四川省乐山市第四中学1高二上学期开学考试数学理试卷 含答案

2017-2018学年四川省乐山四校高二上学期半期联考数学理科试题（附答案）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（每题5分，共60分)1.下列命题是真命题的为（ ） A.若,11yx =则y x = B.若,12=x 则1=x C.若,y x =则y x =D.若,y x <则22y x <2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱3. 平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A.存在一条直线a ，βα//,//a a B.存在一条直线a ，βα//,a a ⊂C.存在两条平行直线,,b a ββα⊂b a a ,//,//D.存在两条异面直线,,b a αββα//,//,,b a b a ⊂⊂4. 已知命题;32,:xxR x p <∈∀命题,1,:23x x R x q -=∈∃则下列命题是真命题的为（ ） A.q p ∧ B.q p ∧⌝ C.q p ⌝∨ D.q p ⌝∧⌝5.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 、F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()10<<=m m BP ，则点P 到平面AEF 的距离为（ ）A.22B.55C. 22mD. 55m6.已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”1B E的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知直角三角形ABC 的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离为（ ）A.5B.6C.10D.128. 已知平面α外不共线的三点C B A ,,到平面α的距离都相等，则正确的结论是（ ） A.平面ABC 必平行于平面α B.平面ABC 必与平面α相交C.平面ABC 必不垂直于平面αD.存在ABC ∆的一条中位线平行于平面α或在平面α内 9.如图，AB 是夹在 90的二面角l αβ--之间的一条线段，βα∈∈B A ,,且直线AB 与平面,αβ分别成45,30的角，过A 作l A A ⊥'于A ',过B 作l B B ⊥'于B '.则ABB A ''的值为（ ）A.21B.31C.32D.4310.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为a ,2,1,1,1,1，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值与a 的取值范围分别为（ ）A.()2,0,122B.()2,0,123C.()2,1,122D.()2,1,123 11.已知二面角βα--l 的大小为120，直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面β，则过直线l 上一点P ，与直线a 和直线b 都成60的直线有（ ）A.四条B.三条C.两条D.一条12.如图，在等腰梯形ABCD 中，60,22=∠==DAB DC AB ,E 为AB 中点.将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥DCE P -的外接球的体积为（ ） A.2734π B.26π C. 86π D. 246παA BB ' A 'β lACD E第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题（每题5分，共20分）13.. 14.如右图，一个空间几何体的正视图、 侧视图都是周长为4，一个内角为60的菱形， 俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的 表面积为 ．15.已知空间三条直线PC PB PA ,,，且有,60,90 =∠=∠=∠APC APB BPC 则直线PA 与平面PBC 所成的角为______.16.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足为点H .有下列四个命题⑴点H 是BD A 1∆的垂心 ⑵⊥AH 平面11D CB ⑶二面角111C D B C --的正切值为2 ⑷点H 到平面1111D C B A 的距离为43则正确的命题有 .侧视图正视图俯视图111A三．解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：AP BEF ∥平面； （2）求证：BE PAC ⊥平面.18.如图，在平行六面体D C B A ABCD ''''-中，,5,3,4='==A A AD AB ο90=∠BAD , ,60ο='∠='∠A DA A BA 且点F 为C B C B ''与的交点，点E 在线段C A '上，有.2C E AE '=（1）求C A '的长；（2）将用基向量A ',,来进行表示。

2021-2022学年四川省乐山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．过点()2,1A 且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．20x y -=【答案】B【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为()122y x -=-，即230x y --=. 故选：B.2．已知直线,,a b c ，若,a b 异面，b ∥c ，则,a c 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行或异面 D ．相交或异面【答案】D【分析】以正方体为载体说明即可. 【详解】如下图所示的正方体： AB 和1DD 是异面直线，11//DD BB ，1ABBB B ；AB 和1DD 是异面直线，11//DD CC ，AB 与1CC 是异面直线.所以两直线a 与b 是异面直线，b ∥c ，则,a c 的位置关系是相交或异面. 故选：D3．圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标与半径分别是（ ） A ．()1,2,2- B ．()1,2,2- C ．()1,2,3- D ．()1,2,3-【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案. 【详解】由题可知，圆的标准方程为22(1)(2)9x y -++=，所以圆心为()1,2-，半径为3， 故选C .4．已知向量()()()1,2,,2,2,1,2,1,1m n p λ===，满足条件()p m n -⊥，则λ的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】A【分析】先求出p m →→-的坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】因为()1,1,1p m λ→→-=--，所以()()1212110p m n λ→→→⎛⎫-⋅=⨯+-⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，解得1λ=.故选：A.5．曲线221259x y -=与曲线22(1)259x y k k -=>的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．渐进线相同【答案】D【分析】将曲线22(1)259x y k k -=>化为标准方程后即可求解. 【详解】22259x y k -=化为标准方程为221259x y k k-=，由于1k >，则两曲线实轴长､虚轴长､焦距均不相等，而渐近线方程同为35y x =±.故选：D6．已知点P 是椭圆22195x y +=上的任意点，F 是椭圆的左焦点，Q 是PF 的中点，则OFQ 的周长为（ ）A ．5B ．6C ．10D ．12【答案】A【分析】设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆22195x y +=中，3a =，b =2c ， 如图，设椭圆的另一个焦点为F '，连接PF '， 因为O 、Q 分别为FF '、PF 的中点，则12OQ PF '=， 则OFQ 的周长为()152OF OQ QF OF PF PF c a '++=++=+=， 故选：A.7．已知正四面体V ABC -的底面ABC 的中心为,O E 为VC 的中点，则直线VO 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．73D ．223【答案】B【分析】连接OC ，再取OC 中点F ，连接,EF BF ，得到BEF ∠为直线VO 与BE 所成角，再解三角形即可.【详解】连接OC ，再取OC 中点F ，连接,EF BF ，因为,E F 分别为VC ，OC 中点，则//EF VO ，且EF ⊥底面ABC ,所以BEF ∠为直线VO 与BE 所成角，令正四面体边长为1，则3BE =，2222361()32VO VC OC -=-⨯162EF VO == 所以2cos EF BEF BE ∠==故选：B .8．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一动点，过P 点作y 轴垂线并延长交双曲线左支于点Q ，当P 点向上移动时，PF QF -的值（ ）A ．增大B ．减小C ．不变D ．无法确定【答案】C【分析】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为F '，由对称性可知，QF PF '=， 则||||||2PF QF PF PF a '-=-=∣，为常数， 故选：C.9．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，32BA BC ==，点D 在棱1BB 上，且6BD =，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值为（ ）A 21B 21C 6D 6【答案】C【分析】取AC 的中点M ，过点M 作//MN BD ，且使得MN BD =，进而证明DN ⊥平面11AAC C ，然后判断出DAN ∠是AD 与平面11AAC C 所成的角，最后求出答案.【详解】如图，取AC 的中点M ，因为32,90BA BC ABC ==∠=︒，则6,3,AC BM BM AC ==⊥，过点M 作//MN BD ，且使得6MN BD ==，则四边形BDNM 是平行四边形，所以//,3DN BM DN BM ==.由题意，BD ⊥平面ABC ，则MN ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，所以MN BM ⊥，又,BM AC AC MN M ⊥⋂=，所以BM ⊥平面11AAC C ，而//,DN BM 所以DN ⊥平面11AAC C ，连接DA ,NA ，则DAN ∠是AD 与平面11AAC C 所成的角.而2226AD AB BD =+=6sin 26DN DAN AD ∠===故选：C .10．已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A ．4π B 43C ．8πD 83【答案】D【分析】设圆锥的半径为r ，母线长l ，根据已知条件求出r 、l 的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】设圆锥的半径为r ，母线长l ，因为侧面展开图是一个半圆，则2l r ππ=，即2l r =，又圆锥的表面积为12π，则212r rl πππ+=，解得2r =，4l，则圆锥的高2223h l r -21833V r h π==，故选：D.11．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ）A ．62B ．63C ．32D ．33【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件结合抛物线的定义求解边长CF ，BK ，然后求解三角形的面积即可．【详解】如图，设拋物线的准线为l ，过A 作AM l ⊥于M ，过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，则根据抛物线的定义可得,3,4BN m AF AM m AB m ====，2AK m =，13cos 60,3,2,234322AK BAM BAM CF p m m BK m AB ∴∠==⇒∠=∴===∴=∴==，ABC ∴的面积为1632ACFBCFS SSCF BK =+=⋅⋅=， 故选：B .12．如图，在三棱锥S ABC -中，22,2SA SC AC AB BC =====，二面角S AC B --的正弦值是63，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．12πB ．4πC ．3πD 43【答案】A【分析】利用二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值求得SB ，由此判断出2BS BA BC ===，且BS BA BC 、、两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E 是AC 的中点，连接EB ES ，，由于,SA SC AB BC ==，所以AC SE AC BE ⊥⊥，，所以SEB ∠是二面角S AC B --的平面角，所以3cos 3SEB ∠=.在三角形SAC 中，6SE =，在三角形ABE △中，2BE =，在三角形SEB △中，由余弦定理得：222cos 2SB SE BE SE BE SEB ∠=+-⋅=，所以2BS BA BC ===，由于22SA SC AC ===，所以BS BA BC 、、两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R ，则3R =，所以外接球的表面积为24R 12ππ=， 故选：A .二、填空题13．抛物线214y x =-的准线方程是________【答案】1y =【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为43，则该正方体的体对角线长为___________.【答案】23【分析】先根据棱锥的体积求出正方体的棱长，进而求出正方体的体对角线长.【详解】如图，连接1A C ，设正方体棱长为a ，则11111121111423323B A BC A B C V SBB a a a -=⨯⨯=⨯⨯=⇒=.所以，体对角线222221111||323AC AC CC a a a a =+=++=故答案为：2315．从双曲线2212y x -=上一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为___________. 【答案】2221x y -=.【分析】根据题意，设()()00,,,P x y M x y ，进而根据中点坐标公式及点P 在已知双曲线上求得答案.【详解】由题意，设()()00,,,P x y M x y ，则()0,0Q x ，则0012x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即002x x y y =⎧⎨=⎩， 因为220012y x -=，则2221x y -=，即M 的轨迹方程为2221x y -=. 16．已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】51,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得2OM ，由已知可得22OM a ≤，可得出关于a 、c 的齐次不等式，结合1e >可求得e 的取值范围.【详解】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，因为212PF F F =，所以1PN F N =，又因为21OF OF =，所以1MN FM =，故1114F M F P =， 又因为122PF PF a -=，且2122PF F F c ==，所以122PF a c =+，因此12a c F M +=，所以2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，所以22OM a ≤，故2222a c c a +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即223250c ac a --≤，则23250e e --≤，所以513e -≤≤， 又因为双曲线的离心率1e >，所以513e <≤. 故答案为：51,3⎛⎤⎥⎝⎦.三、解答题17．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，,G H 分别在,CD AD 上，且::2:1.CG GD AH HD ==(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)设EH 与FG 交于点P ，求证：,,B D P 三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明//EF HG ，进而证明问题；（2）先证明P ∈平面ABD ，P ∈平面BCD ，进而证明点P 在两个平面的交线上，然后证得结论. (1)连接,,AC E F 分别是,AB BC 的中点，//EF AC ∴.在ADC 中，,//,//CG AHGH AC EF HG GD HD=∴∴.所以,,,E F G H 四点共面.(2)EH FG P ⋂=，所以P EH ∈， 又EH ⊂平面,ABD P ∴∈平面ABD ，同理：P FG ∈，FG ⊂平面,BCD P ∴∈平面BCD ，P ∴为平面ABD 与平面BCD 的一个公共点.又平面ABD ⋂平面,BCD BD P BD =∴∈，即,,P B D 三点共线.18．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 交拋物线于M 、N 两点.(1)若直线l 过点F 且60xFM ∠=，求FM ； (2)若()2,1P 平分线段MN ，求直线l 的方程. 【答案】(1)4；(2)230x y --=.【分析】（1）分析可知直线l 的方程为313x y =+，将直线l 的方程与抛物线方程联立，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义可求得FM ；（2）利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.(1)解：设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线l 的倾斜角为60，易知点()1,0F ，直线l 的方程为313x y =+，联立23134x y y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得234430y y --=， 由题意可知10y >，则123y =，113133x y ∴=+=，因此，314FM =+=. (2)解：设()11,M x y 、()22,N x y ，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在， 因为M 、N 在抛物线上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得1212124y y x x y y -=-+， 又因为()2,1P 为MN 的中点，则122y y +=，所以，直线l 的斜率为1212422y y k x x -===-， 此时，直线l 的方程为()122y x -=-，即230x y --=.19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，2,,PA AC E F ==分别为,PD BC 的中点.(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)求三棱锥A CDE -的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)33 【分析】（1）取PA 的中点G ，利用三角形中位线定理可证明BG //EF ，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得12A CDE E ACD P ACD V V V ---==，以ACD △为底面，证明PA 为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;(1)取PA 的中点G ，因为E 为PD 的中点， 所以//GE AD 且12GE AD =， 又因为F 为BC 的中点，四边形ABCD 为菱形，所以//BF AD 且12BF AD =， 所以//BF GE 且BF GE =，故四边形BFEG 为平行四边形，所以BG //EF ，因为BG ⊂面,PAB EF ⊄面PAB ，所以//EF 面PAB .(2) 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，2AC =，则ACD △为正三角形，所以2323ACD S ==△因为PA ⊥面ABC ，所以PA 为三棱锥P ACD -的高所以三棱锥的体积111332223A CDE E ACD P ACD V V V ---===⨯=20．已知直线:10l ax y --=与双曲线22:21C x y -=相交于P 、Q 两点.(1)当1a =时，求PQ ；(2)是否存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）当1a =时，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得PQ ；（2）假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点，设()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出220a +=，即可得出结论.(1)解：设点()11,P x y 、()22,Q x y ，当1a =时，联立221021x y x y --=⎧⎨-=⎩，可得2430x x -+=， 16120∆=->，由韦达定理可得124x x +=，123x x =，所以，PQ ==(2)解：假设存在实数a ，使以PQ 为直径的圆经过坐标原点， 设()11,P x y 、()22,Q x y ，联立221021ax y x y --=⎧⎨-=⎩得()2221430a x ax --+=， 由题意可得()222210Δ1612210a a a ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得a <<a ≠， 由韦达定理可知122122421321a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点，则OP OQ ⊥，所以，()()()()11222122111221111O x x ax ax a x P x x a x x OQ x y y =+--⋅=+=+-++ ()2223141021a a a +-=+=-，整理可得220a +=，该方程无实解，故不存在.21．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AA M ==是1CC 上的点，满足BDM 为等边三角形.(1)求证：1A M ⊥平面BDM ；(2)求二面角1M A B D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 6【分析】(1)根据题意证明1A M BM ⊥，1A M DM ⊥，然后根据线面垂直的判定定理证明问题；(2)以DC ，DA ，1DD 为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面1MA B ，平面1DA B 的法向量，求法向量的夹角，根据二面角1M A B D --的余弦值与法向量的夹角的余弦的关系确定二面角1M A B D --的余弦值.(1) 由题意，2BD =，BDM 为等边三角形，2BM DM BD ∴==∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CC BC ⊥，则221CM BM BC =-=，即M 为1CC 中点.连接11A C ，∵1CC ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，∴111CC AC ⊥，易得1112,1AC MC =，则()221123A M =+ 又2211115A B A B BB +22211A M BM A B +=，即1A M BM ⊥，同理22211A M DM A D +=，即1A M DM ⊥，又BM DM M ⋂=，BM DM ⊂，平面BDM1A M ∴⊥平面BDM .(2)由题意直线1DD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，故以DC ，DA ，1DD 为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,2D B M A ，()()()()111,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,2A M BM DB DA =--=-==.设面1MA B 的法向量为()1111,,x n y z =，()111111111021,2,1,01x x y z y n x z z ⎧=⎧-+-=⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨-+=⎪⎪=⎩⎩同理可得面1DA B 的法向量()22,2,1n =--，126cos 63n n ∴⋅==⨯ ∴二面角1M A B D --622．已知椭圆22:163x y C +=，点,M N 在C 上，()2,1A ，且90MAN ∠= (1)求出直线MN 所过定点R 的坐标；（不需要证明）(2)过A 点作MN 的垂线，垂足为D ，是否存在点Q ，使得DQ 为定值？若存在，求出DQ的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，DQ =【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理列出方程，求出定点坐标，当斜率不存在时，设出点的坐标进行求解；（2）结合第一问的定点坐标，结合直角三角形斜边中线得到存在点Q ，使得DQ 为定值，求出结果.(1)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=， 可得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++， 因为AM AN ⊥，所以0AM AN ⋅=，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理可得：()()()22121212(1)40k x x km k x x m ++--++-+=， 所以()()2222226412(1)401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得:()()231210k m k m +++-=，因为()2,1A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故()23101k m k ++=≠，于是MN 的方程为()21133y k x k ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由0AM AN ⋅=得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33R ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)由（1）可知22214221333AR ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∣ 因为AD MN ⊥，取AR 中点Q ，则12223DQ AR == 此时，41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】直线过定点问题，一般处理思路是分斜率存在和斜率不存在两种情况，特别是斜率存在时，设出直线为y kx b =+，联立后用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合题干条件得到等量关系，求出,k b 的关系，进而得到定点坐标.。

一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为(　). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。

四川省乐山市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·淄川开学考) 某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1～10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11～20中应抽取的号码是（）A . 14B . 13C . 12D . 113. （2分）某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（）A . 高一的中位数大，高二的平均数大B . 高一的平均数大，高二的中位数大C . 高一的中位数、平均数都大D . 高二的中位数、平均数都大4. （2分） (2017高三下·静海开学考) 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·襄阳期中) 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A . 660B . 720C . 780D . 8006. （2分）(2017高二下·黑龙江期末) 若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（）C .D .7. （2分）下列命题中:①“”是“”的充要条件;②已知随机变量X服从正态分布,,则;③若n组数据的散点图都在直线上,则这n组数据的相关系数为r=-1;④函数的所有零点存在区间是.其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·郑州期末) 设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A . 665D . 6310. （2分）(2013·四川理) 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·宜宾模拟) 执行如图的程序框图，若输入的n为6，则输出的p为（）A . 8B . 1312. （2分）新学期开始，学校接受6名师大学生生到校实习，学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A . 18B . 15C . 12D . 9二、填空题： (共4题；共6分)13. （1分）(2018高二下·中山月考) 在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，且，则这四位同学的考试成绩的共有________种；14. （1分） (2016高二上·遵义期中) 85（9）转换为十进制数是________．15. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数，则的概率是________；随机变量的均值是________．16. （2分）已知，，，则P（AB）=________，P（B）=________．三、解答题： (共6题；共60分)17. （5分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．（Ⅰ）取到的2只都是次品；（Ⅱ）取到的2只中恰有一只次品．18. （10分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为 .参考公式：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？19. （10分） (2017高二下·资阳期末) 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．20. （10分） (2015高二下·淮安期中) 综合题。