中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义12 一元二次方程(教师版)

一元二次方程知识梳理1.一元二次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程的特点(1)含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是 2.(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax²+bx+c=0时,应满足a≠0.3.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法.(4)因式分解法.5.根的判别式一元二次方程根的判别式为Δ=b²−4ac.典型例题例 1若关于x 的一元二次方程(m−1)x²+5x+m²−3m+2=0的常数项为0，则 m 的值等于( ).A. 1B. 2C.1或2D.0分析首先为保证( (m−1)x²+5x+m²−3m+2=0是一元二次方程，则m−1≠0;；其次，根据题意，常数项为0，则m²−3m+2=0.解 B例2已知方程x²+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ).A. abB. a/bC. a+bD. a-b分析将根代入方程，得a²−ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+1)=0.解将-a代入原方程,得a(a-b+1)=0因为a≠0所以a-b=-1选 D.例3解下列一元二次方程.①9(x−1)²=(2x+1)²(用因式分解法)②x²−5x+2=0(用公式法)③y²−10y−10=0(用配方法)④(x+2)²−25=0(直接开平方法)解①9(x−1)²=(2x+1)²9(x−1)²−(2x+1)²=0[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0(5x-2)(x-4)=0x1=25,x2=4②x²−5x+2=0△=25-8=17x1=5+√172,x2=5−√172③y²−10y−10=0(y−5)²=35y1=√35+5,y2=−√35+5④(x+2)²−25=0(x+2)=±5x₁=3,x₂=−7例 4已知x²−x−1=0,求−x³+2x²+2014的值.分析 方法一，将 −x³+2x²+2014变形为含有 (x²−x )的形式；方法二，将 x²=x +1代入 −x³+2x²+2014逐次降幂.解 方法一 因为 −x³+2x²+2014=−x³+x²+x²+2014=x (−x 2+x )+x 2+2014⋯;又因为 x²−x −1=0,所以 −x 2+x =−1,将②代入①得原式= x ×(−1)+x 2+2014=−x +x 2+2007=−(−x 2+x )+2014⋯③;将②代入③得原式=-(-1)+2014=2015.方法二 −x 3+2x 2+2014=−x ⋅x 2+2x 2+2014又因为 x²−x −1=0,所以 x 2=x +1将②代入①得原式= −x (x +1)+2(x +1)+2014=−x²+x +2+2014=−1+2+2014=2015双基训练1. 方程 2x 2−1=√3x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3.关于x 的方程( (m −1)x²+(m +1)x +3m +2=0,当 m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程.4.请写出一个根为x=-1，另一根满足-1<x<1的一元二次方程 .5.在方程 (x−1x+3)2−4(x−1x+3)+1=0中，如果设 y =x−1x+3,那么原方程可以化为关于y 的整式方程是 .6.已知 6x²+xy −2y²=0,则Ixy 的值为 .7.关于x 的方程(1)ax²+bx +c =0;(2)x²−4x =8+x²;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k²+1)x²+kx +1=0)中，一元二次方程的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D.48.如果 (m +3)x²−mx +1=0是一元二次方程，则( ).A. m≠-3B. m≠3C. m≠0D. m≠-3且m≠09.已知方程 x²−2(m²−1)x +3m =0的两个根是互为相反数，则m 的值是 ( ).A. m=±1B. m=-1C. m=1D. m=010.关于x 的一元二次方程( (a −1)x²+x +a²−1=0的一个根是0,则a 的值( ).A. 1B. -1C.1或-1D. 1211. 方程( (x −1)²−3(x −1)−4=0的较适当的解法是( ).A.开平方B.因式分解C.配方法D.公式法12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ).A.x²−2x −99=0化为 (x −1)²=100B.x²+8x +9=0化为 (x +4)²=25C.2t²−7t −4=0化为 (t −74)2=8116D.3y²−4y −2=0化为 (y −23)2=109 13.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ).A.若 x²=4,则x=2B. 方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C.若 x²+2x +k =0的一个根为1,则k=-3;D.若分式 x 2−3x+2x−1的值为零,则x=1,214.若(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y 的值是( ). A. -4 或2 B. -2或 4 C.−32或3 D.3或-215.关于x 的方程 2²x²+(2k −1)x +1=( 有实数根，则下列结论正确的是( ).A. 当 k =12时方程的两根互为相反数B.当k=0时方程的根是x=--1C.当k=±1时方程的两根互为倒数D. 当 k ≤14时方程有实数根16.等腰三角形的两边的长是方程 x²−20x +91=0的两个根，则此三角形的周长为( ).A.27B.33C.27 和33D.以上都不对17.用适当的方法解下列一元二次方程①25x²−36=0 ②2(x −1)²=x²−1③2x²−7x +3=0 circle4x 2+2(√2−1)x +3−2√2=018.关于x 的方程 (m −√3)x m 2−1−x +3=0是一元二次方程，则m= .19.如果关于x 的一元二次方程 x²+px +q =0的两根分别为 x₁=3,x₂=1,那么这个一元二次方程是( ). A.x²+3x +4=0 B.x²−4x +3=0C.x²+4x −3=0D.x²+3x −4=0 20.已知 x²+3xy −4y²=0(y ≠0),求 x−y x+y 的值.能力提升21.方程( (x−2)²=9的解是( ).A.x₁=5,x₂=−1B.x₁=−5,x₂=1C.x₁=11,x₂=−7D.x₁=−11,x₂=722.如果关于 x 的方程mx²−2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m−5)x²−2(m+2)x+ m=0的实根个数为( ).A.2个B.1个C.0个D.不确定23. 关于x的方程( (m−2)x m2−2−x+4=0是一元二次方程，则m=.24.用配方法解一元二次方程：. x²−2x−2=0.的值为零，求 x 的值.25.若分式x2−3x−4|x−3|−126. 若3x²−x−1=0,求6x³+7x²−5x+2014的值.27.试证明：不论m 为何值，方程2x²−(4m−1)x−m²−m=0总有两个不相等的实数根.，求它的另一个根和 m 的值.28.已知方程2x²−3x−m=0的一个根是1229.已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.30.当 k 取何值时，一元二次方程x²−(2k−3)x+2k−4=0(1)有两个正根.(2)有两个异号根，且正根的绝对值较大.拓展资源31.简单高次方程的解法(换元法、因式分解法).(1)x¹−x²−20=0(2)(x²−x)²−7x²+7x+10=0(3)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24(4)x³−x²−x+1=0(5)5(x2+1)x+1+6(1+x)x2+1=1732.用配方法求代数式的最大值或最小值.(1)2x²+40x−88(2)12(t+10)(30−t)33.已知关于x 的方程(m−2)x²−2(m−1)x+m+1=0有实数根，求m 的非负整数值.34.若关于x的方程ax²−2ax−3=0有实数根，求a 的取值范围.35.已知关于x的方程x²−2mx−3m²+8m−4=0.(1)求证：当m>2时，原方程总有两实数根.(2)若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.1.2,- √3,--12. x²+2x-1=0,1,2,-13.=1,≠14.x²+x =05.y²−4y +1=06. 12或 −237. B8. A9. B 10. B11. B 12. B 13. C 14. A 15. D 16. C 17.①x=± 65;②x ₁=1,x ₂=3; ③.x ₁= 12,x ₂=3;④x=1- √218.−√3 19. B 20. 53或0. 21. A 22. A 23. -224.x 1=√3+1,x 2=−√3+1 25. x=-1 26.201727. 因为 Δ=(4m −1)²+8(m²+m )=24m²+1>0 28.1,m=-1 29.(1) △=12k+4>0,则 k >−13且 k≠0.(2)不存在.理由如下：因为 1x 1+1x 2=0x 1+x 2x 1x 2=0 k=-1与 k >−13矛盾.所以不存在.30.(1) k>2且≠ 52;(2)32<k <2 31.(1)x =±√5;(2)x 1=2,x 2=−1,x 3=1+√212,x 4=1−√212;(3)x₁=0,x₂=5;(4)x=±1;(5)x =3±√172. 32.(1) 当x=-10时,有最小值-288;(2)当t=10时,有最大值200.33. m≤3,m=0,1,2,334.a≤-3或a>0.35.(1) 提示: Δ=16m²−32m +16=16(m −1)²;(2)m<0或 m >43.。

第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。

一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规X化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用. 知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x|m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法一元二次 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未解法（降次） 直接开平方法因式分解法配方法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x ＝－1， 二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（）A.x ＝0B.x 1＝0，x 2＝3C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x 1==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题. 例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. （2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q q q --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得.分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）2万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是.分析把m +n 看做一个整体求解.设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4.故填±4.例9 解方程（3x +2）2－8（3x +2）+15＝0.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝13； 当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝13，x 2＝1. 【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝13，x 2＝1. 例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=- 2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1. ∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（） A.－1 B. 0 C分析本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=- 4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997xx-=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x=－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到吨，则平均每年下降的百分率是.分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2，解得x1，x2，而＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接开方法。

适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。

(2)配方法。

套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

(3)公式法。

当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。

(4)因式分解法。

主要用提公因式法、平方差公式。

3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。

初三数学一元二次方程全章复习首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。

2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。

3. 一元二次方程的根的判别式。

4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。

5. 二元二次方程组的解法。

二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。

难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。

【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例1. 关于x 的一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k=0有实数根，求k 的取值X 围。

分析：注意隐含条件：二次项系数不等于0。

解：∆.≥⎧⎨⎩⇒--≥⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤002140014014022k k k k k k k k ≠≠≠且≠()，∴的取值范围是且≠k k k ≤140。

隐含条件题目的表达方式：（1）关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，含义是一元二次方程；（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含a ≠0；（3）关于x 的方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含a ≠0。

例已知关于的方程有实根，求的取值范围。

2. x ()()a x a x a 2212110-+++= 分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为0时，是一元一次方程，若二次项系数不为0时，是一元二次方程。

解：（）当≠，即≠±时，11012a a -∆=[+]--=+≥214188022()()a a a∴a ≥-1∴且≠a a >-11（）当，即±时，21012a a -==当时，a x ==-114当时，方程无解a =-1∴当时，方程有实根。

a =1 综合（1）、（2），a 的取值X 围是a>-1。

二、对“方程的解”概念的理解： 1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。

对应练习
练习一 ［2023·聊城］若一元二次方程 mx2+2x+1=0 有实数解，则 m 的取
值范围是 （ D ） A． m≥-1
B． m≤1
C． m≥-1 且 m≠0 D． m≤1 且 m≠0
练习二 ［2022·衡水模拟］若关于 x 的一元二次方程-2x2-3x+n=0 有两个
不相等的实数根，则n 的最小整数解是 （ B ）
类题集训 1.1 小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了 a=1，发现 ax2+bx+c 可以分解为（x-2）（x+3），他核对时发现所抄的 b比原方程的 b 值 大 2，c 比原方程的 c 值小2．则原方程的根的情况是 （ B ） A． 不存在实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 有一个根是 x=-3 D． 有两个相等的实数根
将方程化为一般形式，确定 a，
b，c 的值，然后代入求根公 形如 ax2+bx+c=0（a ≠0）且 b2-
公式法
式 x =___________（b2-
4ac≥0 的方程 ，如：2x2-3x-1=0.
4ac≥0）计算.
续表
配方法
把一元二次方程的二次项系数 ①二次项系数化为 1 后，一次项系
化为1；把常数项移到等号右边； 数是偶数的一元二次方程.如：
两边同时加上一次项系数一半 3x2+6x-9=0；
的平方；配方成（x+m）2=n 的 ②各项系数较小且便于配方的方程.
形式，直接开平方求解.
续表
将方程右边化为 0；将方程左 ①缺少常数项，即方程 ax2+bx=0
因式分 解法

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系［课标要求］1. 理解一元二次方程的根的判别式2. 会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况.3. 会根据字母系数的一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围.4. 一元二次方程根与系数的关系的简单运用.［要点梳理］1. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式是△＝＿＿＿＿＿＿2. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系＿＿＿＿＿＿［规律总结］1、 判别含字母系数的一元二次方程的一般步骤①把方程化为一般形式，写出根的判别式；②确定判别式的符号；③根据判别式的符号，得出结论.2. 应用根的判别式时应注意二次项系数不为03. 注意结论的正逆两个方面的应用［强化训练］一、选择题1. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．0B ．8C ．42±D ．0或82. 一元二次方程x 2+6x +10=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3. 已知2x 2–x –1=0的两根为x 1. x 2，则x 1+x 2为（ ）A ．1B ．–1C ．12D ．12- 4. 如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜21B ．k ＜21且k≠0C ．－21≤k ＜21D ．－21≤k ＜21且k≠0 5. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根6. 使一元二次方程x 2＋7x ＋c ＝0有实根的最大整数c 是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．137. 已知三角形的两边长分别是3和6，第三边长是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则这个三角形周长是（ ）A ．13B ．11C ．11或13D ．12或158. 已知关于x 的方程（x ＋1）2＋（x －b ）2＝2有唯一的实数解，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）A ．x y 3-= B ．x y 1= C ．x y 2= D ．x y 2-= 二、填空题9. 若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0无实数解，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿。

《一元二次方程》全章复习—知识讲解【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么ab x x -=+21，a c x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2．若方程2(310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，m= ．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx --=是关于x的一元二次方程时，m =．举一反三：1、关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 2、已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，m= .【答案】1、a =4；a ≠4且a ≠-2.2、依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.类型二、一元二次方程的解法3．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=． 【答案与解析】 (1) 1167x =，243x =． (2)13x =，292x =． (3) 1232x x ==-．举一反三：解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．(3)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (4)2(t-1)2+t ＝1.【答案】 (1) 15x =-，232x =-．(2) 13x =，21x =．(3)123x =，21x =．(4)11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用4．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a ≠lD 、a ＜﹣2 【答案】C ；举一反三：1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 2、k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】1、A ；①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥． 答案：A2、（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．举一反三：1、已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．2、已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】1、（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．2、存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=，而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=，解这个方程得110m =，22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<， 当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>， 所以符合条件的m 的值为-2．3、(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>，所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =．当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．7．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．举一反三：1、有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.3、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

中考数学一轮复习基础考点专题12一元二次方程（含解析）中考数学一轮复习基础考点专题12一元二次方程（含解析）专题12 一元二次方程考点总结[思维导图][知识要点]知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

[注意]1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2- =4，④x2=0，⑤x2- +3=0A．①② B．①④⑤ C．①③④ D．①②④⑤[答案]B[详解]①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B.2．（·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26[答案]C[详解]观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；故选C.别为（）A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5[答案]C[详解]2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.故选C.4．（·湖南中考模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．[答案]C[详解]A. 是分式方程，故此选项错误；B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；C. 是一元二次方程，故此选项正确；D. 是二元二次方程，故此选项错误；故选：C.5．（·湖北中考模拟）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=0 [答案]B[详解]A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B.考查题型一应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（·吉林中考模拟）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（）A． . B． . C． D． .[答案]A[详解]由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．2．（·四川中考模拟）若是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A．0 B．2 C．-2 D．±2[答案]C[详解]由题意得：，解得：a=-2.故选C.3．（·重庆中考模拟）若方程是一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．–1[答案]D[详解]因为方程是一元二次方程,所以, ,解得且所以,故选D.4．（·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0[详解]根据一元二次方程的相关概念可知，m-1 0，，解得：m=2.故选：B.考查题型二一元二次方程的根的应用方法1．（·四川中考模拟）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2[答案]D解：∵ 是关于x的方程的根，∴ ，即n(n+m+2)=0,∵∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.2．（·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）[答案]D[详解]把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得：4m2-4=0，即m2-1=0解得：m1=1，m2=-1当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程，所以m=-1．3．（·河北中考模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）A．9 B．3 C．0 D．﹣3[答案]D[详解]∵关于x的一元二次方程的一个根为x=−2，∴化简，得2a−b+3=0，∴2a−b=−3，∴6a−3b=−9，∴6a−3b+6=−9+6=−3，故选D.知识点2：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步骤移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；[注意]：1）当时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习二次函数和一元二次方程【课标要求】1、会用对立统一的辨证观点，把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题转化为相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的相关问题；2、能根据二次函数的图像与x 轴的位置关系判断相应的一元二次方程的根的情况；3、会利用二次函数的图像求出一元二次方程的近似解.4、掌握分析图像的方法，并结合图像解决简单的实际问题. 图像信息题是指由图像（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型. 【要点梳理】二次函数与一元二次方程的关系1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2、一般地，如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴有两个公共点（x 1，0），（x 2，0），那么一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根x ＝x 1，x ＝x 2，反之亦成立.3、（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿个公共点； （2）当△＝b 2－4ac ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有＿＿＿＿个公共点； （3）当△＝b 2－4ac ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴＿＿＿＿＿公共点．4、二次函数y ＝2ax bx c ++的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由二次项系数a 决定的．a ＞0⇔抛物线的开口向上；a ＜0⇔抛物线的开口向下；|a |相同⇔抛物线的形状相同． 2、抛物线y ＝2ax bx c 与y 轴的交点的位置是由常数项c 决定的．c ＞0⇔抛物线与y 轴相交于正半轴上； c ＝0⇔抛物线与y 轴相交于原点； c ＜0⇔抛物线与y 轴相交于负半轴上．3、抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴的位置是由a 和b 联合决定的．a 与b 同号⇔对称轴在y 轴的左侧；a 与b 异号⇔对称轴在y 轴的右侧；b ＝0⇔对称轴就是y 轴．4、抛物线与x 轴交点的个数由24b ac ∆=-的符号决定的．24b ac -＞0⇔抛物线与x 轴有2个交点； 24b ac -＝0⇔抛物线与x 轴有1个交点； 24b ac -＜0⇔抛物线与x 轴有0个交点．5、解图像信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：（1）观察图像，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。

考向12 一元二次方程【考点梳理】1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为q p x =+2)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根．5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则有下列性质：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根：1,2x =．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根：122bx x a==-． ③0∆<⇔方程没有实数根．7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，ac x x =•21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0） 【题型探究】题型一：一元二次方程的基础概念1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2 +1x+3=0C ．x 2 + 2x +1=0D ．3x 2 x +1=02．（2022·河南洛阳·统考二模）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则23m m n -+的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ） A ．0B ．－10C ．3D ．10题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．1220,9x x ==D ．1220,9x x ==-5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103 B ．73C ．2D ．436．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3B ．0C ．3D ．9题型三：一元二次方程的解（公式法）7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有212x x <<，那么实数m 的取值范围是( ) A ．2m <B ．m>2C ．2m <-D ．2m >-8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2-9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（ ）A ．－1B ．－1CD ．1 题型四：一元二次方程的解（因式分解）10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或611．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程3a 1a a 44a--=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．23b <≤B ．34b <≤C ．23b ≤<D ．34b ≤<12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，则b 的值是（ ）A ．2或6-B ．2C ．2-或6D ．6-题型五：一元二次方程的判别式问题13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x 的方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的值不能是（ ）A ．2B ．0C ．94D 14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．18a >-B ．18a ≥-C ．1,18a a >-≠D ．118,a a ≥-≠15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <且1a ≠题型六：一元二次方程根与系数的问题16．（2022·山东济宁·三模）若m n ，是方程22470x x --=的两个根，则223m m n -+的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．517．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（ ）A ．－3B ．3C ．－5D ．5题型七：一元二次方程的实际问题19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如表：(1)求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，x 为多少时，w 有最大值，最大利润是多少？20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元． (1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a 元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的6a，而第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，求a 的值．21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为224000m ，施工队在绿化了212000m 后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为2468m ，那么小道的宽应为多少米？题型八：一元二次方程的综合问题22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ba -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值． 解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ， ∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．【必刷基础】一、单选题25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ） A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．627．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．128．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <且0k ≠29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求k 的取值范围．31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地． (1)根据题意，填写下表：(2)设矩形一边长为m x ，矩形面积为2m S ，当x 是多少时，矩形场地的面积S 最大？并求出矩形场地的最大面积； (3)当矩形的长为______m ，宽为______m 时，矩形场地的面积为2216m ．【必刷培优】一、单选题32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ）A ．14B ．1C ．.4D ．333．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．50（1+x ）²=182 B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182 C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=18235．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）A ．1B ．65C ．423-D ．843-36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法： ①方程2280x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则m n =-或14m n =-；③若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点()2,M t s +，()4,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为2．其中，正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．337．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，ACB ∠的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若22BM =，则线段AC 的长为( )A ．424+B ．422+C ．426+D ．4238．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3-C ．3D ．0二、填空题39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x 的二次方程()21320m x x +-+=有两个相等的实数根，则m =___________．40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根为1x 、2x ，且1212()3x x x x +=，则m 的值是______．41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k =_____．42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数m ，n 满足2231,31,m nm m n n n m=+=++的值为______．43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，平均每天可售出500千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少20千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x 的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，x 的值是______．45．（2022·四川成都·统考二模）关于x 的一元二次方程240x kx -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，且满足2212122270x x x x +---=，则k 的值为______．46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从3,1,0,1,2--这五个数中任意取出一个数记作b ，则既能使函数()24y b x =-的图象经过第二、第四象限，又能使关于x 的一元二次方程210x bx b -++=的根的判别式小于零的概率为 _____．三、解答题47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两根12x x 、与且221220x x +=，求k 的值．49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．50．（2022·山东济南·模拟预测）已知M 、N 为双曲线()40y x x=>上两点，且其横坐标分别为a ，2a +，分别过M 、N 作y 轴、x 轴的垂线，垂足分别为C 、A ，交点为B ．(1)若矩形OABC 的面积为12，求a 的值；(2)随着a 的取值的不同，M N 、两点不断运动，判断M 能否为BC 边的中点，同时N 为AB 中点？请说明理由； (3)矩形OABC 能否成为正方形？若能，求出此时a 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，过点P 作PD AB ∥，交AC 于点D ．同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm/s ．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设运动时间为t （s ）（0 2.5t <<），解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形ADPQ 为平行四边形？(2)设四边形ADPQ 的面积为y （2cm ），试确定y 与t 的函数关系式．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使:13:2PQB ADPQ S S =四边形△？若不存在，请说明理由；若存在，求出t 值，并求出此时PQ 的距离．参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、C 、D 选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A 、C 、D 不符合题意； B 选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．2．A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m -+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，∴2410m m -+=，m ＋n ＝4，∴241m m -=-，∴2234143m m n m m m n -+=-++=-+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a+=-，12c x x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=0，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．4．C【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x -=，911x ∴-=或911x -=-，解得10x =，229x =，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=， 则212113x x ++=+，即()2413x +=， ∴1a =，43b =， ∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c 的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c 配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c 解得：3,c =故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．7．C 【分析】根据求根公式求得(2)(2)2m x m -+±-=，结合条件212x x <<，可知22x =-，1x m ，进而可得m 的范围，即可求解．【详解】解：2(2)20x m x m +++=，(2)(2)2m m x -+±-∴， 212x x <<，22x ∴=-，1x m ，2m ∴->， 2m ∴<-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．8．C【分析】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可．【详解】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =2x = ∵原方程是“邻根方程”1=1= 224b a a ∴-=224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+ ∴当a=2时，t 有最大值，最大值为4．故选C.【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．9．B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得1x =2x =(舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)． 故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．10．A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230x x --=， ∴12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=， 故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．B【分析】由实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，先消去a ，求解b ，再检验即可． 【详解】解： 实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，24120,b b620,b b解得：122,6,b b当6b =-时，22219193617a b 不合题意，故舍去，所以 2.b =故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．13．C【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到2340k ，求出解集判断即可． 【详解】解：∵方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，∴2340k ， 解得94k <， 故选：C ．【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．14．D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1a ≠且()()2Δ=3-41?20a --≥，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得1a ≠且()2=3-41(2)0a ∆--≥， 解得18a ≥-且1a ≠． 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24=b ac ∆-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．15．C【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则△≥0．∴()210=(2)410a a -≠---≥⎧⎨⎩， 解得：a ≤2且a ≠1．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：m n ，是方程22470x x --=的两个根，则22704m m --=，2m n +=，∴2247m m =+，22373794m m n m m n m n +=+-=++-+=，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．17．B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，∴1x +2x =2，∵11x =-，∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-． 故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，∴+=,1b αβαβ-=-，∴222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=-∴=5b -故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为c a是解题的关键． 19．(1)201800y x =-+(2)这种衬衫定价为60元．(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，待定系数法求解析式即可；（2）由题意知，()()502018006000x x --+=，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意可得，2(50)(20180020(70)8000)x x x w =--+=--+，由()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％，求出x 的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求w 的最值即可．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则5570060600k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式是201800y x =-+．（2）解：由题意知，()()502018006000x x --+=，解得126800x x ==，，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为60元．（3）解：由题意可得，(50)(201800)w x x =--+220(70)8000x =--+，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％， 解得5075x ≤≤，∵200a =-<，抛物线开口向下，∴当70x =时，w 取得最大值，此时8000w =元，∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．20．(1)60；(2)5．【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元，然后根据题意，列出关于,x y 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，列出关于a 的一元二次方程，然后求解即可．【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元， 根据题意，得10451801801160099x y x y -=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩， 解得7060x y =⎧⎨=⎩， 答：第二周草莓销售单价是每千克60元；（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，3月份第三周的销售量为5180(120%)1209⨯⨯+=千克， 其中会员购买的销量为：120206a a ⨯=千克，非会员购买的销量为：(12020)a -千克； 第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，∴20(60)(12020)606200100a a a a ⨯-+-⨯=+，整理，得25500a a +-=，5a ∴=或10a =-（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为5．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．21．(1)2400m(2)2米【分析】（1）设原计划每天完成2m x ，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设小路宽为m a ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）设原计划每天完成2m x ， 由题意得：240001200024000120005 1.2x x x--=+， 解得：400x =，经检验：400x =是原方程的根，且符合题意，答：原计划每天完成2400m ；（2）设小路宽为m a ，有题意得：()()30220468a a --=，解得：133a =（超出矩形的长，不合题意，舍去），22a =，即2m a =，答：小路宽2米．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，明确题意，列出相应的方程是解答本题的关键．22．(1)见解析(2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k 174≤； (2)k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤ （2）∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．24．(1)32；12- (2)132-【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t -进行变形求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-． 故答案为：32；12-． （2）∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- （3）∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴t s -=t s -=，当t s -=11212t s s t st --===-当t s -=11212t s s t st --===-综上分析可知，11s t-或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t s -或t s -= 25．C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x 2-2x =2， x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 26．A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∴14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵212122,41x x m x x m m +==--， 又()()121222217x x x x ++-= ∴12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程． 27．A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．。

一、选择题7．（2021·贵港）已知关于x 的一元二次方程230x kx k -+-=的两个实数根分别为1x ，2x ，且22125x x +=，则k 的值是( ) A ．2-B ．2C ．1-D ．1D[解析】关于x 的一元二次方程230x kx k -+-=的两个实数根分别为1x ，2x ，12x x k ∴+=，123x x k =-.22125x x +=，21212()25x x x x ∴+-=，22(3)5k k ∴--=，整理得2210k k -+=，解得121k k ==.7．（2021·张家界）对于实数a ，b 定义运算“☆”如下：a ☆b ＝ab 2－ab ，例如3☆2＝3×22－3×2＝6，则方程1☆x ＝2的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 {答案}D{解析}本题考查了新定义及一元二次方程根的判别式，根据题意可知1☆x ＝1×x 2－1×x ＝x 2－x ．∵1☆x ＝2，∴x 2－x ＝2，整理得x 2－x －2＝0，∵△＝(－1)2－4×1×(－2)＝9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．7．(2021·聊城) 关于x 的方程x 2+4kx +2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ） A ．2或4 B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2{答案}B7．(2021·河南) 若方程 x 2-2x +m =0没有实数根，则 m 的值可以是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．3{答案}D{解析}∆=b 2-4ac =(-2)2-4×1×m <0，∴m >1，因此本题选D ． 9．（2021·赤峰）一元二次方程x 2﹣8x ﹣2＝0，配方后可形为（ ） A ．（x ﹣4）2＝18 B ．（x ﹣4）2＝14C ．（x ﹣8）2＝64D ．（x ﹣4）2＝1A8．(2021·济宁) 已知m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m 2+2m +n 的值等于（ ） A ．2019 B ．2020C ．2021D ．2022{答案}B{解析}∵m 是一元二次方程x 2+x ﹣2021＝0的实数根，∴m 2+m ﹣2021＝0，∴m 2+m ＝2021，∴m 2+2m +n ＝m 2+m +m +n ＝2021+m +n ，∵m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，∴m +n ＝﹣1， ∴m 2+2m +n ＝2021﹣1＝2020．9．（2021•烟台）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mnx +m +n ＝0，其中m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定9．A．解析：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，∴mn＜0，∴△＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3D5．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4D5．（2021•云南）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0D【解析】∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，解得：a＜1．7．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞−14B．k＜14C．k＞−14且k≠0D．k＜14且k≠0C【解析】根据题意得,k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞−14且k≠0．4．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（）A．没有实数根B．两根之和是3C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根A6．（2021•临沂）方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8C【解析】∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8．9．（2021•泸州）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（）A．8 B．32 C．8或32 D．16或40B【解析】由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，∴m≥0，∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m＝2，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），∴x1+x2＝﹣4，（x12+2）（x22+2）＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32．9．（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定C【解析】根据图象可得k＜0，b＜0，所以b2＞0，﹣4k＞0，因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，所以△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．10．（2021•凉山州）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）A．198B．2 C．254D．74D【解析】设CE＝x，则AE＝8﹣x＝EB，在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2,即（8﹣x）2＝x2+62，解得x=74．9．（2021•眉山）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5A【解析】∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．9．（2021•南充）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12−2021x2的值为（）A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021B【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，∵x2≠0,∴x2﹣2021+1x2=0,∴−1x2=x2﹣2021,∴−2021x2=2021x2−20212,∴x12−2021x2=2021x1﹣1+2021x2﹣20212＝2021(x1+x2)﹣1+20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．6．（2021•新疆）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（）A ．x 1＝﹣1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝1，x 2＝﹣3D ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣3B7．（2021•菏泽）关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞14且k ≠1B ．k ≥14且k ≠1C ．k ＞14D ．k ≥14D 【解析】当k ﹣1≠0，即k ≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根，∴△＝（2k +1）2﹣4×（k ﹣1）2×1＝12k ﹣3≥0， 解得k ≥14；当k ﹣1＝0，即k ＝1时，方程为3x +1＝0，显然有解；综上，k 的取值范围是k ≥14. 5．（2021•广安）关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14A 【解析】∵关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根，∴△≥0且a +2≠0， ∴（﹣3）2﹣4（a +2）×1≥0且a +2≠0，解得：a ≤14且a ≠﹣2.10．（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ．有[m ，p ]※[q ，n ]＝mn +pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x 的方程[x 2+1，x ]※[5﹣2k ，k ]＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜54且k ≠0B ．k ≤54C ．k ≤54且k ≠0D ．k ≥54C 【解析】根据题意得k （x 2+1）+（5﹣2k ）x ＝0，整理得kx 2+（5﹣2k ）x +k ＝0， 因为方程有两个实数解，所以k ≠0且△＝（5﹣2k ）2﹣4k 2≥0，解得k ≤54且k ≠0． 7．（2021•盐城）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．3C 【解答】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的一次项系数是a ＝1，二次项系数b ＝2， ∴由韦达定理，得x 1+x 2＝2．4．(2021·长春) 关于x 的一元二次方程x 2﹣6x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11A4．(2021·通辽)关于x 的一元二次方程()2310x k x k ---+=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定A{解析}△=[-（k-3）]2-4（-k+1）=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=（k-1）2+4，∵（k-1）2≥0，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．10．(2021·宜宾)若m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣9＝0的两个根，则m 2+4m +n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．12C{解析}∵m ，n 是一元二次方程x 2+3x-9=0的两个根，∴m+n=-3，m 2+3m-9=0，∴m 2+3m=9，∴原式= m 2+3m+m+n=9-3=6.9．(2021·玉林)已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则（ ） A ．x 1+x 2＜0 B ．x 1x 2＜0 C ．x 1x 2＞﹣1 D ．x 1x 2＜1D {解析}若一元二次方程有两个不相等的实数根，则2=40b ac ->，即2-2-40m >（），所以m<1.根据12=cx x m a=，可以得到x 1x 2＜1。

04 一元二次方程的根与系数的关系
【例题】 1.
04 一元二次方程的根与系数的关系
【例题】 2.
x
05 实际问题与一元二次方程
未知数 相等 解x
式子有意义 实际背景
05 实际问题与一元二次方程 【例题】
传播率问题
05 实际问题与一元二次方程 【例题】
1.
增长率问题
05 实际问题与一元二次方程 【例题】
3x2 x 3 0
x 1 112 23
3 39 6
k 0,解为x1
3 6
39 ，x2
3 39 . 6
专题练习
专题1：一元二次方程定义的应用
专题练习
专题2：根的判别式的应用
专题练习
专题2：根的判别式的应用
解： 2m 12 4m2 且m2 0
4m 1
m 0
方程有两个不等的实数根
【例题】解下列关于 x 的方程：
（1） x 1x 3 2x 32 3x 3x 3 0
解： x 3[ x 1) 2(x 3) 3(x 3] 0 x 3 x 1 2x 6 3x 9 0 x 32x 16 0
x1 3, x2 8
03 一元二次方程的解法 4. 因式分解法
x1 5, x2 8
8 7 舍去
x 5 , 另一边为
13 - 5 4 2
答：这个矩形场地长为5米，宽为4米.
课堂总结
定义要理解 计算要准确 熟练掌握，灵活运用 在实际生活中应用所学知识
谢谢观看！
225
1 x 18 15
x1
1, 5
x2
33 15
x2 0舍去
x 1 20% 5
答：五、六月份营业额的月平均增长率为20%.

x1=2,x2=3；小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4；请你写出正确的 一元二次方程：x_2_-5_x_+_6_=_0___.
9.如果a,b是关于x的方程(x+c)(x+d)=1的两个根,那么(a+c)(b+c)=___-_1_.
10.设x1,x2是方程x2-x-2020=0的两个实数根,则x13+2021x2-2020=_2_02_1__.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或_b_=_0__. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
方程的解
典例精讲 一元二次方程的相关概念 知识点一
【例1-1】当m是何值时，关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2
(1)是一元二次方程？ (2)是一元一次方程？
解：原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0
(1)当m2-1≠0,即m≠±1时,原方程是一元二次方程；
m2-1＝0
01 一元二次方程的概念
02
考点聚焦
03
根底的判别式
04 根与系数的关系
精讲精练
考点聚焦
一元二次方程的解法
知识点二
直接开 定义利用平方根的定义直接_开__平__方___求一元二次方程的解的方法. 格式 直接开平方法适用于解形如_(_x+_a_)_2=_b___的一元二次方程.

专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。

【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。

【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

初三数学 复习一元二次方程知识精讲 湘教版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 复习一元二次方程【教学目标】 知识与技能：1. 使学生理解一元二次方程的意义。

2. 掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。

3. 理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。

过程与方法：体会在直接开平方法、因式分解法的探索过程中“降次转换”的基本思想。

情感、态度与价值观：1. 教学中培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。

2. 让学生在学习中充分经历和体验知识的形成与应用过程，体会数学的价值，增强学习数学的信心。

教学重点：1. 让学生熟练地掌握一元二次方程的四种解法。

2. 能运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。

教学难点：运用一元二次方程知识解决生活中实际问题。

【方法指导】1. 本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

其中公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的一般方法，而因式分解法较方便，因此要求同学们在解一元二次方程时，应先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，然后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法后，解一元二次方程一般不用配方法，但配方法是一种很重要的数学方法，要求同学们把它学好。

04)0(0.222≥-⇔≠=++ac b a c bx ax 有实数根一元二次方程 04.322=-⇔++ac b c bx ax 是完全平方式二次三项式4. 同学们应学会分析和解决问题的方法，能用一元二次方程的知识解决实际问题。

【主要内容】（一）本章知识结构（二）本章数学思想方法： 1. 转化思想：转化思想是分析问题、解决问题的一个重要的基本思想，如本章求根公式的推导，配方法的应用，因式分解法解一元二次方程等都体现了转化这一数学思想。

2. 方程思想：方程思想就是从分析问题的数量关系入手，找出相关关系，运用数学符号语言把相等关系转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，本章就是方程思想的充分体现。