第一章 数理统计的基本概念数理统计与概率论一样，也是研究随机现象统计规律性的一门数学学科．概率论主要研究在已知随机变量服从某种分布的情况下，讨论随机变量的性质、数字特征、随机变量序列的极限等．但是，对实际问题中的一个随机变量来说，如何判断它服从某种分布，如果知道它服从某种分布，又该如何确定其中的参数，这些问题概率论都没有涉及，它们都是数理统计研究的内容．并且这些问题的研究都直接或间接建立在试验的基础上．数理统计学就是利用概率论的理论，对要研究的随机现象进行多次独立重复的观察或试验，研究如何合理地获得数据，如何对所获得的数据进行整理、分析，如何对关心的问题进行估计或推断的一门数学学科．数理统计由基本原理和应用方法两大内容组成．本章介绍数理统计的基本概念和抽样分布．§1.1 基本概念一、总体与样本用数理统计研究某个问题时，把研究对象的全体称为总体(或母体)，而把每一个研究对象称为个体．例如，一批灯泡的全体就组成一个总体，其中每一个灯泡是一个个体．再例如，一群人（一个班或一个年级）的全体就组成一个总体，其中每一个人是一个个体．在数理统计中，我们关心的并不是组成总体的各个个体本身，而是与它们的性能相联系的某个数量指标或者多个数量指标．例如，在研究一批灯泡组成的总体时，可能关心的是灯泡的使用寿命这个数量指标．再例如，在研究一群组成的总体时，可能关心的是人的身高和体重等多个数量指标．因此，总体可以认为是研究对象的全体的一个或多个数量指标．在研究一批灯泡组成的总体时，可能关心的是灯泡的使用寿命的分布情况．由于任何一个灯泡的寿命事先是不能确定的．而每一个灯泡都确实对应着一个寿命值，所以我们可认为灯泡寿命是一个随机变量．也就是说，我们把总体与一个随机变量(如灯泡寿命)联系起来．因此，对总体的研究就转化为对表示总体的随机变量的统计规律的研究，所以，今后我们说到总体，指的是一个具有确定概率分布的随机变量(但它的分布又是未知的或至少分布的某些参数是未知的)，而每个个体则是随机变量可能取的每一个数值．为了推断出这批灯泡的使用寿命的分布（或这批灯泡的次品率），最精确的办法就是把每个灯泡的使用寿命都测试出来．然而，寿命试验是破坏性试验，即使是非破坏性试验，考虑到试验要花费时间、人力和钱，我们只能从总体中抽取一部分（个个体）进行试验(称这个个体为容量是的样本)，试验结果可得一组数值，其中是第i 个个体的试验结果，我们要根据这组数值对总体n n n ),,,(21n x x x L i x ξ进行推断，这样对试验的抽取方式就有一定的要求．首先，要求抽取必须是随机的，即每次每个个体被抽到的机会是等可能的，这样被抽到的个体才具有代表性，即每每次抽取的都具有总体的特征．其次，抽取必须是独立的、即每次抽取互不影响．也就是每次抽取后不能改变总的成分，这就要求．如果试验是非破坏性的，那么抽取时应该是有放回的；如果试验是破坏性的，那么总体应该是无限的．或是很大的．满足以上两个条件的抽取方式称为简单随机抽样．用简单随机抽样方法对—次抽取个个体的试验结果而言是一组数值，但是它又随着每次抽样的不同而变化，因此，实际上是维随机变量n ),,,(21n x x x L n ),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的一次观察值．即在抽样试验之前，将要抽取的样本可以认为是维维随机变量n ),,,(21n ξξξL n ξξξ,,,21L ．又因抽样具有代表性和独立性，所以是相互独立同分布随机变量，每个都与总体ξ同分布的．我们称),,,(21n ξξξL 为总体ξ的容量为的简单随机样本，简称为样本．抽样试验后的结果称为样本n ),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的观察值．由所有样本值组成的集合ℵ称为样本空间．),,,(21n ξξξL 设总体ξ的分布函数，则)(x F ξ的联合分布函数为的样本,1x ),,,(),,(22112n n n x x x P x x F =ξ<ξ<ξ<L L ．∏∏===<=ni i ni i ix F x P 11)()(ξ),,,(21n ξξξL )(x ϕξ为连续型随机变量，且有密度函数为．则其样本如果总体为n 维连续型随机变量，且联合密度函数为：∏==ni i n x x x x 121)(),,,(ϕϕL ．i i p a P ==)(ξL ,2,1=i ξ为离散型随机变量，且分布律为，，则其样本如果总体),,,(21n ξξξL 为维离散型随机变量，且联合概率函数为：n ∏======ni i n n x P x x x P 12211)(),,,(ξξξξL ，其中，．L ,,21a a x i =n i ,,2,1L = 例1 设总体，求样本),(~2σμξN ),,,(21n ξξξL 的联合密度函数．),,,(21n ξξξL 解： 样本的联合密度函数为∏=−−=ni x i e12)(2221σμσπ∏==ni i n x x x x 121)(),,,(ϕϕL∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−−ni i x n e122)(2121μσσπ． 例2 设总体),(~p N B ξ，即，，．求总体k N kk N p p C k P −−==)1()(ξN k ,,1,0L =),,,(21n ξξξL 10<<p ξ的联合分布律．的样本),,,(21n ξξξL 的联合分布律为解： 样本∏===ni i x P 1)(ξ),,,(2211n n x x x P ===ξξξL． ∏=−∑−∑===ni x N x nN x i ni ini iC p p111)1(∏=−−=ni x N x x Niii p p C 1)1(二、统计量从总体中抽出样本的观测值后，只是得到了一组静态的数据．对于这些数据要进行处理，才能解决我们所关心的问题．有时候我们可能只想估计出总体的期望或者方差，有时候我们可能想了解总体的分布，对于不同的问题，必须对数据进行不同的处理，这就需要构造样本的不同函数．样本的函数常称为统计量．),,,(21n T ξξξL n ξξξ,,,21L n ξξξ,,,21L ξ定义： 设为取自总体的一个样本，样本的函数，且不含未知参数，则称),,,(21n T ξξξL 为统计量．如果是样本),,,(21n x x x L ),,,(21n x x x T L ),,,(21n ξξξL 的一个观测值(观察值)，则称是统计量),,,(21n T ξξξL 的一个观测值(观察值)．例3 设总体，),(~2σμξN μ未知，为已知，2σ),,,(21n ξξξL ξ为的一个样本，则∑=n i i 121ξσ是统计量．而∑不是统计量．=−ni i12)(μξn ξξξ,,,21L 根据统计量的定义，它是随机变量的函数，因此统计量也是一个随机变量，它也有概率分布．统计量的分布称为抽样分布．但要注意，尽管一个统计量不合任何未知参数，但它的分布却可能含有未知参数．例4 设621,,,ξξξL 是来自),0(θ上的均匀分布的样本，0>θ未知．指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？66211ξξξ+++=L T θξ−=62T 163EX T −=ξ},,,max{6214ξξξL =T ，，，．解：和是，和不是．因为和中不含总体中的未知参数1T 4T 2T 1T 4T 3T θ，而和中含有未知参数2T 3T θ．常用统计量n ξξξ,,,21L ξ设为取自总体的一个样本，∑==+++=ni i n n n 1211)(1ξξξξξL （1）样本均值：；[]∑∑==−=−=−++−=n i i n i i n n n n S 1221222121)(1)()(1ξξξξξξξξL （2）样本方差：；∑∑==−−−=−−=n i i n i i n n n n S 122122*111)(11ξξξξ（3）修正样本方差：；∑=−=ni i n S 12)(1ξξ； （4）样本标准差：∑=−−=ni i n S 12*)(11ξξ（5）修正样本标准差：； ∑===n i ki kk n A 11ξξL ,2,1=k （6）样本k 阶原点矩： ， ；∑=−=n i ki k n B 1(1ξξL ,3,2=k （7）样本k 阶中心矩： ．，若是样本),,,(21n x x x L ),,,(21n ξξξL 的一组观测值，则∑=−=n i i x x n s 12)(1∑=−=n i i x x n s 122(1∑=−−=n i i x x n s 122*(11∑==n i i x n x 11、、、、∑=−−=n i i x x n s 12*)(11∑===n i k i kk x n x a 11∑=−=n i k i k x x n b 1)(1、、 分别是样本均值、样本方差、修正样本方差、样本标准差、修正样本标准差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩的．例5 从—批机器零件毛坯中随机招取8件，测得其重量(单位：kg)为230，243,185,240, 228,196,246,200．求样本均值、样本方差和样本二阶原点矩的观测值．221)200246196228240185243230(8111=+++++++==∑=n i i x n x 解：；[]25.495)221200()221243()221230(81)(1222122=−++−+−=−=∑=L n i i x x n s ；25.49336)200243230(811222122=+++==∑=L n i i x n x 。
