数学建模的运筹学方法

建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。

该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。

4、图论算法。

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7、网格算法和穷举法。

网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8、一些连续离散化方法。

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9、数值分析算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10、图象处理算法。

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。

数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。

它在现实生活中有着广泛的应用，不仅在工程领域中扮演着重要的角色，也在各个领域中发挥着巨大的作用。

通过对问题进行数学建模和优化，我们能够得到有效的结果和决策，帮助人们更好地应对挑战和实现目标。

1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。

它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程，能够将复杂的问题简化，提取出重要的因素和变量。

数学建模的核心是构建数学模型，根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。

数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域，为决策提供了科学的依据。

2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科，它通过数学建模和分析，寻求最优解。

运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法，能够解决多种实际问题。

例如，在物流管理中，通过优化路径和资源分配，可以降低成本和提高效率；在生产计划中，通过优化生产调度和资源利用，可以提高产能和降低库存成本。

运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策，实现资源的合理利用和效益的最大化。

3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域，以下以几个典型的应用为例进行介绍。

（1）交通运输规划：通过数学建模和运筹学方法，可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图，提高交通运输的效率和安全性。

（2）物流配送优化：数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式，降低成本、减少时间和资源的浪费。

（3）资源分配与计划：在能源领域，通过数学建模和运筹学方法，可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划，实现可持续发展和低碳经济。

（4）金融风险管理：数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险，帮助投资者和机构做出科学的决策。

4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。

首先，实际问题往往具有复杂性和不确定性，需要进行合理的简化和假设。

运筹学大M法运筹学大M法是一种经典的运筹学方法，在数学建模中被广泛应用。

它的全称是Mixed Integer Linear Programming，即混合整数线性规划，主要解决的是有约束条件下的最优化问题。

运筹学大M法使用了约束条件、决策变量和目标函数三个要素，可以用数学形式进行表示和求解。

假设我们有一组决策变量x1,x2,...,xn，它们需要满足一些约束条件，同时要最大化或最小化目标函数f(x1,x2,...,xn)。

在大M法中，我们将相应的约束条件用等式或不等式进行表示：等式约束条件：a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b目标函数：max[f(x1,x2,...,xn)] 或 min[f(x1,x2,...,xn)]在这里，a1,a2,...,an，c1,c2,...,cn和b,d都是确定的常数。

同时，决策变量xi也可以是整数或者二进制变量。

为了求解这个最优化问题，我们需要首先将不等式约束式转化为等式形式。

在这个过程中，我们需要加入一些松弛变量（也叫做slack变量）来确保约束条件可以满足。

假设第i个不等式为：然后我们将这个不等式转化成等式形式：其中，s1是松弛变量。

类似地，我们可以将每个不等式约束条件都转化成等式形式。

在这个过程中，我们需要加入一些约束条件来限制决策变量xi的取值。

如果xi可以为任意实数，那么我们不需要这些额外的约束条件。

但是，如果xi是整数或者二进制变量，我们需要加入一些约束条件来限制它们的取值范围。

为了限制整数变量xi的取值范围，我们通常会引入两个新的变量：yi和zi。

yi表示xi是否等于下限值，zi表示xi是否等于上限值。

我们可以通过以下约束条件来实现这一点：xi >= li*yi其中，li是xi的下限，ui是xi的上限。

因此，如果yi=1，那么xi的取值就是li；如果zi=1，那么xi的取值就是ui。

如果既不是yi=1，也不是zi=1，那么xi就可以取任意整数值。

运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。

运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。

本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。

同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。

运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。

在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。

这种情况下，上述数学模型可以直接应用。

产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。

这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。

这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。

这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。

弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。

产品生产规划某医院为病人配制营养餐要使用到两种食品A 和B ，每种食品A 含蛋白质50g ，钙400mg ， 热量1000单位，价值14元；食品B 含蛋白质60g ，钙200mg ，热量800单位，价值8元.若病人每天需从食物中获取蛋白质，钙及热量分别为55g ，800mg 和3000单位，问如何选购食品才能在满足营养要求条件下使花费最小？试组建线性规划模型并求解后回答：（1）问题的最优方案及最优值分别是甚麽？最优方案是否有选择余地？ （2）各种营养要求的满足情况怎样？若限制蛋白质摄入量不超过100单位，会出现甚麽问题？解：本题属于简单的线性规划模型的建立与求解问题，并要求作出一点模型分析工作.按要求，先来建立模型，根据题设，设购买两种食品分别为21,x x （kg ），则有总花费数额函数21814x x z +=，自然我们希望求出这样的21,x x 取值，使得函数z 取最小值.可以写为min 21814x x z +=. 又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： ,55605021≥+x x 钙的需求条件： 40080020021≥+x x ， 热量的需求条件： ,3000800100021≥+x x 非负性条件： .0≥j x将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：m i n 21814x x z+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧..t s ,0,30008001000,800200400,556050212121≥≥+≥+≥+j x x x x x x x利用图解法易于得到其最优解为),310,31(*=X 即食品A 购买31（kg ），B 购买310（kg ），最低花费=*z 394元.由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上.（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准3485个单位.以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的.若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为,55605010021≥+≥x x在原来的求解图上加上条件,100605021≤+x x 则可见可行域不存在，故无解.2.某工厂生产两种产品A 、B 分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间. 解： （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限； ③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时.则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x（2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ； 将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近.显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B .运输规划问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。

运筹学中求解数学模型的方法
运筹学中求解数学模型的方法包括以下几种常用方法：
1. 线性规划：线性规划是一种在给定约束条件下求解线性目标函数最优解的方法。

常用的线性规划求解方法包括单纯形法、内点法等。

2. 整数规划：整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量为整数。

常用的整数规划求解方法包括分枝定界法、割平面法等。

3. 动态规划：动态规划是求解具有重叠子问题的最优化问题的一种方法。

它将原问题分解为若干个子问题，并通过递推的方式求解子问题，最终得到原问题的最优解。

4. 随机模型求解方法：对于涉及随机变量的运筹学问题，可以使用概率论和数理统计的方法求解。

常用的方法包括随机模拟、蒙特卡洛方法等。

5. 启发式算法：启发式算法是通过模拟人类的启发式思维过程求解问题的一类算法。

常用的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。

这些算法能够在较短时间内找到较好的解，但不能保证找到最优解。

6. 网络流模型求解方法：网络流模型用于描述网络中物体、信息或流体的流动，常用于求解最小费用最大流、最短路径、最小割等问题。

求解网络流模型的方法
包括Ford-Fulkerson算法、最短路径算法、最小割算法等。

以上是运筹学中常用的求解数学模型的方法，根据具体问题的特点选择相应的方法进行求解。

运筹学的基本理论与方法运筹学（Operations Research）是一门应用数学学科，旨在通过量化建模和优化方法，解决实际问题和做出最优决策。

本文将介绍运筹学的基本理论与方法，包括问题建模、优化模型、经典算法等方面。

一、问题建模运筹学的第一步是把实际问题转化为数学模型，以便进行分析和求解。

问题建模通常涉及以下几个方面：1. 目标：明确问题的目标是什么，如最大化利润、最小化成本、优化资源利用率等。

2. 决策变量：确定可以控制或调整的变量，即决策变量，如生产数量、采购量、分配方案等。

3. 约束条件：考虑问题的限制条件，如资源限制、技术限制、时间限制等。

二、优化模型基于问题建模的基础上，可以建立相应的优化模型，常见的几种常用优化模型如下：1. 线性规划：线性规划是最经典的优化模型之一，目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划可以通过诸如单纯形法、内点法等算法求解。

2. 整数规划：整数规划是线性规划的拓展，决策变量需要取整数值。

整数规划一般通过分支定界法、割平面法等算法求解。

3. 动态规划：动态规划适用于具有决策阶段和状态转移的问题，通过将问题分解为子问题，利用最优子结构性质，建立递推关系来求解。

4. 近似算法：对于复杂优化问题，精确求解往往是不可行的，此时可以采用近似算法，如启发式算法、模拟退火算法、遗传算法等。

三、经典算法运筹学中有一些经典的算法常用于求解各类优化问题，下面介绍几个典型的算法：1. 单纯形法：单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法，通过不断在可行域内移动以达到最优解。

2. 分支定界法：分支定界法通常用于解整数规划问题。

通过不断划分问题的可行域，并对每个子问题求解，最终得到整数规划的最优解。

3. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种全局优化算法，通过模拟金属退火过程来避免陷入局部最优解。

4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择、交叉、变异等操作来搜索最优解。

四、应用领域运筹学方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 生产与物流：优化生产计划、供应链管理、仓储布局等，以提高生产效率和降低成本。