的手段之一．2．若T 是函数f (x )的周期时，则kT (k ∈Z，k ≠0)也是f (x )的周期．若未特别说明，一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集．。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标知识目标：观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题. 能力目标：培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力.情感目标：学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦. 二、教材分析本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。

该内容共两课时，这里讲的是第二课时。

正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。

通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础.三、教学重难点教学重点： 正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值.教学难点: 确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用. 四、教学过程 复习引入： （1）单调性： 正弦曲线下面是正弦函数sin ()=∈y x x R 图象的一部分：sin ()=∈y x x R 在ππ2π2π22[-,]()++∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在π3π2π2π22[,]()++∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.余弦曲线cos ()=∈y x x R cos ()=∈y x x R 在π2π2π[-+,]()∈k k k Z 上单调增，函数值从-1增加到1，在2ππ2π[,]()+∈k k k Z 上单调减，函数值从1减小到-1.（2）最值：正弦函数sin ()=∈y x x R ①当且仅当x =π2π2+k ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =π2π2-+k ,∈k Z 时,取得最小值.余弦函数cos ()=∈y x x R ，①当且仅当x =2πk ,∈k Z 时,取得最大值； ②当且仅当x =2ππ+k ,∈k Z 时,取得最小值. 应用一：利用单调性比大小 例1 不通过求值，比较sin()sin()1810与ππ--的大小. 分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）.如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。

福建省光泽县第二中学高中数学必修4第一章教学设计：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质[教学重点、难点、疑点]重点：会求函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R 的周期； 难点：周期定义的理解；疑点：周期性是整个定义域内的函数的一个性质． [教学过程] （一）新课引入自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等，数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin α,cos α的值也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种周而复始的变化规律，今天我们来学习一个新的数学概念—函数的周期性．（二）新课 1、周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线 x-2π-23π-π2π 02π π23π 2πsin x 0 1 0 -10 1-1y =sin x ,x ∈Ry-27π -25π -23π -2π 2π 23π 25π 27π x-4π -3π -2π -π -1 π 2π 3π 4π正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．联想诱导公式sin(x +2k π)=sin x (k ∈Z)若令f (x )=sin x ，则f (x +2k π)=f (x )，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如2π，4π及-2π，-4π都是正弦函数的周期． 注：周期函数定义中， 一是T 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立． 师：请同学们思考下列问题： 1）对于函数y =sin x ，x ∈R 有sin(4π+2π)=sin 4π能否说2π是正弦函数y =sin x 的周期． 生：不能说2π是正弦函数y =sin x 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的第一个值都使等式sin(x +2π)=sin x 成立，所以不合周期函数的定义． 2）f (x )=x 2是周期函数吗？为什么？生：若是周期函数，则有非零常数T ，使f (x +T )=f (x )，即(x +T )2=x 2，化简，得T (2x +T )＝０，∴T =0（不非零），或T =-2x ，（不是常数），故满足非零常数T 不存在，因而f (x )不是周期函数．思考题：若T 为f (x )的周期，则对于非零整数k ，kT 也是f (x )的周期．2、最小正周期的定义师：我们知道，-4π，-2π，2π，4π都是正弦函数的周期，可以证明2k π (k ≠0且k ∈Z) 是f(x)=sinx 的周期，其中2π是f(x)=sinx 的最小正周期．一般地，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．今后若涉及到的周期，如果不另特别说明，一般都是指函数的最小正周期． 依据定义，y=sinx 和y=cosx 的最小正周期为2π． 3、例题：例1 求下例函数的周期： 1）y=3cosx ,x ∈R ； 2）y=sin2x, x ∈R ； 3）y=2sin(21x-6π),x ∈R ． 分析：由周期函数的定义，即找非零常数T ，使f(x+T)=f(x)．解：（1）因为余弦函数的周期是2π，所以自变量x 只要并且至少要增加到x+2π，余弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx, x ∈R 的值也能重复取得，从而函数y=3cosx ，x ∈R 的周期是2π．即f(x)=3cosx=3cos(x+2π)=f(x+2π)，∴T=2π(2)令z=2x ，那么x ∈R 必须并且只需z ∈R ，且函数y=sinz ，z ∈R 的周期是2π，就是说，z 变量只要并且至少要增加到z+2π函数y=sinz ，z ∈R 的值才能重复取得，而z+2π=2x+2π=2(x+π)所以自变量x 只要并且至少要增加到x+π，函数值就能重复取得，从而函数y=sin2x ，x ∈R 的周期是π．即f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π) ∴T=π (3)令z=21x-6π，那么x ∈R 必须并且只需z ∈R ，且函数y=2sinz ，z ∈R 的周期是2π，由于 z+2π=(21x-6π)+2π=(x+4π)-6π，所以自变量x 只要并且至少要增加到x+4π，函数值才能重复取得，即T=4π是能使等式2sin[(x+T)-6π]=2sin(21x-6π)成立的最小正数， 从而函数y=2sin(21x-6π)，x ∈R 的周期是4π． 而f(x)=2sin(21x-6π)=2sin(21x-6π+2π)=2sin[(x+4π)-6π]=f(x+4π)，∴T=4π 师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量x 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R （其中A ，ω，ϕ，为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期？生：f(x)=Asin(ϕω+x )=Asin(ϕω+x +2π)=Asin[ω(x+ωπ2)+ϕ]=f(x+ωπ2)∴T=ωπ2同理可求得y=Acos(ϕω+x )的周期T=ωπ2．例2 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π； （2）y=sin 4x+cos 4x 的周期为2π； （3）y=|sinx|+|cosx|的周期为2π． 分析：依据周期函数定义f(x+T)=f(T)证明． 证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2x+2π)+sin(2x+2π) =cos2x+sin2x=f(x)∴f(x)的周期为π．（2）f(x+2π)=sin 4(x+2π)+cos 4(x+2π) =cos 4x+sin 4π=f(x)∴f(x)的周期为2π． （3）f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)| =|cosx|+|sinx|=f(x) ∴f(x)的周期为2π． 例3先化简，再求函数的周期 ①x x y cos sin +=②x x x x y 22sin sin cos 32cos -+=③证明函数|cos ||sin |)(x x x f +=的一个周期为2π，并求函数的值域； 例4求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)解：1︒ 令z= x+3π而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) f [(x+2)π+3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π3︒令z=2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x )=f (x +4π) ∴T=4π 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期T=ωπ2y=Acos(ωx+φ)也可同法求之4、小结：（1）周期函数定义及最小正周期的定义． （1）ϕ函数y=Asin(ϕω+x )，x ∈R 及函数y=Acos (ϕω+x )，x ∈R 的周期都为T=ωπ2课堂练习：P 40 2、3， 课后作业：P 52 3 同步练习：求下列函数的周期： 1。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 1.4.2正弦函数，余弦函数的性质教案新人教A 版必修4【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;2、理解周期函数的概念;3、能熟练地求出简单三角函数的周期。

4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);【教学难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.【教学过程】 一、 复习巩固1、画出正弦函数和余弦函数图象。

2、观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：3、下列各等式是否成立？为什么？ （1）2 cosx=3， （2）sin 2x=0.54、 求下列函数的定义域:(1)y=xsin 11; (2)y=cosx .二、预习提案（阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）2、什么是最小正周期？3、正弦函数和余弦函数的周期和最小正周期：<注>,一般都是指最小正周期.三、探究新课例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x ∈R ;(2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6),x ∈R .练习：求下列函数的周期:（1）x y 43sin =，x ∈R （2）x y 4cos =，x ∈R （3）x y cos 21=，x ∈R （4）)431sin(π+=x y ，x ∈R四、规律总结一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ), (其中A 、ω、φ为常数,A ≠0,ω≠0,x ∈R)的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ωπ2。

§正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数的值域.在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．.在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】．学案导学：见后面的学案。

．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

（一）问题情境复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标——定义域与值域（二）探索研究给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或)..值域()值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.()最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是..奇偶性。

正弦函数、余弦函数的图象和性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期及求法。

【教学重点】正、余弦函数的性质【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0) (2π，1) (π，0) (23π，-1) (2π，0) 余弦函数y=cosx x ∈[0，2π]的五个点关键是(0，1) (2π，0) (π，-1) (23π，0) (2π，1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sinx ，x ∈R y ＝cosx ，x ∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。

其中正弦函数y=sinx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1。

而余弦函数y ＝cosx ，x ∈R（1）当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1。

（2）当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1。

5．周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M ， 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2．“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)≠f (x0)）3．T 往往是多值的（如y=sinx 2π，4π，…，-2π，-4π，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一 求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解 由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )． 变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析 由题意，1＋λcos x 的最大值为4， 当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3； 当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二 由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2， 整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)明目标、知重点 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ] (k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减最值在x＝π2＋2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝－π2＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1在x＝2kπ (k∈Z)时，y max＝1；在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，y min＝－1[情境导学]周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究．探究点一正弦、余弦函数的定义域、值域导引正弦曲线：余弦曲线：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R .思考1 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，正弦函数y ＝sin x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.思考3 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 探究点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域． (1)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 探究点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A >0)的单调性 思考1 怎样确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调性？答 当ω>0时，把ωx ＋φ看成一个整体，视为X .若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调增区间，则得到2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间．若把ωx ＋φ代入到y ＝sin X 的单调减区间，则得到2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )，从中解出x 的取值区间就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的减区间．当ω<0时，先利用诱导公式把x 的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解．余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间类似可求．思考2 请同学们根据上面介绍的方法，写出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3单调递增区间． 答 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z .∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z .例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18与sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°， ∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练1 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin 493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.例2 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间． 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1. 由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π；令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π，∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为[－4π，－52π]，[－π2，32π]，[72π，4π]．反思与感悟 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx ＋φ视为一个整体．若x 的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域．跟踪训练2 求函数y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间．解 由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只需满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 例3 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域． 解 设t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，f (t )＝t 2－t ＋1. ∵f (t )＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. ∵－1≤t ≤1，∴当t ＝－1，即sin x ＝－1时，y max ＝f (t )max ＝3； 当t ＝12，即sin x ＝12时，y min ＝f (t )min ＝34.∴函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域为⎣⎡⎦⎤34，3.反思与感悟 形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g (t )＝at 2＋bt ＋c 在闭区间[－1,1]上的最值问题．要注意，正弦、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1对值域的影响．跟踪训练3 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合． 解 y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }；y min ＝－4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }．1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π 答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， ∴g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，∴开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间(－1,1)内， ∴g (t )在(－1,1)上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2， 即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]． [呈重点、现规律]1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础过关1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D ．－5答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3.∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )． 二、能力提升8．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________． 答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.10．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值． 解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围． 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]． 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|<π；若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解 由f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－56π(k ∈Z ) ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－56π，又∵f (π2)>f (π)，∴φ＝－56π， 由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2(k ∈Z )． 得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋23π](k ∈Z )． 三、探究与拓展13．设函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理，函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730， 又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎡⎦⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识④自主预习新知初探⍓知识点1. 函数的周期性【思考】观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？【答案】具有“周而复始”的变换规律。

（1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（3）记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π．知识点2.正、余弦函数的性质【思考】（1）正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？（2）诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y ＝cos x的什么性质？【答案】（1）正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．（2）正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．R R自我测评⍓1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) （2）函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) （3）函数y ＝2cos3x 是偶函数.（ ） 【答案】(1)√ (2)√ (3)√2．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.【答案】B3．函数y ＝sin 12x 的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4πD ．6π【解析】∵sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期为4π. 【答案】C4．函数＝1＋cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称【解析】 y ＝1＋cos x ＝1＋cos(－x )，∴y ＝1＋cos x 是偶函数，即该函数的图象关于y 轴对称． 【答案】B5．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x的奇偶性为________．【解析】因为1＋sin x ≠0，故其定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． 【答案】非奇非偶函数【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！题型1正、余函数的周期性【例1】求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .【解】 (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π. (3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13（x ＋6π）－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π.【方法总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式， 再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期． 【变式训练1】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.【解】(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图象一样，因此最小正周期相同，为2π. 题型2正、余函数的奇偶性 角度1判断函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin |x |；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.【解】(1)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－3x 4＝－cos 3x4＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin |x |＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin |x |是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1，所以x ＝2k π(k ∈Z )，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．【方法总结】判断奇偶性的方法判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系． 【变式训练2】判断函数f （x ）＝lg （sin x ＋1＋sin 2x ）的奇偶性。