三 质数与合数(一)

质数和合数教学设计（优秀9篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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1. 掌握质数与合数的定义2. 能够用特殊的偶质数2与质数5解题3. 能够利用质数个位数的特点解题4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【考点】判断质数合数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42例题精讲知识点拨知识框架5-3-1.质数与合数（一）聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【例 2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。

小学奥数-质数与合数质数于合数例1、两个质数的积是46，求这两个质数的和。

例2、用2,，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？例3、将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等。

例4、七个连续质数，从大到小排列为a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么c= 。

例5、是否存在两个质数，它们的和等于11?1? ???20个1例6、将37拆成若干个不同的质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中的那些质数相乘，得到最小乘积是多少？例7、用0~9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。

例8、试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下图方框中，每个数字只能用一次（ 7 ）（ 1 ）（ 4 ）（这是一个三位数）（）（）（）（这是一个三位数）（）（这是一个一位数）使得三个数中任意两个都互质（最大公约数是1），其中一个三位数已填好，它是714。

例9、三个质数倒数的是311，那么这三个质数和是。

1001巩固练习：1、设有三个不相同的质数，它们的和是40，这3个质数是。

2、在3 141,31 415,314 159,3 141 592,31 415 926,31 415 927这6个数中，有且仅有一个质数，它是。

3、一个质数的3倍与另一个数的2倍之和等于2000，那么这两个质数之和是。

4、正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两个数之和都相等。

若18对面所写的是质数a;14对面所写的是质数b；35对面所写的质数c。

试求a+b+c的值。

5、三个质数倒数的和是1661，这三个质数和是。

19866、将1,，2，3…，99,010这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互质。

（提示：先选出所有的奇合数）7、两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是。

8、两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？9、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？10、由1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成的九位数可以是质数吗？11、自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的十位数字与个位数字都是质数。

质数合数概念一、质数和合数的定义1.1 质数的定义质数（prime number），又称素数，是指大于1的自然数，除了1和本身以外不再被其他数字整除的数。

换句话说，质数是指只有1和该数本身作为约数的数。

1.2 合数的定义合数（composite number）是指除了1和本身以外还有其他约数的数。

合数可以被1、本身以及其他自然数整除。

1.3 区别与特性质数和合数是数论中的两个重要概念，其区别和特性如下：•质数只有两个因数，即1和自身；•合数有多个因数，至少有三个因数，包括1和自身。

二、质数的特性和性质2.1 质数的无限性欧几里得曾经证明了质数的无限性。

他用反证法证明，假设只有有限个质数存在，然后构造了一个新的数，它是前面有限质数的积加1，那么这个新的数要么是质数，要么是合数，如果是质数，那么它就不在前面的有限质数之内，与假设矛盾。

如果是合数，那么它就有一个质因子，这个质因子要么等于已知质数，要么大于已知质数。

无论哪种情况，都与假设矛盾。

因此，质数是无限的。

2.2 质数的唯一性质数的唯一性可以简单地表述为，质数的因子只能是1和它本身。

可以通过欧几里得定理和辗转相除法证明任意数都可以分解为质数的乘积，并且质因子的分解是唯一的。

2.3 任意大的数都可以被质数整除对于一个合数而言，它总能够被至少一个质数整除。

这可以通过质因子的分解来证明。

一个数如果不是质数，那么它一定可以被质数整除。

三、如何确定一个数是质数还是合数确定一个数是质数还是合数可以使用多种方法和算法。

这里介绍一种简单的方法，即试除法。

3.1 试除法试除法是最基本也是最直观的判断一个数是否为质数的算法。

具体步骤如下：1.将给定数n进行开平方操作，得到数值k；2.从2开始，依次将k作为除数，判断n是否能整除k，如果能整除，则n为合数；3.若对于所有小于等于k的数均不能整除n，则n为质数。

试除法的时间复杂度为O(√n)，较高效，但对于较大的质数判断可能仍然需要较长时间。

华杯赛数论专题：3 质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是 .【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是 272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10.4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。

数字的质数和合数数字是数学中最基本的概念之一，人类在日常生活和各个领域中都会用到数字。

数字可以分为很多种类，其中最重要的两类是质数和合数。

质数和合数在数学中有着重要的地位和性质，下面将详细介绍这两类数字的概念和特点。

一、质数的定义和性质1. 质数的定义质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。

换句话说，质数是只有1和它本身两个因数的数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

2. 质数的性质（1）质数只有两个因数，即1和它本身。

这是质数的最重要的性质，也是质数与其他数字最显著的区别。

（2）质数不能被其他数字整除，也就是说，质数除了能被1和自身整除外，不能被其他数字整除。

这使得质数在数学中有着独特的地位。

（3）质数的个数是无穷的。

我们可以找到无穷多个质数，这一结论是由欧几里得在公元前300年提出的。

二、合数的定义和性质1. 合数的定义合数是指除了1和自身外，还有其他因数的正整数。

简单地说，合数是不是质数就是合数。

例如，4、6、8、9、10等都是合数。

2. 合数的性质（1）合数有多于两个的因数，至少包括1、自身和其他因数。

（2）合数可以被其他数字整除，也就是说，合数除了能被1和自身整除外，还可以被其他数字整除。

（3）合数的个数是无穷的。

三、质数与合数的关系质数与合数是数字集合中两个不同的子集。

简单地说，一个数要么是质数，要么是合数。

这是由数字的定义所决定的。

质数和合数在数学中有着各自的性质和特点。

质数是数学中的基本单元，没有质数就没有合数。

质数的个数是无穷的，而且无法通过一般的公式或规律来计算出质数的个数。

而合数则包含了众多的数字，它们可以被其他数字整除，有规律可循。

对于一个给定的数字，我们可以通过判断它是否能被其他小于它的数字整除，来确定它是质数还是合数。

因此，质数和合数在实际问题中经常被用来解决因子分解、数据加密等相关的数学问题。

总结起来，质数是只有1和自身两个因数的数字，而合数是除了1和自身外还有其他因数的数字。

四年级下册数学教案-第三单元质数和合数-青岛版（五年制）一、教学目标1. 让学生理解质数和合数的概念，掌握质数和合数的判断方法。

2. 培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与、合作交流的良好学习习惯。

二、教学内容1. 质数和合数的定义2. 质数和合数的判断方法3. 自然数中质数和合数的分布特点三、教学重点与难点1. 教学重点：质数和合数的概念及其判断方法。

2. 教学难点：质数和合数在自然数中的分布特点。

四、教学过程1. 导入通过提问的方式引导学生回顾已学的数学知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课导入（1）讲解质数和合数的定义，让学生理解质数和合数的概念。

（2）举例说明质数和合数的判断方法，让学生掌握判断质数和合数的方法。

（3）引导学生观察自然数中质数和合数的分布特点，培养学生的观察能力。

3. 巩固练习设计一些判断质数和合数的题目，让学生独立完成，检验学生对新知识的掌握程度。

4. 课堂小结对本节课所学内容进行总结，强化学生对质数和合数的认识。

5. 作业布置布置一些质数和合数的练习题，让学生课后完成，巩固所学知识。

五、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时调整教学策略，确保学生对新知识的掌握。

同时，要注重培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的逻辑思维能力。

六、教学评价通过课堂提问、课后作业和测验等方式，了解学生对质数和合数的认识和掌握程度，评价教学效果，为后续教学提供参考。

七、教学资源1. 教材：青岛版小学数学四年级下册2. 辅助资料：相关数学书籍、网络资源八、教学进度安排本单元教学共计4课时，具体安排如下：1. 第一课时：质数和合数的定义、判断方法2. 第二课时：自然数中质数和合数的分布特点3. 第三课时：巩固练习、课堂小结4. 第四课时：作业布置、教学反思九、教学策略1. 采用启发式教学，引导学生主动参与课堂讨论，培养学生的思维能力和合作精神。

质数与合数所有知识点质数和合数是数学中的重要概念。

在这篇文章中，我们将深入介绍质数和合数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、质数的定义和性质1.质数的定义：质数又称素数，指大于1且只能被1和自身整除的正整数。

换句话说，质数是不可以被其他数整除的数。

2.质数的示例：2、3、5、7、11、13等都是质数，因为它们只能被1和自身整除。

3.质数的性质：–质数大于1；–质数只有两个正因数，即1和自身；–质数不能被其他数整除。

4.质数的无穷性：质数是无穷多的，这是由欧几里得在公元前300年左右证明的。

二、合数的定义和性质1.合数的定义：除了质数以外的正整数都称为合数。

换句话说，合数是可以被除了1和自身以外的数整除的数。

2.合数的示例：4、6、8、9、10等都是合数，因为它们可以被其他数整除。

3.合数的性质：–合数大于1；–合数有至少三个正因数，包括1和自身；–合数可以被其他数整除。

三、质数和合数的关系1.质数和合数是互补的概念。

一个数要么是质数，要么是合数，二者不可兼得。

2.质数和合数之间的区别在于能否被其他数整除。

质数只能被1和自身整除，而合数可以被除了1和自身以外的数整除。

3.质数和合数之间是相对的关系。

一个数如果不是质数，那么它就是合数；反之，如果一个数不是合数，那么它就是质数。

四、如何判断一个数是质数还是合数1.判断质数：–穷举法：逐一尝试2到该数平方根之间的所有整数，看是否能整除该数。

如果都不能整除，则该数是质数。

–质数筛选法：如埃拉托斯特尼筛法，通过逐步筛选排除合数，最终得到质数。

2.判断合数：–试除法：逐一尝试2到该数平方根之间的所有整数，看是否能整除该数。

如果存在可以整除的数，则该数是合数。

五、质数和合数的应用1.加密算法：质数的大数乘法往往用于现代密码学中的公钥加密算法，如RSA算法。

2.素性测试：判断一个数是否为质数，是许多算法（如梅森素数测试、费马素性测试等）的基础。

3.因式分解：将合数表示为其质因数的乘积，有助于解决一些数论问题和化简计算。